第十章 分式
一、单选题
1.(2022秋·北京石景山·八年级统考期末)使得分式值为零的的值是( )
A. B. C. D.
2.(2022秋·北京西城·八年级统考期末)下列分式中,从左到右变形错误的是( )
A. B. C. D.
3.(2022秋·北京顺义·八年级统考期末)如果把分式中的,都扩大为原来的2倍,那么分式的值( )
A.扩大为原来的2倍 B.缩小为原来的
C.扩大为原来的4倍 D.不变
4.(2022秋·北京海淀·八年级统考期末)对于分式(,为常数),若当时,该分式总有意义;当时,该分式的值为负数.则,与的大小关系正确的是( )
A. B. C. D.
5.(2022秋·北京房山·八年级统考期末)下列变形正确的是( )
A. B. C. D.
6.(2022秋·北京怀柔·八年级统考期末)计算的结果为( )
A. B.1 C. D.
7.(2022秋·北京通州·八年级统考期末)如果,那么代数式的值是( )
A.2 B. C.1 D.
二、填空题
8.(2022秋·北京丰台·八年级期末)若使分式有意义,则x的取值范围是 .
9.(2022秋·北京海淀·八年级统考期末)当 时,分式的值为0.
10.(2022秋·北京怀柔·八年级统考期末)填空:,变形的依据是 .
11.(2022秋·北京顺义·八年级统考期末)计算: .
12.(2022秋·北京朝阳·八年级统考期末)计算: .
三、解答题
13.(2022秋·北京平谷·八年级统考期末)阅读理解:
材料1:为了研究分式与其分母x的数量变化关系,小力制作了表格,并得到如下数据:
… 0 1 2 3 4 …
… 无意义 1 …
从表格数据观察,当时,随着的增大,的值随之减小,若无限增大,则无限接近于0;当时,随着的增大,的值也随之减小.
材料2:在分子、分母都是整式的情况下,如果分子的次数小于分母的次数,称这样的分式为真分式.如果分子的次数大于或等于分母的次数,称这样的分式为假分式.任何一个假分式都可以化为一个整式与一个真分式的和.例如:
根据上述材料完成下列问题:
(1)当时,随着的增大,的值 (增大或减小);当时,随着的增大,的值 (增大或减小);
(2)当时,随着的增大,的值无限接近一个数,请求出这个数;
(3)当时,直接写出代数式值的取值范围是 .
14.(2022秋·北京门头沟·八年级统考期末)计算:.
15.(2022秋·北京房山·八年级统考期末)计算:.
16.(2022秋·北京平谷·八年级统考期末)计算:.
17.(2022秋·北京石景山·八年级统考期末)将分式的分母因式分解后,可以把一个分式表示成两个分式的和或差.观察下列各式,解答下面问题:
(1);
(2)计算:.
18.(2022秋·北京顺义·八年级统考期末)计算:.
19.(2022秋·北京延庆·八年级统考期末)老师留的作业中有这样一道计算题:,小明完成的过程如下:
(第一步)
(第二步)
(第三步)
老师发现小明的解答过程有错误.
(1)请你帮助小明分析错误原因.
小明的解答从第______步开始出现错误,错误的原因是___________________;正确的解题思路是___________________________.
(2)请写出正确解答过程.
20.(2022秋·北京门头沟·八年级统考期末)先化简,再求值:,其中.
21.(2022秋·北京石景山·八年级统考期末)若关于的分式方程的解为正数,求正整数的值.
22.(2022秋·北京顺义·八年级统考期末)某中学为配合开展“垃圾分类进校园”活动,新购买了一批不同型号的垃圾桶,学校先用2400元购买了一批给班级使用的小号垃圾桶,再用3200元购买了一批放在户外使用的大号垃圾桶,已知一个大号垃圾桶的价格是小号垃圾桶的4倍.且大号垃圾桶购买的数量比小号垃圾桶少50个,求一个小号垃圾桶的价格.
23.(2022秋·北京延庆·八年级统考期末)列方程解应用题:某生产线用机器人搬运产品.A型机器人比B型机器人每小时多搬运20件,A型机器人搬运600件产品所用的时间与B型机器人搬运400件产品所用的时间相等.问B型机器人每小时搬运多少件产品?
