北京课改版：第十二章 三角形 2022-2023学年上学期北京市八年级数学期末试题选编（含解析）

第十二章 三角形
一、单选题
1．（2022秋·北京西城·八年级统考期末）在下列各图的中，正确画出边上的高的图形是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2022秋·北京平谷·八年级统考期末）为估计池塘两岸A、B间的距离，如图，小明在池塘一侧选取了点O，测得，那么A、B间的距离不可能是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022秋·北京通州·八年级统考期末）图1是一路灯的实物图，图2是该路灯的平面示意图，，，则图2中的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．（2022秋·北京朝阳·八年级统考期末）如图，，下列条件①；②；③；④中，若只添加一个条件就可以证明，则所有正确条件的序号是（ ）
A．①② B．①③ C．①②③ D．②③④
5．（2022秋·北京石景山·八年级统考期末）如图1所示的“三等分角仪”能三等分任意一个角．这个三等分角仪由两根有槽的棒，组成，两根棒在点相连并可绕点转动．点固定，，点，可在槽中滑动．如图2，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
6．（2022秋·北京房山·八年级统考期末）如图，中，是边的高线，平分，，，则的面积是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
7．（2022秋·北京石景山·八年级统考期末）如图，在中，，，点为延长线上一点，点为边上一点，若，则的度数为 ．
8．（2022秋·北京顺义·八年级统考期末）如图，与相交于点，，那么要得到，可以添加一个条件是 （填一个即可）.
9．（2022秋·北京丰台·八年级期末）如图，已知，请添加一个条件（不添加辅助线） ，使，依据是 ．
10．（2022秋·北京通州·八年级统考期末）在测量一个小口圆形容器的壁厚时，小明用“型转动钳”按如图方法进行测量，其中，，测量的长度即可知道的长度，理由是根据 可证明．
11．（2022秋·北京怀柔·八年级统考期末）已知：如图，C为上一点，．只需添加一个条件则可证明．这个条件可以是 ．（写出一个即可）．
12．（2022秋·北京海淀·八年级统考期末）甲乙两位同学进行一种数学游戏．游戏规则是：两人轮流对及对应的边或角添加等量条件(点，，分别是点A，B，C的对应点)，某轮添加条件后，若能判定与全等，则当轮添加条件者失败，另一人获胜．
轮次 行动者 添加条件
1 甲 cm
2 乙 cm
3 甲 …
上表记录了两人游戏的部分过程，则下列说法正确的是 (填写所有正确结论的序号)
①若第3轮甲添加cm，则乙获胜；
②若甲想获胜，第3轮可以添加条件；
③若乙想获胜，可修改第2轮添加条件为．
13．（2022秋·北京门头沟·八年级统考期末）等腰三角形的两边长分别是3cm、7cm，则它的周长为 cm．
14．（2022秋·北京丰台·八年级统考期末）如图，在等边中，是边上的高，延长至点E，使，则的长为 ．
15．（2022秋·北京房山·八年级统考期末）如图，等腰中，，，于点D，点E在的延长线上，点F在线段上，且．有下面四个结论：①；②；③是等边三角形；④．其中所有正确结论的序号是 ．
16．（2022秋·北京延庆·八年级统考期末）等腰三角形有两条边长分别为和，则这个等腰三角形的周长为 ．
17．（2022秋·北京石景山·八年级统考期末）如图，中，，平分，交于点，于，若，，则的长为 ．
三、解答题
18．（2022秋·北京平谷·八年级统考期末）如图，点P在的平分线上，，求证：．
19．（2022秋·北京石景山·八年级统考期末）已知：如图，点是线段上一点， ，，．求证：．
20．（2022秋·北京延庆·八年级统考期末）如图，点A，B，C，D在一条直线上，，，．请判断与的关系，并证明你的结论．
21．（2022秋·北京门头沟·八年级统考期末）已知：如图，点B，F，C，E在一条直线上，，，．
求证：．
22．（2022秋·北京房山·八年级统考期末）下面是证明等腰三角形判定定理的两种添加辅助线的方法，选择其中一种完成证明．
等腰三角形判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么两个角所对的边也相等． 已知：如图，中，，求证：．
证明：如图，作的平分线交于点D． 证明：如图，作边上高线交于点D．
23．（2022秋·北京通州·八年级统考期末）如图中，，，D是边上一点，连接，垂足为点C，且，交线段于点F．
(1)在图1中画出符合题意的图形，并证明；
(2)当时，求证：平分．
