5.2.2 同角三角函数的基本--2023-2024学年高一数学人教A版必修第一册同步练习（含答案）

5.2.2 同角三角函数的基本
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1. 已知角是第四象限角，，则
A. B. C. D.
2. 已知，且，那么( )
A. B. C. D.
3. 化简的结果是( )
A. B. C. D.
4. 若，则( )
A. B. C. D.
5. 化简的结果为( )
A. B. C. D.
6. 已知，是第二、三象限角，则的值等于( )
A. B. C. D.
二、多选题
7. 若，且为锐角，则下列选项中正确的有( )
A. B.
C. D.
8. 下列结论中成立的是( )
A. 且 B. 且
C. 且 D. 且
9. 下列计算或化简结果正确的是( )
A.
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
三、填空题
10. 已知，则 ．
11. 若，则 ， ．
12. 已知，，则 ， ．
13. 设，，则 ； ．
14. 定义运算 若，则的值是 ．
15. 如图是由个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个边长为的大正方形，若直角三角形中较小的内角为，小正方形的边长为，则 ．
16. 已知，是关于的方程的两个实根，且，则 ， ．
四、解答题
17. 本小题分
已知，求，．
已知，求角的三个三角函数值．
18. 本小题分
求证．
19. 本小题分
已知，其中为第二象限角．
化简；
若，求的值．
20. 本小题分
张明做作业时，遇到了这样的一道题：“已知角终边上一点，且，能否求出，的值若能，求出其值若不能，请说明理由”他对此题百思不得其解，你能帮张明求解吗
21. 本小题分
化简：；
求证：．
22. 本小题分
已知，且．
化简；
若，求的值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查三角函数的同角三角函数关系式以及三角函数符号的判断，属于基础题，
由为第四象限角，得正弦值为负，再由同角三角函数关系式求得．
【解答】
解：由为第四象限角，，
得．
故选B．

2.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查的知识要点：同角三角函数基本关系，属于基础题．
直接利用同角三角函数基本关系进行转换求出结果．
【解答】
解：已知，且，
故，
故，
根据，，
可得，
解得．
故选：．

3.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查同角三角函数基本关系，属于基础题．
根据同角三角函数基本关系即可化简．
【解答】
解：由于
故
．
故选D．

4.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了同角三角函数的基本公式，属于基础题．
对进行化简，求得，利用对进行变形，然后弦化成切，代入求值即可．
【解答】
解：由可知，
，解得，
又
．
故选C．

5.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查同角三角函数的关系及三角函数值在各象限的符号，难度较易．
因为弧度的角在第二象限，弧度的角在第三象限，利用同角三角函数的关系及三角函数值在各象限的符号即可求得．
【解答】
解：
．
故选：

6.【答案】
【解析】
【分析】
本题重点考查同角基本关系，属于中档题．
先求得，再对进行分类讨论即可．
【解答】
解：，
，
当是第二象限角，，
，
当是第三象限角，，，
，
综上所述，，
故选A．

7.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查同角三角函数的基本关系，是基础题．
由求出、，即可得出结论．
【解答】
解：，且为锐角，
，．
，．
故选AB．

8.【答案】
【解析】
【分析】
此题考查同角三角函数的基本关系，属于基础题．
根据同角三角函数的基本关系进行求解即可．
【解答】解：对于，因为，则，故A错误；
对于，因为，则，故B错误；
对于，因为，则，
又，则有，故C正确；
对于，因为，又，则，故D正确；
故选CD．
9.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了同角三角函数的基本关系，属于基础题．
根据同角三角函数的基本关系，对选项逐一判断即可得出结果．
【解答】
解：，故 A正确；
范围不确定，的符号不确定，故B不正确．
，故C正确；
，故D不正确；
故选AC．

10.【答案】
【解析】
【分析】
此题考查同角三角函数间的基本关系，化简求值，是一道基础题．
把分子分母都除以，利用同角三角函数间的基本关系即可得到关于的式子，把的值代入即可求出值．
【解答】
解：，
．
故答案为．

