第一章 有理数 2022-2023学年上学期北京市七年级数学期末试题选编（含解析）

第一章 有理数
一、单选题
1．（2022秋·北京昌平·七年级统考期末）下列四个数中，是负分数的为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022秋·北京延庆·七年级统考期末）有理数，在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022秋·北京海淀·七年级统考期末）已知点，在数轴上的位置如图所示，若点，分别表示数，，且满足，则下列各式的值一定是正数的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022秋·北京怀柔·七年级统考期末）有理数m、n在数轴上的位置如图所示，则下列关于，，，，的大小关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2022秋·北京门头沟·七年级统考期末）如图，下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2022秋·北京石景山·七年级校考期末）有理数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，这三个数中，绝对值最大的是（ ）
A．a B．b C．c D．不能确定
7．（2022秋·北京昌平·七年级统考期末）如图，数轴上A，B，C三个点所对应的数分别是a，b，c，点O为原点，且有，下列说法正确的是（ ）
①c为整数；②；③为非负数；④为负数；⑤为整数．
A．①② B．②③ C．②③⑤ D．③④⑤
8．（2022秋·北京大兴·七年级校联考期末）有理数a在数轴上的对应点的位置如图所示，则是（ ）
A．非负数 B．负数 C．正数 D．0
9．（2022秋·北京海淀·七年级校考期末）下列四个数中，最小的数是（　　）
A． B．0 C． D．
10．（2022秋·北京东城·七年级统考期末）的倒数是（ ）
A．3 B． C． D．
11．（2022秋·北京西城·七年级统考期末）有理数在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
12．（2022秋·北京朝阳·七年级统考期末）有理数在数轴上的对应点的位置如图所示．若，则下列结论一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
13．（2022秋·北京石景山·七年级校考期末）计算结果正确的是（ ）
A．2022 B． C．1 D．
14．（2022秋·北京朝阳·七年级统考期末）党的二十大报告中指出，我国全社会研发经费支出达二万八千亿元，居世界第二位．“二万八千亿”用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
15．（2022秋·北京顺义·七年级统考期末）如果收入10元记作元，那么支出10元记作 ．
16．（2022秋·北京石景山·七年级统考期末）某食品包装盒上标有“净含量”，则这盒食品的合格净含量最低为 g．
17．（2022秋·北京门头沟·七年级统考期末）在有理数﹣0.5，﹣3，0，1.2，2，3中，非负整数有 ．
18．（2022秋·北京西城·七年级统考期末）若，则的值为 ．
19．（2022秋·北京延庆·七年级统考期末）的绝对值是 ．
20．（2022秋·北京房山·七年级统考期末）比较大小：
21．（2022秋·北京顺义·七年级统考期末）写出一个比大的负有理数 ．
22．（2022秋·北京海淀·七年级统考期末）从正整数中，选出组数，满足以下三个条件：
①每组2个数不相等；
②任意两组都不含有相同的数；
③每组2个数的和互不相同且不超过15．
根据以上条件，回答下列问题：
（1）若，请写出一种选取方案：第1组： ，第2组： ；
（2）的最大值为 ．
23．（2022春·北京朝阳·七年级统考期末）某校七年级举办的趣味“体育节”共设计了五个比赛项目，每个项目都以班级为单位参赛，且每个班级都需要参加全部项目．规定：每项比赛中，只有排在前三名的班级记成绩（没有并列班级），第一名的班级记a分，第二名的班级记b分，第三名的班级记c分（，a，b，c均为正整数）；各班比赛的总成绩为本班每项比赛的记分之和，该年级共有四个班，若这四个班在本次“体育节”的总成绩分别为21，6，9，4，则 ，a的值为 ．