24．（2022秋·北京海淀·八年级统考期末）在中，，为延长线上一点，点为线段，的垂直平分线的交点，连接，，．
(1)如图1，当时，则______°；
(2)当时，
①如图2，连接，判断的形状，并证明；
②如图3，直线与交于点，满足．为直线上一动点．当的值最大时，用等式表示，与之间的数量关系为______，并证明．
25．（2022秋·北京平谷·八年级统考期末）如图，中，，（），为边上的中线，过点作于，交于点，作的角平分线于，交于．
(1)①补全图形1；
②求的度数（用含的式子表示）．
(2)如图2，若，猜想与的数量关系，并证明你的结论．
26．（2022秋·北京顺义·八年级统考期末）如图，为等边三角形，在内作射线，点关于射线的对称点为点，连接，作射线交于点，连接．
(1)依题意补全图形；
(2)设，求的大小（用含的代数式表示）；
(3)用等式表示，，之间的数量关系，并证明．
27．（2022秋·北京通州·八年级统考期末）已知：线段及过点A的直线l．如果线段与线段关于直线l对称，连接交直线l于点D，以为边作等边，使得点E在的下方，作射线交直线l于点F，连结．
(1)根据题意补全图形；
(2)如图，如果，
①　 　；（用含有α代数式表示）
②用等式表示线段与的数量关系，并证明．
28．（2022秋·北京平谷·八年级统考期末）用直尺和圆规作一个的角．
作法：①作直线，在直线上任取一点；
②以为圆心，任意长为半径作弧，交直线于两点；
③分别以为圆心，大于的同样长为半径作弧，两弧在直线的上方交于点，作直线；
④作的角平分线；
所以即为所求作的角．
(1)利用直尺和圆规依作法补全图形(保留作图痕迹)；
(2)完成下面的证明．
证明：连接，
，
点在线段的垂直平分线上( )(填推理的依据)．
，
点在线段的垂直平分线上．
直线是线段的垂直平分线．
．
∴
∵平分，
∴．
29．（2022秋·北京石景山·八年级统考期末）已知：．
求作：点，使得点在上，且．
作法：
①分别以，为圆心，大于的同样长为半径作弧，两弧分别交于，；
②作直线，与交于点．
点为所求作的点．
根据上述作图过程
(1)请利用直尺和圆规补全图形（保留作图痕迹）；
(2)完成下面的证明．
证明：连接，，，．
　　，，
，在线段的垂直平分线上．即是线段的垂直平分线．
点在直线上，
　　（填写推理的依据）．
30．（2022秋·北京顺义·八年级统考期末）数学课上，同学们兴致勃勃地探讨着利用不同画图工具画角的平分线的方法．
小惠说：如图，我用两把完全相同的直尺可以作出角的平分线．画法如下：
①第一把直尺按图1所示放置，使一条边和射线对齐；
②第二把直尺按图2所示放置，使一条边和射线对齐；
如图3，两把直尺的另一条边相交于点，作射线．射线是的平分线．
小旭说：我用两个直角三角板可以画角的平分线．
小宇说：只用一把刻度尺就可以画角的平分线．
……
请你也参与探讨，解决以下问题：
(1)小惠的做法正确吗？如果正确，请说明依据，如果不正确，请说明理由；
(2)请你参考小旭或小宇的思路，或根据自己的思路，画出下图中的平分线，并简述画图的过程．
31．（2022秋·北京顺义·八年级统考期末）如图，在中，，分交于点，过点作交于点，，垂足为点．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
32．（2022秋·北京延庆·八年级统考期末）在同一平面内的两个图形M，N，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为图形N上任意一点，如果P，Q两点间的距离有最大值，那么称这个最大值为图形M，N间的“最距离”，记作：．
如图，点B，C在数轴上表示的数分别为0，2，于点B，且．
(1)若点D在数轴上表示的数为5，求d（点D，）；
(2)若点E，F在数轴上表示的数分别是x，，当d（线段，）时，求x的取值范围．
33．（2022秋·北京门头沟·八年级统考期末）已知：如图，在中，，．求边上的高的长．
34．（2022秋·北京怀柔·八年级统考期末）康康同学在研究等边三角形，如图1，已知是等边三角形，D为边的中点，E为中线上一点（E不可取A点，可取D点），点E关于直线的对称点是点F．连接，，．
(1)①在图1中补全图形；
②他发现E点在中线上运动时，是一种特殊三角形．
请你回答是 三角形；
③利用图1证明这个结论．
(2)康康同学发现当E点在中线上运动时，的长度也有规律的变化．当为最大值时，在图2中画出点F，并连接与交于点P．
①按要求画出图形；
②在上存在一点Q，使的值最小，猜想这最小值____________（填>，<，=）；
③证明②的结论．
(3)在边上存在一点M，同时满足的值最大且的值最小，则此时与的数量关系是____________．