24.(2022秋·北京丰台·八年级期末)小刚家近期准备换车,看中了价格相同的两款车,他对这两款车的部分信息做了调查,如下表所示:
燃油车 新能源车
油箱容积:40升 电池电量:60千瓦时
油价:9元/升 电价:0.6元/千瓦时
续航里程:千米 续航里程:千米
每千米行驶费用:元 每千米行驶费用:_______元
(续航里程指车辆在最大的能源储备下可连续行驶的总里程)
(1)表中的新能源车每千米行驶费用为________元(用含的代数式表示);
(2)若燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.54元,分别求出两款车每千米行驶费用;
(3)在(2)的条件下,若燃油车和新能源车每年的其它费用分别为4800元和7500元.每年行驶里程至少超过_______千米时,使用新能源车的年费用更低(年费用=年行驶费用+年其它费用).
25.(2022秋·北京门头沟·八年级统考期末)列方程解应用题:
甲、乙两地相距19千米,某人从甲地去乙地,先步行7千米,然后改骑自行车,共用了2小时到达乙地,已知这个人骑自行车的速度是步行速度的4倍.求步行的速度和骑自行车的速度.
26.(2022秋·北京怀柔·八年级统考期末)某种消毒液原液需加水稀释后使用,用于衣物消杀浓度是用于环境消杀浓度的2倍.取原液加水稀释用于衣物消杀,再取原液加水稀释用于环境消杀.按相应浓度稀释后发现,用于衣物消杀加入水的体积比用于环境消杀加入水的体积少.求该消毒液用于环境消杀的浓度.(浓度=原液体积/加入水的体积,注意此浓度无单位)
27.(2022秋·北京海淀·八年级统考期末)随着科技的发展,人工智能使生产生活更加便捷高效,某科技公司生产了一批新型搬运机器人,打出了如下的宣传:
根据该宣传,求新型机器人每天搬运的货物量.
28.(2022秋·北京朝阳·八年级统考期末)列分式方程解应用题
磁悬浮列车是一种靠磁悬浮力来推动的列车,磁悬浮列车的建设是中国交通发展史上的一次精彩跨越.A,B两站之间的距离为,其间运行的磁悬浮列车的平均速度是地铁的平均速度的6.25倍,且乘坐磁悬浮列车所用时间比乘坐地铁所用时间少小时.求该磁悬浮列车的平均速度
参考答案:
1.A
【分析】根据分式的值为0的条件求出m的值即可.
【详解】解:分式值为零,
且,
.
故选:A.
【点睛】本题考查分式的值为零的条件,熟知分式值为零的条件是分子为零而分母不为零是解题的关键.
2.B
【分析】直接利用分式的加减运算法则以及分式的性质分别化简,进而判断得出答案.
【详解】解:A.,故此选项不合题意;
B.,故此选项符合题意;
C.,故此选项不合题意;
D.,故此选项不合题意;
故选:B.
【点睛】此题主要考查了分式的加减运算以及分式的性质,解题的关键是正确化简分式.
3.D
【分析】根据分式的基本性质化简即可.
【详解】解:把分式中的m和n都扩大为原来的2倍为:.
所以不变.
故选:D.
【点睛】题目主要考查了分式的基本性质,解题关键是利用了分式的基本性质进行化简.
4.A
【分析】根据当时,该分式总有意义,即,可以判定的大小,当时,该分式的值为负数,可以判定,为异号,由此即可求解.
【详解】解:∵当时,该分式总有意义,
∴为非负数,且,
∴,则为非正数,即(非负数减负数不可能为零),
∵当时,该分式的值为负数,
∴,
∴,异号,
∵,
∴,
∴,
故选:.
【点睛】本题主要考查分式的性质与不等式的性质,掌握分式的性质,不等式的性质是解题的关键.
5.A
【分析】根据分式的基本性质逐个判断即可.
【详解】解:A.,故本选项正确,符合题意;
B.,故本选项错误,不符合题意;
C.,故本选项错误,不符合题意;
D.,故本选项错误,不符合题意;
故选:A.
【点睛】本题考查了分式的基本性质,解题的关键是能熟记分式的基本性质,注意:分式的基本型性质是:分式的分子和分母都乘或除以同一个不等于0的整式,分式的值不变.
6.D
【分析】先将分式的分子分母分别因式分解,将除法转化成乘法运算,然后分子与分母进行约分化简,即可得出答案.
【详解】解:原式
,
故选:D.
【点睛】此题考查了分式的乘除混合运算,熟练掌握分式的乘除运算法则是解答此题的关键.
7.A
【分析】先将原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算,再约分得到最简结果,把已知等式代入计算即可求出值.
【详解】解:∵,
∴
.
故选A.
