2.1 等式性质与不等式性质-2023-2024学年高一数学人教A版必修第一册同步练习（含解析）

2.1 等式性质与不等式性质
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
单选题
1. 一座大桥的桥头竖立着“限载”的警示牌如图，指示司机要安全通过该桥，应使车和货物的总质量满足的关系为( )
A. B. C. D.
2. 与的大小关系是( )
A. B.
C. D. 无法判断
3. 某工厂在招标会上，购得甲材料吨，乙材料吨，若维持工厂正常生产，甲、乙两种材料总量至少需要吨，则，应满足的不等关系是( )
A. B. C. D.
4. 已知，则，的大小关系是( )
A. B. C. D. 无法判定
5. 有一家三口的年龄之和为岁，设父亲、母亲和小孩的年龄分别为，，，则下列选项中能反映，，关系的是( )
A. B.
C. D.
6. “双十一”期间，甲、乙两个网购平台对原价相同的某种商品进行打折促销活动，各进行了两次降价．甲平台第一次降价，第二次降价；乙平台两次都降价其中，则两个平台的降价力度( )
A. 甲大 B. 乙大 C. 一样大 D. 大小不能确定
7. 红星商店计划用不超过元的资金，购进甲、乙两种单价分别为元、元的商品共件，据市场行情，销售甲、乙商品各一件分别可获利元、元，两种商品均售完．若所获利润大于元，则该店进货方案有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
8. 某市原来居民用电价为元，换装分时电表后，峰时段早上八点到晚上九点的电价元，谷时段晚上九点到次日早上八点的电价为元对于一个平均每月用电量为的家庭，换装分时电表后，每月节省的电费不少于原来电费的，则这个家庭每月在峰时段的平均用电量至多为( )
A. B. C. D.
9. 已知，则下列等式不一定成立的是( )
A. B. C. D.
10. 设，且，则( )
A. B. C. D.
11. 下列根据等式的性质变形不正确的是( )
A. 由，得到 B. 由，得到
C. 由，得到 D. 由，得到
12. 已知，则的取值范围为( )
A. B.
C. D.
13. 已知，且，那么下列不等式中，不一定成立的是( )
A. B. C. D.
14. 某学习小组，调查鲜花市场价格得知，购买只玫瑰与只康乃馨所需费用之和大于元，而购买只玫瑰与只康乃馨所需费用之和小于元．设购买只玫瑰花所需费用为元，购买只康乃馨所需费用为元，则，的大小关系是( )
A. B.
C. D. ，的大小关系不确定
15. 设实数，满足且，那么，的取值范围是( )
A. 且 B. 且
C. 且 D. 且
二、多选题
16. 若，则下列不等式中一定不成立的是( )
A. B. C. D.
17. 下列命题中，正确的是( )
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，，则
D. 若，，则
三、填空题
18. 比较大小： ；用“”连接
19. 若，则与的大小关系是 ．
20. 某校的一个志愿者服务队由高中部学生组成，成员同时满足以下三个条件：
高一学生人数多于高二学生人数；
高二学生人数多于高三学生人数；
高三学生人数的倍多于高一高二学生人数之和
若高一学生人数为，则该志愿者服务队总人数为 ．
21. 有两杯浓度不同的糖水，一杯较浓糖的质量与糖水质量的比为，、一杯较淡糖的质量与糖水质量的比为，现将这两杯糖水混合，所得糖水的浓度一定比浓的淡、比淡的浓，试根据此事实写一个不等式： ．
22. 若，则 填“”“”“”
23. 下列命题是真命题的是 填序号
若，则
若，则
若，则
若，则．
24. 已知，且，则与的大小关系是 ．
25. 若的取值范围 ．
26. 下列说法：若，则；若，则；若，则；若，则若，则；若，则错误的是 填序号
解答题
27. 本小题分
已知甲、乙、丙三种食物的维生素，含量及成本如下表：
甲 乙 丙
维生素单位
维生素单位
成本元
若用甲、乙、丙三种食物各，，配成的混合食物，并使混合食物内至少含有单位维生素和单位维生素．
试用，表示混合食物成本元，并写出，所满足的不等关系．
28. 本小题分
设．
当时，比较的大小；
当时，比较的大小．
29. 本小题分
配制，两种药剂，需要甲，乙两种原料．已知配一剂种药需甲料克，乙料克；配一剂种药需甲料克，乙料克．今有甲料克，乙料克，若，两种药至少各配一剂，设，两种药分别配，剂，请写出，所满足的不等关系．
用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长，要求菜园的面积不小于，靠墙的一边长为试用不等式表示其中的不等关系．
30. 本小题分
已知且，比较与的大小．
31. 本小题分
已知且，试比较与的大小
若，，试求，，的取值范围．
32. 本小题分
已知，．
求的取值范围；
求的取值范围；
求的取值范围；
求的取值范围．
33. 本小题分
证明下列不等式：
已知求证
已知求证
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了用不等式表示不等关系，属于基础题．
根据题意可直接写出答案．
【解答】
解：根据题意可得“限载”是指不超过，
即．
故选C．