35．（2022秋·北京海淀·八年级统考期末）在平面直角坐标系中，点，分别在线段，上，如果存在点使得且(点，，逆时针排列)，则称点是线段的“关联点”如图1．点是线段的“关联点”．
(1)如图2，已知点，，点与点重合．
①当点是线段中点时，在，中，其中是线段的“关联点”的是___________；
②已知点是线段的“关联点”，则点的坐标是_______________．
(2)如图3，已知，．
①当点与点重合，点在线段上运动时(点不与点重合)，若点是线段的“关联点”，求证：；
②当点，分别在线段，上运动时，直接写出线段的“关联点”形成的区域的周长．
36．（2022秋·北京房山·八年级统考期末）如图，在中，，平分交于点D，过点D作交于点E．
(1)求证：；
(2)如果，，求的长．
参考答案：
1．C
【分析】根据三角形的高的概念判断．
【详解】解：边上的高就是过B作垂线垂直交于某点，因此只有C符合条件，
故选C．
【点睛】本题考查了利用基本作图作三角形高的方法，熟练掌握相关知识是解题的关键．
2．A
【分析】根据三角形的三边关系，即可求解．
【详解】解：如图，连接，
∵，
∴，
即，
∴A、B间的距离不可能是．
故选：A
【点睛】本题主要考查了三角形的三边关系，熟练掌握三角形的两边之和大于第三边两边之差小于第三边是解题的关键．
3．C
【分析】根据三角形外角的性质求解即可．
【详解】解：∵是的外角，，，
∴，
故选：C
【点睛】此题考查了三角形外角，熟练掌握三角形的外角等于不相邻两个内角和是解题的关键．
4．C
【分析】利用三角形全等的判定条件判定即可．
【详解】解：已知，
加上①，可用“”来判定．
加上②，可用“”来判定．
加上③，可用“”来判定
加上④不能判定
故选C．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定条件，熟练掌握是解题的关键．
5．B
【分析】由等边对等角即可得出．再结合三角形外角性质即可求出，从而可求出的大小．
【详解】解：，
，，
，
，
，
，
，
，
，
故选：．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质，三角形外角的性质．利用数形结合的思想是解题关键．
6．B
【分析】过点E作于点F，根据角平分线的性质，得出，根据三角形面积公式进行计算即可．
【详解】解：过点E作于点F，如图所示：
∵是边的高线，
∴，
∵平分，
∴，
∴，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，三角形面积的计算，解题的关键是熟练掌握角平分线上的点到角的两边距离相等．
7．/65度
【分析】根据直角三角形的性质求出，再根据三角形的外角性质求出。
【详解】解：在中，，，
则，
是的外角，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是直角三角形的性质、三角形的外角性质，掌握直角三角形的两锐角互余是解题关键。
8．（答案不唯一）
【分析】根据全等三角形的判定方法添加条件证明即可．
【详解】解：可以添加一个条件是，
证明：在与中，
，
∴，
故答案为：（答案不唯一）．
【点睛】题目主要考查添加条件证明三角形全等，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题关键．
9． ．
【分析】根据全等三角形的判定方法，结合题意，求解即可．
【详解】解：由题意可得：，，
再由，可得，
故答案为：，（答案不唯一）
【点睛】此题考查了全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法．
10．
【分析】利用三角形全等的定理证明，根据全等三角形的性质可得．
【详解】解∶在和中，
，
∴，
∴，
故答案为∶ ．
【点睛】本题考查的是全等三角形的应用，熟练掌握三角形全等的定理是解题的关键．
11．（答案不唯一）
【分析】此题是一道开放型的题目，答案不唯一，只要符合全等三角形的判定定理即可．
【详解】解：添加的条件是，
理由是：在和中，
，
∴，
故答案为：（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有，，，，两直角三角形全等还有等．
12．①③
【分析】根据全等三角形的判定定理逐一分析判断即可．
【详解】解：①∵如果甲添加cm，
又cm，cm，
∴（SSS），
∴乙获胜，故结论①正确；
②∵如果甲添加，
又，
∴是直角三角形，且，
∴这两个三角形的三边长度就确定下来，且必然对应相等，这两个三角形全等，故甲会输，故结论②错误，
③如果第二条条件修改为，甲在第三条填入，那么乙可能获胜，故结论③正确．
