第三章 简单的几何图形 2022-2023学年上学期北京市七年级数学期末试题选编（含解析）

第三章 简单的几何图形
一、单选题
1．（2022秋·北京顺义·七年级统考期末）在下面的图形中，不是正方体的展开图的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022秋·北京延庆·七年级统考期末）下面四个立体图形中，从正面去观察它，得到的平面图形是三角形的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022秋·北京石景山·七年级校考期末）如图所示，延长线段至点C，使得，若D为中点，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2022秋·北京海淀·七年级统考期末）如图，点，，在直线上，下列说法正确的是（ ）
A．点在线段上 B．点在线段的延长线上
C．射线与射线是同一条射线 D．
5．（2022秋·北京顺义·七年级统考期末）如图，点P在直线外，，，则线段的值可能为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
6．（2022秋·北京通州·七年级统考期末）按照如图所示的平面展开图折叠成正方体后，相对面上的两个数都互为相反数，那么 ．
7．（2022秋·北京石景山·七年级统考期末）如图是一个正方体的表面展开图，六个面上分别写有做、幸、福、追、梦、人，正方体中“做”字对面上的字为 ．
8．（2022秋·北京西城·七年级统考期末）如图，是线段的中点，点在线段上，是线段的中点．若，，则的长为 ．
9．（2022秋·北京丰台·七年级统考期末）如图，射线表示的方向是北偏东，射线表示的方向是 ．
10．（2022春·北京怀柔·七年级校考期末）小东同学做了直角三角形模具，如图所示．在AC，BC，AB三边中，根据 ，可知 最长．
11．（2022春·北京东城·七年级统考期末）如图，在三角形中，，，，，则点到的距离等于 .
三、解答题
12．（2022秋·北京西城·七年级统考期末）已知点在数轴上，它们表示的数分别是，且，，，（其中）．
(1)若，为任意的整数．
用含的式子表示；
试说明一定能被4整除；
(2)若，且中有两个数的和与相等．
有如下四个结论：
A．原点可能与点重合； B．原点不可能在点的右侧；
C．原点可能是线段的中点； D．原点可能是线段的中点；
其中所有正确的结论是______．（填选项字母即可）
用含的式子表示，并直接写出结果．
13．（2022秋·北京丰台·七年级统考期末）如图，平面上有三个点A，B，C．
(1)根据下列语句按要求画图．
①画直线，画射线，连接；
②用圆规在线段的延长线上截取，连接（保留作图痕迹）；
(2)______（填“>”“=”或“<”），依据是______．
14．（2022秋·北京顺义·七年级统考期末）如图，平面内有三个点A，B，C，按要求完成下列问题：
(1)在图中画出直线，射线，线段；
(2)观察图形发现，线段，得出这个结论的依据是：_____________________；
(3)平面内是否存在点D，使得？如果存在，在图中画出一个满足条件的点D；如果不存在，说明理由．
15．（2022秋·北京延庆·七年级统考期末）如图，点是线段上的点，点是线段的中点，，，求线段的长．
请将下面的解题过程补充完整：
解：__________________，，，
_________．
点是线段的中点，
_________．（理由：__________________）
_________．
16．（2022秋·北京怀柔·七年级统考期末）如图，已知平面上四个点A，B，C，D，请按要求完成下列问题：
(1)画直线，射线，连接；
(2)在射线上求作点M，使得（保留作图痕迹）；
(3)请在直线上确定一点N，使点N到点M与到点D的距离之和最短，并写出画图的依据．
17．（2022秋·北京通州·七年级统考期末）在数轴上，点为原点，点表示的数为，点表示的数为，且，满足．
(1)______，______；
(2)在数轴上，点表示的数为，如果点是线段的中点，求的值；
(3)在数轴上，点与点表示的数互为相反数，连接，设点表示的数为，如果线段上的所有点都在线段上，请直接写出的取值范围．
18．（2022秋·北京石景山·七年级统考期末）如图，点C在线段上，点M为的中点，，．求的长．
