3.2.1 单调性与最大(小)值--2023-2024学年高一数学人教A版必修第一册同步练习（含答案）

3.2.1 单调性与最大(小)值
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1. 函数的图像如图所示，则函数的单调递增区间为( )
A. B. C. D.
2. 若函数是上的减函数，，则下列不等式一定成立的是( )
A. B.
C. D.
3. 已知函数，则该函数的单调递增区间为( )
A. B. C. D.
4. 已知函数在上单调递减，且函数的图象关于直线对称，设，，，则，，的大小关系为( )
A. B. C. D.
5. 已知函数的图象关于直线对称，当时，恒成立，设，，其中，则的大小关系为( )
A. B. C. D.
6. 已知函数对任意且时，有，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
7. 已知，则的最小值为( )
A. B. C. D.
8. 若函数则的最大值、最小值分别为( )
A. ， B. ， C. ， D. 以上都不对
9. 函数在上的最大值为，则的值为( )
A. B. C. D.
10. 函数其中的图像不可能是( )
A. B.
C. D.
11. 函数在区间上的最大值为( )
A. B. C. D.
12. 已知二次函数，若对任意的，，有，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题
13. 下列说法中，正确的是( )
A. 若对任意，，当时，，则在上是增函数
B. 函数在上是增函数
C. 函数在定义域上是增函数
D. 函数的单调减区间是和
14. 若函数在上的最大值与最小值的差为，则实数的值可能是( )
A. B. C. D.
三、填空题
15. 函数的单调递减区间为 ．
16. 若函数在区间上是增函数，则的取值范围 ．
17. 函数的单调增区间是
18. 是定义域上的单调递增函数，则的单调递减区间为 ．
19. 若函数在区间上为增函数，写出一个满足条件的实数的值 ．
20. 的最大值为 ．
21. 当时，的最小值为 ；
当时，的最小值为 ．
22. 已知函数，且为的最小值，则实数的取值范围是 ．
23. 若函数的值域为，则实数的取值范围是 ．
24. 已知定义在上的函数满足，且当时，若对定义域上任意都有成立，则的最小值是 ．
四、解答题
25. 本小题分
已知函数．
求作函数的图像；
写出的单调区间，并指出在各个区间上是增函数还是减函数？不必证明
26. 本小题分
判断函数，的单调性并说明理由．
27. 本小题分
已知在定义域上是减函数，且，求的取值范围．
28. 本小题分
讨论在上的单调性．
29. 本小题分
已知函数满足：对定义域内任意，都有成立．
若的定义域为，且有成立，求的取值范围；
若的定义域为，求关于的不等式的解集．
30. 本小题分
定义在上的函数，，当时，，且对任意的、，有．
求证：对任意的，恒有；
证明：是上的增函数；
若，求的取值范围．
31. 本小题分
已知函数．
判断并证明函数在上的单调性；
求函数在上的最值．
32. 本小题分
围建一个面积为的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙利用旧墙需维修，其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为的进出口，已知旧墙的维修费用为元，新墙的造价为元，设利用的旧墙的长度为单位：，修建此矩形场地围墙的总费用为单位：元．
将表示为的函数：
试确定，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用．
33. 本小题分
已知二次函数，且．
求的解析式
若在上的最大值为，求的值以及的最小值．
34. 本小题分
已知，函数．
当时，求函数的单调区间；
当时，求函数在上的最小值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了函数图象的应用，以及利用函数图象得到函数的单调区间．
根据图象，直接求解即可．
【解答】
解：根据函数图象，可得单调递增区间为：．
故选B．

2.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查利用函数的单调性比较大小以及利用作差法比较代数式的大小，属于较易题．
利用特殊值法即可判断、；利用不等式的基本性质比较与的大小关系，结合的单调性即可判断；利用作差法比较与的大小关系，结合的单调性即可判断．
【解答】
解：若，则，，所以，，故A、B错误；
因为，所以，又是上的减函数，所以，故C错误；
因为，所以，
又是上的减函数，所以，故D正确．
故选：．

3.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了函数的单调性与单调区间，复合函数的单调性，属于基础题，
函数是由和函数复合而成，利用复合函数的单调性，可得答案．
【解答】
解：由，
解得或，所以函数的定义域为．
令，则函数是由和复合而成，
在定义域上单调递增，而函数在上是增函数，
根据复合函数单调性可知，函数的单调递增区间为．
故选B．