【点睛】本题考查全等三角形的判定定理，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理．
13．17
【分析】根据等腰三角形的性质分两种情况：①当腰长为时，②当腰长为时，分别进行求解即可．
【详解】解：①当腰长为时，三角形的三边分别为，，，不符合三角形的三边关系；
②当腰长为时，三角形的三边分别为，，，符合三角形的三关系，则三角形的周长；
故答案为：17．
【点睛】本题主要考查对等腰三角形的性质、三角形的三边关系等知识点，已知没有明确腰和底边的情况下，需要分类进行分类讨论，还应验证各自情况是否能构成三角形．
14．3
【分析】由等边三角形的性质可得，根据是边上的高线，可得，再由题中条件，即可求得．
【详解】解：∵是等边三角形，
∴，
∵是边上的高线，
∴D为的中点，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：3．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质及等边三角形的性质，考查了学生综合运用数学知识的能力，得到是正确解答本题的关键．
15．①③/③①
【分析】根据等边对等角，求出的度数，即可判断①；易证，，即可判断②；连接，先根据三角形的内角和求出，再证明，可得出，求出，即可判断③； 根据三角形三边之间的关系，即可判断④．
【详解】解：①∵，，
∴，
∵，
∴，
故①正确；
②∵，，，
∴，
∴，
在中，，
∴
与不全等，
故②不正确；
③连接，
∵，，
∴为的垂直平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
由①可得
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形；
故③正确；
④由③可知，是等边三角形；
∴，
在中，，
∴，
故④不正确；
综上：正确的有①③；
故答案为：①③．
【点睛】本题主要考查了等腰三角的性质，三角形的内角和，等边三角形的判定和性质，三角形三边之间的关系，熟练掌握相关内容并灵活运用是解题的关键．
16．17
【分析】由等腰三角形两腰长相等的性质，分7为腰长或3为腰长两种情况，结合三角形三边关系即可求解．
【详解】解：根据题意，当腰长为时，7、7、3能组成三角形，周长为：；
当腰长为时，，7、3、3不能构成三角形，
故答案为：17．
【点睛】本题主要考查等腰三角形的定义和三角形的三边关系，解题的关键是掌握“三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”．
17．
【分析】先由角平分线的性质得到，再证明，得到长，再根据勾股定理解出，设，则，由勾股定理得求出长．
【详解】解：，，平分，
，
在与中，
，
，
，
，
，
在中，由勾股定理得，
，
设，则，
在中，由勾股定理得，
，
即，
解得，
即的长为，
故答案为：．
【点睛】本题考查勾股定理，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，熟练掌握各种性质定理是解题的关键．
18．见解析
【分析】根据平分，可得，可证得，即可．
【详解】证明：∵平分，
∴，
在和中
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
19．见解析
【分析】由平行线的性质可得，由“”可证，可得．
【详解】证明：∵，
∴，
在和中，，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练运用全等三角形的判定是解本题的关键．
20．，，证明见解析
【分析】根据已知条件可证，由全等三角形的性质可得：，．，进而得到．
【详解】解：，，证明如下：
∵，
∴．
∴．
在和中，
∴．
∴，．
∴．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质判定、全等三角形的判定和性质等知识点，根据已知条件证得是解答本题的关键．
21．证明见解析
【分析】根据两直线平行，内错角相等，得出，再根据线段之间的数量关系，得出，再根据“边角边”，即可得出结论．
【详解】证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴．
【点睛】本题考查了平行线的性质、全等三角形的判定定理，解本题的关键在熟练掌握全等三角形的判定方法．
22．见解析
【分析】利用辅助线信息，结合“”证明全等三角形即可．
【详解】证：（1）作的平分线交于点D，
∴，
在和中，
∴，
∴；
（2）作边上高线交于点D，
∴，
在和中，
∴，
∴．
【点睛】本题考查等腰三角形判定定理的证明，掌握全等三角形的判定与性质是解题关键．
