4.5.3 函数模型的应用-2023-2024学年高一数学人教A版必修第一册同步练习（含答案）

4.5.3 函数模型的应用
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1. 我国古代著名的思想家庄子在庄子天下篇中说：“一尺之锤，日取其半，万世不竭．”用现代语言叙述为：一尺长的木棒，每天取其一半，永远也取不完．这样，每天剩下的部分都是前一天的一半，如果把“一尺之锤”看成单位“”，那么天后剩下的部分关于的函数关系式为( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
2. 已知，两地相距千米，某人开汽车以千米小时的速度从地到达地，在地停留小时后再以千米小时的速度返回地，把汽车离开地的距离表示为时间的函数，其解析式是( )
A.
B.
C.
D.
3. 加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率．”在特定条件下，可食用率与加工时间单位：分满足函数关系是常数，如图记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为( )
A. 分钟 B. 分钟 C. 分钟 D. 分钟
4. 食品安全问题越来越引起人们的重视，农药、化肥的滥用给人民群众的健康带来了一定的危害．为了给消费者带来放心的蔬菜，某农村合作社每年投入资金万元，搭建甲、乙两个无公害蔬菜大棚，每个大棚至少要投入资金万元，其中甲大棚种西红柿，乙大棚种黄瓜．根据以往的种菜经验，发现种西红柿的年收入、种黄瓜的年收入与各自的资金投入，单位：万元满足，设甲大棚的资金投入为单位：万元，每年两个大棚的总收入为单位：万元则总收入的最大值为( )
A. B. C. D.
5. 某种溶液含有杂质，为达到实验要求杂质含量不能超过，而这种溶液最初杂质含量为，若每过滤一次杂质含量减少，则为使溶液达到实验要求最少需要过滤的次数为可能用到的数据( )
A. B. C. D.
6. 假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案每天的回报如图所示．横轴为投资时间，纵轴为每天的回报，根据以上信息，若使回报最多，下列说法错误的是( )
A. 投资天以内含天，采用方案一 B. 投资天，不采用方案三
C. 投资天，采用方案一 D. 投资天，采用方案二
7. 全国Ⅲ卷模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数的单位：天的模型：，其中为最大确诊病例数．当时，标志着已初步遏制疫情，则约为 ( )
A. B. C. D.
8. 年月日起，铁路部门在京沪高铁，成渝高铁的部分车次试点“静音车厢”服务，为旅客提供更加安静、舒适的旅行环境．假设强度为的声音对应的分贝为，且与的关系可用一次函数进行模拟，强度为的声音对应的分贝为，强度为的声音对应的分贝为若“静音车厢”内要求产生的声音不超过，则其对应的声音强度应不超过( )
A. B. C. D.
9. 年月日，广东虎门大桥发生异常抖动，原因是风经过桥面时产生旋涡，形成了卡门涡街现象．设旋涡的发生频率为单位：赫兹，旋涡发生体两侧平均流速为单位：米秒，漩涡发生体的迎面宽度为单位：米，表体通径为单位：米，旋涡发生体两侧弓形面积与管道横截面面积之比为，根据卡门涡街原理，满足关系式：，其中：称为斯特罗哈尔数．对于直径为即漩涡发生体的迎面宽度的圆柱，，设，当时，在近似计算中可规定已知某圆柱形漩涡发生体的直径为米，表体通径为米，当漩涡发生的频率为赫兹时，斯特罗哈尔数等于，则旋涡发生体两侧平均流速约为米秒( )
A. B. C. D.
10. 某校为了规范教职工绩效考核制度，现准备拟定一函数用于根据当月评价分数正常情况，且教职工平均月评价分数在分左右，若有突出贡献可以高于分计算当月绩效工资元．要求绩效工资不低于元，不设上限且让大部分教职工绩效工资在元左右，另外绩效工资越低、越高人数要越少．则下列函数最符合要求的是( )
A. B.
C. D.
11. 在“绿水青山就是金山银山”的环保理念指引下，结合最新环保法规和排放标准，各企业单位勇于担起环保的社会责任，采取有针对性的管理技术措施，开展一系列卓有成效的改造．已知某化工厂每月收入为万元，若不改善生产环节将受到环保部门的处罚，每月处罚万元．该化工厂一次性投资万元建造垃圾回收设备，一方面可以减少污染避免处罚，另一方面还能增加废品回收收入．据测算，投产后的累计收入是关于月份的二次函数，前月、前月、前月的累计收入分别为万元、万元和万元．当改造后累计纯收入首次多于不改造的累计纯收入时，( )
A. B. C. D.
12. 年月日，神州十二号载人飞船成功发射。据了解，在不考虑空气阻力和地球引力的理想状态下，可以用公式计算火箭的最大速度，其中是喷流相对速度，是火箭除推进剂外的质量，是推进剂与火箭质量的总和，称为“总质比”已知甲型火箭的总质比为，经过材料更新和技术改进后，甲型火箭的总质比变为原来的，喷流相对速度提高了，最大速度增加了，则甲型火箭在材料更新和技术改进前的喷流相对速度为参考数据：，( )
A. B. C. D.
二、填空题