24．（2022秋·北京通州·七年级统考期末）若，，且，则 ．
25．（2022秋·北京丰台·七年级统考期末）如图是一台冰箱的显示屏，则这台冰箱冷藏室与冷冻室的温差为 ．
26．（2022秋·北京怀柔·七年级统考期末）计算： ．
27．（2022秋·北京怀柔·七年级统考期末）已知，数轴上A，B，C三点对应的有理数分别为a，b，c．其中点A在点B左侧，A，B两点间的距离为2，且a，b，c满足，则a＝ ．对数轴上任意一点P，点P对应数x，若存在x使的值最小，则x的值为 ．
28．（2022秋·北京西城·七年级统考期末）用四舍五入法把4.0692精确到0.01，所得到的近似数为 ．
三、解答题
29．（2022秋·北京昌平·七年级统考期末）在学习数轴时发现：若点A，B表示的数分别为3，，则线段AB的长度可以通过计算得到．
【初步探究】
如果设数轴上两点A，B表示的数分别为x，，当x取如下的一些值时，那么线段AB的对应长度如下表：
x … 0 1 2 2.5 4 …
… 4 2.5 2 1 0 …
AB的长度 … 6 3 2 0 2 3 6 …
观察上表，结合数轴，回答下列问题：
（1）若点A，B重合，则________；若，则线段AB的长度为________；
（2）若点A向右运动，则的值会变_______（填“大”或“小”）；
（3）若，求x的值；
【深入思考】
如果设数轴上两点A，B表示的数分别为，，用含x的式子表示线段AB的长度为________．
30．（2022秋·北京丰台·七年级统考期末）已知点P，点A，点B是数轴上的三个点．若点P到原点的距离等于点A，点B到原点距离的和的一半，则称点P为点A和点B的“关联点”．
(1)已知点A表示1，点B表示﹣3，下列各数﹣2，﹣1，0，2在数轴上所对应的点分别是P1，P2，P3，P4，其中是点A和点B的“关联点”的是　 　；
(2)已知点A表示3，点B表示m，点P为点A和点B的“关联点”，且点P到原点的距离为5，求m的值；
(3)已知点A表示a（a＞0），将点A沿数轴正方向移动4个单位长度，得到点B．当点P为点A和点B的“关联点”时，直接写出PB﹣PA的值．
31．（2022春·北京东城·七年级统考期末）在平面直角坐标系中，对于任意两点，，给出如下定义：点，的横坐标之差的绝对值与纵坐标之差的绝对值的和叫做这两点之间的“直角距离”，记作：，即点与点之间的“直角距离”为．已知点，点．
(1)A与两点之间的“直角距离”______；
(2)点为轴上的一个动点，当的取值范围是______时，的值最小；
(3)若动点位于第二象限，且满足，请在图中画出点的运动区域（用阴影表示）．
32．（2022秋·北京西城·七年级统考期末）小东对有理数定义了一种新的运算，叫做“乘减法”，记作“”．他写出了一些按照“乘减法”运算的算式：，，，，，，，，，．
小玲看了这些算式后说：“我明白你定义的乘减法法则了．”她将法则整理出来给小东看，小东说：“你的理解完全正确．”
(1)请将下面小玲整理的“乘减法”法则补充完整：
绝对值不相等的两数相“乘减”，同号得______，异号得______，并______；绝对值相等的两数相“乘减”，都得0；一个数与0相“乘减”，或0与一个数相“乘减”，都得这个数的绝对值．
(2)若括号的作用与它在有理数运算中的作用相同，
用“乘减法”计算：______．
小东发现交换律在有理数的“乘减法”中仍然成立，即．但是结合律在有理数的“乘减法”中不一定成立，请你举一个例子说明不成立．
33．（2022秋·北京顺义·七年级统考期末）
34．（2022秋·北京通州·七年级统考期末）计算：．
35．（2022秋·北京石景山·七年级统考期末）计算：．
36．（2022秋·北京丰台·七年级统考期末）计算：．
37．（2022秋·北京延庆·七年级统考期末）计算：
（1）
（2）
38．（2022秋·北京丰台·七年级统考期末）计算：．
39．（2022秋·北京顺义·七年级统考期末）
参考答案：
1．B
【分析】直接根据负分数的定义判断即可．
【详解】在、、、中，只有是负分数，
故选B．
【点睛】本题考查了有理数的定义，负分数即要是负数也要是分数．
2．C
【分析】根据，在数轴上的位置，对选项逐个判断即可．
【详解】解：由题意可得：，即A、B选项错误，不符合题意；
∴，
∴，即，C选项正确，符合题意；
∵，，
∴，D选项错误，不符合题意；
