4.1.1 n次方根与分数指数幂-2023-2024学年高一数学人教A版必修第一册同步练习（含答案）

4.1.1 n次方根与分数指数幂
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
单选题
1. 计算：( )
A. B. C. D.
2. 已知，则的值是( )
A. B. C. D.
3. 若，则化简的结果是( )
A. B. C. D.
4. 已知正数，满足，则的最小值为( )
A. B. C. D.
5. 纸是生活中最常用的纸规格．系列的纸张规格特色在于：、、、，所有尺寸的纸张长宽比都相同；在系列纸中，前一个序号的纸张以两条长边中点连线为折线对折裁剪分开后，可以得到两张后面序号大小的纸，比如张纸对裁后可以得到张纸，张纸对裁可以得到张纸，依此类推．这是因为系列纸张的长宽比为这一特殊比例，所以具备这种特性．已知纸规格为厘米厘米，，那么纸的长度为( )
A. 厘米 B. 厘米 C. 厘米 D. 厘米
6. 若则( )
A. B. C. D.
7. 已知，下列各式中正确的个数是( )

A. B. C. D.
二、多选题
8. 下列各组数既符合分数指数幂的定义，值又相等的是( )
A. 和 B. 和 C. 和 D. 和
9. 下列运算结果中，一定正确的是( )
A. B. C. D.
三、填空题
10. 当生物死亡后，它机体内原有的碳会按确定的规律衰减．按照惯例，人们将每克组织的碳含量作为一个单位大约每经过年，一个单位的碳衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”当死亡生物组织内的碳的含量不足死亡前的千分之一时，用一般的放射性探测器就测不到碳了．如果用一般的放射性探测器不能测到碳，那么死亡生物组织内的碳至少经过了 个“半衰期”【提示：】
四、解答题
11. 本小题分
解下列方程．
；
；
．
12. 本小题分
已知，且，求下列各式的值：
； ； ．
13. 本小题分
设，求的值．
14. 本小题分
对于正整数和非零实数，，，，若，，求，，的值．
15. 本小题分
计算：；
．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查指数幂化简求值，是基础题．
利用指数幂的性质直接求解．
【解答】
解：
．
故选：．

2.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了分数指数幂的运算，属于中档题．
由题意知，利用公式求解．
【解答】
解：由题意知，
．
故选B．

3.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查根式的运算，指数幂的运算法则的应用，属于基础题．
直接根据根式与指数幂的运算法则计算即可．
【解答】
解：，，


故选C

4.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了基本不等式的性质，考查乘“”法的应用以及不等式的解法，属于中档题．
由已知求出，根据基本不等式的性质得到，求出的最小值即可．
【解答】
解：正数，满足，
，
，
，
，
，
，，
当且仅当，即，时“”成立，
故的最小值为．
故选：．

5.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了指数幂的运算，属于基础题．
根据题意设纸的长度为，，可求解答案．
【解答】
解：设纸的长度为，
，
厘米，
故选C．

6.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解决本题的关键．
将已知等式两边平方，利用完全平方公式化简求出的值，原式分子分母除以变形后，将代入计算即可．
【解答】
解：
两边平方得，
即，
所以，原式，
故选C．

7.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查指数幂的运算，考查学生的计算能力，
利用运算法则逐个验证即可．
【解答】
解：因为，
所以平方得，所以正确；
所以，所以，正确；
因为，所以，不可能为负，错误；
因为，所以，正确．
故选C．

8.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了指数幂的性质与运算，属于基础题．
根据指数幂的运算法则逐项判断即可．
【解答】
解：选项A中，和均符合分数指数幂的定义，
但，，故A不满足题意；
选项B中，的负分数指数幂没有意义，故B不满足题意；
选项C中，，，故C满足题意；
选项D中，由于，则，故D满足题意．
故选：．

9.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查指数幂的运算，属于基础题．
由题意和指数幂的运算，逐个选项验证即可．
【解答】
解：．，所以A正确；
，所以B错误；
，所以C错误；
，所以D正确．
故选AD ．

10.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查指数的简单计算，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
设生物组织内原有的碳含量为，需要经过个“半衰期”才不能被测到碳，则，即，再根据参考数据即可得解．
【解答】
解：设生物组织内原有的碳含量为，需要经过个“半衰期”才不能被测到碳，
则，即，
由参考数据可知，，，
，
故答案为：．

11.【答案】解：因为，所以，所以，
所以方程的解集为
因为，所以，
所以，所以，
所以方程的解集为．
因为，所以，
所以，
所以或，
所以或，
所以方程的解集为．

【解析】本题考查简单的指数方程的解法．
根据指数的性质进行计算可得答案；
根式化为分数指数幂，两边化为同底数的幂相等，根据指数相等可得结果；
化为关于的一元二次方程，解得或，进一步可得结果．
12.【答案】解：
即
而，所以
则
由知，
则
即
而，所以
则．
【解析】本题主要考查指数与指数幂的运算．
利用平方和公式转化为，由已知可求其值
求转化为先求，再开方，根据指数函数的增减性判断的正负，从而进行取舍
先求，再开方，根据指数函数的增减性判断的正负，从而进行取舍．
13.【答案】解：，
，
当时，
原式；
当时，原式．
．

【解析】本题主要考查根式的化简以及根式的性质，属于中档题．
利用根式的性质得到，再根据，分，两种情况求解．
14.【答案】解：，．
同理可得，．
，
即．
又，．
又，，为正整数，且，
，，均不为，
，
，，．

【解析】本题考查指数幂的运算．
由已知条件，结合分数指数幂的运算得到，进而，结合，得到，然后将分解，，的乘积，由可得，，均不为，进而得到，从而得到，，的值．
15.【答案】解：
．
．

【解析】本题考查根式运算，属于拔高题．
需把各项被开方数变为完全平方形式，然后再利用根式运算性质求解；
分母有理化即可求解
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