请补全下面的解题过程（括号中填写推理依据）．
解：∵点M为的中点，
∴①_____________（②_____________）．
∵，
∴③_____________．
∵，
∴设，则④_____________．
∴⑤_____________．
∴．
∴．
∴．
∴⑥_____________．
19．（2022秋·北京朝阳·七年级统考期末）如图，平面上有A，B，C，D四点．按下列语句画图：
(1)画直线AB；
(2)画射线BC；
(3)连接CD；
(4)反向延长线段CD至点E，使；
(5)连接AE，与BC相交于点F．
20．（2022秋·北京顺义·七年级统考期末）如图，点O为直线上一点，平分∠AOC，，，求的度数．
21．（2022秋·北京延庆·七年级统考期末）如图，平分，．
(1)若，求的度数．
请你补全下列解题过程．
平分，
____________（理由：________________________）
，
___________．
________________________，，
____________．
(2)若，直接写出的度数．（用含的式子表示）
22．（2022秋·北京怀柔·七年级统考期末）阅读下面材料并回答问题：
数学课上，老师给出了如下问题：如图，平分．若，
请你补全图形，并求的度数．
以下是甲同学的解答过程：
解：如图1，
∵平分，，
∴________________________．
∵，
∴____________．
乙同学说：“我觉得这个题有两种情况，甲同学考虑的是在外部的情况，事实上，还可能在的内部”．
请完成以下问题：
(1)请你将甲同学的解答过程补充完整；
(2)判断乙同学的说法是否正确，若正确，请你在图2中画出另一种情况对应的图形，并写出解答过程；若不正确，说明理由；
(3)若将题目改成，平分．若将改成，请直接写出的度数．
23．（2022秋·北京海淀·七年级统考期末）已知，（，且不与重合）．
(1)当时，若射线在内，请用量角器在图1中画出射线，则的度数为_______．
(2)当时，平分，求的度数．
24．（2022秋·北京房山·七年级统考期末）已知：如图，是的角平分线，是的角平分线，，求的度数．
25．（2022秋·北京昌平·七年级统考期末）完成下面的解答．
如图，OE是直角的角平分线，OD是的角平分线，若，求的度数．
解：∵是直角，
∴．
∵OE是直角的角平分线，
∴________（________）（填推理的依据）．
∵，
∴________________．
∵OD是的角平分线，
∴________________．
26．（2022秋·北京大兴·七年级校联考期末）已知：如图，，，是的平分线．求的度数．
27．（2022秋·北京昌平·七年级统考期末）如图，在正方形网格中画有一段笔直的铁路及道口A，B和村庄M，N．完成以下作图．
(1)若在村庄N与道口A之间修一条最短的公路，在图中画出此公路，并说明这样画的理由；
(2)若在公路上选择一个地点P安装实时监控系统，要求点P到村庄N与道口B的距离相等，在图中标出点P的位置；
(3)当一节火车头行驶至铁路上的点Q时，距离村庄N最近．在图中确定点Q的位置（保留作图痕迹）；
(4)若在道口A或B处修建一座火车站，使得到两村的距离和较短，应该修在________处．
28．（2022秋·北京延庆·七年级统考期末）如图，已知平面上三点，，，按下列要求画图，并回答问题：
(1)画射线，线段；
(2)连接，并在的延长线上取一点，使得；
(3)画直线；
(4)通过测量可得，点到直线的距离是_______．（精确到）
29．（2022春·北京密云·七年级统考期末）如图，直线，E为直线CD上一点，射线EH交直线AB于点F．
(1)按要求画图：
①利用量角器及直尺，画∠FED的角平分线EM，交直线AB于点N；
②过点N作NP⊥CD，垂足为P．
(2)完成下列填空：
比较线段NE和NP的大小，可以得到NE____________NP；（填“＞”、“＝”或“＜”）理由是____________．
参考答案：
1．D
【分析】由平面图形的折叠及正方体的展开图解题．
【详解】解：由四棱柱四个侧面和上下两个底面的特征可知，B，C，A选项可以围成一个正方体，
D选项折叠后缺少一个底面，故不是正方体的展开图．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了正方体展开图，解题时勿忘记四棱柱的特征及正方体展开图的各种情形．