2.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了比较两个实数大小的方法，一般采用作差法，对于含有根号需要平方后再作差，属于基础题．
把两个正数平方后再作差，化简后再与“”进行比较．
【解答】
解：
，
，
故选B．

3.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查不等关系，属于基础题．
解决本题的关键是理解题意，找出不等式的关系即可．
【解答】
解：由题意可得
故选C．

4.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查作差法判断大小，属于基础题．
作差由结果的正负判断．
【解答】
解：，
．
故选：．

5.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了用不等式组表示不等关系，属于基础题．
由于一家三口的年龄之和为岁，设父亲、母亲和小孩的年龄分别为、、，可得，，，且年龄为正整数．
【解答】
解：由题意得，，，，，．
故选C．

6.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了不等式的应用．
由方案甲：两次降价之后可得降价为，由方案乙：两次降价之后可得降价为，作差可得大小，从而得出结论．
【解答】
解：由方案甲：第一次降价，第二次降价
可得：两次降价之后可得降价为，
由方案乙：每次都降价，其中，
可得：两次降价之后可得降价为，
方案甲降价较多．
故选A．

7.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查不等关系的实际应用，属于中档题．
设该店购进甲种商品件，则购进乙种商品件，由题意得不等式组，解出即可得解．
【解答】
解：设该店购进甲种商品件，则购进乙种商品件，
根据题意，得：
，
解得：，
为整数，
、、、、，
该店进货方案有种，
故选C．

8.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查函数模型的应用，属于基础题．
根据题意列出相关不等式求解即可得到答案．
【解答】
解：设每月峰时段的平均用电量为，则谷时段的用电量为，
根据题意得：
，
解得，
所以这个家庭每月峰时段的平均用电量至多为．
故选C．

9.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了等式的基本性质．等式性质：、等式的两边同时加上或减去同一个数或字母，等式仍成立；
、等式的两边同时乘以或除以同一个不为数或字母，等式仍成立．
根据等式的性质对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】
解：、的两边都减去，该等式一定成立，故本选项不符合题意；
、的两边都加上，该等式一定成立，故本选项不符合题意；
、的两边都除以，若无意义，所以不一定成立，故本选项符合题意；
、的两边都乘以，等式一定成立，故本选项不符合题意．
故选

10.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查利用不等式的性质比较大小，属于容易题目．
利用特殊值判断即可．
【解答】
解：若，则错误；
若，，则错误；
若，，则错误；
故选D．

11.【答案】
【解析】
【分析】
根据等式的性质：等式的两边同时加上或减去同一个数或字母，等式仍成立；等式的两边同时乘以或除以同一个不为的数或字母，等式仍成立，可得答案．
本题主要考查了等式的基本性质，属于基础题．
【解答】
解：、由，得到，正确；
、由，得到，正确；
、当时，由，不一定等于，错误；
、由，得到，正确；
故选：

12.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了不等式的基本性质，考查了计算能力，属于基础题．
由，，设，解得，，然后转化求解即可．
【解答】
解：由，，
设，
，解得．
，，
．
的取值范围是．
故选B．

13.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查不等式的性质，不等式比较大小的方法，
判断出，，然后根据不等式的基本性质逐项分析即可．
【解答】
解：因为且，所以，，．
对于，因为，，所以，即一定成立；
对于，因为，所以，所以一定成立；
对于，因为，所以当时，不成立，故不一定成立；
对于，因为，，，所以，一定成立；
故选C．

14.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查利用函数知识解决应用题以及解不等式的有关知识．
根据题意列出、所满足的关系式，最后利用不等式的性质求解即可．
【解答】
解：由题意得
将乘以与相加，解得，
将代入中，解得，
故A，
故选：．

15.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查不等式的性质的应用，属于中档题目．
利用不等式的性质由可得得出，或，，又，，即可得出，的取值范围．
【解答】
解：，
，
，
，
，
，或，．
又，，，．
故选C．

16.【答案】
【解析】
【分析】
对于选项A，，，都可以利用作差法判断两个量的大小关系，逐一运算即可．
本题考查了利用作差法判断两个量的大小关系，重点考查了运算能力，属中档题．
【解答】
解：，则，一定不成立；，当时，，故可能成立；，故恒成立；，故一定不成立．
故选AD．

17.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查不等式的性质的应用，属于中档题．
直接利用不等式的性质的应用求出结果．
【解答】
解：对于选项A当时，，故错误；
对于选项B由于，所以，
所以，所以，故正确；
因为，，故可得，故可得，
即，即成立，故正确；
又因为，即，又因为，故可得，故正确，
故选BCD．

