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广东省中山市2022-2023学年高二下学期期末数学试题
一、单选题
1．某校为了研究学生的性别和对待某一活动的态度（支持与不支持）的关系，运用2×2列联表进行独立性检验．经计算，则所得到的统计学结论是：有（ ）的把握认为“学生性别与支持该活动有关系”．
0.100 0.050 0.025 0.010 0.001
2.706 3.841 5.024 6.635 10.828
A．2.5% B．1% C．97.5% D．99%
2．要判断成对数据的线性相关程度的强弱，可以通过比较它们的样本相关系数r的大小，以下是四组数据的相关系数的值，则线性相关最强的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023高二下·洛阳期中）6名同学排成一排，其中甲、乙、丙三人必须在一起的不同排法共有（ ）
A．36种 B．72种 C．144种 D．720种
4．下列求导数计算错误的是（ ）
A． B．
C． D．
5．一个盒子里装有大小相同的4个黑球和3个白球，从中不放回地取出3个球，则白球个数的数学期望是（ ）
A． B． C． D．
6．（2022高二下·无锡期末）已知随机变量服从正态分布，有下列四个命题：
甲： 乙：
丙： 丁：
若这四个命题中有且只有一个是假命题，则该假命题为（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
7．（2022高二下·泰兴期末）设，分别为等比数列，的前项和．若（，为常数），则（ ）
A． B． C． D．
8．下列关于数列的判断中正确的是（ ）
A．对一切都有
B．对一切都有
C．对一切都有，且存在使
D．对一切都有，且存在使
二、多选题
9．函数的导函数的图象如图所示，则（ ）
A．为函数的零点 B．为函数的极小值点
C．函数在上单调递减 D．是函数的最小值
10．已知，则（ ）
A． B． C． D．
11．已知等差数列的前n项和为，公差，则下列数列一定递增的是（ ）
A． B． C． D．
12．（2022高二下·泰州期末）设，下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．在，，…，中，最大
三、填空题
13．已知离散型随机变量X服从两点分布，且，则随机变量X的方差为 ．
14．某人投篮命中的概率为0.3，投篮15次，最有可能命中 次．
15．若函数在区间上最大值为，最小值为，则实数 ．
四、双空题
16．杨辉三角在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中被记载，它的开头几行如图所示，它包含了很多有趣的组合数性质，如果将杨辉三角从第1行开始的每一个数都换成分数，得到的三角形称为“莱布尼茨三角形”，莱布尼茨由它得到了很多定理，甚至影响到了微积分的创立，则“莱布尼茨三角形”第8行第5个数是 ；若，则 (用含n的代数式作答).
五、解答题
17．（2023高二下·太原期中）在的展开式中，前三项的二项式系数之和等于79.
（1）求的值；
（2）若展开式中的常数项为，求的值.
18．已知函数.
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）证明：.
19．已知各项均为正数的等比数列满足，．
（1）求的通项公式；
（2）令，将数列与中的项合并在一起，按从小到大的顺序重新排列构成新数列，求的前50项的和．
20．“业务技能测试”是量化考核员工绩效等级的一项重要参考依据．某公司为量化考核员工绩效等级设计了两套测试方案，现各抽取100名员工参加两套测试方案的预测试，统计成绩（满分100分），得到如下频率分布表．
成绩频率
方案 0.02 0.11 0.22 0.30 0.24 0.08 0.03
方案 0.16 0.18 0.34 0.10 0.10 0.08 0.04
参考公式与数据：（1）．（2）线性回归方程中，．（3）若随机变量，则，，．
（1）从预测试成绩在的员工中随机抽取3人，求恰有1人参加测试方案的概率；
（2）由于方案的预测试成绩更接近正态分布，该公司选择方案进行业务技能测试．测试后，公司统计了若干部门测试的平均成绩与绩效等级优秀率，如下表所示：
32 41 54 68 74 80 92
0.28 0.34 0.44 0.58 0.66 0.74 0.94
根据数据绘制散点图，初步判断，选用作为回归方程．令，经计算得，．
（ⅰ）若某部门测试的平均成绩为60，则其绩效等级优秀率的预报值为多少？
（ⅱ）根据统计分析，大致认为各部门测试平均成绩，其中近似为样本平均数近似为样本方差，求某个部门绩效等级优秀率不低于0.78的概率为多少？
21．（2022高三上·河南月考）根据社会人口学研究发现，一个家庭有个孩子的概率模型为：
1 2 3 0
概率
其中.每个孩子的性别是男孩还是女孩的概率均为且相互独立，事件表示一个家庭有个孩子，事件表示一个家庭的男孩比女孩多（例如：一个家庭恰有一个男孩，则该家庭男孩多）.