23．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据题意画出图形，证明，即可得出；
（2）根据得出，根据，得出，根据平行线的判定和性质，证明，得出，从而证明，得出，证明，根据等腰三角形的性质即可得出结论．
【详解】（1）解：如图，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴平分．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定和性质，三角形全等的判定和性质，余角的性质，角平分线的定义，解题的关键是根据题意画出图形，熟练掌握直角三角形全等判定方法，证明．
24．(1)100；
(2)①时等边三角形，证明见解析；
②．证明见解析．
【分析】（1）利用线段的垂直平分线的性质以及三角形内角和定理，四边形内角和定理解决问题即可；
（2）①时等边三角形，证明，即可；②结论：．如图，作点关于直线的对称点，连接，，．当点在的延长线上时，的值最大，此时，利用全等三角形的性质证明，可得结论．
【详解】（1）解：∵点为线段，的垂直平分线的交点，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：100．
（2）解：①结论：时等边三角形．
理由：∵点是线段，的垂直平分线的交点，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴时等边三角形；
②结论：．
理由：如图，作点关于直线的对称点，连接，，．
∵
则，点在的延长线上时，的值最大，此时，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴时等边三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴（SAS），
∴，
∵，，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，轴对称的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型．
25．(1)①见解析；②
(2)，见解析
【分析】（1）①根据题意，补全图形即可；②根据三角形内角和的性质，求解即可；
（2）连接，通过证明，得到是等腰直角三角形，即可求解．
【详解】（1）解：①补全图形
②∵，是的中点
∴
∴
∵
∴
∴
∵
∴
（2），证明：
连接，
∵，，
∴．
∴，
∵平分，
∴．
∵
∴
∴
∵在和中
∴
∴
∵是的中点，
∴是的垂直平分线．
∴
∵
∴是等腰直角三角形
∴．
∴
【点睛】此题考查了三角形内角和的性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，垂直平分线的性质，解题的关键是能够灵活利用相关性质进行求解．
26．(1)图见解析
(2)
(3)，证明见解析
【分析】（1）根据题意，补全图形即可；
（2）连接，交于点，根据点关于射线的对称点为点，得到为线段的中垂线，进而得到，利用为等边三角形，得到三个角均为，，从而得到，利用三角形的内角和定理，求出，再用，即可得解；
（3）延长至点，使，连接，证明从而得到，，进而得到，从而得到为等边三角形，根据，得到即可．
【详解】（1）解，补全图形，如图所示：
（2）解：连接，交于点，如图所示：
∵点关于射线的对称点为点，
∴为线段的中垂线，
∴，
∵，
∴是的角平分线，
∴，
∵为等边三角形，
∴，，
∴，，
∴，
∴；
（3），证明如下：
延长至点，使，连接，如图：
由（2）知，为线段的中垂线，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
即：，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∴，即：，
∴为等边三角形，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查对称的性质，中垂线的性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质．熟练掌握中垂线上的点到线段两端点的距离相等，等边三角形的三角相等，三边相等，证明三角形全等，是解题的关键．
27．(1)见解析
(2)①；②，理由见解析
【分析】（1）根据要求作出图即可；
（2）①利用等腰三角形得性质以及三角形得内角和定理求解即可；
②结论：，在上截取，使得，连接，证明，推出，推出，可以得出结论．
【详解】（1）图形如图所示：
（2）解：①∵线段与线段关于直线对称，
∴垂直平分线段，
∵是等边三角形，
，
，
故答案为：；
②结论：
理由如下：
在上截取，使得，连接
