4.1.2 无理数指数幂及其运算性质-2023-2024学年高一数学人教A版必修第一册同步练习（含答案）

4.1.2 无理数指数幂及其运算性质
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
单选题
1. 在中，计算正确式子的个数是( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
2. 数术记遗是东汉时期徐岳编撰的一本数学专著，内有中国特色的十四种算法它最早记录中国古代关于大数的记法：“黄帝为法，数有十等及其用也，乃有三焉十等者，亿兆京垓秭壤沟涧正载三等者，谓上中下也，其下数者，十十变之，若言十万曰亿，十亿曰兆，十兆曰京也中数者，万万变之，若言万万曰亿，万万亿曰兆，万万兆曰京上数者，数穷则变，若言万万曰亿，亿亿曰兆，兆兆曰京也从亿至载，终于大衍下数浅短，计事则不尽，上数宏阔，世不可用故其传业，唯以中数耳”我们现在用的是中数之法：万万为亿，万亿为兆，万兆为京，，即万，亿，兆，京，，地球的质量大约是秭千克，秭的位数是( )
A. B. C. D.
3. 物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却定律来描述：设物体的初始温度是，经过一定时间单位：分后的温度是，则，其中称为环境温度，为比例系数．现有一杯的热水，放在的房间中，分钟后变为的温水，那么这杯水从降温到时需要的时间为( )
A. 分钟 B. 分钟 C. 分钟 D. 分钟
4. 已知，则的值是( )
A. B. C. D.
5. 实数满足，则 ( )
A. B. C. D.
6. 衣柜里的樟脑丸会随着时间的挥发而体积缩小，刚放进的新丸体积为，经过天后体积与天数的关系式为：若新丸经过天后，体积变为，则一个新丸体积变为需经过的时间为( )
A. 天 B. 天 C. 天 D. 天
二、填空题
7. 已知，，且，求 ．
8. 已知，化简 ．
9. 若，是方程的两个根，则 ， ．
10. 化简的结果为 ．
11. 若，，则 ．
三、解答题
12. 本小题分
化简或求值
；
．
13. 本小题分
已知，求的值；
已知，求的值．
14. 本小题分
化简：
；
．
15. 本小题分
从盛有纯酒精的容器中倒出，然后用水填满；再倒出，又用水填满
连续进行次，容器中的纯酒精还剩下多少？
连续进行次，容器中的纯酒精还剩下多少？
16. 本小题分
已知是的七次方根，求的值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了指数及其指数幂的运算，属于基础题．
根据指数及其指数幂的运算法则，逐一分析可得出结果．
【解答】
解：对于，，故正确；
对于，，故错误；
对于，，故正确；
对于，，故错误；
对于，，故错误，
故正确的个数有个，
故选C．

2.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查指数运算的应用，属于基础题．
根据题意，万位记一进位，即记数中相邻两个相差位，由此可得．
【解答】
解：由题意相邻记数单位后面的比前面的多位．
兆，位数，因此京是位垓是位秭是位，秭也是位数．
故选：．

3.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查指数运算的应用，考查计算能力，是中档题．
由已知列式求得，进一步利用已知条件列式求得所需时间得答案．
【解答】
解：设物体的初始温度是，经过一定时间后的温度是，则，
由，，，，
则，，得，
当，，时，
则，即，
，得，即．
这杯水从降温到时需要的时间为分钟．
故选B．

4.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了分数指数幂的运算，考查了学生的计算能力．
该等式两边平方可得，然后利用立方差公式化简为可得结果．
【解答】
解：，
．
．
故选A．

5.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查指数幂的运算，属拔高题．
依题意，对通分整理得，进而求得结果．
【解答】
解：由，
得，
即
，
所以，
故选A．

6.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查指数运算在生产生活中的应用，是中档题．
由题意得，可令天后体积变为，即有，由此能求出结果．
【解答】
解：由题意得，
可令天后体积变为，即有，
由可得，
又得，
两边平方得，
与比较可得，解得，
即经过天后，体积变为
故选：．

7.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查指数幂和根式的运算，考查公式的应用．
由已知可得，则，所以原式等价于，利用完全平方公式化简求值即可．
【解答】
解：由已知可得，则，
原式
故答案为：

8.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查根式的运算性质，指数与指数幂的运算，属中档题；注意公式的熟练应用即可．
根据已知条件判断的范围，再结合根式的运算性质，即可求得结果．
【解答】
解：由已知，即，即，
所以
故答案为：

9.【答案】

【解析】
【分析】
本题考查了指数幂的运算，应用一元二次方程根与系数的关系及指数运算法则求值，属于基础题．
根据一元二次方程根与系数关系可得、的值，结合指数运算法则即可求值．
【解答】
解：利用一元二次方程根与系数的关系，得：
，，
则，
，
故答案为：；．

10.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查分数指数幂的运算，考查运算求解能力，属于中档题．
直接利用分数指数幂的运算法则进行化简．
【解答】
解：原式．
故答案为：．

11.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查指数幂运算的应用，属于中档题．
利用指数幂运算法则可化简得到二元一次方程组，解方程组即可求得结果．
【解答】
解：，，
，解得：，
．
故答案为：．

12.【答案】解：原式
．
原式
．

【解析】本题考查了指数幂的运算性质，属于基础题．
利用指数幂和根式的运算性质即可得出．
利用指数幂的运算性质即可得出．
13.【答案】解：原式；
原式
．

【解析】本题考查根据指数幂的运算法则求代数式的值，利用整体代换，涉及因式分解．
根据指数幂运算法则将原式转化为即可求值；
利用立方和公式化简因式分解再求值．
14.【答案】解：
．
．

【解析】本题考查指数与指数幂的运算．
根据，进一步计算可得答案；
由指数幂的运算法则进行计算，进而得出答案．
15.【答案】解：倒出次后还剩，加满水后浓度为．
倒出次后还剩，加满水后浓度为．
倒出次后还剩，加满水后浓度为．
倒出次后还剩，加满水后浓度为．
倒出次后还剩．
由知，连续进行了次，容器中的纯酒精还剩下．

【解析】本题考查利用指数性质解实际应用题．
每进行一次倒出和填满，浓度变为原来的，根据比例关系即可求解；
结合第问分析出的关系每进行一次倒出和填满，浓度变为原来的，即可得解．
16.【答案】解：是的七次方根，．
，
故的值为．

【解析】本题考查了根式的运算及平方差公式，重点考查了运算能力，属于拔高题．
先由是的七次方根，可得，再结合平方差公式，逐步运算即可得解．
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