（1）若，求和；
（2）为了调控未来人口结构，其中参数受到各种因素的影响（例如生育保险的增加，教育 医疗福利的增加等）.
①若希望增大，如何调控的值？
②是否存在的值使得，请说明理由.
22．已知函数.
（1）当时，求的极值；
（2）当时，证明：存在唯一极值点，且.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】独立性检验的应用
【解析】【解答】因为，所以有97.5%的把握认为“学生性别与支持该活动有关系“.
故答案为：C.
【分析】根据独立性检验的思想分析判断.
2．【答案】A
【知识点】相关系数
【解析】【解答】因为越接近于1，线性相关性相关性越强，
可知最接近于1，所以线性相关最强的是.
故答案为：A.
【分析】根据相关系数的性质分析判断.
3．【答案】C
【知识点】分步乘法计数原理；排列、组合及简单计数问题
【解析】【解答】甲、乙、丙三人在一起，有种不同的排法，
把甲、乙、丙看成一个整体，与其余的3个人混排，共有种不同的排法，
故共有种，
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合排列数公式和分步乘法计数原理，进而得出甲、乙、丙三人必须在一起的不同排法种数。
4．【答案】B
【知识点】导数的乘法与除法法则；简单复合函数的导数
【解析】【解答】对A：，故A正确；
对B：，故B错误；
对C：，故C正确；
对D：，故D正确；
故答案为：B.
【分析】根据基本初等函数的导函数结合导数的运算法则逐项分析判断.
5．【答案】B
【知识点】超几何分布
【解析】【解答】根据超几何分布可知：白球个数的数学期望是.
故答案为：B.
【分析】根据超几何分布的期望直接运算求解.
6．【答案】D
【知识点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义
【解析】【解答】首先甲、乙中至少有一个正确，因此是的均值，从而甲乙两个均正确，
，丙正确，
而，丁错误．
故答案为：D．
【分析】利用随机变量服从正态分布，再结合正态分布对应的函数的对称性，再利用概率的应用和命题真假性判断方法，进而找出假命题的选项。
7．【答案】C
【知识点】等比数列的性质
【解析】【解答】由题意，
设
则
故答案为：C
【分析】设，则，，求解即可.
8．【答案】A
【知识点】利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用
【解析】【解答】构建函数，
则，
令，
则当时恒成立，
可知在上单调递减，可得，
所以在上单调递减，
则在上单调递减，可得在上单调递增，
故数列 为递增数列，
构建，则当时恒成立，
可知在上单调递减，可得，
可得，即，
所以，可得，
综上所述： 对一切都有.
故答案为：A.
【分析】构建，利用导数判断其单调性，进而可得数列 为递增数列，再构建，结合导数可得，即可得结果.
9．【答案】B,C
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；导数在最大值、最小值问题中的应用
【解析】【解答】由的图象可知：当或时，；当或时，；
可得在上单调递减，在上单调递增，
所以为函数的极小值点，为函数的极大值点，
无法判断函数的零点和最值，故A、D正确；B、C无法判断.
故答案为：BC.
【分析】根据导数判断原函数的单调性，进而分析极值.
10．【答案】B,C,D
【知识点】互斥事件与对立事件；相互独立事件的概率乘法公式；条件概率与独立事件
【解析】【解答】对A：因为，
可得，故A错误；
对B：因为，故B正确；
对C：因为，则，故C正确；
对D：，故D错误；
故答案为：BCD.
【分析】根据题意利用对立事件概率求法以及条件概率公式逐项分析判断ABC；根据和事件的概率判断D.
