2.3函数的单调性和最值-2023-2024学年高一数学北师版必修第一册同步练习（含解析）

2.3函数的单调性和最值
一、单选题
1．已知函数，则f(x)的最大值为（ ）．
A． B． C．1 D．2
2．函数在上是增函数，则实数k的取值范围是（ ）
A．（-∞，0） B．（-∞，6） C．（1，+∞） D．（2，+∞）
3．若定义在R上的函数f(x)对任意两个不相等的实数a，b，总有>0成立，则必有（ ）
A．f(x)在R上是增函数 B．f(x)在R上是减函数
C．函数f(x)先增后减 D．函数f(x)先减后增
4．函数的单调递增区间为（ ）
A． B．
C． D．
5．的值域为（ ）
A． B． C． D．
6．对于任意的实数x，已知函数，则的最大值是（ ）
A． B． C．1 D．2
7．函数在区间上是减函数，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数可表示为（ ）
1 2 3 4
则下列结论正确的是（ ）
A． B．的值域是
C．的值域是 D．在区间上单调递增
9．某学生离家去学校，由于怕迟到，所以一开始就跑步，等跑累了再走余下的路程．在下图中纵轴表示离学校的距离，横轴表示出发后的时间，则下图中的四个图形中较符合该学生走法的是（ ）
A．B．C．D．
10．已知f(x)是R上的增函数，若令F(x)=f(1-x)-f(1+x)，则F(x)是R上的（ ）
A．增函数 B．减函数
C．先减后增的函数 D．先增后减的函数
二、填空题
11．函数的单调递减区间为___________.
12．如图是定义在区间的函数，则的增区间是________.
13．函数的单调增区间为___________.
14．若函数在内不单调，则实数a的取值范围是__________．
三、解答题
15．已知二次函数，满足，且的最小值是．
（1）求的解析式；
（2）设函数，函数，求函数在区间上的最值.
16．已知函数.
（1）求函数的定义域；
（2）判断函数在上的单调性，并用定义加以证明.
参考答案
1．D
【分析】
先判断在上的单调性，即可求出最大值.
【详解】
因为在上单减，所以在上单减，
即在上单减，
所以f(x)的最大值为.
故选：D
2．D
【分析】
根据一次函数的图象与性质，得到，即可求解.
【详解】
由题意，函数在上是增函数，
根据一次函数的图象与性质，可得，即，
所以实数的取值范围是.
故选：D.
3．A
【分析】
根据条件可得当ab时，f(a)>f(b)，从而可判断.
【详解】
由>0知f(a)-f(b)与a-b同号，即当ab时，f(a)>f(b)，所以f(x)在R上是增函数.
故选：A.
4．C
【分析】
根据二次函数单调性求单调区间.
【详解】
二次函数，图像开口向上，对称轴为
所以函数的单增区间为.
故选：C.
5．B
【分析】
根据二次函数的图象与性质即可求值域.
【详解】
开口向上，且对称轴为，所以有最小值，即，所以值域为，
故选：B.
6．C
【分析】
根据函数解析式画出函数图象，数形结合即可判断；
【详解】
解：因为，函数图象如下所示：
由函数图象可知，当时，函数取得最大值
故选：C
7．A
【分析】
根据二次函数的性质计算可得；
【详解】
解：因为函数，对称轴为，开口向上，要使函数在区间上是减函数，所以，解得
故选：A
8．B
【分析】
，所以选项A错误；由表得的值域是，所以选项B正确C不正确；在区间上不是单调递增，所以选项D错误.
【详解】
A. ，所以该选项错误；
B. 由表得的值域是，所以该选项正确；
C. 由表得的值域是，不是，所以该选项错误；
D. 在区间上不是单调递增，如：，但是，所以该选项错误.
故选：B
【点睛】
方法点睛：判断函数的性质命题的真假，一般要认真理解函数的定义域、值域、单调性等的定义，再根据定义分析判断.
9．B
【分析】
根据一开始离学校最远，排除部分选项，再根据跑和走离学校的距离减少的较慢判断.
【详解】
首先一开始离学校最远，则CD错误；
开始是跑，所以在较短的时间内离学校的距离减少的较快，
而后是走，所以离学校的距离减少的较慢，
故选：B
10．B
【分析】
根据是上的增函数，以及复合函数单调性的判断方法即可判断出的单调性．
【详解】
是上的增函数，是上的减函数，
是上的减函数，
是上的增函数，是上的减函数，又是上的增函数，
是上的减函数，
是上的减函数，
故选：B．
11．(或都对)
【分析】
利用复合函数的单调性，同增异减，即可得到答案；
【详解】
令，则，
在单调递减，在单调递增，
根据复合函数的单调性可得：在单调递减，
故答案为：.
12．和
【分析】
由函数图象直接判断函数的单调增区间即可.
【详解】
由图可知：在、上都单调递增，在上单调递减，
故答案为：和
13．
【分析】
先求函数的定义域，再利用复合函数的单调性求解即可.
【详解】
由得，函数的定义域是R，
设，则在上是减函数，在上是增函数，
∵在定义域上减函数，∴函数的单调增区间是
故答案为：
14．
【分析】
先求出函数的对称轴，由于函数在内不单调，所以对称轴在此区间，即，从而可求出实数a的取值范围
【详解】
解：由题意得的对称轴为，
因为函数在内不单调，所以，得．
故答案为：．
15．（1）；（2）最大值14，最小值.
【分析】
（1）由已知条件列方程组，可求出的值，从而可得；
（2）由题意得，再利用其单调性可求出其在上的最值
【详解】
（1）因为，
所以，
由二次函数的性质得，
解得，
所以
（2）依题得：
函数在区间内单调递减
当时，有最大值14
当时，有最小值
16．（1）；（2）单调递减，证明见解析.
【分析】
（1）由函数的表达式可知，函数的定义域应满足条件：，即可求解.
（2）利用定义法证明函数的单调性，主要分为：1．取值，在某一区间内任意取值；2．作差、3．变形，一般情况下要进行因式分解、直至能判号为止；3．定号；4．下结论.
【详解】
（1）要使函数有意义，当且仅当.
由得，
所以，函数的定义域为.
（2）函数在上单调递减.
证明：任取，，设，则
.
∵， ∴，，，
又，所以，故，即，
因此，函数在上单调递减.
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