15.3 分式方程同步练习题（含解析）
文档属性
| 名称 | 15.3 分式方程同步练习题（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 565.2KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-08-02 10:50:19 | ||
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文档简介
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人教版八年级数学上册 15.3分式方程 同步练习题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列关于x的方程是分式方程的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列是分式方程的是（ ）
A． B．
C． D．
3．解分式方程（ ）
A． B． C． D．
4．将关于x的分式方程去分母可得（ ）
A． B． C． D．
5．关于x的方程有增根，则k的值是（ ）
A．0 B．3 C．2 D．
6．如果关于x的分式方程有负分数解，且关于x的不等式组的解集为，则符合条件的所有整数a的积是（ ）
A．9 B．3 C．0 D．
7．若关于x的分式方程有无解，则m的值为（ ）
A． B．2 C． D．4
8．若关于x的分式方程有增根，则这个增根是（ ）
A． B． C． D．
9．长丰县2023年第一季度生产总值（GDP）以15.1%的增速领跑合肥各区县，其中工业增速为35.9%最为抢眼．现有甲工厂加工200个零件与乙工厂加工300个零件所用时间相同，若乙工厂每小时比甲工厂多加工20个零件，求两工厂的零件加工效率？设甲工厂的零件加工效率为x个/小时，依题意列方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
10．某校学生去距离学校的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍，汽车的速度是（ ）．
A． B． C． D．
二、填空题
11． （填“是”或“不是”）方程的解.
12．化分式方程为整式方程时，方程两边同乘的最简公分母为 ．
13．已知关于x的方程有增根，则m的值为 ．
14．某班学生周末乘汽车到游览区游览，游览区距学校．一部分学生乘慢车先行，出发后，另一部分学生乘快车前往，结果他们同时到达游览区．已知快车的速度是慢车速度的倍，求慢车的速度？设慢车的速度为，则可列方程为 ．
15．现有形状、大小、库存货物完全相同的，两个仓库，已知甲、乙两人合作搬运完仓库需要小时，乙、丙两人合作搬运完仓库需要小时．现由乙先与甲合作搬运仓库，同时丙在独立搬运仓库，小时后，乙停止搬运进行休息，乙休息小时立即到仓库和丙一起搬运，若搬运完，两个仓库各用了小时，则 ．
三、解答题
16．解分式方程：
(1)
(2)
17．计算下列各题．
(1)解不等式组：；
(2)解方程：；
(3)先化简，再求值：，其中．
18．解方程：．
19．关于x的方程有增根，则增根是多少？并求方程产生增根时m的值．
20．某书店老板去图书批发市场购置某种图书，第一次用1200元购书若干本，并按该书定价7元出售，很快售完．由于该书畅销，第二次购书时，每本书的批发价已比第一次提高了，他用1500元所购该书的数量比第一次多10本，当按定价售出200本时，出现滞销，便以定价的4折售完剩余的书．求该老板在这两次售书中共盈利多少元？
21．先观察下列等式，然后用你发现的规律解答下列问题．
，，，…
(1) ．
(2)探究 ．（用含有n的式子表示）
(3)若的值为，求n的值．
22．某学校为丰富大课间的体育活动，决定购买甲、乙两种型号的篮球．购买时发现，甲种篮球的单价比乙种篮球单价多元，且用元购买甲种篮球的个数与元购买乙种篮球的个数相同．
(1)求甲、乙两种篮球的单价各是多少元？
(2)学校准备购买甲、乙两种篮球共个，且购买的总费用不超过元，求最多可以购买多少个甲种篮球
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参考答案：
1．C
【分析】由分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫分式方程．根据定义结合选项即可求解．
【详解】解：选项A、B、D是整式方程，不符合题意；
选项C，是分式方程，符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查分式方程的定义，熟练掌握分式方程的定义是解题的关键．
2．D
【分析】根据分母中含有未知数的方程叫做分式方程，对每个选项进行判断，找出是等式，且分母含有未知数的方程，即可得解．
【详解】解：A、是一个代数式，不是方程，所以A不是分式方程；
B、是一元一次方程，是整式方程，所以B不是分式方程；
C、是一元一次方程，是整式方程，所以C不是分式方程；
D、分母含有未知数，所以D是分式方程；