11．【答案】A,D
【知识点】数列的函数特性；等差数列的前n项和；等差数列与一次函数的关系
【解析】【解答】由题意可设：，其中，
对A：因为，且，所以为递增数列，故A正确；
B：因为，虽然，开口向上，但不确定的范围，所以无法判断单调性，故B错误；
C：因为，但不确定的范围，所以无法判断单调性，故C错误；
D：因为，且，所以为递增数列，故D正确；
故答案为：AD.
【分析】根据等差数列的通项公式和求和公式
12．【答案】A,B,D
【知识点】二项式系数的性质；二项式定理的应用
【解析】【解答】令，所以①，
令，所以②，
所以①②得：，
所以，所以A符合题意；
，
则的通项公式为：
所以令，则，所以，
令，则，所以，
所以，B符合题意；
对两边同时求导，
则，
令，所以，所以C不符合题意；
由的通项公式，知为正，为负，
所以，，
在，，…，中，最大，所以D符合题意.
故答案为：ABD.
【分析】利用已知条件结合二项式定理求出展开式中的通项公式，再利用赋值法和求和法，再结合最值求解方法，进而找出结论正确的选项。
13．【答案】
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】由题意可得：，解得，
所以随机变量X的方差为.
故答案为：.
【分析】根据题意列式求解，再代入两点分布的方差公式运算求解.
14．【答案】4
【知识点】二项分布与n次独立重复试验的模型
【解析】【解答】设命中次数为，则，
可得，
令，即，
解得，且，所以，
即当时，命中的概率最大，最可能出现.
故答案为：4.
【分析】根据二项分布的概率公式，令，解不等式即可得结果.
15．【答案】
【知识点】导数的加法与减法法则；导数的乘法与除法法则；利用导数求闭区间上函数的最值
【解析】【解答】因为，
令，解得；令，解得；
则在上单调递减，在上单调递增，
且，
可得函数在区间上最大值为，最小值为，
所以.
故答案为：.
【分析】求导，利用导数判断原函数单调性，进而可得最值，运算求解即可.
16．【答案】；
【知识点】组合及组合数公式
【解析】【解答】空1：由题意可知：“莱布尼茨三角形”第8行第5个数是；
空2：因为，
可得，，，
相加可得 ，
即 ，所以.
故答案为：；.
【分析】空1：根据题意直接运算求解即可；空2：根据题意结合组合数可得，利用累加法运算求解.
17．【答案】（1）解：因为前三项的二项式系数之和等于79，所以，
解得或.因为，所以.
（2）解：设的通项为，
所以当时，，
此时，常数项为，解得.
【知识点】二项式定理；二项式系数的性质
【解析】【分析】(1)由题意得 ， 从而可求出 的值；
(2)由已知先求出展开式的通项，结合已知常数项即可求解出 的值.
18．【答案】（1）解：，，又，
所求切线方程为：.
（2）证明：设，则定义域为，，
令，则，
在上单调递增，又，
当时，；当时，；
在上单调递减，在上单调递增，，
即.
【知识点】导数的几何意义；导数的加法与减法法则；导数的乘法与除法法则；利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用
【解析】【分析】 (1) 求导，结合导数的几何意义运算求解；
(2) 构建，利用导数判断的单调性和最值，进而可得结果.
19．【答案】（1）解：设等比数列的公比为q，由题意得，
因为等比数列中，，所以，又，解得，
所以，即的通项公式为．
（2）解：由（1）知，
因为，，
所以的前50项是由的前5项与的前45项组成，
记的前50项的和为，则
．
所以的前50项的和为3181．
【知识点】等差数列的前n项和；等比数列的通项公式；等比数列的前n项和；数列的求和
【解析】【分析】 (1) 根据题意列式可求得公比，进而可得结果；
(2) 由（1）可知，分析可得的前50项是由的前5项与的前45项组成，利用分组求和运算求解.
20．【答案】（1）解：由图表可得方案测试成绩在的员工的有人，
方案测试成绩在的员工的有人，
所以从预测试成绩在的员工中随机抽取3人，求恰有1人参加测试方案的概率.
（2）解：（ⅰ）由题意两边取对数得，即，
根据所给公式可得，
又因为，，
所以，即，
故，当时，，
即若某部门测试的平均成绩为60，则其绩效等级优秀率的预报值为.
（ⅱ）由（ⅰ）及参考数据可得，，
由即可得，解得，
又，，
由正态分布的性质得，
即绩效等级优秀率不低于0.78的概率为0.1587.