故选：C．
【点睛】此题考查了数轴与有理数，绝对值和相反数，解题的关键是掌握数轴的有关知识，正确确定出，的大小关系．
3．C
【分析】根据数轴确定，再根据，即可确定选项的取值范围．
【详解】根据数轴图像可知：
又∵，
∴
∴，
∴可能为正或者负，，
∴的值一定为正数，
故选∶C．
【点睛】本题考查了数轴的应用，解题的关键是结合数轴确定数值范围．
4．B
【分析】根据数轴得出，，根据数轴上点的位置判断出大小即可．
【详解】由题意可知，，，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了数轴和有理数大小比较，利用数轴上的点表示的数右边的总比左边的大是解题关键．
5．B
【分析】根据数轴判断、、取值范围，由此判断选项即可．
【详解】由数轴可得：，，，
∴，
∴，，，．
故选：B．
【点睛】本题考查数轴上点的大小比较根据数轴判断、、取值范围是解题的关键．
6．A
【分析】观察哪个数对应的点到原点的距离最大即可．
【详解】解：观察数轴可知a，b，c中，a表示的点到原点的距离最大，
因此绝对值最大的是a，
故选A．
【点睛】本题考查数轴、绝对值的意义，解题的关键是掌握绝对值的几何意义：一个数在数轴上对应的点到原点的距离，叫做这个数的绝对值．
7．C
【分析】根据数轴可判断①④，根据可判断②③，进而可判断⑤．
【详解】由数轴可知，，①错误；
∵，∴，，②，③正确；
由数轴可知，，∴，∴，④错误；
∵，∴，∵，∴，⑤正确；
故选C．
【点睛】本题考查了用数轴判断式子的结果，解题的关键是能够根据数轴求出a、b、c之间的关系．
8．B
【分析】先根据数轴确定a的符号，再根据相反数的意义解答即可．
【详解】解：由数轴可知，，
∴的位置如图，
即是负数，
故选：B．
【点睛】本题考查的是有理数与数轴，相反数的意义，根据数轴确定的位置是解题的关键．
9．A
【分析】先化简，后比较大小判断即可．
【详解】解：，
∵，
∴，
∴其中最小的数是．
故选：A．
【点睛】本题考查了有理数的化简，有理数的大小比较，熟练掌握大小比较的基本原则是解题的关键．
10．C
【分析】利用倒数的定义，直接得出结果．
【详解】解：，
的倒数是，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了倒数的定义，若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数，熟练掌握此定义是解题的关键．
11．B
【分析】利用数轴知识和绝对值的定义判断即可得到答案．
【详解】解：由数轴图可知：，，，
，A选项错误，不符合题意；
，B选项正确，符合题意；
，C选项错误，不符合题意；
，D选项错误，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了数轴与绝对值，解题的关键是掌握数轴知识和绝对值的定义．
12．D
【分析】根据两个数的正负以及加减乘除法法则，对每个选择作出判断，得正确答案即可．
【详解】解：因为，根据数轴可知，或或，
则A. ，选项A错误，不符合题意；
B. ，选项B错误，不符合题意；
C. 当时，；
当时，；
当时，．所以选项C错误，不符合题意；
D. 当时，；
当时，；
当时，．所以选项D正确，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了数轴上点的表示的数的正负及实数的加减乘除法的符号法则，解决本题的关键是牢记有理数的加减乘除法则．
13．C
【分析】根据的偶数次方等于1可直接得出答案．
【详解】解：，
故选C．
【点睛】本题考查有理数的乘方，解题的关键是掌握的偶数次方等于1，奇数次方等于．
14．C
【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
【详解】解：二万八千亿 ，
故选C．
【点睛】本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的定义．
15．元
【分析】如果收入10元记作元，那么支出10元记作，即可得出答案．
【详解】∵收入10元记作元，
∴支出10元记作元．
故答案为：元
【点睛】本题主要考查用正负数表示相反意义的量，理解正负数表示相反意义的量是解题的关键．
16．380
【分析】“净含量”表示净含量最低为，依此求解即可.
