15.1.2 分式的基本性质同步练习题（含解析）
文档属性
| 名称 | 15.1.2 分式的基本性质同步练习题（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 474.2KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-08-02 10:45:11 | ||
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文档简介
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人教版八年级数学上册 15.1.2分式的基本性质 同步练习题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列各式中，错误的是（ ）
A． B． C． D．
2．若分式中的和都扩大为原来的3倍后，分式的值不变，则A可能是（ ）
A． B． C． D．3
3．若、的值均扩大为原来的2倍，则下列分式的值保持不变的是（ ）
A． B． C． D．
4．若分式中a、b的值同时扩大到原来的2倍，则分式的值（ ）
A．不变 B．扩大2倍 C．扩大4倍 D．缩小2倍
5．下列分式中与的值相等的分式是（ ）
A． B． C．- D．-
6．下列说法正确的是（ ）
A．分式的值为零，则的值为
B．根据分式的基本性质，等式
C．把分式的分子与分母的各项系数都化为整数的结果为
D．分式是最简分式
7．下列分式中，属最简分式的是（ ）．
A． B． C． D．
8．下列式子从左到右变形正确的是（ ）
A． B．
C． D．
9．分式，的最简公分母是（ ）
A． B．
C． D．
10．若，则A、B的值为（ ）．
A．A=3，B=﹣2 B．A=2，B=3 C．A=3，B=2 D．A=﹣2，B=3
二、填空题
11．已知 ，则 ．
12．已知分式，若把a，b的值都扩大到原来的3倍，此时分式的值为 （填数字）
13．不改变分式的值，把分式的分子、分母各项系数都化为整数，得 ．
14．化简： .
15．分式与通分后的结果是 ．
三、解答题
16．化简：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
17．不改变分式的值，使分子和分母中的最高次项系数都为正数：
(1)；
(2)．
18．按照下列要求解答：
(1)约分：；
(2)通分：与
19．先化简，再求值：，其中．
20．先化简分式 ，再讨论：当整数取何值时，能使分式的值是正整数？
21．小学数学中，把分子比分母小的分数叫做真分数．类似地，我们把分子的次数小于分母的次数的分式称为真分式，反之，称为假分式．对于任何一个假分式，都可以化成整式与真分式的和的形式．如：．
(1)下列分式中，属于真分式的是( )
A． B． C． D．
(2)将假分式化成整式和真分式的和的形式．
22．观察下列各式：
①， ②，
③， ④，
…… ……；
按照以上规律，解决下列问题：
(1)写出第6个等式：________；
(2)写出你猜想的第个等式：________（用含的等式表示），并证明.
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参考答案：
1．D
【分析】根据分式的性质进行逐一判断即可．
【详解】解：A、，正确，不符合题意；
B、，正确，不符合题意；
C、，正确，不符合题意；
D、，错误，符合题意；
故选D．
【点睛】本题主要考查了分式的基本性质，熟知分式中分子与分母同时乘以或除以一个不为0的数或式子，分式的值不变是解题的关键．
2．A
【分析】根据分式的性质即可求解．
【详解】解：和都扩大为原来的3倍得到：
因为分式的值不变
所以是同时含有和的一次二项式
故选：A
【点睛】本题考查分式的性质．掌握相关性质是解题的关键．
3．B
【分析】根据分式的基本性质，x，y的值均扩大为原来的2倍，求出每个式子的结果，结果等于原式的即是答案．
【详解】解：A．，不符合题意；
B．，符合题意；
C．，不符合题意；
D．，不符合题意；
故选：B．
【点睛】此题考查分式的基本性质，解题的关键是熟练运用分式的基本性质．
4．A
【分析】根据分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变，进行计算即可．
