4.3.2 对数的运算-2023-2024学年高一数学人教A版必修第一册同步练习（含答案）

4.3.2 对数的运算
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1. 青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据和小数记录法的数据满足已知某同学视力的五分记录法的数据为，则其视力的小数记录法的数据约为( )
A. B. C. D.
2. 若，，，则的最小值为( )
A. B. C. D.
3. 泰兴中学高一期末年月日凌晨时分，我国在文昌航天发射场用长征五号遥五运载火箭把嫦娥五号探测器顺利地送入预定轨道，开启我国首次外太空采样返回之旅．据科学家们测算：火箭的最大速度至少达千米秒时，可将嫦娥五号探测器顺利送入外太空．若火箭的最大速度单位：米秒、燃料的质量单位：吨和嫦娥五号探测器的质量单位：吨近似满足函数关系式，要将嫦娥五号探测器顺利送入外太空，则燃料质量与嫦娥五号探测器质量的比值至少为 ( )
A. B. C. D.
4. 已知，，则等于( )
A. B. C. D.
5. 已知，，，且，则等于( )
A. B. C. D.
6. 已知，，，则的最小值是．( )
A. B. C. D.
7. 历史上，最伟大的数学家一直都热衷于寻找质数的“分布规律”，法国数学家马林梅森就是研究质数的数学家中成就很高的一位，正因为他的卓越贡献，现在人们将形如“是质数”的质数称为梅森数，迄今为止共发现了个梅森数，前个梅森数分别是，，，，，是位数，是位数，是位数．已知第个梅森数为，则第个梅森数的位数为参考数据：( )
A. B. C. D.
8. 天文学中为了衡量天体的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯，又名依巴谷在公元前二世纪首先提出了星等这个概念．星等的数值越小，天体就越亮；星等的数值越大，天体就越暗．到了年，由于光度计在天体光度测量中的应用，英国天文学家普森又提出了衡量天体明暗程度的亮度的概念．天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足，其中星等为的星的亮度为已知“心宿二”的星等是，“天津四”的星等是“心宿二”的亮度是“天津四”的倍，则的近似值为当较小时，( )
A. B. C. D.
二、多选题
9. 某一池溏里浮萍面积单位：与时间单位：月的关系为，下列说法中正确的说法是( )
A. 浮萍每月增长率为
B. 第个月时，浮萍面积就会超过
C. 浮萍每月增加的面积都相等
D. 若浮萍蔓延到，，所经过时间分别为，，，则
10. 已知，现有下面四个命题中正确的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
三、填空题
11. 若，是方程的两个根，则 ．
12. 已知，那么 ．
13. 已知，则实数的取值范围是 ．
14. 已知，，用，表示为 ．
四、解答题
15. 本小题分
；
；
已知，，为正实数，，，求的值．
16. 本小题分
已知，，为正数，，．
求的值；
求证： ．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了对数与指数的互化问题，也考查了运算求解能力，是基础题．
把代入中，直接求解即可．
【解答】
解：在中，，
所以，即，
解得，
所以其视力的小数记录法的数据约为．
故选：．

2.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了利用基本不等式求最值及对数运算，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
由对数运算可得，则，从而利用基本不等式求解即可．
【解答】
解：由，，，得，
即，则有，
所以
，
当且仅当时等号成立，
所以的最小值为．
故选A．

3.【答案】
【解析】
【分析】
利用所给出的公式，直接计算即可．
本题考查了函数的应用，对数的运算，属于基础题．
【解答】
解：千米秒米秒，令，，
，，当燃料质量与嫦娥五号探测器质量的比值至少为时，可将嫦娥五号探测器顺利送入外太空．
故选B．

4.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了对数的运算性质，是基础题．
由对数的运算性质可得，可得答案．
【解答】
解：．
故选B．

5.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查对数的运算性质，解题时要注意对数和指数间的相互转化．
由题设条件，先求出和的值，然后由得到的值，两边取以为底的对数，能求出的值．
【解答】
解：，，，
且，
，，，
，
，
．
故选D．

6.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查基本不等式在求最值中的应用，考查对数的运算法则．
根据对数的运算法则得到，利用“”的代换即可求解．
【解答】
解：因为，
所以，即，，，
则
，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为．
故选B．

7.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查对数的运算，属于中档题．
根据题意，利用常用对数估算即可．
【解答】
解：，
故，
故第个梅森数的位数为，
故选C．

8.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了对数与对数运算，属于中档题．
利用题目所给条件和公式得和，再利用对数运算，最后再利用题目所给参考公式，计算得结论．
【解答】
解：因为“心宿二”的星等是，亮度为，
“天津四”的星等是，亮度为，且，
所以，
即，解得，
根据参考公式可得，
因此与最接近的是．
故选B．

9.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了指数函数基本性质的应用，考查了对数函数及其性质以及对数的运算，考查分析问题和解决问题的能力，属于较难题．
由可判断；将代入可判断；分别求出浮萍第个月增加的面积和第个月增加的面积可判断；分别求出，再由对数运算可判断．
【解答】
解：由题意可知：浮萍面积单位：与时间单位：月的关系为，
对于选项，由可得浮萍每月的增长率为，选项正确；
对于选项，第个月时，浮萍的面积为，选项正确；
对于选项，浮萍第个月增加的面积为，
第个月增加的面积为，，选项错误；
对于选项，由题意可得，，，
又因为，
所以，选项正确，
故选ABD ．

10.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查指数、对数的互化，考查对数的运算，属于中档题．
若，可得，可得；若，根据对数的运算法则即可求出的值．
【解答】
解：因为，
若，则由可得，所以，于是，对错；
若，则由可得：．
所以，对错．
故选AB．

11.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，对数的运算性质，属于中档题．
由一元二次方程根与系数的关系可得，，再由 ，运算求得结果．
【解答】
解：，是方程的两个根，
，，
，
故答案为．

12.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查求函数解析式，计算函数值，涉及对数的运算，属于中档题．
先由求得解析式，再利用对数的运算法则计算即可．
【解答】
解：，设，则，
，即，
．
故答案为．

13.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了对数的运算性质，以及基本不等式的应用，属于中档题．
由对数运算可知，利用对数的真数大于零，得到，再利用基本不等式即可求出的取值范围．
【解答】
解：，，
，，
，
由题意，即，
所以，故，
所以，当且仅当，即时等号成立，
故答案为：．

14.【答案】
【解析】
【分析】
化指数式为对数式，利用对数的运算性质可得，再把利用对数换底公式化简得答案．
本题考查对数的运算性质，考查指数式与对数式的互化，考查对数换底公式的应用，是较难题．
【解答】
解：由，，
得，
．
故答案为：．

15.【答案】解：原式；
原式；
，，为正实数，，．
，，，
，
，
．
【解析】本题主要考查了指数幂的运算性质和对数的运算性质．
利用指数幂的运算性质即可得出．
利用对数的运算性质即可得出．
设，可得，，，再利用对数的运算性质即可得出．
16.【答案】解：设，
因为，，为正数，
则，
所以，，
因为，所以．
因为，所以
，
，
所以．

【解析】本题主要考查了对数与对数运算．
设，则，所以，，，因为，所以，即可求出．
，，即可证明．
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