2.3 二次函数与一元二次方程-2023-2024学年高一数学人教A版必修第一册同步练习（含解析）

2.3 二次函数与一元二次方程
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1. 不等式成立的一个充分不必要条件是( )
A. B. C. D.
2. 不等式解集为( )
A. B.
C. 或 D.
3. 不等式的解集是( )
A. B.
C. 或 D.
4. 已知不等式的解集是，则等于( )
A. B. C. D.
5. 不等式的解集为( )
A. B.
C. 或 D. 或
6. 若不等式的解集为，则的范围是( )
A. B. C. 或 D. 或
7. 已知不等式的解集为空集，则的取值范围是( )
A. B.
C. 或 D. 或
8. 若不等式和不等式的解集相同，则的值为( )
A. B. C. D.
9. 当时，不等式恒成立，则的取值范围是( )
A. 或 B.
C. D.
10. 若关于的不等式的解集中恰有两个整数，则实数的取值范围是( )
A. B.
C. D.
11. 设，若关于的不等式在上有解，则( )
A. B. C. D.
12. 年新冠疫情期间，口罩异常紧缺，某地物价部门决定单个型口罩的价格应低于元．某药店以元的单价购进一批型口罩，若按每个口罩元的价格销售，每天能卖出个，若售价每提高元，日销售量就减少个，则该药店口罩日销售利润不小于元与单价元之间的不等式为 ( )
A. B.
C. D.
13. 已知某炮弹飞行高度单位：与时间单位：之间的函数关系式为，则炮弹飞行高度高于的时间长为
A. B. C. D.
14. 汽车在刹车后，由于惯性作用还要继续向前滑行一段距离才能停下，我们称这段距离为“刹车距离”，刹车距离往往跟行驶速度有关，在一个限速的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不妙，同时刹车，最后还是相撞了．事发后，交警现场测得甲车的刹车距离略超过，乙车的刹车距离略超过，又知甲、乙两种车型的刹车距离与车速的关系大致如下：，由此可以推测( )
A. 甲车超速 B. 乙车超速 C. 两车都超速 D. 两车都未超速
15. 某地每年销售木材约，销售价格为元，为了减少木材消耗，决定按销售收入的征收木材税，这样每年的木材销售量减少为了既减少木材消耗又保证税金收入每年不少于元，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题
16. 已知一元二次方程的两个根为，，且，那么满足的的取值有( )
A. B. C. D.
17. 已知不等式的解集是，则下列结论正确的是( )
A. 不等式的解集是
B. 不等式的解集是
C. 不等式的解集是
D. 不等式的解集是
18. 有纯农药液一桶，倒出升后用水加满，然后又倒出升后再用水加满，此时桶中所含的纯农药药液不超过桶的容积的，则桶的容积可能为( )
A. B. C. D.
三、填空题
19. 已知集合，请写出一个一元二次不等式，使得该不等式的解集与集合有且只有一个公共元素，这个不等式可以是 ．
20. 已知不等式的解集是，不等式的解集是，则 ； ．
四、解答题
21. 本小题分
解不等式
；
．
22. 本小题分
若不等式的解集是．
求实数的值；
求不等式的解集．
23. 本小题分
在一次函数的图象过，两点，关于的不等式的解集为，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中并解答．
问题：已知____，求关于的不等式的解集．
24. 本小题分
解下列关于的不等式：
25. 本小题分
某种牌号的汽车在水泥路面上的刹车距离和汽车车速有如下关系：在一次交通事故中，测得这种车的刹车距离不小于，那么这辆汽车刹车前的车速至少为多少？
26. 本小题分
某小企业生产某种产品，月销售量件与货价元件之间的关系为，生产件的成本元该厂月产量多大时，月获利不少于元？
27. 本小题分
一家车辆制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线，这条流水线生产的摩托车数量单位：辆与创造的价值单位：元之间有如下的关系若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收元以上，则在一个星期内大约应该生产多少辆摩托车？
28. 本小题分
某网店销售一批新款削笔器，每个削笔器的最低售价为元若按最低售价销售，每天能卖出个若一个削笔器的售价每提高元，日销售量将减少个为了使这批削笔器每天获得元以上的销售收入，应怎样制定这批削笔器的销售价格
29. 本小题分
如图所示，某学校要在长为，宽为的一块矩形地面上进行绿化，计划四周种花卉，花卉带的宽度相同，均为米，中间植草坪．
若中间草坪面积为矩形土地面积的一半，则花卉带的宽度是多少
为了美观，要求草坪的面积大于矩形土地面积的一半，则花卉带的宽度的取值范围是多少？
30. 本小题分
已知某公司每天生产的某种产品的数量单位：百件与其成本单位：千元之间的函数解析式可以近似地用表示，其中，，为常数．现有实际统计数据如下表所示：
产品数量百件
成本千元
求，，的值；
若每件产品销售价为元，则该公司每天生产多少产品时才能盈利假设每天生产的产品可以全部售完，．
31. 本小题分
某农家院有客房间，日常每间客房日租金为元，每天都客满该农家院欲提高档次，并提高租金经市场调研，每间客房日租金每增加元，客房出租数就会减少间每间客房日租金不得超过元，要使每天客房的租金总收入不低于元，该农家院每间客房日租金提高的空间有多大？
32. 本小题分
某地区上年度电价为元，年用电量为，本年度计划将电价降到元至元之间，而用户期望电价为元，经测算，下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比比例系数为该地区电力的成本为元
写出本年度电价下调后，电力部门的收益与实际电价的函数关系式；
设，当电价最低定为多少时仍可保证电力部门的收益比上年至少增长？
注：收益实际用电量实际电价成本价
33. 本小题分
当前全世界新冠肺炎泛滥，引起口罩热销．某品牌口罩原来每只成本为元，售价为元，月销售万只．
据市场调查，若售价每提高元，月销售量将相应减少万只，要使月总利润不低于原来的月总利润月总利润月销售总收入月总成本，该口罩每只售价最多为多少元？
为提高月总利润，厂家决定下月进行营销策略改革，计划每只售价元，并投入万元作为营销策略改革费用．据市场调查，每只售价每提高元，月销售量将相应减少万只，则当每只售价为多少时，下月的月总利润最大？并求出下月最大总利润．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查充分不必要条件的判断，属于基础题．
解出不等式，进而可判断出其一个充分不必要条件．
【解答】
解：不等式的解集为：，则其一个充分不必要条件可以是：；
故选：．