故选：D．
【点睛】本题考查分式方程的定义，正确理解分式方程的概念是解题的关键．
3．A
【分析】按照去分母，移项，合并同类项的步骤解方程，然后检验即可．
【详解】解：，
去分母得：，
移项合并得：，
经检验，是分式方程的解．
．
故选：．
【点睛】本题考查解分式方程，解题的关键是熟练运用分式方程的解法，注意解分式方程最后一定要检验．
4．A
【分析】方程两边都乘以，从而可得答案．
【详解】解：∵，
去分母得：，
整理得：，
故选A．
【点睛】本题考查的是分式方程的解法，熟练的把分式方程化为整式方程是解本题的关键．
5．B
【分析】先去分母，再将增根代入，求解即可．
【详解】解：去分母，得，
将增根代入，
得，
解得，
故选：B．
【点睛】本题考查了分式方程的增根，熟练掌握分式方程增根的含义是解题的关键．
6．A
【分析】分别解不等式组中的两个不等式，把a看作已知数表示出不等式的解集，根据不等式组已知解集确定出a的取值范围，分式方程去分母转化为整式方程，将a的范围中的整数值代入整式方程，检验分式方程解为负分数确定出所有a的值，即可求出之积．
【详解】解，
由①得，，
由②得，，
∵不等式组的解集为，
∴，即，
分式方程去分母得：，
把代入整式方程得，符合题意；
把代入整式方程得，不合题意；
把代入整式方程得，符合题意；
把代入整式方程得，不合题意；
把代入整式方程得，符合题意；
把代入整式方程得，不合题意；
把代入整式方程得，符合题意；
∴符合条件的整数a取值为，，1，3，它们的积为9，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，解分式方程．熟练掌握一元一次不等式组解集的四种情况，分式方程的解是负分数，是解决本题的关键．
7．A
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解确定出m的值即可．
【详解】解：去分母得：，
移项、合并同类项得：，
∵分式方程无解，
∴，解得：，
∴，解得：，
故选：A．
【点睛】本题考查了分式方程的解，弄清分式方程无解的条件是解本题的关键．
8．A
【分析】由分式方程有增根，确定最简公分母为0，从而求解．
【详解】解：原分式方程有增根，
，
解得：，
故选：A．
【点睛】此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
9．B
【分析】根据题意设出甲工厂的零件加工效率为x个/小时，则乙工厂的零件加工效率为个/小时，根据时间=工作量÷工作效率，以甲工厂加工200个零件与乙工厂加工300个零件所用时间相同，列出分式方程即可．
【详解】解：设出甲工厂的零件加工效率为x个/小时，则乙工厂的零件加工效率为个/小时，根据题意，得
故选：B．
【点睛】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
10．D
【分析】设骑车学生的速度为，则汽车的速度为，根据题意可得，乘坐汽车比骑自行车少用,据此列分式方程求解．
【详解】解：设骑车学生的速度为，则汽车的速度为，
由题意得：，
解得：，
经检验：是原方程的解，且符合题意，
所以，骑车学生的速度为．
∴汽车的速度为
故选：D．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解，注意检验．
11．是
【分析】把代入方程的左边，判断等式是否仍然成立即可．
【详解】解：把代入方程
左边，
右边
左边=右边
所以是方程的解
故答案为：是
【点睛】本题考查方程的解，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
12．
【分析】根据最简公分母的定义即可得出答案．
【详解】解：∵，
∴，
方程两边同乘的最简公分母为 ．
故答案为：．
【点睛】本题考查了解分式方程，最简公分母，要注意：通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母，掌握最简公分母是解题的关键．
13．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，确定出的值即可．
【详解】解：去分母得：，
即，由分式方程有增根，
得到，
解得： ，
故答案为：．
【点睛】本题目考查了解分式方程，掌握解分式方程的步骤，增根的定义是解题的关键．
14．
【分析】设慢车的速度为，则快车的速度是，再根据题意列出方程即可．
【详解】解：设慢车的速度为，则快车的速度为，根据题意可得：
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，准确分析条件、找到等量关系是解题的关键．
15．
【分析】可设单独搬运甲需要小时，乙需要小时，丙需要小时，根据等量关系：甲、乙两人合作搬运完仓库需要小时；乙、丙两人合作搬运完仓库需要小时；搬运完、两个仓库各用了小时；列出方程组求解即可．
【详解】解：设单独搬运甲需要小时，乙需要小时，丙需要小时，依题意有
①③得⑤，
②④得⑥，
联立⑤⑥得，
经检验得，n，y的值是原方程组的解，
∴n的值为6.
