3.4 函数的应用（一）-2023-2024学年高一数学人教A版必修第一册同步练习（含答案）

3.4 函数的应用（一）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1. 加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”，在特定条件下，可食用率与加工时间单位：分钟满足函数关系是常数，如图记录了三次实验的数据，根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为( )
A. 分钟 B. 分钟 C. 分钟 D. 分钟
2. 某品种鲜花进货价元支，据市场调查，当销售价格元支在时，每天售出该鲜花支数，若想每天获得的利润最多，则销售价格应定为元．( )
A. B. C. D.
二、多选题
3. 某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品已知该单位每月的处理量最少为吨，最多为吨，月处理成本元与月处理量吨之间的函数关系可近似地表示为，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为元以下判断正确的是( )
A. 该单位每月处理量为吨时，才能使每吨的平均处理成本最低
B. 该单位每月最低可获利元
C. 该单位每月不获利，也不亏损
D. 每月需要国家至少补贴元才能使该单位不亏损
4. 若一些函数的解析式和值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，例如函数，与函数，就是“同族函数”下列四个函数中不能用来构造“同族函数”的是 ( )
A. B. C. D.
三、填空题
5. 在数学中，我们经常遇到定义定义是指对某些对象标明符号，指明称谓，或者揭示所研究问题中对象的内涵对于函数，使得取定义域内的每一个值，都有，则称为“准奇函数”，请写出一个“准奇函数”的解析式为 ．
6. 李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为元盒、元盒、元盒、元盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到元，顾客就少付元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的．
当时，顾客一次购买草莓和西瓜各盒，需要支付 元；
在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则的最大值为 ．
四、解答题
7. 本小题分
某企业欲做一个介绍企业发展史的铭牌，铭牌的截面形状是如图所示的扇形环面由扇形挖去扇形后构成的已知米，米，线段、线段与弧、弧的长度之和为米，圆心角为弧度．
求关于的函数解析式；
记铭牌的截面面积为，试问取何值时，的值最大？并求出最大值．
8. 本小题分
某公司为提高员工的综合素质，聘请专业机构对员工进行专业技术培训，其中培训机构成本费用为元．公司每位员工的培训费用按以下方式与该机构结算：若公司参加培训的员工人数不超过，则每人的培训费用为元；若公司参加培训的员工人数多于，则给予优惠：每多一人，每位员工的培训费减少元．已知该公司最多有位员工可参加培训，设参加培训的员工人数为，每位员工的培训费用为元，培训机构的利润为元．
写出与之间的函数关系式；
当公司参加培训的员工为多少人时，培训机构可获得最大利润？并求最大利润．
9. 本小题分
围建一个面积为的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙利用旧墙需维修，其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为的进出口，已知旧墙的维修费用为元，新墙的造价为元，设利用的旧墙的长度为单位：，修建此矩形场地围墙的总费用为单位：元．
将表示为的函数：
试确定，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用．
10. 本小题分
提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度单位：千米小时是车流密度单位：辆千米的函数．当桥上的车流密度达到辆千米时，造成堵塞，此时车流速度为；当车流密度不超过辆千米时，车流速度为千米小时．研究表明：当时，车流速度是车流密度的一次函数．
当时，求函数的表达式；
当车流密度为多大时，车流量单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆小时可以达到最大，并求出最大值．精确到辆小时
11. 本小题分
湖北省第二届荆州园林博览会于年月日至月日在荆州园博园举办，本届园林博览会以“辉煌荆楚，生态园博”为主题，展示荆州生态之美，文化之韵，吸引更多优秀企业来荆投资，从而促进荆州经济快速发展．在此次博览会期间，某公司带来了一种智能设备供采购商洽谈采购，并决定大量投放荆州市场．
已知该种设备年固定研发成本为万元，每生产一台需另投入元，设该公司一年内生产该设备万台且全部售完，每万台的销售收入万元与年产量万台满足如下关系式：．
Ⅰ写出年利润万元关于年产量万台的函数解析式；利润销售收入成本
Ⅱ当年产量为多少万台时，该公司获得的年利润最大？并求最大利润．
12. 本小题分
新冠肺炎疫情发生后，政府为了支持企业复工复产，某地政府决定向当地企业发放补助款，其中对纳税额万元在的小微企业做统一方案，方案要求同时具备下列两个条件：补助款万元随企业原纳税额万元的增加而增加；补助款不低于原纳税额的经测算，政府决定采用函数模型其中为参数作为补助款发放方案．
当使用参数是否满足条件，并说明理由；
求同时满足条件的参数的取值范围．
13. 本小题分
如图，正方形的边长为，，分别为，上动点，且的周长为，设，．
求，之间的函数关系式；
判断的大小是否为定值？并说明理由；
设的面积分别为，求的最小值．
14. 本小题分
某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时某地上班族中的成员仅以自驾或公交方式通勤分析显示：当中的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为单位：分钟，
而公交群体的人均通勤时间不受影响，恒为分钟，试根据上述分析结果回答下列问题：
当在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？
求该地上班族的人均通勤时间的表达式；讨论的单调性，并说明其实际意义．
15. 本小题分
若函数对于定义域内的某个区间内的任意一个，满足，则称函数为上的“局部奇函数”；满足，则称函数为上的“局部偶函数”已知函数，其中为常数．
若为上的“局部奇函数”，当时，求不等式的解集；
已知函数在区间上是“局部奇函数”，在区间上是“局部偶函数”，．
(ⅰ)求函数的值域；
(ⅱ)对于上的任意实数，，，不等式恒成立，求实数的取值范围．
16. 本小题分
某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的年收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的年收益与投资额的算术平方根成正比．已知投资万元时两类产品的年收益分别为万元和万元如图．
分别写出两种产品的年收益与投资额的函数关系式；
该家庭现有万元资金，全部用于理财投资，问：怎么分配资金能使投资获得最大年收益，其最大年收益是多少万元？
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了二次函数模型的应用，考查利用二次函数的图象与性质求函数的最值问题，确定函数解析式是关键．
由提供的数据，求出函数的解析式，由二次函数的图象与性质可得结论．
【解答】
解：将，，分别代入，
可得
解得，，，
，对称轴为．
故选：．