2.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，是基础题目．
把不等式化为，求出它的解集即可．
【解答】
解：不等式可化为，
解得，
不等式的解集为．
故选A．
3.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了不等式求解．
把原不等式的右边移项到左边，通分计算后，然后转化为，求出不等式组的解集即为原不等式的解集．
【解答】
解：不等式可转化为，
即，即，
所以不等式等价于
解得：，
所以原不等式的解集是．
故选B

4.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了一元二次不等式与对应方程的关系，考查一元二次方程根与系数的关系问题，属于基础题．
根据一元二次不等式与对应方程的关系，利用一元二次方程根与系数的关系，求出、的值，再求的值．
【解答】
解：不等式的解集是，
方程的实数根是和，
由韦达定理可知
解得：
．
故选：．

5.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查一元二次不等式．
由，可得，分解因式再求出它的解集即可；
【解答】
解：由，可得，即
所以不等式的解集为或．
故选：

6.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查一元二次不等式的解法以及不等式恒成立问题，解决本题的关键是掌握好二次函数及分类讨论思想即可．
根据题意，分别讨论和解决本题．
【解答】
解：当时，原不等式变为，不等式恒成立
当时，必有
解得，
综上所述，
故选A．

7.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查一元二次不等式的解法，属于基础题．
由不等式的解集为空集，根据对应二次函数的图象，得到，解得的取值范围即可．
【解答】
解：欲使不等式的解集为空集，则，
．
故选A．

8.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了分式不等式的解法和一元二次方程与相应不等式的关系，属于一般题．
解不等式，得到不等式的解集，从而得到方程的两根，由韦达定理求、的值即可解题．
【解答】
解：不等式等价于，
解得：，
不等式和不等式的解集相同，
不等式的解集为，
由方程与不等式的关系可知：的两根为：，
由韦达定理：，解得：，，
故．
故选B．

9.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了不等式恒成立问题的求解，解题的关键是熟练应用二次函数的性质．
当时，不等式可化为不等式，显然成立；
当时，不等式恒成立，则，解不等式可求的范围．
【解答】
解：当时，不等式可化为，显然恒成立；
当时，若不等式恒成立，
则对应函数的图象开口朝上且与轴无交点，
则
解得：，
综上的取值范围是，
故选D．

10.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查一元二次不等式的解法，属于中档题．
根据一元二次不等式的解法，分类讨论进行求解．
【解答】
解：由可得，且的解集中恰有两个整数．
当时，不等式的解集为，则，解得；
当时，不等式的解集为，不符合题意；
当时，不等式的解集为，则，解得；
综上，实数的取值范围为或．
故选D．