【详解】解：∵标有“净含量”，
∴净含量最低为=.
故答案为：380.
【点睛】本题主要考查了正负数的意义：为了表示具有相反意义的量，通常把其中一个量规定为正的，用正数来表示，而把与这个量意义相反的量规定为负的，用负数来表示.掌握正负数的意义是解题的关键.
17．0，2
【分析】找出有理数中非负整数即可．
【详解】在0.5，﹣3，0，1.2，2，3中，非负整数有0，2．
故答案为：0，2．
【点睛】本题考查了有理数，非负整数即为正整数和0．
18．
【分析】利用非负数的性质得出的值，代入计算得出答案．
【详解】解：，
，
解得：，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了非负数的性质，掌握非负数的意义和性质是正确解答的关键．
19．
【分析】根据绝对值的性质求解即可，负数的绝对值是它的相反数，正数和0的绝对值是它本身．
【详解】解：的绝对值是，
故答案为：
【点睛】此题考查了绝对值，解题的关键是掌握绝对值的性质．
20．
【分析】两个负数比较大小，绝对值大的反而小，依此判断大小即可．
【详解】解：的绝对值为，的绝对值为，
∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了两个负数比较大小，掌握有理数比较大小的方法是解题关键．
21．（答案不唯一）
【分析】根据负数比较大小方法，写出一个即可．
【详解】解：∵
故答案为（答案不唯一）
【点睛】此题考查的是负数的比较大小，掌握负数的比较大小方法是解决此题的关键，两个负数比较大小，绝对值大的反而小．
22． 1和2， 3和4 5
【分析】（1）根据题意，写出2种组合，满足条件即可；
（2）根据题意，每组2个数的和互不相同且不超过15，从和为15开始选取，列举法即可求解．
【详解】（1）根据题意，若，满足题意的一种选取方案为：第1组：1和2，第2组：3和4；
故答案为：1和2，3和4（答案不唯一）
（2）根据③，15与其他数的和会超过15，则不能选15，
第1组，和为15，1和14；
第2组，和为14，可以选2与12，
第3组，和为13，可以选3与10，
第4组，和为12，可以选4与8，
第5组，和为11，可以选5与6，
还剩下7，9，11，13，无论怎么组合都超过15，
∴最多有5组，即，
故答案为：5．
【点睛】本题考查了有理数的加法，列举试验可能，列举出符合题意的可能组合是解题的关键．
23． 8 5
【分析】根据五个比赛项目设定前三名的记分总和最后参加比赛的所有班级总成绩的和，得出的值，再结合，、、均为正整数的条件，列举出可能的值，再根据各班级的总成绩排除不符合题意的值．
【详解】解：设本次“体育节”五个比赛项目的记分总和为，则，
四个班在本次“体育节”的总成绩分别为21，6，9，4，
．
，
．
，、、均为正整数，
当时，，则；
当时，，则，此时，第一名的班级五个比赛项目都是第一，总得分为分，不符合题意舍去；
当时，，则，不满足，舍去；
当时，，则，不满足，舍去．
综上所得：，，．
故答案为：8，5．
【点睛】本题考查有理数的运算，从整体上考虑这次“体育节”设定的记分总和四个班总成绩的和，是解决本题的关键．
24．6或2/2或6
【分析】根据绝对值的性质求出a、b的值，再计算出a+b即可．
【详解】解：∵|a|=2，∴a=±2，
∵|b|=4，∴b=±4，
∵，
∴a∴a=2，b=4或a=-2，b=4
∴a+b=2+4=6或a+b=-2+4=2；
故答案为：6或2．
【点睛】此题考查了有理数的加法，代数式求值，以及绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．