【详解】解：，
∴分式的值不变，
故选：A．
【点睛】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．
5．B
【分析】根据分式的基本性质即可得出结论．
【详解】解：===
故选B．
【点睛】此题考查的是分式的变形，掌握分式的基本性质是解决此题的关键．
6．D
【分析】根据分式的值为0的条件，分式的基本性质，最简分式的定义，逐一进行判断即可．
【详解】解：A、分式的值为零，则的值为，选项错误，不符合题意；
B、当时，没有意义，，选项错误，不符合题意；
C、把分式的分子与分母的各项系数都化为整数的结果为，选项错误，不符合题意；
D、分式是最简分式，选项正确，符合题意；
故选D．
【点睛】本题考查分式的值为0的条件，分式的基本性质，最简分式．熟练掌握相关知识点，是解题的关键．
7．A
【分析】根据最简分式的定义逐项分析判断即可，最简分式定义：一个分式的分子与分母没有非零次的公因式时 (即分子与分母互素)叫最简分式．
【详解】A. ，是最简分式，故该选项正确，符合题意；
B. ，不是最简分式，故该选项不正确，不符合题意；
C. ，不是最简分式，故该选项不正确，不符合题意；
D. ，不是最简分式，故该选项不正确，不符合题意；
故选：A
【点睛】本题考查了分式的性质，掌握最简分式的定义是解题的关键．
8．D
【分析】对分子、分母进行因式分解，约去公因式，逐一计算即可．
【详解】A. ，故此项错误；
B. ，故此项错误；
C. ，故此项错误；
D. ，故此项正确．
故选：D．
【点睛】本题考查了约分，掌握约分的方法是解题的关键．
9．D
【分析】根据最简公分母的定义进行求解即可．
【详解】解：∵，，
∴分式，的最简公分母是，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了求分式的最简公分母，解题的关键是熟练掌握最简公分母定义，取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作为公分母，这样的公分母叫做最简公分母．求最简公分母时，要先将所有的表达式都化成积的形式．
10．B
【分析】右边较为复杂，可以从右边到左边，因此先将右边通分，使前后形式一致，然后让对应得系数相等，即可求出A，B．
【详解】解：
．
∵，
∴，
∴，
得：，
∴．
将代入①中，解得：，
∴方程组的解为：．
故选B．
【点睛】本题考查分式的基本性质，二元一次方程组的解法，利用通分将右边化成左边的相同形式，并让所得分子的对应系数相等是解题的关键．
11．
【分析】等式两边都乘以，变形得，然后把t的系数系数化为1即可．
【详解】解：等式两边都乘以
得
∴
∴
∵
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了等式的性质，以及分式的知识，根据等式的性质变形是解答本题的关键．
12．3
【分析】把a，b的值都扩大到原来的3倍代入分式直接化简求解即可得到答案；
【详解】解：∵a，b的值都扩大到原来的3倍，
∴变成，扩大到原来的3倍，变成，扩大到原来的3倍，
∴
∴此时分式的值不变，还是3，
故答案为：3．
【点睛】此题主要考查了分式的基本性质，解答此题的关键是要明确：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．
13．
【分析】要想将分式分母各项系数都化为整数，将分式的分子和分母同乘以10即可．
【详解】
故答案为：．
【点睛】本题考查了分式的基本性质，分式的基本性质是分式约分和通分的依据，熟练掌握并灵活运用是解答本题的关键．
14．
【分析】将分子分母提取公因式后约分即可．
【详解】解：原式，
故答案为：．
【点睛】本题考查分式的化简，先将分子分母进行因式分解是关键．
15．，
【分析】根据分式通分的方法求解即可．
【详解】解：∵，，
∴分式，
分式．
故答案为，．
【点睛】此题考查了分式的通分，解题的关键是熟练掌握分式通分的方法．
16．(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）先将分子进行因式分解，再进行约分即可；
（2）先将分母进行因式分解，再进行约分即可；
（3）先将分母进行因式分解，再进行约分即可；
（4）先将分子分母进行因式分解，再进行约分即可.