11.【答案】

【解析】
【分析】
本题主要考查同角三角函数的关系式，属于基础题．
由题意变形已知式子可得 ，然后把分子变为，分子分母同除以，代入 计算可得答案．
【解答】
解：，
，
．
故答案为；．

12.【答案】

【解析】
【分析】
本题考查了同角三角函数的基本关系，属于基础题．
由已知利用同角三角函数基本关系式可求，进而整理即可解得，利用同角三角函数基本关系式可求的值．
【解答】
解：，
，解得舍，或，
，，
．
故答案为；．

13.【答案】

【解析】
【分析】
本题考查三角函数化简求值，同角三角函数的基本关系．
将已知等式平方得到，再利用同角三角函数基本关系即可求解．
【解答】
解：，，
平方得，
即，
，，
所以，
故答案为；．
14.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查三角函数的求值问题．
由条件可以得到，再把弦化切即可求值．
【解答】
解：因为，
所以，即有，
所以．
故答案为．

15.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查同角三角函数的基本关系，根据题意可知每个直角三角形的长直角边为，短直角边为，小正方形的边长为，进而求得的值，求得的值，进而求得的值，利用平方差公式把展开后，把和的值代入即可求得答案．
【解答】
解：依题意可知拼图中的每个直角三角形的长直角边为，短直角边为，
小正方形的边长为，则，
又，
，
，
即，
，
．
故答案为．

16.【答案】

【解析】
【分析】
本题考查了同角间的三角函数的基本关系，属于基础题。
由是关于的方程的两个实根，且，根据韦达定理可得，再把正余弦化为正切表示可得结果。
【解答】
解：由题意得，
又，
，
，
，
．
答案为：；．

17.【答案】，为第一或第四象限角，
当为第一象限角时，
，．
当为第四象限角时，
，．
解：由于，
且，
解得，，
或，．
．
则当在第一象限时，，，；
当在第三象限时，，，．
【解析】本题考查同角的基本关系式，考查运算能力，属于基础题．
运用同角的基本关系式：平方关系和商数关系，即可得到所求的三角函数值，解题时要注意对角的范围进行分类讨论．
18.【答案】证法由，知，所以，于是
左边右边．
所以，原式成立．
证法因为，
且，，所以
．

【解析】本题主要考查了三角函数的同角三角函数关系及其灵活应用，属于基础题．
证法先构造，进而可顺利得证．
证法，再两边同时除以进而可顺利得证．
19.【答案】解：为第二象限角，
，，，
；
，，
．
【解析】本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系的应用，是基础题．
直接利用同角三角函数基本关系式化简即可；
由求得，再由同角三角函数基本关系式化弦为切求解．
20.【答案】解：，
，，
，或．
当时，点的坐标为，角为第一象限角，
此时，，
当时，点的坐标为，角为第二象限角，
此时，，．
能够求出，的值，
，或，．

【解析】本题考查任意角的三角函数定义的应用，难度中等．
根据任意角的三角函数定义可以得到，解出，继而求出，的值．
21.【答案】解：分子，
分母
，
故原式．
证明：左边
．
右边．
【解析】本题考查同角三角函数的基本关系及三角函数的化简求值，属于中档题．
利用平方公式把分子分母分别展开整理即可求解．
把左边的分母中的变为，所以分子能用完全平方公式分解因式，分母利用平方差公式分解因式，约分后，给分子分母都除以，即可得到与右边相等．
22.【答案】解：由，得，．
所以
．
由知当时，．
两边平方得．
所以，所以．
所以，所以，
解得或．
因为，
所以当时，；
当时，．
【解析】本题考查同角三角函数基本关系的应用，熟练掌握同角三角函数的基本关系是解本题的关键，属于中档题．
由已知可得，，利用同角三角函数基本关系式化简得解；
由已知可求，两边平方可得，将所求通分后化简即可计算得解．
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