2022-2023学年陕西省安康市汉滨区七校联考高二（下）期末数学试卷（理科）（含解析）

2022-2023学年陕西省安康市汉滨区七校联考高二（下）期末数学试卷（理科）
1. 是虚数单位，( )
A. B. C. D.
2. 用分析法证明：欲使，只需，这里是的( )
A. 充分条件 B. 必要条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3. 在平行六面体中，为延长线上一点，，则( )
A. B.
C. D.
4. “猜想”又称“角谷猜想”、“克拉茨猜想”、“冰雹猜想”，它是指对于任意一个正整数，如果是偶数，就将它减半；如果是奇数，就将它乘加，不断重复这样的运算，经过有限步后，最终总能够得到已知正整数数列满足上述变换规则，即：若，则( )
A. B. C. D.
5. 动点到点的距离比它到直线的距离大，则动点的轨迹是( )
A. 椭圆 B. 双曲线 C. 双曲线的一支 D. 抛物线
6. 设双曲线：的离心率为，则的渐近线方程为( )
A. B. C. D.
7. 如图，阴影部分的面积为( )
A. B. C. D.
8. 函数的图象大致是( )
A. B.
C. D.
9. 王老师是高三的班主任，为了更好地督促班上的学生完成作业，王老师特地组建了一个学习小组的钉钉群，群的成员由学生、家长、老师共同组成已知该钉钉群中男学生人数多于女学生人数，女学生人数多于家长人数，家长人数多于教师人数，教师人数的两倍多于男学生人数则该钉钉群人数的最小值为( )
A. B. C. D.
10. 已知，直线与曲线相切，则( )
A. B. C. D.
11. 如图，椭圆中心在坐标原点，为左焦点，当时，其离心率为，此类椭圆被称为“黄金椭圆”，类比“黄金椭圆”，可推算出“黄金双曲线”的离心率为( )
A. B. C. D.
12. 已知函数为自然对数的底数，若在上有解，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
13. 命题：，的否定为______．
14. 为迎接年北京冬奥会，短道速滑队组织甲、乙、丙等名队员参加选拔赛，已知比赛结果没有并列名次，记“甲得第一名”为，“乙得第一名”为，“丙得第一名”为，若是真命题，是真命题，则得第一名的是______ ．
15. 已知空间向量两两夹角为，其模都为，则 ______ ．
16. 设，为双曲线的两个焦点，点在双曲线上，且满足，则的面积是______
17. 已知复数，是虚数单位．
若是纯虚数，求的值；
设是的共轭复数，复数在复平面上对应的点在第一象限，求的取值范围．
18. 计算：，；所以；又计算：，，；所以，．
分析以上结论，试写出一个一般性的命题；
判断该命题的真假，若为真，请用分析法给出证明；若为假，请说明理由．
19. 已知数列中，，．
求、、的值；
猜测的表达式，并用数学归纳法证明．
20. 已知四棱锥的底面是等腰梯形，，，，，．
证明：平面平面；
求二面角的余弦值．
21. 已知椭圆：的离心率为．
求椭圆的方程；
若直线经过的左焦点且与相交于、两点，以线段为直径的圆经过椭圆的右焦点，求的方程．
22. 已知函数．
求的单调区间；
当时，是否恒成立，并说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，
故选：．
两个复数代数形式的乘除法，两个复数相除，分子和分母同时乘以分母的共轭复数，运算求得结果．
本题主要考查两个复数代数形式的乘除法，两个复数相除，分子和分母同时乘以分母的共轭复数，属于基础题．
2.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查分析法证明的原理和充分必要条件，关键明确分析法证明的本质是：证明结论成立的充分条件成立．属于基础题．
分析法证明的本质是证明结论成立的充分条件成立，欲使，只需，即表示：条件成立，能推出成立，是的必要条件．
【解答】
解：分析法证明的本质是证明结论成立的充分条件成立，即，所以是的必要条件，
故选：．

3.【答案】
【解析】解：如图，
取的中点，连接，则，且，
四边形为平行四边形，则且，
，又，
．
故选：．
由题意画出图形，取的中点，连接，可得四边形为平行四边形，则且，用表示即可．
本题考查空间向量基本定理的应用，考查数形结合思想，考查运算求解能力，是基础题．
4.【答案】
【解析】解：对于，若，则，，，，显然不符合题意，A错误；
对于，若，则，，，，符合题意，B正确；
对于，若，则，，，，显然不符合题意，C错误；
对于，若，则，，，，符合题意，D正确．
故选：．
结合选项进行实验即可．
本题主要考查递推法求数列的项，属中档题．
5.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了抛物线的定义与标准方程、动点轨迹方程的求法等知识，属于基础题．
根据题意，得到点到点的距离等于它到直线的距离，由抛物线的定义可得的轨迹是以为焦点、为准线的抛物线，由抛物线的标准方程与基本概念，即可得出点的轨迹方程．
【解答】
解：动点到点的距离比它到直线的距离大，
将直线向左平移个单位，得到直线，
可得点到点的距离等于它到直线的距离．
因此点的轨迹是以为焦点、为准线的抛物线，
设抛物线的方程为，可得，得，
抛物线的方程为，即为点的轨迹方程．
故选D．