4.【答案】
【解析】
【分析】
根据题意，由函数的对称性可得在上单调递增且，结合函数的单调性分析可得答案．
本题考查函数的单调性和对称性的应用，涉及抽象函数的性质应用，属于基础题．
【解答】
解：根据题意，函数的图象关于直线对称，则，
又由函数在上单调递减，则函数在上单调递增，
则有，即，
故选：．

5.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查运用函数单调性以及对称性比较大小，属于中档题．
结合题设得在上单调递减，再结合函数的图象关于直线对称可得，最后由函数在上的单调性即可得出，，的大小关系．
【解答】
解：当时，恒成立，
在上单调递减，
又函数的图象关于直线对称，
，
又，，且，在上单调递减，
，
．
故选C．

6.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了分段函数，函数的单调性，不等式求解，属于拔高题．
根据题意可知函数在上为单调递增，从而即可得到，进而即可求出的取值范围．
【解答】
解：对任意且时，有，
函数在上单调递增，
又函数
，解得，
故选B．

7.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了利用对勾函数的单调性求最值，属于基础题．
利用对勾函数的单调性求解即可．
【解答】
解：由，，
当且仅当时取等号．
由对勾函数的单调性，得在上单调递减，
时，单调递减，
当时，取得最小值为．
故选A．

8.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查分段函数的最值问题，属于基础题目．
根据分段函数的单调性得出函数的最值即可．
【解答】
解：函数在上单调递增，且函数在上单调递增，
而当时，，
故得在上单调递增，
所以的最大值为，最小值为．
故选A．

9.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查函数的单调性与最大值，正确运用函数的单调性是关键．
确定函数的单调性，利用函数在上的最大值为，即可求出的值．
【解答】
解：函数，在上的最大值为，
由题意，时，函数在上单调递减，
，
，
故选：．

10.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了函数的性质及函数图像的变换，函数解析式中参数的分类讨论．
对讨论，对各选项逐个判断即可得到答案．
【解答】
解：当，则，故A正确，
当时，若，则，此时为对勾函数的一部分，
若，则，此时函数单调递减，故选项B正确，
当时，若，则，此时函数单调递增，
若，则，此时函数为对勾函数的一部分，故选项D正确，
综合，选项C不可能为函数的图像，
故选C．

11.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查利用换元思想和二次函数的性质求函数在特定区间上的最值问题，难度一般，关键是换元思想的运用．
令，，转化为关于的二次函数在特定区间上的最大值问题，即可得解．
【解答】
解：因为在上是减函数，
当时，取最大值，当时，取最小值，所以，
令，所以，，
所以，对称轴为．
因为在上单调递减，
所以，
所以在区间上的最大值为，
故选B．

12.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查二次函数的性质及其最值．
根据二次函数的性质得到其对称轴，然后讨论其在上的单调性，使其在上的最值之差的绝对值小于等于即可．
【解答】
解：函数的对称轴是，
当时，即，在上单调递增，
要使任意的，，有，
只需，解得，
；
当时，即，
在上单调递减，在上单调递增，
要使任意的，，有，
只需，解得，
；
当时，即，在上单调递减，
要使任意的，，有，
只需，即，解得，
；
综上所述，
故选C

13.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查的知识要点：函数的单调性的定义和单调区间的确定，主要考查学生对基础定义的理解和应用，属于基础题．
利用函数单调性定义和基本初等函数的性质逐一判断即可．
【解答】
解：对于：若对任意，，当时，，则有，
由函数单调性的定义可知在上是增函数，故A正确．
对于，由二次函数的性质可知，在上单调递减，在上单调递增，故B错误；
对于，由反比例函数单调性可知，在和上单调递增，故C错误；
对于：由反比例函数单调性可知，单调减区间是和，故D正确．
故选：．

14.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查利用函数的单调性求函数的最值，考查分类讨论的数学思想，是基础题．
由已知可得，对分类可得函数的单调性，求得最值，再由最大值与最小值的差为列式求解值．
【解答】
解：由题意，当时，在上单调递增，
有，解得；
当时，在上单调递减，
有，解得．
综上知．
故选：．

15.【答案】，
【解析】
【分析】
本题主要考查函数的单调性，属于基础题．
将原函数变形为，通过研究函数的图象得到单调区间．
【解答】
解：因为，
所以函数的图象是将向上移动个单位，单调性不改变，
易知的单调递减区间为， ，
所以的单调递减区间为，
故答案为， ．