，
是等边三角形
在和中
，
，
即．
【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查了等腰三角形得性质，等边三角形得性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是学会添加辅助线，构造全等三角形解决问题．
28．(1)见解析
(2)到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上
【分析】（1）根据题意，补全图形，即可求解；
（2）连接，，由，可得点在线段的垂直平分线上，继而得到是线段的垂直平分线，可得，再由平分，即可．
【详解】（1）解：补全图形如下：
（2）证明：连接，，
，
点在线段的垂直平分线上（到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上)
，
点在线段的垂直平分线上．
是线段的垂直平分线．
．
∴，
∵ 平分，
∴．
【点睛】本题主要考查了尺规作图，线段垂直平分线的判定，熟练掌握作已知线段的垂直平分线，作已知角的平分线的作法是解题的关键．
29．(1)见解析
(2)，线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点距离相等．
【分析】（1）根据题意进行作图即可；
（2）先根据作图方法可知，，则点在直线上，再根据线段垂直平分线的性质即可证明结论．
【详解】（1）解：如图，点即为所求；
（2）证明：连接，，，．
，，
，在线段的垂直平分线上．即是线段的垂直平分线．
点在直线上，
（线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点距离相等）．
故答案为：，线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点距离相等．
【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的尺规作图，线段垂直平分线的性质，熟知线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点距离相等是解题的关键．
30．(1)正确，理由见解析
(2)图见解析，过程见解析
【分析】（1）小惠的做法正确，依据是角平分线上的点到角两边的距离相等；
（2）在上取，把两块含的完全相同的直角三角板按照如图所示的位置放置，两条长直角边交于点，则射线即为的角平分线．
【详解】（1）解：小惠的做法正确，理由如下：
由作图可知，点到的距离均为尺子的宽度，
∵两把完全相同的尺子，
∴尺子的宽度相同，
即点到角两边的距离相等，
根据到角两边距离相等的点在角平分线上，即可得到：为的角平分线．
（2）解：在上取，把两块含的完全相同的直角三角板按照如图所示的位置放置，两条长直角边交于点，则射线即为的角平分线．
∵，
又∵，
∴，
∴，
即：即为的角平分线．
【点睛】本题考查角平分线的判定，以及全等三角形的判定和性质．熟练掌握到角两边距离相等的点在角平分线上，是解题的关键．
31．(1)见解析
(2)
【分析】（1）利用角平分线平分角，得到，利用平行线的性质，得到，从而得到：，即可得到：；
（2）利用角平分线的性质，得到，利用勾股定理求出的长，再根据，，求出的长，再利用勾股定理，求出的长即可．
【详解】（1）证明：∵分交于点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，分交于点，，
∴，
∴，
在中，，
∵，
∴，
在中，．
【点睛】本题考查角平分线的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，以及勾股定理．熟练掌握有角平分线和平行线，必有等腰三角形，是解题的关键．
32．(1)
(2)或
【分析】（1）根据直角三角形中,斜边最长，判定点D到图形的最距离是，根据勾股定理计算即可．
（2）分线段在原点的左侧和右侧两种情形计算．
【详解】（1）连接，，根据直角三角形中斜边最长，
所以点D到图形的最距离是，
因为点B，C在数轴上表示的数分别为0，2，于点B，且，点D在数轴上表示的数为5，
所以，
所以，
所以d（点D，）为．
（2）当线段在原点的左侧时，
因为点E，F在数轴上表示的数分别是x，，
所以d（线段，）时，
得到，
所以，
解得；
当线段在原点的右侧时，
因为点E，F在数轴上表示的数分别是x，，
所以d（线段，）时，
得到，
所以，
解得，（舍去）；
综上所述，x的取值范围或．
【点睛】本题考查了新定义问题，正确理解新定义的内涵是解题的关键．
33．边上高的为
【分析】过作于，根据等腰三角形三线合一的性质，得出，再根据勾股定理，得出，即可得出边上高的长．