故答案为：6．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，根据题意列出方程组是解题的关键．
16．(1)
(2)无解
【分析】（1）去分母化为整式方程，解之，检验可得结果．
（2）去分母化为整式方程，解之，检验可得结果，注意不要漏乘．
【详解】（1）解：，
去分母得：，
解得：，
检验：将代入，
所以是原分式方程的解；
（2）
去分母得：，
解得：，
检验：当时，，
∴是增根，原方程无解．
【点睛】本题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解，注意要验根．
17．(1)
(2)
(3)，
【分析】（1）求出每个不等式的解集，即可得到不等式组的解集；
（2）根据分式方程的解法，解分式方程并检验即可；
（3）根据分式的混合运算的法则，即可求解．
【详解】（1）解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集是；
（2），
方程整理得：
去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：，
检验：当，最简公分母，
∴是原分式方程的解
（3）
当时，
原式
【点睛】本题考查解不等式组，解分式方程，分式的混合运算，解题的关键是掌握相应的运算法则，正确计算．
18．
【分析】先将方程转化为整式方程进行求解，再检验即可．
【详解】解：
方程两边同时乘以最简公分母，
得，
展开，得，
解方程，得，
检验：当时，.
所以，原方程的根是．
【点睛】本题考查解分式方程，解分式方程要记得检验．
19．原方程的增根是或.当时，；当时，.
【分析】令最简公分母为0，即可求得增根，把分式方程化为整式方程，将增根分别代入求解即可.
【详解】解：∵原方程有增根，
∴增根必定使最简公分母，
∴或是原方程的增根．
给原方程两边同乘，可得：.
当时，，解得；
当时，，解得.
综上所述，原方程的增根是或.当时，；当时，.
【点睛】本题主要考查了解分式方程、增根等知识点，理解增根的意义和解分式方程的基本步骤是解答本题的关键．
20．该老板两次共赚520元
【分析】设该书第一次购进价为x元，根据第二次购书时，每本书的批发价已比第一次提高了，他用1500元所购该书的数量比第一次多10本列出方程求出第一次的购进价，进而求出第二次的购进价，再分别求出两次的利润即可得到答案．
【详解】解：设该书第一次购进价为x元，
由题意得， ，
解得：，
经检验是原方程的根
∴，
第一次购书（本）
第二次购书（本）
第一次赚钱（元）
第二次赚钱（元）
（元）
答：该老板两次共赚520元．
【点睛】本题主要考查了分式方程的实际应用，正确理解题意找到等量关系列出方程是解题的关键．
21．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据题意得到规律，据此求解即可；
（2）利用（1）的规律将各分数进行分解，进而化简求出答案；
（3）仿照题意可得，进而分解各数，即可求解．
【详解】（1）解：，
，
，
……
以此类推可得，
∴
，
故答案为：；
（2）解：
；
故答案为：；
（3）解：
．
∵的值为，
∴，
∴，
经检验，是原方程的解
∴．
【点睛】本题主要考查了学生通过特例分析从而归纳总结出一般结论的能力，解题的关键是要能发现其规律和拆分法的应用．
22．(1)甲种篮球的单价为元，乙种篮球的单价为元
(2)甲种篮球最多购买个
【分析】（1）设甲种篮球的单价为元，则乙种篮球的单价为元，根据“甲种篮球的单价比乙种篮球单价多元，且用元购买甲种篮球的个数与元购买乙种篮球的个数相同”，即可得出关于的分式方程，解之即可得出结论；
（2）设购买甲种篮球个，则购买乙种篮球个，根据总价单价数量结合总价不超过元，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其中最大整数值即可得出结论．
【详解】（1）解：设甲种篮球的单价为元，乙种篮球的单价为元，
依题意，得：
，
解得：
∴乙种篮球的单价为．
答：甲种篮球的单价为元，乙种篮球的单价为元．
（2）设购买甲种篮球个，则购买乙种篮球个，
依题意，得：，
解得：．
∵为整数，
∴的最大值为．
答：甲种篮球最多购买个．
【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，正确的列出方程与不等式是解题的关键．
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学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列关于x的方程是分式方程的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列是分式方程的是（ ）
