5.1.2利用二分法求方程的近似解-2023-2024学年高一数学北师版必修第一册同步练习（含解析）

5.1.2利用二分法求方程的近似解
一、选择题
1．用二分法求如图所示的函数f(x)的零点时，不可能求出的零点是(　　)
A.x1　　　B．x2　　　C．x3　　　D．x4
2．用“二分法”可求近似解，对于精度ε说法正确的是(　　)
A.ε越大，零点的精度越高
B.ε越大，零点的精度越低
C.重复计算次数就是ε
D.重复计算次数与ε无关
3．设f(x)＝3x＋3x－8，用二分法求方程3x＋3x－8＝0在x∈(1，2)内近似解的过程中得f(1)<0，f(1.5)＞0，f(1.25)<0，则方程3x＋3x－8＝0的根落在区间(　　)
A.(1.25，1.5) B．(1，1.25)
C.(1.5，2) D．不能确定
4．用二分法求方程ln x－＝0的零点时，初始区间大致可选在(　　)
A.(1，2) B．(2，3)
C.(3，4) D．(e，＋∞)
5．用二分法求函数f(x)＝2x＋3x－7在区间[0，4]上的零点近似值，取区间中点2，则下一个存在零点的区间为(　　)
A.(0，1) B．(0，2)
C.(2，3) D．(2，4)
二、填空题
6．设函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不间断曲线，且f(a)·f(b)<0，取x0＝，若f(a)·f(x0)<0，则利用二分法求方程根时，取有根区间为________．
7．在用二分法求方程f(x)＝0在区间[0，1]上的近似解时，经计算，f(0.625)<0，f(0.75)>0，f(0.687 5)<0，即可得出方程的一个近似解为________(精度为0.1).
8．用“二分法”求方程2x＋log2x－4＝0在区间(1，3)内的根，如果取区间的中点x0＝2，那么下一个有根的区间是________．
三、解答题
9．求函数f(x)＝x2－5的一个零点近似解．(精度为0.1)
10．求函数y＝2x＋3x－7的近似零点．(精度为0.1)
11．若函数f(x)在(1，2)内有1个零点，要使零点的近似值满足精度为0.01，则对区间(1，2)至少二等分(　　)
A．5次　　　B．6次　　　C．7次　　　D.8次
12．函数f(x)＝log3x－在区间[1，3]内有零点，则用二分法判断含有零点的区间为(　　)
A． B． C． D．
13．用二分法求函数f(x)＝3x－x－4的一个零点，其参考数据如下：
f(1.600 0)＝0.200 f(1.587 5)＝0.133 f(1.575 0)＝0.067
f(1.562 5)＝0.003 f(1.556 2)＝－0.029 f(1.550 0)＝－0.060
根据此数据，可得方程3x－x－4＝0的一个近似解(精度0.01)为________．
14.在用二分法求方程的近似解时，若初始区间的长度为1，精度为0.05，则取中点的次数不小于________．
15．求方程ln x＋x－3＝0在(2，3)内的近似解．(精度为0.1)
参考答案
1.C　[能用二分法求零点的函数必须满足在区间[a，b]上连续，且f(a)f(b)<0.而x3两边的函数值都小于零，不符合二分法求零点的条件，故选C.]
2.B　[依“二分法”的具体步骤可知，ε越大，零点的精度越低．]
3.A　[易知f(x)在R上是增函数．由题意可知f(1.25)·f(1.5)<0，故函数f(x)＝3x＋3x－8的零点落在区间(1.25，1.5)内．故选A.]
4.B　[设f(x)＝ln x－，由于f(2)＝ln 2－1<0，f(3)＝ln 3－＞0，f(2)·f(3)<0，故初始区间可选(2，3).]
