4.4.1 对数函数的概念-2023-2024学年高一数学人教A版必修第一册同步练习（含答案）

4.4.1 对数函数的概念
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1. 若函数为对数函数，则( )
A. B. C. D.
2. 若某对数函数的图象过点，则该对数函数的解析式为( )
A. B. C. D. 不确定
3. 已知函数，若，则( )
A. B. C. D.
4. 邯郸一中高一期末已知函数的定义域为，函数的值域为，若，则的取值范围为 ( )
A. B. C. D.
二、多选题
5. 下列函数中，满足的是( )
A. B. C. D.
6. 下列函数，哪些不是对数函数( )
A. B. C. D.
7. 如果一个点是一个指数函数与一个对数函数图象的公共点，那么称这个点为“好点”在下面的四个点中，不是“好点”的是( )
A. B. C. D.
8. 若对数函数满足，则下列说法不正确的是( )
A. B. C. D.
三、填空题
9. 函数的定义域为 ．
10. 已知函数，若，则 ．
11. 如图，直线是函数的图象，曲线是函数图象，为曲线上纵坐标为的点过作轴的平行线交于，过作轴的垂线交曲线于；再过作轴的平行线交于点，过作轴的垂线交曲线于；，设点，，，，的横坐标分别为，，，，若，则 用表示
四、解答题
12. 本小题分
已知，求的解析式．
13. 本小题分
已知函数，且，
求的值；
求的值．
14. 本小题分
设函数，且，求的解析式及定义域．
已知函数，若函数且的图象所过定点的纵坐标为．
求函数的定义域；
求函数的值域．
15. 本小题分
已知为奇函数，为偶函数，且．
求及的解析式和定义域；
若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围．
16. 本小题分
已知函数求：
的值；
的值；
通过以上的计算，你能做出什么猜想？试证明你的猜想．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查对数函数的定义，属于基础题．
由题意利用对数函数的定义，求得的值．
【解答】
解：函数为对数函数，
，则舍去或，
故选：．

2.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查对数函数的解析式，属于基础题．
先设出函数解析式，再把点的坐标代入，求出底数，即可得解．
【解答】
解：由对数函数的概念可设该函数的解析式为，且，，
则，即，
解得．
故所求对数函数的解析式为
故选：．

3.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查函数值的求法，函数的性质等基础知识，对数运算，考查运算求解能力，是中档题．
由，得，由此能求出．
【解答】
解：函数，，
，
，
．
故选D．

4.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查函数的定义域和值域，子集以及集合中的参数取值问题．
先求出函数的定义域和值域得出集合、，然后根据列出不等式，可求出的取值范围．
【解答】
解：根据题意得，，由可得，则．
故选D．

5.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查指数函数与对数函数解析式，属于基础题．
代入运算即可求得结果．
【解答】
解：对于选项，，正确；
对于选项，，错误
对于选项，，错误．
对于选项，，正确．
故选AD．

6.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查对数函数概念，属于基础题．
逐项判断即可．
【解答】
解：选项符合对数函数的结构形式，是对数函数
选项符合对数函数的结构形式，是对数函数
选项自变量在底数位置上，不是对数函数
选项对数式后又加，不是对数函数．
故答案为．

7.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查的是指数函数与对数函数．
可设出指数函数与对数函数，再对选项验证即可．
【解答】
解：设指数函数与对数函数分别为，，
对于选项A，因为，
所以点不在对数函数图象上，不是“好点”；
对于选项B，由，
所以点不在对数函数图象上，不是“好点”；
对于选项C，由，得，与已知矛盾，
故不在指数函数图象上，不是“好点”；
对于选项D，由，得，
所以在指数函数图象上，
由，得，
所以在对数函数图象上，
所以是“好点”；
故选：．

8.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查对数函数的解析式及对数运算性质，属于中档题．
由对数函数满足，可求出其解析式，结合对数运算分析即可．
【解答】
解：设，
则由得，，解得，
所以，所以A正确，B错误；
，所以C错误．
又，所以D错误；
故选BCD．

9.【答案】
【解析】
【分析】
根据使函数的解析式有意义的原则，我们可以根据偶次被开方数不小于，对数的真数大于，构造关于的不等式组，解不等式组即可得到函数的定义域．
本题考查的知识点是函数的定义域及其求法，对数函数的定义域，其中根据使函数的解析式有意义的原则，构造关于的不等式组，是解答本题的关键．
【解答】
解：要使函数的解析式有意义，
自变量须满足：
解得：．
故函数的定义域为
故答案为

10.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查函数的解析式的应用，对数方程，属于基础题．
直接利用函数的解析式，求解函数值即可．
【解答】
解：函数，若，
可得：，可得．
故答案为：．

11.【答案】
【解析】
【分析】
由题意可求出，，，，点的坐标，由，，的横坐标，结合对数的运算法则归纳可得所求值．
本题考查对数的图象和性质，考查运算能力和推理能力．
【解答】
解：由题意可求出，，，，点的坐标．
，，，，，
故的横坐标为，
由，可得，
由，可得，
设，过作轴的平行线交于，则，
过作轴的垂线交曲线于，则，
所以，即，
由，则，
所以．
故答案为：．

12.【答案】解： 令，则，则．
，
．
的解析式为：．
【解析】本题考查对数函数的性质，可以用换元法解题，注意换元的时候换范围，属于基础题．
令，则，则，即可求出的解析式．
13.【答案】解：由，得，
，则．
由知，，
．

【解析】本题考查了对数与对数运算、对数函数及其性质的相关知识，试题难度较易．
先根据直接求出
结合可得的解析式，将代入解析式直接求解即可．
14.【答案】解：因为，
所以，即
又因为，
所以，
则，
即的解析式为，其定义域为．
因为函数的图象所过定点的纵坐标为，
且过定点，
所以，解得，
则，
要使函数有意义，
则，解得，
则函数的定义域为；
，
因为，
所以，
则，
所以函数的值域为．
【解析】本题考查对数的运算，函数的解析式及函数的定义域与值域，属于拔高题．
由，即可求出定义域，由对数的运算求解解析式即可．
先求出，则，要使函数有意义，则，即可求解；
化为，因为，结合对数函数的性质即可求解．
15.【答案】解：因为是奇函数，是偶函数，
所以，，
因为，
得，即，
联立可得，，
；
因为，，
所以，因为，所以，
，
，
所以，
因为关于的不等式恒成立，
所以，
故的取值范围为．

【解析】本题主要考查函数的解析式，定义域，奇偶性，属于较难题．
因为是奇函数，是偶函数，则，，进行求解即可；
求得，进而求得的取值范围，即可求解．
16.【答案】解：由题意，得，
，
因此．
利用题，只需要计算即可，
又，，
即得，
因此．
通过以上的计算，可以猜想，
下面证明该猜想：
根据题意，有，
，
所以
．
【解析】本题考查对数与对数的运算，以及合情推理归纳、类比推理证明．
题和题可直接利用对数函数运算计算可得，题可通过以上的计算，观察自变量取值的变化，作出合理推测，然后利用对数函数运算证明该猜想是否成立．
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