【详解】（1）解：；
（2）解：；
（3）解：；
（4）解：．
【点睛】本题主要考查了根据分式的基本性质约分，解题的关键是掌握分式的基本性质：分子分母同时除以一个不为0是数或式子，分式的值不变．
17．(1)
(2)
【分析】（1）运用分式的基本性质在分子分母都乘以即可得出正确答案；
（2）运用分式的基本性质在分子分母都乘以即可得出正确答案．
【详解】（1）解：；
（2）解：．
【点睛】本题考查的是分式的基本性质，掌握分式的基本性质是解题关键．
18．(1)
(2)，
【分析】（1）根据分式的性质约分即可求解；
（2）先找出最简公分母然后通分即可求解．
【详解】（1）解：
（2）解：最简公分母为，
∴，
【点睛】本题考查了分式的性质，分式的约分与通分，熟练掌握分式的性质是解题的关键．
19．；
【分析】先根据分式的性质化简，最后将字母的值代入求解．
【详解】解：
，
当时，
∴原式=．
【点睛】本题考查了分式化简求值，解题关键是熟练运用分式运算法则进行求解．
20．；，，，
【分析】先把分式进行化简，再根据分式的值为正整数求出整数的值即可得到答案．
【详解】解：
，
分式的值是正整数，
当时，原式，
当时，原式，
当时，原式，
当时，原式，
当整数取，，，时，能使分式的值是正整数．
【点睛】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式约分的法则是解答此题的关键．
21．(1)C
(2)
【分析】（1）根据题中真分式的定义直接判断即可；
（2）仿照题中例子化成整式和真分式的和的形式即可．
【详解】（1）解：根据题意，选项A、B、D中分子的次数大于分母的次数，不是真分式，不符合题意，选项C中分子的次数小于分母的次数，是真分式，符合题意，
故选：C；
（2）解：
．
【点睛】本题考查了分式的基本性质，理解题中定义，会利用类比的思想方法求解是解答的关键．
22．(1)
(2)；证明见解析
【分析】（1）观察每个式子右边都等于2，左边分子、分母共有三项相加，第n个式子的前两项是，，分子第三项是，分母第三项是，根据此规律写出第6个等式即可；
（2）根据解析（1）发现的规律写出第n个式子即可；根据分式性质化简分式即可．
【详解】（1）解：第6个等式为；
故答案为：．
（2）解：第个等式为，
左边
右边．
故答案为：．
【点睛】本题是一道找规律的题，主要考查了分式的化简，用代数式表示数字规律，解题的关键是如何用一个统一的式子表示出分式的规律．
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人教版八年级数学上册 15.1.2分式的基本性质 同步练习题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列各式中，错误的是（ ）
A． B． C． D．
2．若分式中的和都扩大为原来的3倍后，分式的值不变，则A可能是（ ）
A． B． C． D．3
3．若、的值均扩大为原来的2倍，则下列分式的值保持不变的是（ ）
A． B． C． D．
4．若分式中a、b的值同时扩大到原来的2倍，则分式的值（ ）
A．不变 B．扩大2倍 C．扩大4倍 D．缩小2倍
5．下列分式中与的值相等的分式是（ ）
A． B． C．- D．-
6．下列说法正确的是（ ）
A．分式的值为零，则的值为
B．根据分式的基本性质，等式
C．把分式的分子与分母的各项系数都化为整数的结果为
D．分式是最简分式
7．下列分式中，属最简分式的是（ ）．
A． B． C． D．
8．下列式子从左到右变形正确的是（ ）
A． B．
C． D．
9．分式，的最简公分母是（ ）
A． B．
C． D．
10．若，则A、B的值为（ ）．
A．A=3，B=﹣2 B．A=2，B=3 C．A=3，B=2 D．A=﹣2，B=3
二、填空题
11．已知 ，则 ．
12．已知分式，若把a，b的值都扩大到原来的3倍，此时分式的值为 （填数字）
13．不改变分式的值，把分式的分子、分母各项系数都化为整数，得 ．
14．化简： .
15．分式与通分后的结果是 ．
三、解答题
16．化简：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
17．不改变分式的值，使分子和分母中的最高次项系数都为正数：
(1)；
(2)．
18．按照下列要求解答：
(1)约分：；
(2)通分：与
19．先化简，再求值：，其中．
20．先化简分式 ，再讨论：当整数取何值时，能使分式的值是正整数？
21．小学数学中，把分子比分母小的分数叫做真分数．类似地，我们把分子的次数小于分母的次数的分式称为真分式，反之，称为假分式．对于任何一个假分式，都可以化成整式与真分式的和的形式．如：．
(1)下列分式中，属于真分式的是( )
A． B． C． D．
(2)将假分式化成整式和真分式的和的形式．
22．观察下列各式：
①， ②，
③， ④，
…… ……；
按照以上规律，解决下列问题：
(1)写出第6个等式：________；
(2)写出你猜想的第个等式：________（用含的等式表示），并证明.