16.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查函数单调性的性质，熟练二次函数图象特征是解决问题的基础．
根据函数的图象特征及在区间上单调递增，得对称轴位于区间左侧或左端点处，由此得不等式，解出即可．
【解答】
解：函数图象开口向上，对称轴为，
由函数在区间上单调递增，得，解得，
所以的取值范围是．
故答案为：．

17.【答案】和
【解析】
【分析】
本题考查函数的单调性，涉及二次函数的单调性，绝对值函数的图象的作法．
画出函数的图象，利用函数的图象求函数的单调区间．
【解答】
解：由，可得或，
且函数的对称轴为，
所以
作出函数的图象如图所示，
可知函数的单调递增区间为和．
故答案为和．

18.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了复合函数的单调性问题，考查二次函数的性质，属于中档题．
根据复合函数单调性“同增异减”的原则，问题转化为求的单调递减区间，求出即可．
【解答】
解：根据复合函数单调性“同增异减”的原则，
因为是定义域上的单调递增函数，
要求的单调递减区间，
即求的单调递减区间，
而函数在单调递减，
故的单调递减区间是，
故答案为：．

19.【答案】答案不唯一
【解析】
【分析】
将写成分段函数，根据二次函数的图象，结合对称轴的分类讨论，即可容易求得．
本题考查分段函数的图象，以及根据分段函数的单调区间求参数范围，属较难题．
【解答】
解：根据题意可知
对，其对称轴．
当，即时，为方便说明，略去轴以及坐标原点
其示意图图象如下所示：
由图可知，此时要满足题意，只需或，
解得或又因为，
故此时要满足题意，只需；
当，即时，为方便说明，略去轴以及坐标原点
其示意图图象如下所示：
此时要满足题意，只需或，
解得或，又因为，
故此时要满足题意，只需．
综上所述：或．
具体到本题答案可以在此区间中任取一个数即可．
本题中，选取．
故答案为：答案不唯一

20.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了函数的最值，
由，结合二次函数性质可得答案．
【解答】
解：设
因为，
在时有最大值为，
故的最大值为，
故答案为．

21.【答案】

【解析】
【分析】
本题考查利用基本不等式求最值，属于基础题．
将化为，根据以及基本不等式求出的最小值；
本题考查利用对勾函数的性质求最值，属于基础题．
由函数在上为增函数，可知在上为增函数，由此可求答案．
【解答】
解：，
，
．
当且仅当，即时“”成立
的最小值为；
故答案为；
由函数在上为增函数，可知在上为增函数，
，
当时，取最小值为．
故答案为；．

22.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查的知识点是分段函数的应用，熟练掌握并理解二次函数和对勾函数的图象和性质，是解答的关键，属于中档题．
若为的最小值，则当时，函数为减函数，当时，函数的最小值，进而得到实数的取值范围．
【解答】
解：若为的最小值，
则当时，函数为减函数，
则，
当时，函数的最小值，
即，
解得：，
综上所述实数的取值范围是，
故答案为：．

23.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了函数的值域，函数的单调性，对勾函数的性质，属于较难题．
，根据对勾函数的性质，对与的关系进行分类讨论，综合求出的取值范围．
【解答】
解：，
当，即时，在上单调递增，
满足的值域为
当，即时，
，则，
由基本不等式，
当且仅当时，不等式取等号，
此时，
在单调递增，
又，若值域为，
则需，即，
此时，
综上，．
故答案为．

24.【答案】
【解析】
【分析】
先求出在上的解析式，根据函数的单调性求出函数最大值，即可求出的取值范围，可得的最小值．
本题考查的知识点是函数的最值及其几何意义，函数的单调性，函数解析式的求法，属于拔高题．
【解答】
解：当时，，
，
又，
，
当时，单调递减；
当时，单调递增；
，
，
对定义域上任意都有成立，
，
故的最小值是，
故答案为：