【知识点】线性回归方程；古典概型及其概率计算公式；正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义；排列、组合及简单计数问题
【解析】【分析】 (1) 根据题意求各区间的人数，结合超几何分布运算求解；
(2)（ⅰ） 根据题意整理可得，结合题中数据和公式运算求解；
（ⅱ） 根据题意分析可得：，结合正态分布的性质运算求解.
21．【答案】（1）解：由题意得：，
所以，
．
由全概率公式，得
，又，则；
（2）解：①由，得，
记，，则，
记，则，
故在单调递减．
∵，∴，∴，在单调递减．
因此增加p的取值，会减小，增大，即增大．
②假设存在p使，又，
将上述两式相乘，得，
化简得，，
设，则，
则在单调递减，在单调递增，的最小值为，
∴不存在使得．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值；条件概率与独立事件；全概率公式
【解析】【分析】 (1)根据条件概率计算方法求出 ，再根据 ， 即可计算求出 和；
(2)①根据分布列的概率和为1得到 与p的关系，构造函数 ，利用导数判断其单调性，求出其f(p)单调性，从而可判断P(X=2)=a的单调性，从而求出 的值 ；
②根据分布列概率和为1及 列出关于p的方程，判断方程是否有解即可得不存在使得．
22．【答案】（1）解：当时，，所以，
又 在上递增，且，所以当时，；
当时，，所以在上递增，在上递减.
又，所以的极小值为0，无极大值.
（2）证明：的定义域为，，
当时，由（1）知， 则，
当时，单调递增，且，，
设，则， 故在单调递减， 即， 所以，
根据零点存在性定理， 知存在唯一的零点.，
此时，
，
设，，
所以在单调递增，， 故 ，
当时，单调递增， 且，
， 设，
时，在单调递减，
∴即，∴，
根据零点存在性定理， 存在唯一的零点，
此时有，
由， 可得：，
所以时， ，
综上， 当时，存在唯一极值点，为极小值点，且
【知识点】导数的加法与减法法则；导数的乘法与除法法则；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；函数零点的判定定理
【解析】【分析】 (1) ，求导，利用导数判断原函数的单调性和最值；
(2) 求导，分、、三种情况，利用导数判断单调性，根据零点存在性定理结合零点代换分析证明.
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广东省中山市2022-2023学年高二下学期期末数学试题
一、单选题
1．某校为了研究学生的性别和对待某一活动的态度（支持与不支持）的关系，运用2×2列联表进行独立性检验．经计算，则所得到的统计学结论是：有（ ）的把握认为“学生性别与支持该活动有关系”．
0.100 0.050 0.025 0.010 0.001
2.706 3.841 5.024 6.635 10.828
A．2.5% B．1% C．97.5% D．99%
【答案】C
【知识点】独立性检验的应用
【解析】【解答】因为，所以有97.5%的把握认为“学生性别与支持该活动有关系“.
故答案为：C.
【分析】根据独立性检验的思想分析判断.
2．要判断成对数据的线性相关程度的强弱，可以通过比较它们的样本相关系数r的大小，以下是四组数据的相关系数的值，则线性相关最强的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】相关系数
【解析】【解答】因为越接近于1，线性相关性相关性越强，
可知最接近于1，所以线性相关最强的是.
故答案为：A.
【分析】根据相关系数的性质分析判断.
3．（2023高二下·洛阳期中）6名同学排成一排，其中甲、乙、丙三人必须在一起的不同排法共有（ ）
A．36种 B．72种 C．144种 D．720种
【答案】C
【知识点】分步乘法计数原理；排列、组合及简单计数问题
【解析】【解答】甲、乙、丙三人在一起，有种不同的排法，
把甲、乙、丙看成一个整体，与其余的3个人混排，共有种不同的排法，
故共有种，
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合排列数公式和分步乘法计数原理，进而得出甲、乙、丙三人必须在一起的不同排法种数。
4．下列求导数计算错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】导数的乘法与除法法则；简单复合函数的导数
【解析】【解答】对A：，故A正确；
对B：，故B错误；
对C：，故C正确；
对D：，故D正确；
故答案为：B.
【分析】根据基本初等函数的导函数结合导数的运算法则逐项分析判断.