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参考答案：
1．D
【分析】根据分式的性质进行逐一判断即可．
【详解】解：A、，正确，不符合题意；
B、，正确，不符合题意；
C、，正确，不符合题意；
D、，错误，符合题意；
故选D．
【点睛】本题主要考查了分式的基本性质，熟知分式中分子与分母同时乘以或除以一个不为0的数或式子，分式的值不变是解题的关键．
2．A
【分析】根据分式的性质即可求解．
【详解】解：和都扩大为原来的3倍得到：
因为分式的值不变
所以是同时含有和的一次二项式
故选：A
【点睛】本题考查分式的性质．掌握相关性质是解题的关键．
3．B
【分析】根据分式的基本性质，x，y的值均扩大为原来的2倍，求出每个式子的结果，结果等于原式的即是答案．
【详解】解：A．，不符合题意；
B．，符合题意；
C．，不符合题意；
D．，不符合题意；
故选：B．
【点睛】此题考查分式的基本性质，解题的关键是熟练运用分式的基本性质．
4．A
【分析】根据分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变，进行计算即可．
【详解】解：，
∴分式的值不变，
故选：A．
【点睛】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．
5．B
【分析】根据分式的基本性质即可得出结论．
【详解】解：===
故选B．
【点睛】此题考查的是分式的变形，掌握分式的基本性质是解决此题的关键．
6．D
【分析】根据分式的值为0的条件，分式的基本性质，最简分式的定义，逐一进行判断即可．
【详解】解：A、分式的值为零，则的值为，选项错误，不符合题意；
B、当时，没有意义，，选项错误，不符合题意；
C、把分式的分子与分母的各项系数都化为整数的结果为，选项错误，不符合题意；
D、分式是最简分式，选项正确，符合题意；
故选D．
【点睛】本题考查分式的值为0的条件，分式的基本性质，最简分式．熟练掌握相关知识点，是解题的关键．
7．A
【分析】根据最简分式的定义逐项分析判断即可，最简分式定义：一个分式的分子与分母没有非零次的公因式时 (即分子与分母互素)叫最简分式．
【详解】A. ，是最简分式，故该选项正确，符合题意；
B. ，不是最简分式，故该选项不正确，不符合题意；
C. ，不是最简分式，故该选项不正确，不符合题意；
D. ，不是最简分式，故该选项不正确，不符合题意；
故选：A
【点睛】本题考查了分式的性质，掌握最简分式的定义是解题的关键．
8．D
【分析】对分子、分母进行因式分解，约去公因式，逐一计算即可．
【详解】A. ，故此项错误；
B. ，故此项错误；
C. ，故此项错误；
D. ，故此项正确．
故选：D．
【点睛】本题考查了约分，掌握约分的方法是解题的关键．
9．D
【分析】根据最简公分母的定义进行求解即可．
【详解】解：∵，，
∴分式，的最简公分母是，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了求分式的最简公分母，解题的关键是熟练掌握最简公分母定义，取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作为公分母，这样的公分母叫做最简公分母．求最简公分母时，要先将所有的表达式都化成积的形式．
10．B
【分析】右边较为复杂，可以从右边到左边，因此先将右边通分，使前后形式一致，然后让对应得系数相等，即可求出A，B．
【详解】解：
．
∵，
∴，
∴，
得：，
∴．
将代入①中，解得：，
∴方程组的解为：．
故选B．
【点睛】本题考查分式的基本性质，二元一次方程组的解法，利用通分将右边化成左边的相同形式，并让所得分子的对应系数相等是解题的关键．
11．
【分析】等式两边都乘以，变形得，然后把t的系数系数化为1即可．
【详解】解：等式两边都乘以
得
∴
∴
∵
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了等式的性质，以及分式的知识，根据等式的性质变形是解答本题的关键．