25.【答案】因为
所以作出函数的图象如下图所示：
由图象可知：函数在上单调递增，在上单调递减．

【解析】本题考查分段函数的图象和由图象得出函数的单调性，属于中档题．
由已知得，可作出函数的图像；
由图象可得出函数的单调性．
26.【答案】解：根据题意，函数在上递增，
证明：设，设，
则
，
又由，则，
所以，
故函数在上单调递增．
【解析】本题考查函数单调性的判断和证明，注意作差法的应用，属于基础题．
根据题意，设，由作差法分析可得结论．
27.【答案】解：由题意可知，
解得．
即的取值范围为．
【解析】本题主要考查了利用函数的单调性解函数不等式，属于基础题．
根据函数的单调性以及定义域列出不等式组，求解即可．
28.【答案】解：任取，，且，
则
．
，，．
，．
若，则，
，即，
在上单调递增．
若，则当时，，
，即，
在上单调递减；
当时，，
，即，
在上单调递增．
综上可知，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增．
【解析】本题考查了函数单调性的性质与判断，用定义法证明函数单调性，要掌握定义法证明函数单调性的步骤，本题的难点在于确定的分类标准，属中档题．
利用证明函数单调性的一般步骤，任取，，且，
则作差后
，确定的分类标准，分别确定作差的正负，即可确定的单调性．
29.【答案】解：由题意得在定义域内单调递减，
的定义域为，且有成立，
则，解之得，故，
所以的取值范围是；
不等式的解集，
等价于的解集，
即的解集，
当时，不等式解集为；
当时，不等式的解集为或；
当时，即求不等式的解集，
当即时，不等式的解集为；
当即时，不等式的解集为；
当即时，不等式的解集为．

【解析】由题意得在定义域内单调递减，
可得，解不等式组即可得答案；
由题即求不等式的解集，分类讨论，即可得答案；
本题考查利用函数的单调性解不等式、分类讨论解含参一元二次不等式，考查分类讨论思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力．
30.【答案】证明：令，则，
，，
当时，，
，
，
时，，
又时，，
对任意的，恒有．
证明：设，则，
，
，．
又，，
，
是上的增函数．
解：由，得．
又是上的增函数，
，
，
的取值范围是．
【解析】本题考查了抽象函数，考查了函数的单调性与一元二次不等式的解法．
首先求得，然后可证明当时，，即可得解；
利用单调函数的定义证明，设，将写成的形式后展开，结合的结论即可证得；
由得，结合的单调性去掉符号“”后，转化成一元二次不等式解决即可．
31.【答案】解：函数在区间上单调递减，证明如下：
设，是区间上的任意两个实数，且，
．
由于，所以，且，
所以，即，
所以函数在区间上单调递减．
由知，函数在上单调递减，
因此，函数在区间的两个端点上分别取得最大值与最小值，
即最大值为，最小值为．

【解析】本题考查了函数的单调性与单调区间、函数的最值的相关知识，属于基础题．
利用定义法证明即可得出答案；
由得出函数在上单调递减，即可得出最大值和最小值．
32.【答案】解：设矩形的另一边长为，
则．
由已知，得，
所以．
因为，所以，
所以，当且仅当时，等号成立．
即当时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是元．
【解析】函数的实际应用题，我们要经过析题建模解模还原四个过程，在建模时要注意实际情况对自变量取值范围的限制，解模时也要实际问题实际考虑．将实际的最大小化问题，利用函数模型，转化为求函数的最大小是最优化问题中，最常见的思路之一．
设矩形的另一边长为，则根据围建的矩形场地的面积为，易得，此时再根据旧墙的维修费用为元，新墙的造价为元，我们即可得到修建围墙的总费用表示成的函数的解析式；
根据中所得函数的解析式，利用基本不等式，我们易求出修建此矩形场地围墙的总费用最小值，及相应的值．
33.【答案】解：
由，
得，
所以，
所以，
故；
，
当，
即时，，得，
此时的图象的对称轴为，；
当，
即时，，得，无解；
综上所述，，的最小值为．
【解析】本题考查函数解析式的求法及函数最值的求法，考查分类讨论思想，属于中档题．
运用待定系数法求解；
讨论二次函数的对称轴与区间中点的关系，进而得解．
34.【答案】解：函数
，函数的图像如图所示
当时，则函数在区间单调递减，在区间单调递增，
当时，则函数在区间单调递增，
综上可知，函数的单调增区间为，，单调减区间为
时，函数在区间上单调递增，
则，
时，
当，即时，函数在单调递增，在单调递减，如图所示，
且， ，
若，即时，，
若，即时，，
当，即时，函数在单调递增，在单调递减，在单调递增，如图所示，
且，，

而时，，即，即，
所以时，，
且此时对，也成立，
综上所述，时，，时，

【解析】本题考查函数的单调性及最值，考查分类讨论及数形结合思想，属于难题．
将函数写成分段函数的形式，根据的取值情况，画出函数图象求出函数的单调区间；
分和两种情况，求出函数在区间上的最值．
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