5.2.2用函数模型解决实际问题-2023-2024学年高一数学北师版必修第一册同步练习（含解析）

5.2.2用函数模型解决实际问题
一、选择题
1．一个模具厂一年中12月份的产量是1月份产量的m倍，那么该模具厂这一年中产量的月平均增长率是(　　)
A．　　 B．
C．－1 D．－1
2．某自行车存车处在某一天总共存放车辆4 000辆次，存车费为：电动自行车0.3元/辆，普通自行车0.2元/辆．若该天普通自行车存车x辆次，存车费总收入为y元，则y与x的函数关系式为(　　)
A．y＝0.2x(0≤x≤4 000)
B．y＝0.5x(0≤x≤4 000)
C．y＝－0.1x＋1 200(0≤x≤4 000)
D．y＝0.1x＋1 200(0≤x≤4 000)
3．若镭经过100年后剩留原来质量的95.76%，设质量为1的镭经过x年后剩留量为y，则x，y的函数关系是(　　)
A．y＝0.957 6 B．y＝0.957 6100x
C．y＝ D．y＝1－0.042 4
4．某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，如图，为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边长x，y应为(　　)
A．x＝15，y＝12 B．x＝12，y＝15
C．x＝14，y＝10 D．x＝10，y＝14
5．根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位：分钟)为f(x)＝(A，c为常数).已知工人组装第4件产品用时30 min，组装第A件产品用时15 min，那么c和A的值分别是(　　)
A．75，25 B．75，16
C．60，25 D．60，16
二、填空题
6．用一根长为12 m的铁丝弯成一个矩形的铁框架，则能弯成的框架的最大面积是________m2.
7．工厂生产某种产品的月产量y(万件)与月份x满足关系y＝a·0.5x＋b，现已知该厂今年1月份，2月份生产该产品分别为1万件，1.5万件，则此工厂3月份生产该产品的产量为________万件．
8．某化工厂打算投入一条新的生产线，但需要经环保部门审批后方可投入生产．已知该生产线连续生产n年的累计产量为f(n)＝n(n＋1)(2n＋1)吨，但如果年产量超过150吨，将会给环境造成危害．为保护环境，环保部门应给该厂这条生产线拟定最长的生产期限是________年．
三、解答题
9．某公司试销某种“上海世博会”纪念品，每件按30元销售，可获利50%，设每件纪念品的成本为a元．
(1)试求a的值；
(2)公司在试销过程中进行了市场调查，发现销售量y(件)与每件销售价x(元)满足关系y＝－10x＋800.设每天销售利润为W(元)，求每天销售利润W(元)与每件销售价x(元)之间的函数解析式；当每件售价为多少时，每天获得的利润最大？最大利润是多少？
10．国庆期间，某旅行社组团去风景区旅游，若旅行团人数在30人或30人以下，每人需交费用900元；若旅行团人数多于30人，则给予优惠：每多1人，人均费用减少10元，直到达到规定人数75人为止．旅行社需支付各种费用共计15 000元．
(1)写出每人需交费用y关于人数x的函数；
(2)旅行团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？
11．某商场出售一种商品，每天可卖1 000件，每件可获利4元．据经验，若这种商品每件每降价0.1元，则比降价前每天可多卖出100件，为获得最好的经济效益，每件售价应降低的价格为(　　)
A．2元　　　B．2.5元　　　C．1元　　　D．1.5元
12．某大型民企为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该民企2016年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该民企全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30)(　　)
A．2017年 B．2018年 C．2019年 D．2020年
13．在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v(米/秒)和燃料的质量M(千克)、火箭(除燃料外)的质量m(千克)的函数关系式是v＝2 000·ln .当燃料质量是火箭质量的________倍时，火箭的最大速度可达12千米/秒．
14．某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3 km(不超过3 km按起步价付费)；超过3 km但不超过8 km时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8 km时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元．现某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了________km.