12．3
【分析】把a，b的值都扩大到原来的3倍代入分式直接化简求解即可得到答案；
【详解】解：∵a，b的值都扩大到原来的3倍，
∴变成，扩大到原来的3倍，变成，扩大到原来的3倍，
∴
∴此时分式的值不变，还是3，
故答案为：3．
【点睛】此题主要考查了分式的基本性质，解答此题的关键是要明确：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．
13．
【分析】要想将分式分母各项系数都化为整数，将分式的分子和分母同乘以10即可．
【详解】
故答案为：．
【点睛】本题考查了分式的基本性质，分式的基本性质是分式约分和通分的依据，熟练掌握并灵活运用是解答本题的关键．
14．
【分析】将分子分母提取公因式后约分即可．
【详解】解：原式，
故答案为：．
【点睛】本题考查分式的化简，先将分子分母进行因式分解是关键．
15．，
【分析】根据分式通分的方法求解即可．
【详解】解：∵，，
∴分式，
分式．
故答案为，．
【点睛】此题考查了分式的通分，解题的关键是熟练掌握分式通分的方法．
16．(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）先将分子进行因式分解，再进行约分即可；
（2）先将分母进行因式分解，再进行约分即可；
（3）先将分母进行因式分解，再进行约分即可；
（4）先将分子分母进行因式分解，再进行约分即可.
【详解】（1）解：；
（2）解：；
（3）解：；
（4）解：．
【点睛】本题主要考查了根据分式的基本性质约分，解题的关键是掌握分式的基本性质：分子分母同时除以一个不为0是数或式子，分式的值不变．
17．(1)
(2)
【分析】（1）运用分式的基本性质在分子分母都乘以即可得出正确答案；
（2）运用分式的基本性质在分子分母都乘以即可得出正确答案．
【详解】（1）解：；
（2）解：．
【点睛】本题考查的是分式的基本性质，掌握分式的基本性质是解题关键．
18．(1)
(2)，
【分析】（1）根据分式的性质约分即可求解；
（2）先找出最简公分母然后通分即可求解．
【详解】（1）解：
（2）解：最简公分母为，
∴，
【点睛】本题考查了分式的性质，分式的约分与通分，熟练掌握分式的性质是解题的关键．
19．；
【分析】先根据分式的性质化简，最后将字母的值代入求解．
【详解】解：
，
当时，
∴原式=．
【点睛】本题考查了分式化简求值，解题关键是熟练运用分式运算法则进行求解．
20．；，，，
【分析】先把分式进行化简，再根据分式的值为正整数求出整数的值即可得到答案．
【详解】解：
，
分式的值是正整数，
当时，原式，
当时，原式，
当时，原式，
当时，原式，
当整数取，，，时，能使分式的值是正整数．
【点睛】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式约分的法则是解答此题的关键．
21．(1)C
(2)
【分析】（1）根据题中真分式的定义直接判断即可；
（2）仿照题中例子化成整式和真分式的和的形式即可．
【详解】（1）解：根据题意，选项A、B、D中分子的次数大于分母的次数，不是真分式，不符合题意，选项C中分子的次数小于分母的次数，是真分式，符合题意，
故选：C；
（2）解：
．
【点睛】本题考查了分式的基本性质，理解题中定义，会利用类比的思想方法求解是解答的关键．
22．(1)
(2)；证明见解析
【分析】（1）观察每个式子右边都等于2，左边分子、分母共有三项相加，第n个式子的前两项是，，分子第三项是，分母第三项是，根据此规律写出第6个等式即可；
（2）根据解析（1）发现的规律写出第n个式子即可；根据分式性质化简分式即可．
【详解】（1）解：第6个等式为；
故答案为：．
（2）解：第个等式为，
左边
右边．
故答案为：．
【点睛】本题是一道找规律的题，主要考查了分式的化简，用代数式表示数字规律，解题的关键是如何用一个统一的式子表示出分式的规律．
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