13. 为了在“十一”黄金周期间降价搞促销，某超市对顾客实行购物优惠活动，规定一次购物付款总额：如果不超过元，则不予优惠；如果超过元，但不超过元，则按标价给予折优惠；如果超过元，其中元按第条给予优惠，超过元的部分给予折优惠。小张两次去购物，分别付款元和元，假设她一次性购买上述同样的商品，则应付款额为 元．
14. 信息科技的进步和互联网商业模式的兴起，全方位地改变了大家金融消费的习惯和金融交易模式，现在银行的大部分业务都可以通过智能终端设备完成，多家银行职员人数在悄然减少某银行现有职员人，平均每人每年可创利万元据评估，在经营条件不变的前提下，每裁员人，则留岗职员每人每年多创利万元，但银行需付下岗职员每人每年万元的生活费，并且该银行正常运转所需人数不得小于现有职员的为使裁员后获得的年经济效益最大，该银行应裁员 人，此时银行所获得的最大年经济效益是 万元．
15. 依法纳税是每个公民应尽的义务，个人取得的所得应依照中华人民共和国个人所得税法向国家缴纳个人所得税简称个税年月日起我国正式执行新个税法，个税的部分税率级距进一步优化调整，扩大、、三档低税率的级距，减税向中低收入人群倾斜税率与速算扣除数见如表：
级数 全年应纳税所得额所在区间 税率 速算扣除数
小华的全年应纳税所得额为元，则全年应缴个税为元．
还有一种速算个税的办法：全年应纳税所得额对应档的税率对应档的速算扣除数，即小华全年应缴个税为元按照这一算法，当小李的全年应纳税所得额为元时，全年应缴个税为 ，表中的 ．
16. 某人投资元，获利元，有以下三种方案．甲：，乙：，丙：，则投资元，元，元时，应分别选择 方案．
17. 某地西红柿从月日起开始上市，通过市场调查，得到西红柿种植成本单位：元与上市时间单位：天的数据如下表：
时间
种植成本
根据上表数据，从下列函数中选取一个函数描述西红柿种植成本与上市时间的变化关系：
，，，
你选取的函数是 ．
利用你选取的函数，求得：西红柿种植成本最低时的上市天数是 ．
18. 已知某种药物在血液中以每小时的比例衰减，现给某病人静脉注射了该药物，设经过个小时后，药物在病人血液中的量为．
与的关系式为 ；
当该药物在病人血液中的量保持在以上，才有疗效；而低于，病人就有危险，要使病人没有危险，再次注射该药物的时间不能超过 小时精确到参考数据：，，，
三、解答题
19. 本小题分
某学校为了实现万元的生源利润目标，准备制定一个激励招生人员的奖励方案：在生源利润达到万元时，按生源利润进行奖励，且奖金单位：万元随生源利润单位：万元的增加而增加，但奖金总数不超过万元，同时奖金不超过利润的现有三个奖励模型：，，，其中哪个模型符合该校的要求？
20. 本小题分
某市年引进天然气作为能源，并将该项目工程承包给港华公司已知港华公司为该市铺设天然气管道的固定成本为万元，每年的管道维修费用为万元此外，该市若开通千户使用天然气用户，公司每年还需投入成本万元，且╔╔f(x)= \ begin{cases}10x^{2}+200x,0
设该市年共发展使用天然气用户千户，求中昱公司这一年利润万元关于的函数关系式
在的条件下，当等于多少最大且最大值为多少
21. 本小题分
为落实国家“精准扶贫”政策，让市民吃上放心蔬菜，某企业于年在其扶贫基地投入万元研发资金，用于蔬菜的种植及开发，并计划今后十年内在此基础上，每年投入的资金比上一年增长．
写出第年年为第一年该企业投入的资金数万元与的函数关系式，并指出函数的定义域；
该企业从第几年开始年为第一年，每年投入的资金数将超过万元？
参考数据：
22. 本小题分
据百度百科，罗伯特纳维利斯是一位意大利教师，他的主要成就是于年发明了家庭作业对于数学学科来说，家庭作业通常有选择题、填空题、解答题三种题型构成，据某位专家量化研究发现，适量的家庭作业量有利于学习成绩的提升，过少或过多的家庭作业均不利于学习成绩的提升这位专家把一个选择题量化为一个填空题约量化为一个解答题约量化为于是数学学科的家庭作业量可以用一个正实数来量化已知家庭作业量对应的关联函数当家庭作业量为时对应的学习成绩提升效果可以表达为坐标轴轴，直线以及关联函数所围成的封闭多边形的面积与的比值即通常家庭作业量使得认为是最佳家庭作业量．
求的值；
求的解析式；
大冶一中高一年级的数学学科家庭作业通常是课时跟踪检测，一个课时对应练习题个选择题、个填空题及个解答题，问这个年级的数学学科家庭作业量是否是最佳家庭作业量
23. 本小题分
“凤眼蓝”是一种花朵为浅蓝色的浮水草本植物，它是我国园林水景中的常用造景材料，并且适宜在污染严重的水中生长，是监测环境污染的良好植物．某市年底为了净化某水库的水质，引入“凤眼蓝”，这些“凤眼蓝”在水中蔓延速度越来越快，年月底“凤眼蓝”覆盖面积为，到了月底测得“凤眼蓝”覆盖面积为，“凤眼蓝”覆盖面积单位：与月份单位：月的关系有两个函数模型且与可供选择．
分别求出两个函数模型的解析式；
经测得年月底“凤眼蓝”的覆盖面积约为，从上述两个函数模型中选择更合适的一个模型，并求“凤眼蓝”覆盖面积达到时的最小月份．参考数据：，
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查指数函数的模型的应用，属于基础题．
由题意直接列出函数关系式即可．
【解答】
解：由题意得
，．
故选D．

