14.3.1 提公因式法同步练习题（含解析）

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人教版八年级数学上册 14.3.1提公因式法 同步练习题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列各式从左到右的变形属于因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
2．下列多项式中能在实数范围内因式分解的是（ ）
A． B． C． D．
3．对于①，②，从左到右的变形，下面的表述正确的是（ ）．
A．①②都是因式分解 B．①②都是乘法运算
C．①是因式分解，②是乘法运算 D．①是乘法运算，②是因式分解
4．若可以因式分解为，则的值为（ ）
A．2 B． C．1 D．
5．若成立，有以下说法：①从左到右的变形是因式分解；②从左到右的变形是整式乘法；③．其中正确的说法是（ ）
A．① B．② C．③ D．①③
6．多项式的公因式是（ ）
A． B． C． D．
7．如果一个多项式的各项有公因式，则这个公因式一定是( )
A．数字 B．单项式 C．多项式 D．整式
8．已知，，则多项式的值为（ ）
A．30 B．11 C．1 D．
9．下列各多项式中，可以运用提公因式法进行因式分解的是（ ）
A． B． C． D．
10．边长为a，b的长方形周长为12，面积为5，则的值为（ ）
A．30 B．60 C．100 D．120
二、填空题
11．把一个多项式化为 的形式，叫做因式分解，分解因式是 的逆变形．
12．以下等式：①；②；③；④；⑤．从左到右的变形属于因式分解的是 ．
13．已知关于的二次三项式可分解为，则的值为 ．
14．用提公因式法分解因式时，应提取的公因式是 ．
15．边长为a，b的矩形，它的长与宽之和为6，面积为7，则的值为 ．
三、解答题
16．把下列各式因式分解：
(1)；
(2)．
17．分解因式：．
18．化简下列多项式：．
19．若，，试分别求出和的值．
20．已知，求下列各式的值．
(1)
(2)．
21．观察下列等式：
第1个等式为：
第个等式为：
第个等式为：
…．
根据上述等式含有的规律，解答下列问题：
(1)第5个等式为 ______________；
(2)第n个等式为 ______________（用含n的代数式表示），并证明．
22．通过一次数学活动我们发现，如果两个两位数的十位数字相同，个位数字的和为10，那么这样的两位数相乘会有如下规律：
这组计算蕴含着简算规律：十位数字相同，个位数字和为10的两个两位数相乘，积的末两位数是个位数字的乘积，前几位是十位数字与十位数字加一的乘积．
(1)若有两个两位数的十位数字相同，个位数字的和为10的两个数的乘积为4221，请你利用小组发现的规律写出这两个数 × ；
(2)若设这两个两位数相同的十位数字为a，个位数字分别设为b、d，请你用学过的知识证明十位数字相同，个位数字的和为10的这样的两位数的乘积的一般规律．
证明：
，
______
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参考答案：
1．C
【分析】多项式的因式分解：把一个多项式化为几个整式的积的形式，利用因式分解的定义逐一判断各选项即可得到答案．
【详解】A. ，是整式的乘法运算，不是因式分解，故A不符合题意；
B. ，故B不符合题意；
C. 是因式分解，故C符合题意；
D. 不是因式分解，故D不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查的是因式分解的定义，掌握因式分解的定义是解题的关键．
2．C
【分析】根据因式分解的定义逐项进行判断即可得到答案．
【详解】解：A.，不是积的形式，故该选项错误，不符合题意；
B. 不能进行因式分解，故该选项错误，不符合题意；
C.，故该选项正确，符合题意；
D.，不是积的形式，故该选项错误，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了因式分解的的定义，因式分式的定义为：多项式在一个范围(如实数范围内分解，即所有项均为实数)化为几个整式的积的形式，这种式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫作把这个多项式分解因式，熟练掌握因式分解的定义是解题的关键．
3．C
【分析】根据因式分解的定义进行判断即可．
【详解】解：①左边是多项式，右边是整式乘积，属于因式分解；②左边是整式乘积，右边是多项式，属于整式乘法．
故选：．
【点睛】本题考查因式分解和整式乘法的区别．因式分解是指：把一个多项式化成几个整式的积的形式．所以，等式左边是多项式，右边是整式的乘积．而整式乘法左边是整式的乘积，右边是多项式．这是易错易混点，熟练掌握定义是关键．
4．A
【分析】直接利用多项式乘法将原式变形进而计算得出答案．
【详解】解：∵二次三项式可分解为，
∴，
则，，
解得：，，
∴，故A正确．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了因式分解的定义和多项式乘多项式的运算，正确将原式变形是解题的关键．
5．A
【分析】根据因式分解和整式乘法的关系求解即可．
【详解】∵成立，
∴从左到右的变形是因式分解，故①正确，②错误；
∴
∴，故③错误．
故选：A．
【点睛】本题考查了因式分解的定义，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解．也考查了整式的乘法．
6．D
【分析】根据公因式的意义，将原式写成含有公因式乘积的形式即可．
【详解】解：因为，
所以的公因式为，
故选：D．
【点睛】本题考查了公因式，解题的关键是理解公因式的意义是得出正确答案的前提，将各个项写成含有公因式积的形式．
7．D
【分析】几个单项式的和是多项式，但是项中的字母既可以是单个的数字，也可以是字母或多项式，所以其公因式既可以是单个的数字，也可以是字母或多项式．