【点睛】此题考查了分式的化简求值,将原式进行正确的化简是解本题的关键.
8.
【分析】由分母不为零可得,从而可得答案.
【详解】解:∵分式有意义,
∴,
解得:,
故答案为:.
【点睛】本题考查的是分式有意义的条件,掌握“分式的分母不为零”是解本题的关键.
9.2
【分析】根据分式值为0的条件:分子为0,分母不能为0 ,即可求解.
【详解】解:当分子且,
即时,分式的值为0,
故答案为:2.
【点睛】本题考查了分式的值为0 的条件,解题的关键要注意分母不能为0.
10.分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式,分式的值不变.
【分析】根据分式的基本性质矩形计算即可.
【详解】解: ,
依据是分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式,分式的值不变.
故答案为:分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式,分式的值不变.
【点睛】本题主要考查了分式的基本性质,分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式,分式的值不变.
11.
【分析】先计算乘方运算,然后再计算除法即可.
【详解】解:,
故答案为:.
【点睛】题目主要考查乘方运算及整式的除法,熟练掌握运算法则是解题关键.
12.
【分析】利用单项式乘单项式的法则进行运算即可.
【详解】解:.
故答案为:.
【点睛】本题主要考查单项式乘单项式,解答的关键是对相应的运算法则的掌握.
13.(1)减小,减小
(2)当时,无限接近于2
(3)
【分析】(1)根据的变化情况,判断、值得变化情况即可;
(2)根据材料由即可求解;
(3)由,配合即可求解.
【详解】(1)解:∵当时,随着的增大,的值随之减小,
∴随着的增大,的值随之减小;
∵当时,随着的增大,的值也随之减小,
∴随着的增大,的值随之减小,
故答案为:减小;减小;
(2)解:∵
∵当时,的值无限接近于0,
∴当时,无限接近于2;
(3)解:,
∵,
∴,
∴,
∴,
即
∴,
故答案为:
【点睛】本题考查分式的性质,熟练掌握分式的基本性质,理解题中的变量分离的方法是解题的关键.
14.
【分析】先算乘方,然后再进行分式的除法运算即可.
【详解】解:原式
.
【点睛】本题主要考查分式的除法,熟练掌握分式的除法运算是解题的关键.
15.
【分析】根据分式的乘除混合运算法则求解即可.
【详解】
.
【点睛】此题考查了分式的乘除混合运算,解题的关键是熟练掌握分式的乘除混合运算法则.
16.
【分析】先把各个分式的分子、分母因式分解,将原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算,再利用除法法则变形,约分即可得到结果.
【详解】解:
.
【点睛】本题考查了分式的混合运算,熟练掌握运算顺序和每一步的运算法则是解答本题关键.
17.(1),
(2)
【分析】(1)根据规律可以直接得到答案;
(2)先将分母进行因式分解,再将分式表示成两个分式的差,即可得到答案.
【详解】(1)解:,
故答案为:,;
(2)解:
.
【点睛】本题考查因式分解和分式运算,解题的关键是熟练掌握因式分解的方法和分式的运算法则.
18.
【分析】根据分式的运算法则,先去括号,再算除法.
【详解】解:原式
.
【点睛】本题考查分式的混合运算.熟练掌握分式的运算法则,是解题的关键.
19.(1)第二步,去分母,利用同分母分数相加减法则,分母不变,分子相加减
(2)见解析
【分析】(1)小明的解答从第二步开始出现错误,错误的原因是去分母;
(2)根据分式的混合运算顺序和运算法则化简可得.
【详解】(1)请你帮助小明分析错误原因,并加以改正.
小明的解答从第二步开始出现错误,错误的原因是去分母;
正确的解题思路是利用同分母分数相加减法则,分母不变,分子相加减.
故答案为:第二步,去分母,利用同分母分数相加减法则,分母不变,分子相加减;
(2)解:
【点睛】本题主要考查分式的混合运算,解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则.
20.,
【分析】首先化简分式,再通过方程得出,然后整体代入,即可得出结果.
【详解】解:
,
∵,
∴,
∴原式.
【点睛】本题考查了分式的化简求值,得出分式准确的最简结果是解本题的关键.
21.1
【分析】把分式方程化为整式方程,再解出整式方程可得,再由原方程的解为正数,求出的取值范围,即可求解.
【详解】解:原方程可化为:,
.
原方程的解为正数,
,
,
,
,
,
,
∴的取值范围为且,
正整数的值为1.