15．经市场调查，某城市的一种小商品在过去的近20天内的销售量(件)与价格(元)均为时间t(天)的函数，且销售量近似满足g(t)＝80－2t，
价格近似满足f(t)＝
(1)试写出该种商品的日销售额y与时间t(0＜t≤20)的函数表达式；
(2)求该种商品的日销售额y的最大值与最小值．
1.D　[设每月的产量增长率为x，1月份产量为a，则a(1＋x)11＝ma，所以1＋x＝，即x＝－1.]
2.C　[由题意得y＝0.3(4 000－x)＋0.2x＝－0.1x＋1 200.]
3.A　[设镭一年放射掉其质量的t%，则有95.76%＝1·(1－t%)100，1－t%＝0.957 6，∴y＝(1－t%)x＝0.957 6．]
4.A　[由三角形相似得＝，得x＝(24－y)，
∴S＝xy＝－(y－12)2＋180(8≤y<24).
∴当y＝12时，S有最大值，此时x＝15.]
5.D　[由题意知，组装第A件产品所需时间为＝15，故组装第4件产品所需时间为＝30，解得c＝60.将c＝60代入＝15，得A＝16.]
6.9　[设矩形的一边长为x m，则与这条边垂直的边长为 m，
所以矩形面积S＝x·＝－x2＋6x(07. 1．75　[由题意有解得∴y＝－2×0.5x＋2，
∴3月份产量为y＝－2×0.53＋2＝1.75(万件).]
8.7　[由题意知，第一年产量为a1＝×1×2×3＝3，
以后各年产量分别为an＝f(n)－f(n－1)＝n(n＋1)(2n＋1)－n(n－1)(2n－1)＝3n2(n∈N*)，
令3n2≤150，得1≤n≤5 1≤n≤7，故生产期限最长为7年．]
9.[解]　(1)∵按30元销售，可获利50%，∴a(1＋50%)＝30，解得a＝20.
(2)∵销售量y(件)与每件销售价x(元)满足关系y＝－10x＋800，则每天销售利润W(元)与每件销售价x(元)满足W＝(－10x＋800)(x－20)＝－10x2＋1 000x－16 000
＝－10(x－50)2＋9 000，故当x＝50时，W取最大值9 000，
即每件销售价为50元时，每天获得的利润最大，最大利润是9 000元．
10.[解]　(1)当0即
(2)设旅行社所获利润为S元，则当0当30即S＝
因为当0当30即x＝60时，Smax＝21 000>12 000.
所以当旅行团人数为60时，旅行社可获得最大利润．
11.D　[设每件降价0.1x元，则每件获利(4－0.1x)元，每天卖出商品件数为(1 000＋100x)，利润y＝(4－0.1x)·(1 000＋100x)＝－10x2＋300x＋4 000＝－10(x2－30x＋225－225)＋4 000＝－10(x－15)2＋6 250.∴当x＝15时，ymax＝6 250.故每件售价降低1.5元时，可获得最好的经济效益．]
12.D　[设从2016年起，过了n(n∈N＋)年该民企全年投入的研发资金超过200万元，则130×(1＋12%)n≥200，则n≥≈＝3.8，由题意取n＝4，则n＋2016＝2020.故选D.]
13.e6－1　[当v＝12 000时，2 000·ln ＝12 000，∴ln ＝6，∴＝e6－1.]
14.9　[设出租车行驶x km时，付费y元，
则y＝
由y＝22.6，解得x＝9.]
15.[解]　(1)由已知，由价格乘以销售量可得：
y＝
＝
＝
(2)由(1)知①当0＜t≤10时，y＝－t2＋10t＋1 200＝－(t－5)2＋1 225，
函数图象开口向下，对称轴为t＝5，该函数在t∈(0，5]上递增，在t∈(5，10]上递减，
∴ymax＝1 225(当t＝5时取得)，ymin＝1 200(当t＝10时取得)；
②当10图象开口向上，对称轴为t＝45，该函数在t∈(10，20]递减，∴ymax＝1 200(当t＝10时取得)，ymin＝600(当t＝20时取得).
由①②知ymax＝1 225(当t＝5时取得)，ymin＝600(当t＝20时取得).
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