2.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了函数模型的应用，属于基础题．
构造每天获得的利润与销售价格的函数解析式进行求解．
【解答】
解：当销售价格为元支时，每支获利元，
于是每天获得的利润元，
可知当时，随的增大而增大，
当时，取得最大值，即每支鲜花的售价为元时，所获得利润最大．
故选D．

3.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查基本不等式在函数中的应用，解题关键是列出函数关系式，属于中档题．
列出处理成本函数，然后由基本不等式求最小值，并得出取最小值时处理量设该单位每月获利为，则，把值代入进行化简，然后运用配方法进行求解．
【解答】
解：由题意可知，二氧化碳每吨的平均处理成本为
，
当且仅当，即时，能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为元．
设该单位每月获利为，
则
，
因为，所以当时，有最大值元，
故该单位不获利，需要国家每月至少补贴元，才能不亏损．
故选AD．

4.【答案】
【解析】
【分析】本题给出“同族函数”的定义，要求我们判断几个函数能否被用来构造“同族函数”，考查了基本初等函数的单调性的知识点，属于基础题．
由题意，能够被用来构造“同族函数”的函数必须满足在其定义域上不单调．由此判断各个函数在其定义域上的单调性，即可得到选项A是符合题意的，而、中的函数在其定义域上是单调函数，不符合题意．中的函数不同的定义域，值域不可能相同，也不符合题意。
【解答】
解：由题意知，“同族函数”不能是单调函数，故 B，不能用来构造“同族函数”
因为是奇函数，图象关于原点对称，所以不同的定义域，值域不可能相同，故D不能用来构造“同族函数”
函数，与函数，，定义域不同，值域都为，解析式一样，故可用来构造“同族函数”．
故选BCD．

5.【答案】，答案不唯一
【解析】
【分析】
本题考查基本初等函数的对称性的判断，属于基础题．
由已知得，即函数的图形关于对称，结合基本初等函数可求．
【解答】
解：因为即，所以函数的图形关于对称，
满足条件的函数有，等．
故答案为：答案不唯一．

6.【答案】

【解析】
【分析】
本题考查不等式在实际问题的应用，考查化简运算能力，属于中档题．
由题意可得顾客一次购买的总金额，减去，可得所求值；
在促销活动中，设订单总金额为元，讨论的范围，可得，解不等式，结合恒成立思想，可得的最大值．
【解答】
解：当时，顾客一次购买草莓和西瓜各盒，可得元，
即有顾客需要支付元；
在促销活动中，设订单总金额为元，
当时，显然符合题意；
当时，
可得，
即有，
可得，
则的最大值为元．
故答案为：；．

7.【答案】解：根据题意，可算得弧，弧．
，
．
依据题意，可知，
化简得：．
当，
答：当米时铭牌的面积最大，且最大面积为平方米．
【解析】本题考查了实际问题中函数解析式的求解，函数最值的计算，属于中档题．
根据弧长公式和周长列方程得出关于的函数解析式；
根据扇形面积公式求出关于的函数，从而得出的最大值．
8.【答案】解：依题意，得当时，；
当时，，
当，时，．
所以当时，取得最大值，．
当，时，
，
所以当或时，取得最大值，．
，
当公司参加培训的员工人数为或时，培训机构可获得最大利润元．