5.B　[因为f(0)＝20＋0－7＝－6<0，
f(4)＝24＋12－7>0，
f(2)＝22＋6－7>0，所以f(0)·f(2)<0，所以零点在区间(0，2)内．]
6.(a，x0)　[由于f(a)·f(x0)<0，则(a，x0)为有根区间．]
7.0.75　[0.75－0.687 5＝0.062 5<0.1，又精度为0.1，故可取近似解为0.75.]
8.(1，2)　[设f(x)＝2x＋log2x－4，因为f(1)·f(2)＝(2＋0－4)×(4＋1－4)＝－2<0，所以下一个有根的区间为(1，2).]
9.[解]　由于f(－2)＝－1<0，f(－3)＝4＞0，
故取区间(－3，－2)作为计算的初始区间，用二分法逐次计算，列表如下：
区间 中点的值 中点函数近似值
(－3，－2) －2.5 1.25
(－2.5，－2) －2.25 0.062 5
(－2.25，－2) －2.125 －0.484 4
(－2.25，－2.125) －2.187 5 －0.214 8
由于|－2.25－(－2.187 5)|＝0.0625<0.1，所以函数的一个近似解可取－2.25.
10.[解]　设f(x)＝2x＋3x－7，根据二分法逐步缩小方程的解所在的区间．
经计算，f(1)＝－2<0，f(2)＝3>0，所以函数f(x)＝2x＋3x－7在(1，2)内存在零点，
即方程2x＋3x－7＝0在(1，2)内有解．
取(1，2)的中点1.5；经计算，f(1.5)≈0.33>0，
又f(1)＝－2<0，所以方程2x＋3x－7＝0在(1，1.5)内有解．
如此下去，得到方程2x＋3x－7＝0实数解所在的区间，如下表：
左端点 左端点函数值 右端点 右端点函数值 区间长度
第1次 1 －2 2 3 1
第2次 1 －2 1.5 0.33 0.5
第3次 1.25 －0.872 1.5 0.33 0.25
第4次 1.375 －0.281 1.5 0.33 0.125
第5次 1.375 －0.281 1.437 5 0.021 0.062 5
由表可以看出，区间(1.375，1.437 5)内的所有值都可以看成是函数精度为0.1时的近似零点．
所以函数y＝2x＋3x－7的一个近似零点可以是1.4
11.C　[设对区间(1，2)至少二等分n次，初始区间长为1.
第1次二等分后区间长为；
第2次二等分后区间长为；
第3次二等分后区间长为；
…；
第n次二等分后区间长为.
根据题意，得<0.01，∴n＞log2100.
∵6故对区间(1，2)至少二等分7次．]
12.C　[f(1)＝－<0，f(3)＝>0，f(2)＝log32－＝log32－log33＝log3＝log3<0，f＝log3－＝log3－log33＝log3>log3＝log3>0，因此，函数f(x)的零点在区间内，故选C.]
1.56　[由题表知f(1.562 5)＞0，f(1.556 2)＜0，|1.562 5－1.556 2|＝0.006 3＜0.01，
所以f(x)＝3x－x－4的一个零点在区间(1.556 2，1.562 5)上，可得方程3x－x－4＝0的一个近似解为1.56.]
14.5　[∵初始区间的长度为1，精度为0.05，∴≤0.05，即2n≥20.又∵n∈N＋，∴n≥5，
∴取中点的次数不小于5.]
15.[解]　令f(x)＝ln x＋x－3，求函数f(x)＝0在(2，3)内的零点．
∵f(2)＝ln 2－1<0，f(3)＝ln 3>0，取(2，3)作为初始区间，用二分法列表如下：
区间 中点的值 中点函数近似值
(2，3) 2.5 0.416
(2，2.5) 2.25 0.061
(2，2.25) 2.125 －0.121
(2.125，2.25) 2.187 5 －0.030
∵2.25－2.187 5＝0.062 5<0.1，
∴在区间(2.187 5，2.25)内任意实数都是函数的零点的近似值，即方程的近似解可取为2.2.
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