5．一个盒子里装有大小相同的4个黑球和3个白球，从中不放回地取出3个球，则白球个数的数学期望是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】超几何分布
【解析】【解答】根据超几何分布可知：白球个数的数学期望是.
故答案为：B.
【分析】根据超几何分布的期望直接运算求解.
6．（2022高二下·无锡期末）已知随机变量服从正态分布，有下列四个命题：
甲： 乙：
丙： 丁：
若这四个命题中有且只有一个是假命题，则该假命题为（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】D
【知识点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义
【解析】【解答】首先甲、乙中至少有一个正确，因此是的均值，从而甲乙两个均正确，
，丙正确，
而，丁错误．
故答案为：D．
【分析】利用随机变量服从正态分布，再结合正态分布对应的函数的对称性，再利用概率的应用和命题真假性判断方法，进而找出假命题的选项。
7．（2022高二下·泰兴期末）设，分别为等比数列，的前项和．若（，为常数），则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】等比数列的性质
【解析】【解答】由题意，
设
则
故答案为：C
【分析】设，则，，求解即可.
8．下列关于数列的判断中正确的是（ ）
A．对一切都有
B．对一切都有
C．对一切都有，且存在使
D．对一切都有，且存在使
【答案】A
【知识点】利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用
【解析】【解答】构建函数，
则，
令，
则当时恒成立，
可知在上单调递减，可得，
所以在上单调递减，
则在上单调递减，可得在上单调递增，
故数列 为递增数列，
构建，则当时恒成立，
可知在上单调递减，可得，
可得，即，
所以，可得，
综上所述： 对一切都有.
故答案为：A.
【分析】构建，利用导数判断其单调性，进而可得数列 为递增数列，再构建，结合导数可得，即可得结果.
二、多选题
9．函数的导函数的图象如图所示，则（ ）
A．为函数的零点 B．为函数的极小值点
C．函数在上单调递减 D．是函数的最小值
【答案】B,C
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；导数在最大值、最小值问题中的应用
【解析】【解答】由的图象可知：当或时，；当或时，；
可得在上单调递减，在上单调递增，
所以为函数的极小值点，为函数的极大值点，
无法判断函数的零点和最值，故A、D正确；B、C无法判断.
故答案为：BC.
【分析】根据导数判断原函数的单调性，进而分析极值.
10．已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B,C,D
【知识点】互斥事件与对立事件；相互独立事件的概率乘法公式；条件概率与独立事件
【解析】【解答】对A：因为，
可得，故A错误；
对B：因为，故B正确；
对C：因为，则，故C正确；
对D：，故D错误；
故答案为：BCD.
【分析】根据题意利用对立事件概率求法以及条件概率公式逐项分析判断ABC；根据和事件的概率判断D.
11．已知等差数列的前n项和为，公差，则下列数列一定递增的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A,D
【知识点】数列的函数特性；等差数列的前n项和；等差数列与一次函数的关系
【解析】【解答】由题意可设：，其中，
对A：因为，且，所以为递增数列，故A正确；
B：因为，虽然，开口向上，但不确定的范围，所以无法判断单调性，故B错误；
C：因为，但不确定的范围，所以无法判断单调性，故C错误；
D：因为，且，所以为递增数列，故D正确；
故答案为：AD.
【分析】根据等差数列的通项公式和求和公式
12．（2022高二下·泰州期末）设，下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．在，，…，中，最大
【答案】A,B,D
【知识点】二项式系数的性质；二项式定理的应用
【解析】【解答】令，所以①，
令，所以②，
所以①②得：，
所以，所以A符合题意；
，
则的通项公式为：
所以令，则，所以，
令，则，所以，
所以，B符合题意；
对两边同时求导，
则，
令，所以，所以C不符合题意；
由的通项公式，知为正，为负，
所以，，
在，，…，中，最大，所以D符合题意.
故答案为：ABD.
【分析】利用已知条件结合二项式定理求出展开式中的通项公式，再利用赋值法和求和法，再结合最值求解方法，进而找出结论正确的选项。
三、填空题
13．已知离散型随机变量X服从两点分布，且，则随机变量X的方差为 ．
【答案】
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】由题意可得：，解得，
所以随机变量X的方差为.