【解析】本题考查了二次函数模型、分段函数模型的相关知识，试题难度一般．
根据题意分，两种情况列式即可
先分段列出的函数关系式，求解最值即可．
9.【答案】解：设矩形的另一边长为，
则．
由已知，得，
所以．
因为，所以，
所以，当且仅当时，等号成立．
即当时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是元．
【解析】函数的实际应用题，我们要经过析题建模解模还原四个过程，在建模时要注意实际情况对自变量取值范围的限制，解模时也要实际问题实际考虑．将实际的最大小化问题，利用函数模型，转化为求函数的最大小是最优化问题中，最常见的思路之一．
设矩形的另一边长为，则根据围建的矩形场地的面积为，易得，此时再根据旧墙的维修费用为元，新墙的造价为元，我们即可得到修建围墙的总费用表示成的函数的解析式；
根据中所得函数的解析式，利用基本不等式，我们易求出修建此矩形场地围墙的总费用最小值，及相应的值．
10.【答案】解：由题意：当时，；
当时，设 ，
再由已知得，解得，
故函数的表达式为
依题意并由可得
当时，为增函数，故；
当时，，
所以，当时，在区间上取得最大值
综上，当时，在区间上取得最大值
即当车流密度为辆千米时，车流量可以达到最大，最大值约为辆小时．
【解析】本题考查函数模型的应用，分段函数的性质及其应用，属于中档题．
当时，车流速度为千米小时；当时，车流速度是车流密度的一次函数，利用待定系数法，根据当桥上的车流密度达到辆千米时，造成堵塞，此时车流速度为；当车流密度不超过辆千米时，车流速度为千米小时，即可求得函数表达式；
先在上，车流量函数为增函数，得，然后在上，车流量函数为二次函数，然后根据二次函数的最大值问题解答．
11.【答案】解：Ⅰ．
Ⅱ当时，
．
当时
．
当且仅当即时等号成立，
．
，
当年产量为万台时，该公司获得的利润最大为万元．
【解析】本题考查了函数模型，利用基本不等式解决实际问题．
Ⅰ．
Ⅱ当时，当时，，分别求最值即可．
12.【答案】解：当，，
，所以当时不满足条件，
即当使用参数时不满足条件．
函数模型，
任取，若满足条件，则在单调递增，
所以，
由，，
所以，对恒成立，
又，即，故
由条件可知，，即不等式在上恒成立，
等价于在上恒成立，
当时，取最小值，
，
综上，参数的取值范围是．
【解析】本题主要考查了函数的实际应用，考查了函数的单调性和最值，属于较难题．
当，，验证条件是否满足，即可得到结果．
若满足条件，则在单调递增，利用单调性得定义判断，即可得到满足条件的的取值范围，条件等价于不等式在上恒成立，通过分离参数法转化为最值问题，即可求出满足条件的的取值范围，再求两者的交集，即是的取值范围．
13.【答案】解：由已知可得，根据勾股定理有，
化简得：．
，，
，
，，
，
故是定值．
，
令，，，当且仅当时，取等号，
时，的最小值为．
【解析】本题考查了函数模型的应用和基本不等式的实际应用，是中档题．
根据勾股定理有，化简可得，之间的函数关系式；
计算，可得的大小为定值；
先得出，再由换元法和基本不等式可得的最小值．
14.【答案】解：由题意知，当时，
，
即，
解得或，
，
时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间；
当时，
；
当时，
；
；
的对称轴为，
当时，，，
所以当时，单调递减；
当时，单调递增；
说明该地上班族中有小于的人自驾时，人均通勤时间随自驾人数增多是递减的；
有大于的人自驾时，人均通勤时间随自驾人数增多是递增的；
当自驾人数为时，人均通勤时间最少．
【解析】本题考查了分段函数的应用问题，也考查了分类讨论与分析问题、解决问题的能力．
由题意知求出时的取值范围即可；
分段求出的解析式，判断的单调性，再说明其实际意义．
15.【答案】解：若为上的“局部奇函数”，则，
即，整理可得，
解得，即，
当时，不等式，即为，
可得，即，
则原不等式的解集为；
令，则在递增，当时，；
因为在递增，所以时，；
又因为在为“局部偶函数”，可得时，；
综上可得，的值域为，；
(ⅱ)对于上的任意实数，，，不等式恒成立，
当时，可得，
即有，
解得；
当时，显然符合题意；
当时，可得，
即有，
解得，
综上的取值范围是
【解析】由“局部奇函数”的定义，结合指数不等式的解法，可得解集；
由分段函数的形式写出的解析式，再由换元法和函数的单调性、基本不等式，可得所求值域；
(ⅱ)由题意对分类讨论，转化为最值，结合的值域，可得所求范围．
本题考查函数的新定义的理解和应用，以及函数恒成立问题解法，考查方程思想和运算能力、推理能力，属于拔高题．
16.【答案】解：设 ， ，
所以 ， ，
即 ， ；
设投资债券类产品万元，则股票类投资为万元，
依题意得： ，
令 ，
则 ，
所以当，即万元时，收益最大， 万元．

【解析】函数的实际应用题，我们要经过析题建模解模还原四个过程，在建模时要注意实际情况对自变量取值范围的限制，解模时也要实际问题实际考虑．将实际的最大小化问题，利用函数模型，转化为求函数的最大小是最优化问题中，最常见的思路之一．
由投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比，结合函数图象，利用待定系数法来求两种产品的收益与投资的函数关系；
由的结论，设投资债券类产品万元，则股票类投资为万元．这时可以构造出一个关于收益的函数，然后利用求函数最大值的方法进行求解．
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