A． B．
C． D．
3．解分式方程（ ）
A． B． C． D．
4．将关于x的分式方程去分母可得（ ）
A． B． C． D．
5．关于x的方程有增根，则k的值是（ ）
A．0 B．3 C．2 D．
6．如果关于x的分式方程有负分数解，且关于x的不等式组的解集为，则符合条件的所有整数a的积是（ ）
A．9 B．3 C．0 D．
7．若关于x的分式方程有无解，则m的值为（ ）
A． B．2 C． D．4
8．若关于x的分式方程有增根，则这个增根是（ ）
A． B． C． D．
9．长丰县2023年第一季度生产总值（GDP）以15.1%的增速领跑合肥各区县，其中工业增速为35.9%最为抢眼．现有甲工厂加工200个零件与乙工厂加工300个零件所用时间相同，若乙工厂每小时比甲工厂多加工20个零件，求两工厂的零件加工效率？设甲工厂的零件加工效率为x个/小时，依题意列方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
10．某校学生去距离学校的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍，汽车的速度是（ ）．
A． B． C． D．
二、填空题
11． （填“是”或“不是”）方程的解.
12．化分式方程为整式方程时，方程两边同乘的最简公分母为 ．
13．已知关于x的方程有增根，则m的值为 ．
14．某班学生周末乘汽车到游览区游览，游览区距学校．一部分学生乘慢车先行，出发后，另一部分学生乘快车前往，结果他们同时到达游览区．已知快车的速度是慢车速度的倍，求慢车的速度？设慢车的速度为，则可列方程为 ．
15．现有形状、大小、库存货物完全相同的，两个仓库，已知甲、乙两人合作搬运完仓库需要小时，乙、丙两人合作搬运完仓库需要小时．现由乙先与甲合作搬运仓库，同时丙在独立搬运仓库，小时后，乙停止搬运进行休息，乙休息小时立即到仓库和丙一起搬运，若搬运完，两个仓库各用了小时，则 ．
三、解答题
16．解分式方程：
(1)
(2)
17．计算下列各题．
(1)解不等式组：；
(2)解方程：；
(3)先化简，再求值：，其中．
18．解方程：．
19．关于x的方程有增根，则增根是多少？并求方程产生增根时m的值．
20．某书店老板去图书批发市场购置某种图书，第一次用1200元购书若干本，并按该书定价7元出售，很快售完．由于该书畅销，第二次购书时，每本书的批发价已比第一次提高了，他用1500元所购该书的数量比第一次多10本，当按定价售出200本时，出现滞销，便以定价的4折售完剩余的书．求该老板在这两次售书中共盈利多少元？
21．先观察下列等式，然后用你发现的规律解答下列问题．
，，，…
(1) ．
(2)探究 ．（用含有n的式子表示）
(3)若的值为，求n的值．
22．某学校为丰富大课间的体育活动，决定购买甲、乙两种型号的篮球．购买时发现，甲种篮球的单价比乙种篮球单价多元，且用元购买甲种篮球的个数与元购买乙种篮球的个数相同．
(1)求甲、乙两种篮球的单价各是多少元？
(2)学校准备购买甲、乙两种篮球共个，且购买的总费用不超过元，求最多可以购买多少个甲种篮球
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参考答案：
1．C
【分析】由分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫分式方程．根据定义结合选项即可求解．
【详解】解：选项A、B、D是整式方程，不符合题意；
选项C，是分式方程，符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查分式方程的定义，熟练掌握分式方程的定义是解题的关键．
2．D
【分析】根据分母中含有未知数的方程叫做分式方程，对每个选项进行判断，找出是等式，且分母含有未知数的方程，即可得解．
【详解】解：A、是一个代数式，不是方程，所以A不是分式方程；
B、是一元一次方程，是整式方程，所以B不是分式方程；
C、是一元一次方程，是整式方程，所以C不是分式方程；
D、分母含有未知数，所以D是分式方程；
故选：D．
【点睛】本题考查分式方程的定义，正确理解分式方程的概念是解题的关键．
3．A
【分析】按照去分母，移项，合并同类项的步骤解方程，然后检验即可．
【详解】解：，
去分母得：，
移项合并得：，
经检验，是分式方程的解．
．
故选：．
【点睛】本题考查解分式方程，解题的关键是熟练运用分式方程的解法，注意解分式方程最后一定要检验．
4．A