25．22
【分析】直接用冷藏室的温度减去冷冻室的温度即可得到答案．
【详解】解：（℃），
∴变温室与冷冻室的温差为，
故答案为：22．
【点睛】本题主要考查了有理数减法的实际应用，正确计算是解题的关键．
26．/0.5
【分析】根据有理数的减法法则、加法法则计算即可．
【详解】解：
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了有理数的减法法则、加法法则，掌握有理数的减法法则是解题的关键．
27． －1 1
【分析】根据绝对值和平方的非负性即可求第一空；根据绝对值与数轴的关系可以解出第2问．
【详解】∵，
∴
即
∵点A在点B左侧，A，B两点间的距离为2，
∴
∵表示x与-1，1和2022三个数的距离之和，
∴当x取中间值1时，和为最小值为2023；
故答案为：-1,1
【点睛】本题考查了数轴上的点之间的距离与绝对值的关系、绝对值和平方的非负性，根据绝对值的定义得出表示x与-1，1和2022三个数的距离之和是解题的关键．
28．4.07
【分析】根据四舍五入的法则进行计算即可．
【详解】解:根据题目要求4.06924.07
故答案为：4.07．
【点睛】本题考查的是近似数，熟练掌握四舍五入并且审清题目要求是解题的关键．
29．初步探究：（1）1，12；（2）小；（3）；深入思考：
【分析】初步探究：（1）当点A，B重合时，得到方程，解方程即可得出答案；当时，代入求出即可；
（2）点A向右运动，则的值会变小；
（3）当时，得到方程，解方程即可得出答案；
深入思考：利用表示A，B两数的差，求出的长度即可．
【详解】初步探究：
（1）当点A，B重合时，，
解得：；
当时，线段的长度为：，
故答案为：1，12；
（2）点A向右运动，则的值会变小，
故答案为：小；
（3）当时，，
解得：；
深入思考：
∵数轴上两点A，B表示的数分别为，，
∴线段的长度为：
【点睛】本题考查数轴上两点之间的距离，一元一次方程，正确计算是解题的关键．
30．(1)P1或P4
(2)7或-7
(3)0或4
【分析】（1）先求出点A、点B距原点的距离，再求出点P到原点的距离，确定点P表示的数即可；
（2）先求出点P到原点的距离，进而根据 “关联数”的定义确定到原点的距离，确定点P表示的数即可；
（3）由题意可知，点A点A表示a，点B表示a+4，然后根据 “关联数”的定义求出点P到原点的距离，确定点P表示的数；然后再求出PB、PA，最后作差即可．
【详解】（1）解：∵点A表示1，点B表示﹣3
∴点A、点B到原点距离的和为：1+3=4
∵点P为点A和点B的“关联点”
∴点P到原点的距离为2
∴点P表示的数为2或-2．
故答案是：P1或P．
（2）解：∵点P为点A和点B的“关联点”，且点P到原点的距离为5，
∴点A、点B到原点距离的和为：5×2=10
∵点A表示3
∴点A到原点距离为3
∴点B到原点距离为10-3=7
∴点A表示7或-7
∴m的值为7或-7．
（3）解：∵点A表示a（a＞0），将点A沿数轴正方向移动4个单位长度，得到点B
∴点B表示的数为a+4
∴点A、点B到原点距离的和为：a+a+4=2a+4
∵点P为点A和点B的“关联点”
∴点P到原点的距离为（2a+4）÷2=a+2
∴点B表示的数为a+2或-（a+2）
当P表示a+2时，PB= a+4-（a+2）=2，PA= a+2-a=2，
∴PB﹣PA=2-2=0
当P表示-（a+2）时，PB= a+4-[-（a+2）]=2a+6，PA= a-[-（a+2）]=2a+2，
∴PB﹣PA=2a+6-（2a+2）=4．
综上，PB﹣PA=0或4．