【详解】解：如图，过作于，
在中，
∵，，
∴，
在中，
∵，，
∴，
∴边上高的为．
【点睛】本题考查了等腰三角形三线合一的性质、勾股定理，解本题的关键在熟练掌握等腰三角形三线合一的性质．
34．(1)①图形见详解；②等边；③证明见详解；
(2)①图形见详解；②；③证明见详解；
(3)．
【分析】（1）①根据题意补全图形即可；②③通过证明，从而判定是等边三角形；
（2）①根据题意画图即可；②③由已知可知：点关于直线的对称点一定在上，先证明，当且仅当点在线段上时（如图所示），上式等号成立即的最小值等于，即结论得证；
（3）连接并延长交于，设交于点，先证明最小；再根据的值最大，可知点与点重合，点在上，最后证明得到．
【详解】（1）解：①补全图形如图1所示：
②根据题意可知，是等边三角形；
故答案为：等边；
③点E关于直线的对称点是点F，
垂直平分线段，
，
又是等边三角形，且是中线，
，
，
，
是等边三角形；
（2）解：①如图1，
可知，
为直角三角形，
边是定值，要使斜边最大，则最大，
当点与点重合时，最大，
故当点与点重合时，点关于直线的对称点即为所求点；
如图2所示：
②在上存在一点Q，使的值最小，猜想这最小值等于；
答案为：；
③如图，由已知可知：点关于直线的对称点一定在上，
，
又是等边三角形，且是中线，
垂直平分线段，
，
，
由图可知：，
当且仅当点在线段上时（如图所示），上式等号成立，
即的最小值等于，
故在上存在一点Q，使的值最小，且这最小值等于；
（3）解：如图，连接并延长交于，设交于点，
点E关于直线的对称点是点F，
最小；
又的值最大，
点与点重合，点在上，如图，
是等边三角形，
，
，
，
，
为线段的中点，
；
故答案为：．
【点睛】此题是关于等边三角形的综合题，主要考查了等边三角形的判定、轴对称的性质、垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形的三边关系以及勾股定理等知识，熟练掌握相关定理与性质、添加适当的辅助线是解答此题的关键．
35．(1)①；②
(2)①证明过程见详解；②
【分析】（1）①点与点重合，则点，点是线段中点，则，根据“关联点”的定义，即可求解；
②点，“关联点”点，根据“关联点”的定义，即可求解；
（2）①证明，推出，可得结论；
②分别证明M在平行于OA的直线上和平行于x轴的直线上运动，当P、Q分别于A、B重合时，四边形是平行四边形，进而可证四边形是菱形，然后找出线段的“关联点”形成的区域求解即可．
【详解】（1）解：①点，，点与点重合，点是线段中点，
∴，，
∴，
根据“关联点”的定义可知，且(点，，逆时针排列)，
如图所示，连接，作线段的垂直平分线，且点，点，
∴，点，，在一条直线上，不满足，故点不是线段的“关联点”；
∵，，，
∴，且，，
∴，，
∴点是线段的“关联点”，
故答案为：；
②∵点，“关联点”点，
∴，且，
使得，连接，，，如图所示，
∴点，“关联点”点，则点的坐标为，即点与点重合，
故答案为：．
（2）解：①如图中，
∵，
∴是等边三角形，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
②如图，
过上点Q作交于P，则是等边三角形，
同①可证，，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形．
如图，当点，分别在线段，上运动时，线段的“关联点”形成的区域是边长为4的菱形．
∴当点P，Q分别在线段，上运动时，线段的“关联点”M形成的区域的周长为16．
【点睛】本题主要考查平面直角坐标系中动点与图像变换的综合，掌握“关联点”的定义，等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，等边三角形的性质是解题的关键．
36．(1)见解析
(2)的长为3
【分析】（1）根据平分，证明，最后根据等角对等边即可得出答案；
（2）过点D作于点F，根据角平分线的性质得出，证明，得出，设，则，，根据勾股定理列出方程，求出x的值即可得出答案．
【详解】（1）证明：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
（2）解：过点D作于点F，如图所示：
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，，
在中根据勾股定理得：，
即，
解得：，
即的长为3．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，平行线的性质，等腰三角形的判定，三角形全等的判定和性质，角平分线的性质，解题的关键是作出辅助线，证明，根据勾股定理列出方程．