18.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了利用作差法比较大小，属于基础题．
将化为，化为，两者作差，即可比较大小．
【解答】
解：，
，
则，
即，
故答案为．

19.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查作商法比较大小，属基础题．
根据比商与比较得出答案．
【解答】
解：，因为，所以，
所以，所以，
故答案为．

20.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查用不等式组表示不等关系．
设高二学生人数为，高三学生人数为，根据题意列不等式组，根据解为整数，可得符合条件的有六组解，逐一验证，即可得结果．
【解答】
解：设高二学生人数为，高三学生人数为，
则
由可知，，
结合可知，，共有种，
取法，，，，，，
逐一代入验证，可得只有满足，
，，
该志愿者服务队总人数为人，
故答案为．

21.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查不等式与比较大小．
写出两杯糖水混合后，糖水浓度为，然后作差进行比较即可写出不等式．
【解答】
解：由已知，将两杯糖水混合后，糖水浓度为，，
因为，，，所以，
故，同理可得，
所以此事实不等式为，
故答案为．

22.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查利用作差法比较代数式的大小．
因为，所以，，，与作差，转化成，即可得出结果．
【解答】
解：，
，，，
，
，
故答案为．

23.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查等式的性质以及不等式的性质，属于基础题．
由已知条件逐项进行判断即可．
【解答】
解：由得，则为真命题；
由，得到，不一定为，故为假命题；
若，不一定有意义，故为假命题；
若，则，故为假命题．
故答案为．

24.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查不等关系的应用，以及不等式的性质，运用性质时不等号的方向是否改变是此类题的注意点，属于基础题．
根据，利用正分数里分子相同分母大的反而小这一性质变形，再利用不等式的性质得出结论．
【解答】
解：，．
，．
．
故答案为：．

25.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查不等式的性质，属于基础题．
将用和表示出来，利用不等式的性质即可求解．
【解答】
解：设，
则，解得
又因为，
，
所以．
即．
故答案为：．

26.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了等式的基本性质以及不等式的基本性质．
根据等式的基本性质和不等式的基本性质，依次进行判断即可求解．
【解答】
解：，两边都乘以，得，再两边都减去，得，故正确；
两边都除以，得故正确；
两边都除以，再加上，不能保证不等于，故错误；
若，根据不等式的基本性质，可得，得 ，故错误；
若，可得，根据不等式的基本性质，得，故正确；
若，当，有；当时，有，故错误；
故答案为．

27.【答案】解：依题意，得，
又，
；
由及．
得
，所满足的不等关系为

【解析】本题考查了用不等式组表示不等关系．
由混合食物成本为元可得，结合可得；由题意可得，把代入可得结合，可得答案．
28.【答案】解：当，
则
，
所以．
，
，所以．
，所以
，所以．
【解析】本题考查作差法比较代数式的大小，属于基础题．
运用作差法，比较大小即可；
运用作差法得到，再对分类讨论，即可得到的大小．
29.【答案】解：根据题意可得；
由于矩形菜园靠墙的一边长为，而墙长为，
所以，
这时菜园的另一条边长为，
因此菜园面积，
依题意有，
即，
故该题中的不等关系可用不等式表示为：
．
【解析】本题考查二次函数模型的实际应用，不等关系的应用，属于中档题．
根据题意，，两种药分别配，剂，即可写出，所满足的不等关系；
由于矩形菜园靠墙的一边长为，得到，再由另一条边长为，得到菜园面积，得到，即可求出该题中的不等关系．
30.【答案】解：
当或时，
，此时；
当时，，
，此时；
当时，，
，此时；
当时，，
，此时；
当时，，
，此时；
综上所述：当或时，；
当或时，；
当或时，．
【解析】本题考查的是作差法比较大小，考查了分类讨论思想，属于较难题．
由题意，然后分或、、、、五种情况讨论即可得出答案．
31.【答案】解：
，
因为，
所以当时，，有
当时，，有．
因为，，
所以，即，
所以的取值范围为．
因为，，
所以，
所以的取值范围为．
因为，所以，
所以，
所以的取值范围为

【解析】本题了考查了不等式的性质及作差法比较大小，分类讨论的思想．
根据作差法比较大小，得出，然后分类讨论，便可得出结果；
根据条件，利用不等式的性质求的范围，再求出和范围，进而求出，再根据，求出的范围，便可得出的范围．
32.【答案】解：，，
，
的取值范围是；
，
，
，
的取值范围是；
，，
，
的取值范围是；
，
，
的取值范围是．
【解析】本题考查不等式的性质，属于拔高题．
根据不等式的性质，计算求解即可．
33.【答案】解：，
，
，
，
，
当且仅当时取等号，
，
，，，
，
，
，当且仅当时取等号，
．
【解析】本题考查了不等式的概念与不等关系，不等式证明．
根据，得出，结论得证；
由，根据，得出，由于，进而结论得证．
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