2.4.1圆的标准方程 课件（共18张PPT）

(共18张PPT)
2.4.1
圆的标准方程
人教A版（2019）选择性必修第一册
学习目标
1. 掌握圆的标准方程，会利用待定系数法求圆的标准方程。
2. 会根据圆的标准方程写出圆的半径和圆心坐标。
3.会判定点与圆的位置关系，会解决与圆相关的实际问题。
4.核心素养：逻辑推理、数学抽象、数学运算
一、复习导入
平面直角坐标系
直线方程
直线
直线方程
利用直线方程，研究位置关系、距离等问题
圆是一切平面图形中最美的图形。
——毕达哥拉斯学派
代数运算
问题1：类比直线方程的研究过程，我们该如何研究圆的方程呢？
二、新课讲授
1、圆的标准方程
平面直角坐标系
圆
圆的方程
利用圆的方程，研究与圆有关的位置关系、几何度量等问题
代数运算
追问1：直线的方程是如何建立的呢？
直线的几何要素
（点，方向）
几何关系
直线方程的点斜式等
坐标化
追问2：在平面直角坐标系中，如何确定一个圆呢？
圆心
半径
定点定长
位置
大小
几何要素

问题2：设圆心，半径为，如何求出圆的方程呢？
A
M
追问1：圆上任意一点M(x,y)满足什么性质？
圆，一中同长也。——墨子
即到定点的距离等于定长的所有点构成了圆。
=

（1）
追问2：方程（1）一定是圆的方程吗？
（1）
点在圆上
方程（1）
=
我们把方程（1）称为圆心为，半径为的圆的标准方程.
问题3：与直线方程相比，圆的标准方程有什么特点？
1、直线方程是二元一次方程，圆是二元二次方程；
2、圆的标准方程有三个参量：，
问题4：圆心在原点，半径为的圆的方程是什么？
M
此时=0，
故圆的方程为：
追问1： 一定表示圆心在原点的圆吗 ？
特别地这个圆为单位圆.
表示圆心在原点，半径为的圆.
表示点(0,0).
例1 求圆心为，且经过的圆的标准方程.
三、巩固新知
分析：知道圆心和圆上一点，圆被唯一确定.
①几何角度：
圆心和半径=
圆的标准方程
②代数角度：
圆的标准方程
代入点的坐标，可解出半径
解法一：
由圆心，且点在圆上，可得
半径=
则圆的标准方程为：
解法二：
圆心，且点在圆上，由圆的标准方程可得
解得=
，
则圆的标准方程为：
例2 求圆心为，半径为5的圆的标准方程，并判断点 是否在圆上.
解：由圆心为，半径为5，可得
圆的标准方程为：
分析：判断点和圆的位置关系，可从几何角度和代数角度来解题.
①几何角度：
半径与的大小关系
位置关系
②代数角度：
点在圆上
点坐标满足方程
法一：
= ，≠
点在圆上，点不在圆上
法二： 代入圆的标准方程可得
左右两边相等，故在圆上
代入圆的标准方程可得
左右两边不相等，故不在圆上
变式训练 在上述例题中，若点不在圆上，那在什么位置呢？
解＜5，即小于半径
所以点在圆内.
例3 △的三个顶点分别为， ， ，求△外接圆的标准方程.
解法一：设所求方程是
因为点, 在圆上，故它们都满足方程，则
解得
所以△外接圆的标准方程为：
待定系数法
解法二：圆心是三角形三条边中垂线的交点
的中点坐标为(6,-1)，斜率-2，
其中垂线的斜率为，
的中垂线方程为：
，求得的中垂线方程为：
解
解
所以圆心坐标为(2,-3).
所以△外接圆的标准方程为：
半径为
例4 已知圆心为的圆经过， 两点，且圆心在直线：上，求此圆想标准方程.
解法一（代数）：设圆心为 ，半径为.因为圆心在直线：上，并且=，有
解
所以圆心坐标为(-3,-2).
则半径为
所以圆的标准方程为：
解法二（几何）：根据平面几何知识可知，圆心在弦中垂线上，故弦的中点与点的连线垂直于
弦的中点坐标为()，直线的斜率为-3.
则其中垂线的斜率为，
的中垂线方程为：
：
解
解
所以圆心坐标为(-3,-2).
则半径为
所以圆的标准方程为：
四、课堂小结
圆的标准方程：
五、作业布置
课本P85：练习 第3、4题

1、从形入手，抓住圆的几何特征：圆心、半径；
2、从数入手，用好待定系数法、方程思想.