2.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查分段函数的解析式的求法，分段函数模型的应用．
应分三段建立函数关系：当时，当时，当时，分别写出解析式即可求解．
【解答】
解：当车速为千米小时时，从到，所用时间为小时，
故当时，
当时，汽车与地的距离总是千米，即
当车速为千米小时时，从到，所用时间为小时，
故当时，．
故选C．

3.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查数学的建模能力，考查了二次函数的最值问题，属于基础题．
把点的坐标代入解析式中，求得系数，配方即可求解．
【解答】
解：由实验数据和函数模型知，二次函数的图象过点，，，分别代入解析式，
得
解得
所以，
所以当分时，可食用率最大．
故选B．

4.【答案】
【解析】
【分析】
由已知求出函数的解析式，列出不等式组求得函数定义域，通过换元利用二次函数的单调性求最值．
本题考查了函数的应用、二次函数的单调性，考查了换元方法、推理能力与计算能力，属于中档题．
【解答】
解：由题意，，，
则，
依题意得，解得，
故．
令，
则函数化为，
当，即时，．
所以投入甲大棚万元，乙大棚万元时，总收益最大，且最大收益为万元．
故选：．

5.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了指数函数模型的应用，训练了指数不等式的解法，属于中档题．
根据题意列出函数解析式可求解．
【解答】
解：设过滤次后杂质为，
则，
，
又，
，即至少要过滤次才能达到市场要求．
故选B．