11.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了含参一元二次不等式中参数的取值范围，属于中档题．
根据题意得不等式对应的二次函数的图象开口向上，分别讨论三种情况即可．
【解答】
解：由二次函数的图象开口向上，
当，满足题意，
当，解得或，
当，满足题意，
综上所述：．
故本题选C．

12.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查一元二次不等式的应用，属中档题．
根据题意得每天利润与单价的关系式，
进而得日销售利润不小于元与单价元之间的不等式．
【解答】
解：依题意，每个口罩单价元时的利润为元，
此时每天销量为，
每天利润，
所以，
故选B．

13.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查一元二次不等式应用，考查一元二次不等式的解法，属基础题．
依题意，，即，求解二次不等式，即可求得结果．
【解答】
解：因为炮弹飞行高度单位：与时间单位：之间的函数关系式为
，
炮弹飞行高度高于时，，即，
得，炮弹飞行高度高于的时间长为
故选A．

14.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了函数模型的运用，涉及一元二次不等式的解法，属于基础题．
先由题意分别求解不等式，求解甲、乙两种车型的事发前的车速得答案．
【解答】
解：由，解得或．
由，解得或．
由于，从而可得：
，．
因为该弯道限速知，乙车超过限速．
故选：．

15.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查不等式在实际生活中的应用，准确读懂题意，建立关系式，是解决应用题的关键，意在考查学生的数学建模能力和数学运算能力．
依照题意知，税金收入销售额税率销售量销售价格税率，求出税金收入，列出不等式求解即可．
【解答】
解：设按销售收入的对木材征税时，税金收入为元，
则．
令，即，解得．
故选：．

16.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了一元二次不等式及方程根的关系，属于基础题．
根据一元二次不等式解法直接求解即可．
【解答】
解：一元二次方程的两个根为，，且，
由得或，
故选AB．

17.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了一元二次不等式的解法，属于中档题．
因为已知不等式的解集是，故方程两根分别是和，则根据韦达定理得，且，设，则，，分别代入四个选项，最后求出正确答案．
【解答】
解：因为不等式的解集是，
故方程两根分别是和，
则，且，设，则，，分别代入四个选项；
选项：把，，代入不等式的解集是，故A正确；
选项：把，，代入不等式的解集是，故B正确，C错误；
选项：把，，代入不等式的解集是，故D正确；
故选ABD．

18.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查利用一元二次不等式解决实际问题．
根据题意列出不等式求解即可．
【解答】
解：设桶的容积为，
根据题意可得关于的一元二次不等式：，且，
化简可得，
，
故选BC．

19.【答案】答案不唯一
【解析】
【分析】
本题考查一元二次不等式解集以及集合交集定义，考查基本分析求解能力，属于中档题．
根据条件列出不等式，解出解集，运用交集运算可得答案．
【解答】
解：根据题意不等式可以取，
解不等式的解集为或，
解集中只有在集合中，符合题目要求．
故答案可为：答案不唯一

20.【答案】

【解析】
【分析】
本题考查了不等式的解法，交集和并集的定义，属于基础题．
先解得集合，，再由交集和并集的定义即可求解．
【解答】
解：因为不等式的解集为，
不等式的解集为或，
故可得或，
，
故答案为或．