6.【答案】
【解析】解：因为离心率，所以，
故C的渐近线方程为．
故选：．
利用双曲线的离心率，转化求解，关系，即可得到双曲线的渐近线方程．
本题考查双曲线的简单性质的应用，渐近线方程的求法，是基础题．
7.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查定积分求面积，属于基础题．
确定积分区间与被积函数，求出原函数，即可求得定积分．
【解答】
解：由题意阴影部分的面积等于
，
故选C．
8.【答案】
【解析】解：当时，，故排除；
当时，，故排除．
故选：．
由及时，判断函数值的情况，结合选项得解．
本题考查函数图象的确定，属于基础题．
9.【答案】
【解析】解：依题意，设教师、家长、女生、男生人数分别为，，，，且，，，，
于是，，，则，
又，解得，因此，
此时，所以当，，，时，，
即该钉钉群人数的最小值为．
故选：．
设教师、家长、女生、男生人数分别为，，，，根据给定的信息，建立不等关系，即可求解作答．
本题考查不等关系，考查不等式性质，属于中档题．
10.【答案】
【解析】解：设切点为，
由，得，则，
由，得，
过切点的切线方程为，
把代入，可得，
．
令，则，
当时，，单调递减，
而，可得在上的零点为，
即在上满足的．
．
故选：．
设切点为，利用导数求出过切点的切线方程，把定点代入，求解，进一步求解值．
本题考查导数几何意义的应用，训练了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查运算求解能力，是中档题．
11.【答案】
【解析】解：类比“黄金椭圆”，在黄金双曲线中，，，，
当时，，
，
，整理得，
，解得，或舍去．
故黄金双曲线的离心率．
故选A．
类比“黄金椭圆”，在黄金双曲线中，当时，，由此可知，整理得，即，解这个方程就能求出黄金双曲线的离心率．
本题主要考查了类比推理、椭圆的简单性质及双曲线的简单性质．注意寻找黄金双曲线中，，之间的关系，利用双曲线的性质求解．
12.【答案】
【解析】解：由在上有解，可得，在上有解，
令，，则，
则，
则当时，，函数单调递减，当时，函数单调递增，
故当时，函数取德最小值．
故．
故选：．
由已知可得，在上有解，令，，则转化为，结合导数可求．
本题主要考查了导数求解函数的单调性及利用分离参数法求解最值问题，属于中档试题．
13.【答案】，使得
【解析】解：命题：，，
命题的否定为：，使得，
故答案为：，使得
根据全称命题的否定方法，结合已知中的原命题，可得答案．
本题考查的知识点是命题的否定，难度不大，属于基础题．
14.【答案】甲
【解析】解：若是真命题，则，都是假命题，
此时是真命题，是真命题成立，
若是真命题，则，都是假命题，
此时是真命题，是假命题，此时是真命题不成立，
若是真命题，则，都是假命题，此时是真命题不成立，
故得第一名的是甲，
故答案为：甲．
分别讨论，，是真命题，然后验证是真命题，是真命题是否成立即可．
本题主要考查复合命题真假关系的应用，结合条件分别进行讨论是解决本题的关键，是基础题．
15.【答案】
【解析】解：因为，且两两夹角为，
所以，
所以，
所以．
故答案为：．
根据空间向量数量积的定义可求得，进而求得的值，从而求解．
本题主要考查向量的概念与向量的模，属于基础题．
16.【答案】
【解析】解：如图：
由得，，
，，
由题意：，，
，
所以．
故答案为：．
由双曲线定义和勾股定理可得，可得．
本题主要考查双曲线的性质，属于基础题．
17.【答案】解：．
是纯虚数，，即；
，
，
由复数在复平面上对应的点在第一象限，
得，解得．
的取值范围是
【解析】利用复数代数形式的乘除运算化简．
由实部为且虚部不为求得值；
求出，再由其实部与虚部均大于联立不等式组求得的取值范围．
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．
18.【答案】解：一般性命题：是正整数，
则；
命题为真命题，
证明如下：
，
，
，
．
【解析】根据所给结论，即可求解；
根据已知条件，结合综合法，即可求证．
本题主要考查综合法的应用，属于基础题．
19.【答案】解：数列中，，，
，
，
．
由猜想．
下面用数学归纳法进行证明：
当时，，成立；
假设时成立，即，
则当时，
，也成立，
．
【解析】由已知条件分别令，，，能求出、、的值．
由猜想然后用数学归纳法进行证明．
本题考查数列的前项的求法，考查数列的通项公式的猜想，解题时要认真审题，注意数学归纳法的合理运用．
20.【答案】解：在等腰梯形中，，，，所以，即，
又因为，且，所以平面，
又因为平面，因此平面平面．
连接，由知，平面，所以，
所以，
所以，即，
又，以，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，
则，，，
设平面的法向量为，因为，，
令，则，，
所以平面的一个法向量，平面，平面的一个法向量，
所以，
所以二面角的余弦值为．
【解析】可得，即，即可得平面，即可证明平面平面．
连接，以，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，求得平面的法向量和平面的一个法向量即可得二面角的余弦值．
本题考查了空间面面垂直的判定、二面角的求解，属于中档题
21.【答案】解：由题意得，，，
解得，
椭圆方程为；
由题目可知不是直线，且、，
设直线的方程为，点、，
代入椭圆方程，整理得：，恒成立，
，，
由，得：，，
，
由题意知，
，
将代入上式并整理得，
，
因此，直线的方程为或．
【解析】根据离心率求出，即可得到方程；
直线的方程为，点、，利用向量求解即可．
本题考查椭圆的标准方程及其性质，考查直线与椭圆的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题．
22.【答案】解：的定义域为，
由题意得，
当时，的单调递增区间为．
当时，，
当时，，当时，
当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为
设，
则，
当时，，
在上是增函数．
即，
，
故当时，是恒成立．
【解析】本题综合考查了导数的运用，证明不等式恒成立问题，属于中档题．
得，讨论的符号，判断单调性．
构造函数，利用导数求解最小值，转化为判断最小值的符号问题．
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