2．A
【分析】判断出每个立体图形，从正面观察，得到的图形，即可求解．
【详解】解：A、从正面去观察，得到的平面图形是三角形，符合题意；
B、从正面去观察，得到的平面图形是圆，不符合题意；
C、从正面去观察，得到的平面图形是长方形，不符合题意；
D、从正面去观察，得到的平面图形是长方形，不符合题意；
故选：A
【点睛】此题考查了从不同方向看几何体，解题的关键是理解题意，掌握相关基础知识．
3．D
【分析】设，求出相关线段的值，逐项分析即可．
【详解】解：如图，
设，
∴，
∵D为的中点，
∴．
A．∵，，∴，故不正确；
B．∵，，∴，故不正确；
C．∵，，∴，故不正确；
D．∵，，∴，正确；
故选D．
【点睛】本题考查线段的和差倍分问题和线段的中点性质，数形结合是解答本题的关键．
4．D
【分析】根据点与线段的关系，线段之间的关系，射线的判定判断即可．
【详解】如图，
点在线段的延长线上，
故A错误；
点在线段的延长线上，
故B错误；
射线与射线不是同一条射线，
故C错误；
因为，
故D正确；
故选D．
【点睛】本题考查了点与线段的关系，线段与线段的关系，射线的判定，熟练掌握点与线段的关系是解题的关键．
5．D
【分析】根据连接从直线外一点到这条直线上的所有点的线段中，垂线段最短求解了可．
【详解】解：∵，
∴于点B，
∴，
∴可能，
故选：D．
【点睛】此题主要考查了垂线段最短，熟练掌握垂线段最短是解题的关键．
6．
【分析】根据正方体表面展开图的特征，得出a、b、c的值，再代入计算即可．
【详解】解：根据正方体表面展开图的“相间、Z端是对面”可知，
“a”的对面是“b”， “c”的对面是“1”，
又∵相对面上的两个数都互为相反数，
∴，
∴，
故答案为：．
本题考查正方体的表面展开图，掌握正方体的表面展开图的特征是正确判断的前提．
7．人
【分析】根据正方体的表面展开图中，相隔一行或一列的两个正方形可能构成相对面，即可判断出结论．
【详解】解：依题意可得：“做”字对面上的字为“人”，
故答案为：人．
【点睛】本题考查的是正方体的表面展开图，解题的关键是熟练掌握正方体的相对面之间都隔了一个正方形．
8．3
【分析】根据中点的定义求出，，再由，可得出答案．
【详解】，是线段的中点，，
，
又为的中点，，
，
．
故答案为：3
【点睛】本题考查了两点间的距离，解答本题的关键是掌握线段中点的定义，注意数形结合思想的运用．
9．南偏东
【分析】由方向角的定义即可得出结论．
【详解】解：射线表示的方向是南偏东．
故答案为：南偏东．
【点睛】本题考查的是方向角，熟知方向角的定义是解答此题的关键．
10． 垂线段最短 AB
【分析】根据垂线段最短即可求解．
【详解】解：∵AC⊥BC，
∴AC＜AB，BC＜AB，
∴AB最长．
即在AC，BC，AB三边中，根据垂线段最短，可知AB最长．
故答案为：垂线段最短，AB．
【点睛】本题考查了垂线的性质，掌握垂线段最短是解题的关键．
11．3
【分析】点到直线的距离是指过直线外一点向直线做的垂线段的长度，根据定义可以得出答案．
【详解】解：∵，
∴AC⊥BC，
∴线段AC的长度就是点A到BC的距离，
∵AC=3，
∴点A到的距离等于3．
故答案为：3．
【点睛】本题主要考查的是点到直线的距离，属于基础题型．解决这个问题的关键就是要明白点到直线距离的定义．
12．(1)见解析
(2)B、D； 或
【分析】（1）由可以得到，由，可得到，从而可得到与的关系；根据，找出与的关系，然后将所有用表示的式子代入得，，从而即可得到答案；
（2）根据，且中有两个数的和与相等，可以判断出，从而可以判断A、B、D正确与否，再由于，，，可得到的中点为点，可判断出C正确与否；分两种情况：互为相反数；互为相反数，讨论即可得到答案．
【详解】（1）解：，
，
，
，
，
，
，
用含的式子表示为：；
，
，
，
，
为整数，
能被4整除；
（2）解：，
全为负或者全为正或者两负两正，
中有两个数的和与相等，
只能是两正两负，
，故A错误，B正确，D正确，
，，，
的中点为点，故C错误，
B、D正确；
，，，
又中有两个数的和与相等，
，
若互为相反数，则，解得，
若互为相反数，则，解得，
用含的式子表示为：或．
【点睛】本题考查了数轴上两点间的距离，线段的计算，学会运用数形结合思想和分类讨论思想是解题的关键．
13．(1)①见解析；②见解析