21.【答案】解：解方程，得，，
根据二次方程和不等式的关系可得；
不等式的解集为．
把不等式转化为不等式组： ，
解得或
即或，
不等式 的解集为：或
【解析】本题考查了一元二次不等式的解法，转化的方法解分式不等式，属于基础题．
结合二次函数和二次方程求解．
转化为不等式组求解．
22.【答案】解：不等式的解集是，
和是方程的两根，且，
所以，
解得；
不等式可化为，
解得，
故不等式的解集为．
【解析】本题考查一元二次不等式的解法，一元二次不等式与相应方程的关系，属于基础题．
由题意，可知和是方程的两根，利用韦达定理求出的值．
不等式可化为，即可得解．
23.【答案】解：选：
由题得：，解得：，，
将代入不等式整理得：，解得：或，
故原不等式的解集为．
选：
不等式的解集为，，解得：，，
将代入所要求不等式整理得：，解得：或，
故原不等式的解集为．
选：
若，解得，则，不符合条件；
若，解得，则，符合条件．
将代入不等式整理得：，解得或，
故原不等式的解集为．
【解析】先由所选条件求得的值，再求解不等式的解集即可．
本题主要考查集合之间的关系及不等式的解法，属于中档题．
24.【答案】解：不等式可化为：
或，
即或，
不等式的解集为；
不等式可化为：
，
即，
解得或，
原不等式的解集为或；
不等式可化为：
，
化简，得，
，
等价于
解得或，
不等式的解集为或．
【解析】本题考查含有绝对值不等式和分式不等式的求解，属于拔高题．
把不等式化为或，即可求出结果；
化简不等式为，即可求出结果；
化简不等式为，即，即可求出结果．
25.【答案】解：设这辆汽车刹车前的车速为，
根据题意，有，移项整理，得，
即，故得不等式的解集为或，
在这个实际问题中，
所以这辆汽车刹车前的车速至少为．
【解析】设这辆汽车刹车前的车速为，由题意，列出关于的不等关系，求解不等式即可得到答案．
本题考查了函数在实际问题的应用，同时考查了一元二次不等式的解法，解题的关键是弄懂题意，找到相应的关系，属于基础题．
26.【答案】解：设该厂的月获利为，由题意得，
，
由得，
，
，
，解得；
当月产量在件之间时，月获利不少于元．
【解析】本题考查了学生将实际问题转化为数学问题的能力，考查了利用一元二次不等式解决实际问题，属于基础题．
设该厂的月获利为，则，解不等式即可得到月产量的范围．
27.【答案】设这家工厂在一个星期内大约应该利用这条流水线生产辆摩托车，根据题意，
得，．
分解因式，得，，不等式的解集为．
只能取整数值，
当这条流水线在一周内生产的摩托车数量在辆时，这家工厂能够获得元以上的收益．
故当这条流水线在一周内生产的摩托车数量在辆时，这家工厂能够获得元以上的收益．
【解析】本题是一道实际问题，由题意，将它抽象成一个一元二次不等式，再解答这个不等式．一般地，解答应用题的关键是要仔细审题，列出数量关系，结果还要考虑问题的实际意义．
28.【答案】解：设每个削笔器售价为元，则，并且日销售收入为，
由题意当时，有，
解得：，
所以为了使这批削笔器每天获得元以上的销售收入，应当制定这批削笔器的销售价格．
【解析】本题考查函数模型的应用，利用一元二次不等式解决实际问题，属于基础题．
根据题意，列出在条件定价下的式子，日销售量减少个，日销售收入，进而列出不等关系，求解不等式即可．
29.【答案】解：设花卉带的宽度为，
由题意得，
解得或舍去．
所以，若中间草坪面积为矩形土地面积的一半，
则花卉带的宽度为；
由题意得，
整理得，
解得或．
由实际意义得，
所以，若要求草坪的面积大于矩形土地面积的一半，则花卉带的宽度的取值范围是
【解析】本题主要考查利用一元二次不等式解决实际问题，一元二次不等式的解法．
设花卉带的宽度为，由题意得，求解即可；
由题意得，得到或，由实际意义得，即可求解．
30.【答案】解：由题意得
解得，，．
由知，
因为，即，
所以，，解得，
因为，所以．
答：该公司每天至少生产件，至多生产件时才能盈利．
【解析】本题考查用待定系数法求二次函数的解析式，及二次不等式求解，属于中档题．
利用待定系数法求解，，
若公司能盈利可得，解一元二次不等式即可．
31.【答案】解：设农家院将房租提高了元，每天客房的租金收入元，
由题意可得为整数，
则，且，
即 ，
解得：，
又 ，
所以：，
答：该农家院每间客房日租金的提高空间是，，，元．
【解析】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查一元二次不等式解法，考查学生的计算能力．
设农家院将房租提高了元，，可得每天客房的租金收入元，利用，可得范围．
32.【答案】解：设下调后的电价为元，
依题意知用电量增至，
电力部门的收益为 ，；
依题意有，当时，，
可得
整理得，解得
即得，
故当电价最低定为元时，仍可保证电力部门的收益比上年至少增长．
【解析】本题考查利用一次、二次、分式函数模型解决实际问题，解不含参的一元二次不等式，属于较易题．
设下调后的电价为元，依题意知用电量增至，即可求出电力部门的收益；
依题意“电价最低定为多少时仍可保证电力部门的收益比上年至少增长”得到关于的不等关系，解此不等式即得出电价最低定为多少时，仍可保证电力部门的收益比上年至少增长．
33.【答案】解：设口罩每只售价为元，则月销售量为万只，
则由已知，
即，
解得，即每只售价最多为元．
下月的月总利润
，
，，
即，
当且仅当，即时取等号．
答：当每只售价元时，下月的月总利润最大，且最大利润为万元．

【解析】本题主要考查与函数有关的应用问题，根据条件建立方程或不等式是解决本题关键，考查学生的阅读和应用能力，综合性较强．
设口罩每只售价为元，根据条件建立不等式，解不等式即可得到结论．
求出利润函数，利用基本不等式即可求出最值．
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