【分析】方程两边都乘以，从而可得答案．
【详解】解：∵，
去分母得：，
整理得：，
故选A．
【点睛】本题考查的是分式方程的解法，熟练的把分式方程化为整式方程是解本题的关键．
5．B
【分析】先去分母，再将增根代入，求解即可．
【详解】解：去分母，得，
将增根代入，
得，
解得，
故选：B．
【点睛】本题考查了分式方程的增根，熟练掌握分式方程增根的含义是解题的关键．
6．A
【分析】分别解不等式组中的两个不等式，把a看作已知数表示出不等式的解集，根据不等式组已知解集确定出a的取值范围，分式方程去分母转化为整式方程，将a的范围中的整数值代入整式方程，检验分式方程解为负分数确定出所有a的值，即可求出之积．
【详解】解，
由①得，，
由②得，，
∵不等式组的解集为，
∴，即，
分式方程去分母得：，
把代入整式方程得，符合题意；
把代入整式方程得，不合题意；
把代入整式方程得，符合题意；
把代入整式方程得，不合题意；
把代入整式方程得，符合题意；
把代入整式方程得，不合题意；
把代入整式方程得，符合题意；
∴符合条件的整数a取值为，，1，3，它们的积为9，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，解分式方程．熟练掌握一元一次不等式组解集的四种情况，分式方程的解是负分数，是解决本题的关键．
7．A
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解确定出m的值即可．
【详解】解：去分母得：，
移项、合并同类项得：，
∵分式方程无解，
∴，解得：，
∴，解得：，
故选：A．
【点睛】本题考查了分式方程的解，弄清分式方程无解的条件是解本题的关键．
8．A
【分析】由分式方程有增根，确定最简公分母为0，从而求解．
【详解】解：原分式方程有增根，
，
解得：，
故选：A．
【点睛】此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
9．B
【分析】根据题意设出甲工厂的零件加工效率为x个/小时，则乙工厂的零件加工效率为个/小时，根据时间=工作量÷工作效率，以甲工厂加工200个零件与乙工厂加工300个零件所用时间相同，列出分式方程即可．
【详解】解：设出甲工厂的零件加工效率为x个/小时，则乙工厂的零件加工效率为个/小时，根据题意，得
故选：B．
【点睛】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
10．D
【分析】设骑车学生的速度为，则汽车的速度为，根据题意可得，乘坐汽车比骑自行车少用,据此列分式方程求解．
【详解】解：设骑车学生的速度为，则汽车的速度为，
由题意得：，
解得：，
经检验：是原方程的解，且符合题意，
所以，骑车学生的速度为．
∴汽车的速度为
故选：D．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解，注意检验．
11．是
【分析】把代入方程的左边，判断等式是否仍然成立即可．
【详解】解：把代入方程
左边，
右边
左边=右边
所以是方程的解
故答案为：是
【点睛】本题考查方程的解，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
12．
【分析】根据最简公分母的定义即可得出答案．
【详解】解：∵，
∴，
方程两边同乘的最简公分母为 ．
故答案为：．
【点睛】本题考查了解分式方程，最简公分母，要注意：通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母，掌握最简公分母是解题的关键．
13．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，确定出的值即可．
【详解】解：去分母得：，
即，由分式方程有增根，
得到，
解得： ，
故答案为：．
【点睛】本题目考查了解分式方程，掌握解分式方程的步骤，增根的定义是解题的关键．
14．
【分析】设慢车的速度为，则快车的速度是，再根据题意列出方程即可．
【详解】解：设慢车的速度为，则快车的速度为，根据题意可得：
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，准确分析条件、找到等量关系是解题的关键．
15．
【分析】可设单独搬运甲需要小时，乙需要小时，丙需要小时，根据等量关系：甲、乙两人合作搬运完仓库需要小时；乙、丙两人合作搬运完仓库需要小时；搬运完、两个仓库各用了小时；列出方程组求解即可．
【详解】解：设单独搬运甲需要小时，乙需要小时，丙需要小时，依题意有
①③得⑤，
②④得⑥，
联立⑤⑥得，
经检验得，n，y的值是原方程组的解，
∴n的值为6.