(2)>；两点之间，线段最短
【分析】（1）①根据直线，射线，线段的定义进行作图即可；以B为圆心，以的长为半径画弧交延长线于D，点D即为所求；
（2）根据两点之间线段最短进行求解即可．
【详解】（1）解；①如图所示，即为所求；
②如图所示，即为所求；
（2）解；∵两点之间，线段最短，
∴，
故答案为；，两点之间，线段最短．
【点睛】本题主要考查了直线、射线、线段的作图，两点之间线段最短等等，熟知相关知识是解题的关键．
14．(1)见解析，
(2)两点之间线段最短
(3)存在，见解析
【分析】（1）根据直线、射线、线段的定义画出图形即可；
（2）根据两点之间线段最短解决问题；
（3）根据线段的和差画出图形即可．
【详解】（1）解：如图，直线，射线，线段就是所画；
（2）解：观察图形发现， (两点之间线段最短)；
∴线段，得出这个结论的依据是两点之间线段最短；
故答案为：两点之间线段最短
（3）解：存在，如图，点D即为所存在的点．
由图可知：．
【点睛】本题考查作图-复杂作图，两点之间线段最短等知识，线段和差，解题的关键是理解直线，射线，线段的定义，线段和差，属于中考常考题型．
15．，；4；，线段中点的定义；2．
【分析】先格努线段的和差求出的长，再根据中点定义即可求出的长．
【详解】解：，，，
．
点是线段的中点，
．（理由：线段中点的定义）
．
故答案为：，；4；，线段中点的定义；2．
【点睛】本题考查了线段中点的计算，以及线段的和差，数形结合是解答本题的关键．
16．(1)图见解析
(2)图见解析
(3)图见解析
【分析】（1）画出直线，射线，连接，即可；
（2）以点为圆心，的长为半径，画弧，交射线于点，即为所求；
（3）连接，交于点，即为所求；
【详解】（1）解：如图，直线，射线，线段即为所求；
（2）解：以点为圆心，的长为半径，画弧，交射线于点，即为所求；如图：
（3）解：连接，交于点，即为所求；如图：
根据两点之间线段最短，所以，
当三点共线时，最小，即点N到点M与到点D的距离之和最短；
【点睛】本题考查直线，射线，线段的作图，以及线段的性质．熟练掌握两点确定一条直线，射线向一边无限延长，两点之间线段最短，是解题的关键．
17．(1)，4；
(2)；
(3)或．
【分析】（1）根据非负数的性质，非负数的和为0求出、；
（2）点表示的数为，表示出，的长，根据点是线段的中点列出方程，求出即可；
（3）分和两种情况，根据相反数定义可知点表示，要使线段上的所有点都在线段上，只需点、点两数中左边的小于等于，右边的大于等于4即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，，
即：，．
故答案为：，4；
（2）∵点表示的数为，点表示的数为4，点表示的数为
∴，，
又∵点是线段的中点，
∴，即：
解得：；
（3）当时，表示，
∵线段上的所有点都在线段上
∴，
即：，
当时，表示，
∵线段上的所有点都在线段上
∴，
即：，
综上，的取值范围为：或．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，非负数的性质及数轴上两点间的距离．题目综合性较强，难度较大．解决（1）需利用非负数的性质，解决（3）注意分类思想的运用，解决（4）利用数轴上两点间的距离公式．
18．①；②中点的定义；③；④；⑤；⑥
【分析】根据中点定义可得，即，由，可设，则，继而由线段之和可得即，进而求得值，然后可得，最后利用线段之差即可求解．
【详解】解：∵点为的中点，
∴（中点的定义），
∵，
∴，
∵，
∴设，则，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查线段中点的定义以及线段的和差计算，解题的关键是理解线段关系并熟练掌握线段的和差计算．
19．(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
(4)见解析
(5)见解析
【分析】根据直线，射线，线段的定义进行作图即可，直线：在平面内，无端点，向两方无限延伸的线，射线：在平面内，有一个端点，向一方无限延伸，线段：在平面内，有两个端点，不延伸．
【详解】（1）如图．
（2）如图．
（3）如图．
（4）如图．
（5）如图．
【点睛】本题考查了直线、射线、线段的定义，正确掌握三者的概念是解题的关键．
20．
【分析】先由角平分线定义求得，再根据邻补角定义求出，然后由求解即可．