故答案为：.
【分析】根据题意列式求解，再代入两点分布的方差公式运算求解.
14．某人投篮命中的概率为0.3，投篮15次，最有可能命中 次．
【答案】4
【知识点】二项分布与n次独立重复试验的模型
【解析】【解答】设命中次数为，则，
可得，
令，即，
解得，且，所以，
即当时，命中的概率最大，最可能出现.
故答案为：4.
【分析】根据二项分布的概率公式，令，解不等式即可得结果.
15．若函数在区间上最大值为，最小值为，则实数 ．
【答案】
【知识点】导数的加法与减法法则；导数的乘法与除法法则；利用导数求闭区间上函数的最值
【解析】【解答】因为，
令，解得；令，解得；
则在上单调递减，在上单调递增，
且，
可得函数在区间上最大值为，最小值为，
所以.
故答案为：.
【分析】求导，利用导数判断原函数单调性，进而可得最值，运算求解即可.
四、双空题
16．杨辉三角在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中被记载，它的开头几行如图所示，它包含了很多有趣的组合数性质，如果将杨辉三角从第1行开始的每一个数都换成分数，得到的三角形称为“莱布尼茨三角形”，莱布尼茨由它得到了很多定理，甚至影响到了微积分的创立，则“莱布尼茨三角形”第8行第5个数是 ；若，则 (用含n的代数式作答).
【答案】；
【知识点】组合及组合数公式
【解析】【解答】空1：由题意可知：“莱布尼茨三角形”第8行第5个数是；
空2：因为，
可得，，，
相加可得 ，
即 ，所以.
故答案为：；.
【分析】空1：根据题意直接运算求解即可；空2：根据题意结合组合数可得，利用累加法运算求解.
五、解答题
17．（2023高二下·太原期中）在的展开式中，前三项的二项式系数之和等于79.
（1）求的值；
（2）若展开式中的常数项为，求的值.
【答案】（1）解：因为前三项的二项式系数之和等于79，所以，
解得或.因为，所以.
（2）解：设的通项为，
所以当时，，
此时，常数项为，解得.
【知识点】二项式定理；二项式系数的性质
【解析】【分析】(1)由题意得 ， 从而可求出 的值；
(2)由已知先求出展开式的通项，结合已知常数项即可求解出 的值.
18．已知函数.
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）证明：.
【答案】（1）解：，，又，
所求切线方程为：.
（2）证明：设，则定义域为，，
令，则，
在上单调递增，又，
当时，；当时，；
在上单调递减，在上单调递增，，
即.
【知识点】导数的几何意义；导数的加法与减法法则；导数的乘法与除法法则；利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用
【解析】【分析】 (1) 求导，结合导数的几何意义运算求解；
(2) 构建，利用导数判断的单调性和最值，进而可得结果.
19．已知各项均为正数的等比数列满足，．
（1）求的通项公式；
（2）令，将数列与中的项合并在一起，按从小到大的顺序重新排列构成新数列，求的前50项的和．
【答案】（1）解：设等比数列的公比为q，由题意得，
因为等比数列中，，所以，又，解得，
所以，即的通项公式为．
（2）解：由（1）知，
因为，，
所以的前50项是由的前5项与的前45项组成，
记的前50项的和为，则
．
所以的前50项的和为3181．
【知识点】等差数列的前n项和；等比数列的通项公式；等比数列的前n项和；数列的求和
【解析】【分析】 (1) 根据题意列式可求得公比，进而可得结果；
(2) 由（1）可知，分析可得的前50项是由的前5项与的前45项组成，利用分组求和运算求解.