【详解】解：多项式的项中的字母既可以是单个的数字，也可以是字母或多项式，但都是整式．
所以公因式一定是整式．
故选：D．
【点睛】本题考查了多项式的公因式的定义，掌握公因式的定义是解题的关键．
8．A
【分析】先把多项式进行因式分解，再利用整体思想代入求值即可．
【详解】解：∵，，
∴；
故选A．
【点睛】本题考查因式分解．熟练掌握提公因式法因式分解，是解题的关键．
9．B
【分析】找出选项中有公因式的选项即可．
【详解】解：A. 中各项没有公因式，不可以运用提公因式法进行因式分解，故本选项不符合题意；
B. ，能用提公因式法进行因式分解，故本选项符合题意；
C. 中各项没有公因式，不可以运用提公因式法进行因式分解，故本选项不符合题意；
D. 中各项没有公因式，不可以运用提公因式法进行因式分解，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】此题考查了因式分解-提取因式法，找出多项式的公因式是解本题的关键．
10．A
【分析】直接利用提取公因式法分解因式，进而求出答案．
【详解】解：边长为a，b的长方形周长为12，面积为10，
，
则．
故选：A．
【点睛】本题考查提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
11． 几个整式的积 整式乘法
【分析】根据分解因式的定义进行解答即可．
【详解】解：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做因式分解，分解因式是整式乘法的逆变形．
故答案为：几个整式的积；整式乘法．
【点睛】本题主要考查了分解因式的定义，解题的关键是熟练掌握分解因式的定义，把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做因式分解，分解因式是整式乘法的逆变形．
12．④
【分析】根据因式分解的定义逐项进行判断即可得出答案．
【详解】①是整式乘法，不是因式分解；
②从左到右的变形不是因式分解；
③是整式乘法，不是因式分解；
④是因式分解；
⑤，不是因式分解．
故选④．
【点睛】本题主要考查了因式分解的定义，熟练掌握把一个多项式化为几个整式的积的形式叫做因式分解是解题的关键．
13．9
【分析】把展开，求出、的值，计算即可．
【详解】解：，
，
，，
，
故答案为：9．
【点睛】本题考查了整式的乘法和因式分解，解题关键是熟练运用整式乘法法则进行计算．
14．
【分析】如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式．直接利用公因式的定义找出公因式，进而提取分解因式即可．
【详解】解：，
∴应提取的公因式是，
故答案为：．
【点睛】本题考查提取公因式法分解因式．确定一个多项式的公因式时，要对数字系数和字母分别进行考虑，可归纳为“五看”：一看系数，若各项系数都是整数，应提取各项系数的最大公因数；二看字母，公因式的字母是各项相同的字母；三看字母的指数，各相同字母的指数取指数最低的；四看整体，如果多项式中含有相同的多项式，应将其看成整体，不要拆开；五看首项符号，若多项式中首项的符号为“－”，则公因式的符号一般为负．正确找出公因式是解题的关键．
15．42
【分析】边长为a，b的矩形，它的长与宽之和为6，面积为7，则，把因式分解后整体代入求值即可．
【详解】解：∵边长为a，b的矩形，它的长与宽之和为6，面积为7，
∴，
故．
故答案为：42．
【点睛】此题考查了因式分解、代数式的值等知识，提公因式法因式分解是解题的关键．
16．(1)
(2)
【分析】（1）直接利用提取公因式法提取公因式，即可得到答案；
（2）直接利用提取公因式法提取公因式，即可得到答案．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
【点睛】本题主要考查了提公因式法进行因式分解，熟练掌握提公因式法进行因式分解是解题的关键．
17．
【分析】根据提公因式法因式分解直接求解即可得到答案
【详解】解：
．
【点睛】本题主要考查利用提取公因式法分解因式，注意提取公因式后，剩余的项的项数与原来的项数相同，并且让系数变为整数．
18．
【分析】原式利用提公因式法逐步分解因式得出答案．
【详解】原式
．
【点睛】本题主要考查利用提取公因式法分解因式，掌握解答的方法是关键．
19．，．
【分析】先利用完全平方公式求得，再把化成，把化成，整体代入求解即可.
【详解】解：，，
∴，
∴，
则，
∴，
∴．
【点睛】此题考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
20．(1)
(2)41
【分析】（1）直接利用因式分解将原式变形进而得出答案；
（2）直接利用完全平方公式将原式变形进而得出答案．
【详解】（1）解：；
（2）解：∵，
∴，
∴．
【点睛】此题主要考查了完全平方公式，正确应用完全平方公式及其变形是解题关键．
21．(1)
(2)，证明见解析
【分析】（1）根据所给等式即可求出第5个等式；
（2）根据所给等式即可求出第n个等式，然后用提取公因式法证明即可．
【详解】（1）∵第1个等式为：，
第个等式为：，
第个等式为：，
…．，
∴第5个等式为：；
（2）第n个等式为：，
证明：左边右边
等式成立．
【点睛】本题考查了数字类规律探究，因式分解的应用，熟练掌握提公因式法是解答本题的关键．
22．(1)63，67
(2)见解析
【分析】（1）由后两位数为21可得两个两位数的个位数是3和7，由前两位数是42，可得这个两位数的十位数是6，从而可得答案；
（2）由，再利用整式的乘法运算进行推导即可．
【详解】（1）解：由规律可得：这两个数为63，67；
故答案为：63，67；
（2）
，
，
∴ ，
．
故答案为：
【点睛】本题考查的是新定义运算的含义，多项式乘以多项式的运算，提公因式分解因式的应用，理解题意选择合适的方法解题是关键．
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