故答案为：6．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，根据题意列出方程组是解题的关键．
16．(1)
(2)无解
【分析】（1）去分母化为整式方程，解之，检验可得结果．
（2）去分母化为整式方程，解之，检验可得结果，注意不要漏乘．
【详解】（1）解：，
去分母得：，
解得：，
检验：将代入，
所以是原分式方程的解；
（2）
去分母得：，
解得：，
检验：当时，，
∴是增根，原方程无解．
【点睛】本题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解，注意要验根．
17．(1)
(2)
(3)，
【分析】（1）求出每个不等式的解集，即可得到不等式组的解集；
（2）根据分式方程的解法，解分式方程并检验即可；
（3）根据分式的混合运算的法则，即可求解．
【详解】（1）解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集是；
（2），
方程整理得：
去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：，
检验：当，最简公分母，
∴是原分式方程的解
（3）
当时，
原式
【点睛】本题考查解不等式组，解分式方程，分式的混合运算，解题的关键是掌握相应的运算法则，正确计算．
18．
【分析】先将方程转化为整式方程进行求解，再检验即可．
【详解】解：
方程两边同时乘以最简公分母，
得，
展开，得，
解方程，得，
检验：当时，.
所以，原方程的根是．
【点睛】本题考查解分式方程，解分式方程要记得检验．
19．原方程的增根是或.当时，；当时，.
【分析】令最简公分母为0，即可求得增根，把分式方程化为整式方程，将增根分别代入求解即可.
【详解】解：∵原方程有增根，
∴增根必定使最简公分母，
∴或是原方程的增根．
给原方程两边同乘，可得：.
当时，，解得；
当时，，解得.
综上所述，原方程的增根是或.当时，；当时，.
【点睛】本题主要考查了解分式方程、增根等知识点，理解增根的意义和解分式方程的基本步骤是解答本题的关键．
20．该老板两次共赚520元
【分析】设该书第一次购进价为x元，根据第二次购书时，每本书的批发价已比第一次提高了，他用1500元所购该书的数量比第一次多10本列出方程求出第一次的购进价，进而求出第二次的购进价，再分别求出两次的利润即可得到答案．
【详解】解：设该书第一次购进价为x元，
由题意得， ，
解得：，
经检验是原方程的根
∴，
第一次购书（本）
第二次购书（本）
第一次赚钱（元）
第二次赚钱（元）
（元）
答：该老板两次共赚520元．
【点睛】本题主要考查了分式方程的实际应用，正确理解题意找到等量关系列出方程是解题的关键．
21．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据题意得到规律，据此求解即可；
（2）利用（1）的规律将各分数进行分解，进而化简求出答案；
（3）仿照题意可得，进而分解各数，即可求解．
【详解】（1）解：，
，
，
……
以此类推可得，
∴
，
故答案为：；
（2）解：
；
故答案为：；
（3）解：
．
∵的值为，
∴，
∴，
经检验，是原方程的解
∴．
【点睛】本题主要考查了学生通过特例分析从而归纳总结出一般结论的能力，解题的关键是要能发现其规律和拆分法的应用．
22．(1)甲种篮球的单价为元，乙种篮球的单价为元
(2)甲种篮球最多购买个
【分析】（1）设甲种篮球的单价为元，则乙种篮球的单价为元，根据“甲种篮球的单价比乙种篮球单价多元，且用元购买甲种篮球的个数与元购买乙种篮球的个数相同”，即可得出关于的分式方程，解之即可得出结论；
（2）设购买甲种篮球个，则购买乙种篮球个，根据总价单价数量结合总价不超过元，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其中最大整数值即可得出结论．
【详解】（1）解：设甲种篮球的单价为元，乙种篮球的单价为元，
依题意，得：
，
解得：
∴乙种篮球的单价为．
答：甲种篮球的单价为元，乙种篮球的单价为元．
（2）设购买甲种篮球个，则购买乙种篮球个，
依题意，得：，
解得：．
∵为整数，
∴的最大值为．
答：甲种篮球最多购买个．
【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，正确的列出方程与不等式是解题的关键．
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