20．“业务技能测试”是量化考核员工绩效等级的一项重要参考依据．某公司为量化考核员工绩效等级设计了两套测试方案，现各抽取100名员工参加两套测试方案的预测试，统计成绩（满分100分），得到如下频率分布表．
成绩频率
方案 0.02 0.11 0.22 0.30 0.24 0.08 0.03
方案 0.16 0.18 0.34 0.10 0.10 0.08 0.04
参考公式与数据：（1）．（2）线性回归方程中，．（3）若随机变量，则，，．
（1）从预测试成绩在的员工中随机抽取3人，求恰有1人参加测试方案的概率；
（2）由于方案的预测试成绩更接近正态分布，该公司选择方案进行业务技能测试．测试后，公司统计了若干部门测试的平均成绩与绩效等级优秀率，如下表所示：
32 41 54 68 74 80 92
0.28 0.34 0.44 0.58 0.66 0.74 0.94
根据数据绘制散点图，初步判断，选用作为回归方程．令，经计算得，．
（ⅰ）若某部门测试的平均成绩为60，则其绩效等级优秀率的预报值为多少？
（ⅱ）根据统计分析，大致认为各部门测试平均成绩，其中近似为样本平均数近似为样本方差，求某个部门绩效等级优秀率不低于0.78的概率为多少？
【答案】（1）解：由图表可得方案测试成绩在的员工的有人，
方案测试成绩在的员工的有人，
所以从预测试成绩在的员工中随机抽取3人，求恰有1人参加测试方案的概率.
（2）解：（ⅰ）由题意两边取对数得，即，
根据所给公式可得，
又因为，，
所以，即，
故，当时，，
即若某部门测试的平均成绩为60，则其绩效等级优秀率的预报值为.
（ⅱ）由（ⅰ）及参考数据可得，，
由即可得，解得，
又，，
由正态分布的性质得，
即绩效等级优秀率不低于0.78的概率为0.1587.
【知识点】线性回归方程；古典概型及其概率计算公式；正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义；排列、组合及简单计数问题
【解析】【分析】 (1) 根据题意求各区间的人数，结合超几何分布运算求解；
(2)（ⅰ） 根据题意整理可得，结合题中数据和公式运算求解；
（ⅱ） 根据题意分析可得：，结合正态分布的性质运算求解.
21．（2022高三上·河南月考）根据社会人口学研究发现，一个家庭有个孩子的概率模型为：
1 2 3 0
概率
其中.每个孩子的性别是男孩还是女孩的概率均为且相互独立，事件表示一个家庭有个孩子，事件表示一个家庭的男孩比女孩多（例如：一个家庭恰有一个男孩，则该家庭男孩多）.
（1）若，求和；
（2）为了调控未来人口结构，其中参数受到各种因素的影响（例如生育保险的增加，教育 医疗福利的增加等）.
①若希望增大，如何调控的值？
②是否存在的值使得，请说明理由.
【答案】（1）解：由题意得：，
所以，
．
由全概率公式，得
，又，则；
（2）解：①由，得，
记，，则，
记，则，
故在单调递减．
∵，∴，∴，在单调递减．
因此增加p的取值，会减小，增大，即增大．
②假设存在p使，又，
将上述两式相乘，得，
化简得，，
设，则，
则在单调递减，在单调递增，的最小值为，
∴不存在使得．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值；条件概率与独立事件；全概率公式
【解析】【分析】 (1)根据条件概率计算方法求出 ，再根据 ， 即可计算求出 和；
(2)①根据分布列的概率和为1得到 与p的关系，构造函数 ，利用导数判断其单调性，求出其f(p)单调性，从而可判断P(X=2)=a的单调性，从而求出 的值 ；
②根据分布列概率和为1及 列出关于p的方程，判断方程是否有解即可得不存在使得．
22．已知函数.
（1）当时，求的极值；
（2）当时，证明：存在唯一极值点，且.
【答案】（1）解：当时，，所以，
又 在上递增，且，所以当时，；
当时，，所以在上递增，在上递减.
又，所以的极小值为0，无极大值.
（2）证明：的定义域为，，
当时，由（1）知， 则，
当时，单调递增，且，，
设，则， 故在单调递减， 即， 所以，
根据零点存在性定理， 知存在唯一的零点.，
此时，
，
设，，
所以在单调递增，， 故 ，
当时，单调递增， 且，
， 设，
时，在单调递减，
∴即，∴，
根据零点存在性定理， 存在唯一的零点，
此时有，
由， 可得：，
所以时， ，
综上， 当时，存在唯一极值点，为极小值点，且
【知识点】导数的加法与减法法则；导数的乘法与除法法则；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；函数零点的判定定理
【解析】【分析】 (1) ，求导，利用导数判断原函数的单调性和最值；
(2) 求导，分、、三种情况，利用导数判断单调性，根据零点存在性定理结合零点代换分析证明.
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