【详解】解：∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查与角平分线有关的角的计算，熟练掌握和的和差与角平分线定义是解题的关键．
21．(1)，角平分线的定义；30；，；120；
(2)
【分析】（1）先根据角平分线的定义求出的值，再根据计算即可；
（2）仿造（1）的步骤求解即可．
【详解】（1）平分，
（理由：角平分线的定义）
，
．
，，
．
故答案为：，角平分线的定义；30；，；120；
（2）平分，
．
，
．
，，
．
【点睛】本题考查了角平分线的定义，以及角的和差，数形结合是解答本题的关键．
22．(1)
(2)正确，图见解析，过程见解析
(3)或
【分析】（1）根据角平分线平分角，得到，再利用进行计算即可；
（2）根据乙同学的描述，画出对应图形，利用进行计算即可；
（3）由（1）（2）的方法，直接写出的度数即可．
【详解】（1）解：如图1，
∵平分，，
∴．
∵，
∴．
故答案为：；
（2）解：乙同学的说法正确，如图所示：
∵平分，，
∴．
∵，
∴．
（3）解：当在外部时：
同（1）可得：；
当在内部时：
同（2）可得：；
综上：或．
【点睛】本题考查角度的计算．理清角的和差关系，熟练掌握角平分线平分角，是解题的关键．
23．(1)
(2)为或
【分析】（1）直接根据题意用量角器画图即可；
（2）当时，，分射线在内部和射线在外部两种情况分别求解即可；
【详解】（1）如图所示

的度数为．
（2）解：当时，，分两种情况：
情况1：射线在内部，如图①：
，
．
，
平分，
．
．
情况2：射线在外部，如图②：
，
．
，
平分，
．
．
综上，为或．
【点睛】本题主要考查角平分线的定义及角的有关计算，正确的理解题意，数形结合，分类讨论是解题的关键．
24．
【分析】设，得出，根据角平分线的定义得出，根据，即可求解．
【详解】解：∵，设，
∴，
∵是的角平分线，
∴
∵是的角平分线，
∴
∴
【点睛】本题考查了角平分线相关的计算，几何图形中角度的计算，数形结合是解题的关键．
25．45；角平分线的定义；；25；；50
【分析】直接根据角平分线的定义解答即可．
【详解】解：∵是直角，
∴．
∵OE是直角的角平分线，
∴45（角平分线的定义）．
∵，
∴25．
∵OD是的角平分线，
∴50．
故答案为：45；角平分线的定义；；25；；50．
【点睛】本题考查了角平分线的定义，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键．
26．
【分析】先求出，根据角平分线定义求出，代入求出即可．
【详解】解：，，
，
是的平分线，
，
．
【点睛】本题考查了角的平分线定义和角的有关计算的应用，正确理解题意找准角的数量关系准确计算是解题关键．
27．(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
(4)B
【分析】（1）根据两点之间线段最短作图即可；
（2）取中点即可；
（3）作N到的垂线段即可；
（4）直接根据图作答即可．
【详解】（1）
理由：两点之间线段最短．
（2）
（3）
（4）由图可知M、N到B点距离均小于到A点距离，
故答案为：B．
【点睛】本题考查了线段中点问题，最短距离问题，熟练掌握各知识点是解题的关键．
28．(1)见解析；
(2)见解析；
(3)见解析；
(4)．
【分析】（1）根据线段和射线的画法，求解即可；
（2）根据题意，按照要求，作出图形即可；
（3）根据直线的画法求解即可；
（4）过点作，线段的长度即是点到直线的距离．
【详解】（1）解：如图所示，线，线段即为所求：
（2）解：如图所示，线段、即为所求：
（3）解：如图所示，直线即为所求：
（4）解：过点作，如图所示：
用直尺测量出的长度为，
故答案为：．
【点睛】此题考查了线段、射线、直线的画法以及点到直线的距离，解题的关键是熟练掌握相关基础知识．
29．(1)见解析
(2)＞；垂线段最短
【分析】（1）①利用量角器及直尺可直接进行作图；②根据垂线可进行作图；
（2）根据垂线段最短可进行求解．
【详解】（1）解：如图所示：
（2）解：比较线段NE和NP的大小，可以得到NE＞NP；理由是垂线段最短；
故答案为＞，垂线段最短．
【点睛】本题主要考查尺规作图及垂线段最短，熟练掌握垂线的作图及垂线段最短是解题的关键．