6.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查常函数，一次函数、指数函数增长速度的差异，函数模型与函数图象的应用，属于一般题．
利用函数的图象，结合选项逐一进行判断即可．
【解答】
解：由图可知，投资天以内含天，结合图象对应的高低，可得方案一的回报最多，所以A正确；
投资天，方案一的回报约为元，方案二的回报约为元，结合图象对应的高低，可知方案一，方案二都比方案三高，所以B正确；
投资天，方案一的回报约为元，
方案二的回报约为元，
结合图象对应的高低，可知方案一的回报比方案二、方案三都高，所以 C正确；
投资天，根据图象的变化可知，方案三的回报高很多，所以采用方案三，所以不对．
故选D．

7.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查函数模型的实际应用，考查学生计算能力，属于中档题．
根据所给材料的公式列出方程，解出即可．
【解答】
解：由题意可知，当时，，即，
，，
所以，．
故选C．

8.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查利用对数函数模型解决实际问题，属于中档题．
先根据题意设出，再根据条件列出方程组求，，最后根据得到结果．
【解答】
解：由已知，设，
则，解得
所以，
则由可得．
故选：．

9.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查函数模型的应用，属于中档题．
由题意，，，，由，故，可得，代入，即可求解．
【解答】
解：由题意，，，，
由，
故，故，
由，代入得，解得．
故选B．

10.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了几种类型的初等函数模型的应用问题，属于中档题．
根据题意，拟定函数应满足是单调增函数，且先慢后快；在左右增长缓慢，最小值为，根据要求判定选项中的函数是否满足即可．
【解答】
解：由题意知：函数应满足单调递增，且先慢后快，在左右增长缓慢，最小值为，
是先减后增，由指数函数知是增长越来越快，由对数函数知增长速度越来越慢，
是由经过平移和伸缩变换而得，故最符合题目要求．
故选D．

11.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查利用函数模型解决实际问题，一元二次不等式的解法．
因为投产后的累计收入是关于月份的二次函数，设出二次函数，利用待定系数法求出函数解析式，进而计算改造后累计纯收入首次多于不改造的累计纯收入时的取值．
【解答】
解：由题意可得：设投产后的累计收入的二次函数为，代入数据可得
解得
又
又为正整数，
，
故选A．

12.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了函数实际模型的应用，对数的运算，考查数学运算能力，属于基础题．
根据题意列出改进前的等量关系式以及改进后的等量关系式，联立即可解出．
【解答】
解：设甲型火箭在材料更新和技术改进前的喷流相对速度为，最大速度为，
则，
，
故选：．

13.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查函数模型，分段函数的概念．
本题考查分段函数，首先确定分段函数，求出优惠前，购物应付款，即可得到结论．
【解答】
解：依题意，付款总额与标价之间的关系为单位为元
因为，小张两次去购物，分别付款元和元，所以，优惠前，购物应付款元，
一次性购买上述同样的商品，应付款额为元，
故答案为．

14.【答案】

【解析】
【分析】
本题主要考查二次函数模型的运用．
解题时先求出年经济效益关于裁员人数的函数关系式，结合条件与实际意义得到自变量的取值范围，最后利用二次函数性质求最值．
【解答】
解：设银行裁员人，所获得的年经济效益为万元，
则．
由题意知，，又，
，且
函数图像的对称轴为直线，
函数在上单调递增，
当时，，即银行裁员人，
所获得的年经济效益最大，为万元．

15.【答案】

【解析】
【分析】
本题考查了分段函数在生产生活中的实际运用问题，也考查了运算求解能力和应用意识，是中档题．
根据全年应纳税所得额对应档的税率对应档的速算扣除数，计算小李的全年应纳税所得额为元时应缴个税值；
计算全年应纳税所得额为元时应缴个税数，列方程求出的值．
【解答】
解：根据速算个税的办法：全年应纳税所得额对应档的税率对应档的速算扣除数，
可得小李的全年应纳税所得额为元时，
应缴个税为元；
当全年应纳税所得额为元时，即全年应缴个税为
，
解得元．
故答案为：；．