【点睛】本题考查了解分式方程,熟练掌握解分式方程的基本步骤,并注意算出的答案要去除分母为0的情况.
22.一个小号垃圾桶的价格为元
【分析】设一个小号垃圾桶的价格为元,则:一个大号垃圾桶的价格是元,根据大号垃圾桶购买的数量比小号垃圾桶少50个,列出分式方程,进行求解即可.
【详解】解:设一个小号垃圾桶的价格为元,则:一个大号垃圾桶的价格是元,
由题意,得:,
解得:,
经检验:是原方程的解;
∴一个小号垃圾桶的价格为元.
【点睛】本题考查分式方程的应用.根据题意,正确的列出分式方程,是解题的关键.注意,验根.
23.40件
【分析】根据题意,设B型机器人每小时搬运x件产品,那么A型机器人每小时搬运件产品,然后列出分式方程,解分式方程即可.
【详解】解:设B型机器人每小时搬运x件产品,那么A型机器人每小时搬运件产品.
根据题意列方程,得
解得:
经检验:是原分式方程的解,且符合实际意义.
答:B型机器人每小时搬运40件产品.
【点睛】本题主要考查分式方程的应用,解题的关键是熟练掌握列分式方程解应用题的一般步骤,即①根据题意找出等量关系,②列出方程,③解出分式方程,④检验,⑤作答.注意:分式方程的解必须检验.
24.(1)
(2)燃油车的每千米行驶费用为0.6元,新能源车的每千米行驶费用为0.06元
(3)5000
【分析】(1)根据每千米行驶费用=相应的费用÷续航里程,即可求解;
(2)结合(1)进行求解即可;
(3)根据题意,可以列出相应的不等式,然后求解即可.
【详解】(1)解:由表格可得,
新能源车的每千米行驶费用为:(元);
(2)解:∵燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.54元,
∴,
解得,
经检验,是原分式方程的解,
∴(元),(元),
答:燃油车的每千米行驶费用为0.6元,新能源车的每千米行驶费用为0.06元;
(3)解:设每年行驶里程为,
由题意得:,
解得,
答:当每年行驶里程大于时,买新能源车的年费用更低.
【点睛】本题考查分式方程的应用、一元一次不等式的应用、列代数式,解答本题的关键是明确题意,列出相应的分式方程和不等式.
25.步行的速度为千米/小时,骑自行车的速度为千米/小时
【分析】设步行的速度为千米/小时,则骑自行车的速度为千米/小时,根据步行的时间加上骑自行车的时间等于2小时,列出分式方程,解出即可得出答案.
【详解】解:设步行的速度为千米/小时,则骑自行车的速度为千米/小时,
根据题意,可得:,
解得:,
经检验是原方程的解,
∴,
∴步行的速度为千米/小时,骑自行车的速度为千米/小时.
【点睛】本题考查了分式方程的应用,解本题的关键在理清题意,找出等量关系,正确列出方程.
26.该消毒液用于环境消杀的浓度为
【分析】消毒液用于环境消杀的浓度为,则用于衣物消杀的浓度为,然后根据题意列分式方程求解即可.
【详解】解:消毒液用于环境消杀的浓度为,则用于衣物消杀的浓度为
由题意可得:
解得:
经检验是分式方程的解.
答:该消毒液用于环境消杀的浓度为.
【点睛】本题主要考查了分式方程的应用,根据题意正确列出分式方程是解答本题的关键.
27.80
【分析】设新型机器人每天搬运的货物量为x吨,则旧型机器人每天搬运的货物量为吨,根据等量关系列出方程即可.
【详解】解:设新型机器人每天搬运的货物量为x吨,则旧型机器人每天搬运的货物量为吨,
根据题意得:,
方程两边同乘,
得,
解得,
经检验,是分式方程的解
答:新型机器人每天搬运的货物量为80吨.
【点睛】本题考查的是解分式方程,解题的关键是找准等量关键正确列出方程.
28.该磁悬浮列车的平均速度为.
【分析】设地铁的平均速度为,则该磁悬浮列车的平均速度为,根据“乘坐磁悬浮列车所用时间比乘坐地铁所用时间少小时”,得出关于x的分式方程,解之经检验后即可得出结论.
【详解】解:设地铁的平均速度为,则该磁悬浮列车的平均速度为.
由题意知,.
解得.
经检验,是原方程的解,且符合题意.
所以.
答:该磁悬浮列车的平均速度为.
【点睛】本题考查了分式方程的应用,找准等量关系,正确列出分式方程是解题的关键.