3.1.1函数的概念 教学设计（表格式）

第三章 函数的概念与性质
3.1.1 函数的概念
【教材分析】
本节课选自《2019新人教A版高中数学必修一》第三章《函数的概念与性质》，函数是贯穿高中数学的一条主线，是解决问题的基本工具，其反映的数学思想已渗透到数学的各个领域。相比于初中函数，高中函数的概念更具有一般性、推广性，更能精确地引入函数的定义域、值域、单调性等性质，为后面更广泛的应用奠定了基础。
【学情分析】
在此之前，学生已经在初中了解了一次函数、反比例函数以及二次函数，知道可以用函数描述变量之间的依赖关系，同时，也已经可以运用集合及逻辑语言来说明、表示函数，但对更一般的函数缺乏概念，探究能力以及归纳总结能力还需有待加强和提高。
【教学目标】
学会用集合与对应的思想来掌握函数的概念及其三要素，理解定义的形成及符号，能够求出一些简单函数的定义域和值域。
2、让学生亲身经历函数概念的形成过程，体会由具体到抽象、由特殊到一般的认知过程，培养学生的探究能力及其归纳总结能力。
3、培养学生细心观察认真分析的好习惯，感受数学的简洁美、对称美、数与形的和谐统一美，锻炼学生提出问题的能力以及创新意识。
【教学重难点】
重点：掌握函数的概念及其三要素。
难点：理解函数定义的形成。
【教法学法】
教法分析：数学是一门培养人的思维、发展人的思维的重要学科，因此在教学中，不仅让其“知其然”而且还要使学生“知其所以然”。本节课要以学生为主体，循序善诱引导学生明确函数概念的由来。
学法分析：学生在本堂课程中应积极进行思考，自主探究、合作交流，勇于发表自己的见解与看法，主动理清好初中函数和高中函数概念的联系与区别。
【教学准备】
多媒体
【教学过程】
教学过程
一、温故知新，回顾旧时 引导语：在初中我们已经接触过函数的概念，知道了函数是刻画变量之间对应关系的数学模型和工具，除此之外，函数是贯穿高中数学的一条主线。 问题1：同学们还能记得初中我们是怎样定义函数的吗？ 师生活动：老师带领同学进行回顾，得出：如果有两个变量与，并且对于的每个确定的值，都唯一确定的值与其对应，我们就说是自变量，是的函数。 设计意图：高中函数是在初中函数的基础上进行拓展延伸，进行及时的复习可以帮助学生更好地理解本堂课所学的知识，学生也可以更好地理解两者之间的联系与区别，以免出现混乱。 二、合作交流，探究新知 引导语：我们都知道，正方形的周长与边长的关系为，那么它是函数吗？与正比例函数相同吗？函数与是同一个函数吗？为了解决这些问题我们就需要真正明确函数的概念，那么现在我们就从一些例题出发来进行进一步的探究。 问题2：某“复兴号”高速列车加速到350km/h后保持匀速运行半小时。这段时间内，列车行进的路程S（单位：km）与运行时间t（单位：h）的关系可以表示为什么？这是一个函数吗？为什么？ 师生活动：同学之间进行小组讨论、积极思考后由老师给出答案： 关系式为，由初中我们所学的定义可知S与t是两个变量，而且对于t的每一个确定的值，S都有唯一确定的值与之对应，所以S是t的函数。 追问1：运行1小时之后，前进了350km，你们认为正确吗？ 师生活动：老师先听取同学们的意见后给出答案：题目中只告诉了我们列车运行了半个小时的速度，说明t是有范围的，用集合来表示就是。 追问2：前进了200km，同学们能否找到对应的时间点？ 师生活动：学生根据追问1的思考方向可以得出正确答案，老师进行总结：在半小时内列车行驶了175km，由于不知道半小时后列车的速度，所以不能找到前进了200km对应的时间点，说明S也是有范围的。 追问3：那么同学们认为如何更加精确地表述S与t的对应关系？ 师生活动：学生进行小组讨论，积极思考后老师给出答案：基于前两问，我们可以用符号语言这样来表述：对应关系为S=350t，自变量集合为，函数值的集合为。这样，我们也就有了三个东西需要明确：对应关系、自变量的集合以及函数值的集合。