【点睛】本题主要考查了数轴上两点间的距离以及“关联数”的定义，掌握数轴上两点间的距离的计算方法是解答本题的关键．
31．(1)6
(2)
(3)见解析
【分析】(1)根据定义即可求得；
(2)根据定义可得，再分段讨论即可求得
(3) ，则，根据定义，计算出即可．
【详解】（1）解：根据题意得：，
故答案为：6；
（2）解：根据题意得：
当时，，，
，
故此时不存在最小值，
当时，，，
，
故此时的最小值为6，
当时，，，
，
故此时不存在最小值，
综上，当时，的值最小；
故答案为：；
（3）设点P(x，y)
∵点P在第二象限，
∴x<0，y>0
=
①当0=
若x<-3，则原式=（-3-x）-（2-x）+1=-4（不符合题意）
若-3∵
∴，即2x+2≥0，解得：x≥-1
当0②当1=
若x<-3，则原式=（-3-x）-（2-x）+3-2y=-2-2y（不符合题意）
若-3∵
∴，
即2x-2y+4≥0，
整理得：y≤x+2
当1如图
③当y>2时
=
若x<-3，则原式=（-3-x）-（2-x）-1=-6（不符合题意）
若-3∵x<0，
∴2x<0，（不符合题意）
综上：点P的运动范围如图所示．
【点睛】本题考查了新定义运算，理解题目中新定义运算的概念是解题的关键，在去掉绝对值符号时，注意分清楚绝对值符号里面的正负，若不知道正负，则应该分类讨论．
32．(1)正，负，把绝对值相减
(2)；答案不唯一
【分析】（1）根据题中给出的例子即可得出结论；
（2）根据（1）中的“乘减法”进行计算即可；设，，代入式子进行计算，看结果是否相同即可．
【详解】（1）解：，，，，，，，，，，
绝对值不相等的两数相“乘减”，同号得正，异号得负，并把绝对值相减；绝对值相等的两数相“乘减”，都得0；一个数与0相“乘减”，或0与一个数相“乘减”，都得这个数的绝对值；
故答案为：正，负，把绝对值相减；
（2）解：
，
故答案为：；
答案不唯一，
设，，，
左边，
右边，
，
所以结合律在有理数的“乘减法”中不一定成立．
【点睛】本题考查的是有理数的混合运算，根据题中给出的例子读懂题意是解题的关键．
33．3
【分析】根据有理数的加减混合运算法则计算即可．
【详解】解：
【点睛】本题考查了有理数的加减混合运算，掌握有理数的加减混合运算法则是解答此题的关键．
34．0
【分析】利用有理数的加减运算的法则进行求解即可；
【详解】解：原式
【点睛】本题主要考查有理数的加减运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
35．
【分析】根据有理数的加减运算法则，正确解题即可.
【详解】解：
．
【点睛】本题考查的是有理数的加减运算，掌握“有理数的加减运算的运算法则以及利用运算律进行简便运算”是解本题的关键．
36．
【分析】根据有理数乘法分配律求解即可．
【详解】解：原式
．
【点睛】本题主要考查了有理数乘法分配律，熟知有理数乘法分配律是解题的关键．
37．（1）；（2）．
【分析】（1）根据有理数的加减运算求解即可；
（2）根据有理数的乘除运算，求解即可．
【详解】解：（1）；
（2）；
【点睛】此题考查了有理数的四则运算，解题的关键是掌握有理数的四则运算法则．
38．
【分析】先计算乘方，再计算乘除法，最后计算加法即可．
【详解】解：原式
．
【点睛】本题主要考查了含乘方的有理数混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键．
39．3
【分析】根据有理数的混合运算法则与运算顺序计算即可．
【详解】解：
．
【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算是解答此题的关键．