16.【答案】乙、甲、丙
【解析】
【分析】
本题考查函数增长率的差异．
根据函数解析式，代值后比较函数值即可．
【解答】
解：根据题意，列出当时，对应的函数值如下所示：
甲：
乙： 约等于 约等于 约等于
丙： 约等于 约等于 约等于
根据表中数据可知：
当投资时，应分别选择乙，甲，丙方案．
故答案为：乙、甲、丙．

17.【答案】


【解析】
【分析】
本题考查函数模型的选择及其应用，属基础题．
通过观察数值变化，可以分析出与的函数的函数关系不单调，可从备选函数中排出单调函数，然后用待定系数法可求函数关系式。
【解答】
解：由表中数据可知，与的变化函数不可能是单调函数，
选取二次函数
将表中的，，代入，
得：
解得
则
所以当时，最小，
即西红柿种植成本最低时的上市天数是天．
故答案为： ．

18.【答案】，

【解析】
【分析】
本题考查了指数函数模型的应用问题，属于较难题．
利用指数函数模型求得函数与的关系式；
根据题意列不等式，利用指数函数的单调性求得再次注射该药物的时间不能超过的时间．
【解答】
解：由题意知，该种药物在血液中以每小时的比例衰减，
给某病人注射了该药物，经过个小时后，
药物在病人血液中的量为，
即与的关系式为，；
当该药物在病人血液中的量保持在以上，才有疗效；而低于，病人就有危险．
令，
，
，是单调减函数，
，
所以要使病人没有危险，再次注射该药物的时间不能超过小时．
故答案为：，；．

19.【答案】解：奖金单位：万元随生源利润单位：万元的增加而增加，所以是增函数，三个都满足，奖金总数不超过万元，同时奖金不超过利润的，说明且，
借助工具作出函数，，，的图象如图所示观察图象可知，在区间上，，的图象都有一部分在直线的上方，只有的图象始终在和的下方，这说明只有按模型进行奖励才符合学校的要求．

【解析】本题考查一次函数、指数函数、对数函数的应用．
奖金单位：万元随生源利润单位：万元的增加而增加，所以是增函数，三个都满足，奖金总数不超过万元，同时奖金不超过利润的，说明且，所以画出三个图像，可得对数函数模型符合．
20.【答案】解：由题可知：，
即：，；
由可知当时，，
当时，取最大值；
当时，，
，当且仅当，即时取等号，
，
即时，取最大值万元，
故当本年度发展客户千户时公司利润达最大为万元．
【解析】本题主要考查了函数的实际应用，考查了利用基本不等式求最值．
根据题意即可得到利润万元关于的函数关系式；
当时，利用二次函数的性质求出的最大值，当时，利用基本不等式求出的最大值，再比较即可算出最大值．
21.【答案】解：由题意，计划今后十年内在此基础上，每年投入的资金比上一年增长，
所以函数的定义域为：，
又第一年投入的资金数为万元，
第二年投入的资金数为万元，
第年年为第一年该企业投入的资金数万元与的函数关系式万元，
综上所述，该企业投入的资金数万元与的函数关系式，函数的定义域为：；
由可得，即，且，，
所以，
即企业从第年开始年为第一年，每年投入的资金数将超过万元．
【解析】根据题意可得万元，其定义域为，
由，解得即可．
本题考查了函数的应用，对数的运算性质、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力．
22.【答案】解：由题意，家庭作业量对应的关联函数
，；
当时， ，
当时，，
当时， ，
当时， ，
的解析式为
，
，
这个年级的数学学科作业量是最佳家庭作业量

【解析】本题考查分段函数模型的应用，考查分析问题解决实际问题的能力．
由题意，利用三角形面积公式可得，同时可求；
根据关联函数，分段求的解析式；
由题意，得，代入解析式计算比较可得．
23.【答案】解：若选
由题意，得，解得
所以
若选：
由，所以
所以；
若用，当时，，
若用，当时，，
所以用模型更合适，
令，即，
所以，
所以“风眼蓝”覆盖面积达到时的最小月份是月．
【解析】本题考查了待定系数法求函数解析式，函数模型选择与应用，考查分析与计算能力，属于中档题．
利用待定系数法求出函数解析式即可；
分别计算两模型的误差，选出更好的模型函数，再进行计算．
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