同时，用文字语言表示即为：对于非空集合中的任意时刻t按照对应关系，在非空集合中都有唯一确定的路程S和它对应。 问题3：某电器维修公司要求工人每周工作至少1天，至多不超过6天。如果某工人每天的所得为350元，请问该工人每周所得工资W（单位 ：元）与工作的天数d（单位：天）之间的关系式又是什么样的呢？这个关系式是函数吗？ 师生活动：学生在问题1的基础上积极发言，得到了函数关系式，找出了自变量的范围，函数值的范围。 追问1：问题1和问题2都是自变量的350倍，那两个函数是同一个函数吗？ 师生活动：老师在听取同学们的回答后给出答案：首先，我们可以知道这两个问题的对应关系是一致的，但是自变量和函数值的取值范围是不同的，所以不是同一个函数。 问题4：如图是北京市2016年11月23日的空气质量指数(Air Quality Index,简称AQI)变化图。如何根据该图确定这一天内任一时刻t h的空气质量指数(AQI)的值I 你认为这里的I也是t的函数吗？ 师生活动：学生可以通过作图，发现t的变化范围可以表示为数集，AQI的值I都在数集中，对于数集中的任一时刻，按照图象所给定的对应关系，在数集中都有唯一确定的AQI的值I与之对应。因此这里的I也是t的函数。与此同时，老师指出函数的表示形示除了解析式，还应包括图象、表格等形式，帮助学生更好得理解函数之间的对应关系。 设计意图：通过生活中的三个例题和一步步追问，引导学生发现函数关系需要考虑自变量的取值范围之后利用集合语言重新来进行描述，建立起函数关系是实数集中元素与元素的对应关系的概念，体会数学中符号语言以及文字语言的魅力，锻炼学生进行类比学习的思想方法，帮助学生深入理解函数的概念。 三、归纳总结，明确定义 问题5：通过上述例题的探究，同学们能给出一般性的函数定义吗？ 师生活动：同学之间进行互相交流，归纳总结后老师结出定义：一般地设A、B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数和它对应，那么就称f：A→B为集合A到集合B的一个函数，记作。其中，x叫做自变量，x的取值范围A做函数的定义域，与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域。值得注意得是，函数的值域是包含在集合B中的。通常情况下，我们将函数的定义域、值域以及对应关系称为函数的三要素。 精讲范例，应用新知 问题6：请同学们用新的函数定义描述一次函数、二次函数以及反比例函数，找出三要素。 师生活动：学生自主进行回答，通过与旧知识进行联系，找出它们所对应的函数三要素。 追问1：回到刚开始上课提的问题，与正比例函数相同吗？函数与是同一个函数吗？如果不是，请说出你们的理由。 师生活动：学生自主进行回答。 设计意图：通过例题加深学生对函数概念的运用以及对函数定义域、值域的理解，并及时检验学生的课堂成效，同时，解决本节课的引入问题，使课堂结构更加完整。 归纳总结，形成结构 1、课堂小结 函数的概念：一般地设A、B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数和它对应，那么就称f：A→B为集合A到集合B的一个函数，记作。其中，x叫做自变量，x的取值范围A做函数的定义域，与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域。通常情况下，我们将函数的定义域、值域以及对应关系称为函数的三要素。 高中函数与初中函数的异同：相同的地方是他们都是对于两个变量之间关系的描述；不同的地方在于初中的函数是建立在变量的基础上，没有对变量的范围进行限制，而今天我们所学的函数是在集合的基础上，精准地去确定了变量的取值范围，将问题描述的更精确，是初中函数概念的完善与推广，与初中函数概念并不矛盾。 设计意图：梳理思路，通过回顾函数的概念，新旧知识的融合，可以帮助学生对函数有更整体性的学习。 2、布置作业