5.4.3 正切函数的性质与图象--2023-2024学年高一数学人教A版必修第一册同步练习（含答案）

5.4.3 正切函数的性质与图象
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1. 函数的图象的一个对称中心是( )
A. B. C. D.
2. 函数的单调递增区间是( )
A. B.
C. D.
3. 函数在区间内的图象是( )
A. B.
C. D.
4. 函数的图象的相邻两支截直线所得线段长为，则的值是( )
A. B. C. D.
5. 函数的奇偶性是( )
A. 是奇函数 B. 是偶函数C. 既是奇函数又是偶函数 D. 既不是奇函数又不是偶数
6. 我们把正切函数在整个定义域内的图象看作一组“平行曲线”，而“平行曲线”具有性质：任意两条平行于横轴的直线与两条相邻的“平行曲线”相交，被截得的线段长度相等，已知函数图象中的两条相邻“平行曲线”与直线相交于，两点，且，则( )
A. B. C. D.
7. 函数( )
A. 是奇函数 B. 既是奇函数又是偶函数
C. 是偶函数 D. 既不是奇函数又不是偶函数
8. 函数与的图像在上的交点有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
二、多选题
9. 下列关于函数的说法正确的是( )
A. 在区间上单调递增 B. 最小正周期是
C. 图象关于成中心对称 D. 图象关于直线成轴对称
10. 已知函数，则下列说法正确的是( )
A. 的周期是
B. 的值域是，且
C. 直线是函数图象的一条对称轴
D. 的单调递减区间是
11. 出生在美索不达米亚的天文学家阿尔巴塔尼大约公元左右给出了一个关于垂直高度为的日晷及其投影长度的公式：，即等价于现在的，我们称为余切函数，则下列关于余切函数的说法中正确的是( )
A. 函数的最小正周期为
B. 函数关于对称
C. 函数在区间上单调递减
D. 函数的图象与函数的图象关于直线对称
12. 函数，则关于的性质表述正确的是( )
A. 的定义域为
B. 是周期函数，最小正周期为
C. 具有奇偶性，且为奇函数
D. 具有轴对称性，且对称轴是，
三、填空题
13. 函数的值域是 ．
14. 若函数，求 ．
15. 函数图象与直线的交点横坐标为，，则的最小值是 ．
16. 关于函数，有以下命题：
函数的定义域是；
函数是奇函数；
函数的图象关于点对称；
函数的一个单调递增区间为；
其中，正确命题的序号是 ．
四、解答题
17. 本小题分
已知，求函数的值域．
18. 本小题分
求函数的定义域、周期、并判断它的单调性．
19. 本小题分
已知函数．
求最小正周期、定义域；
若，求的取值范围．
20. 本小题分
已知为锐角，在以下三个条件中任选一个：；；；并解答以下问题：
若选____填序号，求的值；
在的条件下，求函数的定义域、周期和单调区间．
21. 本小题分
是否存在实数，且，使得函数在区间上单调递增？若存在，求出的一个值；若不存在，请说明理由．
22. 本小题分
已知函数
判断函数的奇偶性，并证明；
若 ，不等式 恒成立，试求实数的取值范围．其中为自然对数的底数
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查正切函数的图象和性质，属基础题．
令即可求解．
【解答】解：由，得，，
当时，，
所以函数的图象的一个对称中心是，
故选A．
2.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了正切函数的图象与性质和复合函数的单调性．
利用正切函数的单调性，结合复合函数的单调性得，最后计算得结论．
【解答】
解：由，
解得，
故函数的单调增区间为．
故选B．

3.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查分段函数的图象，正弦函数的图象，正切函数的图象．
对分，以及，得到每段函数的解析式，以及函数值的正负，即可得到函数的图象．
【解答】
解：因为当时，，，
则，且此时，
当时，，
当时，，，
则，且此时，
综上，函数
由此画出函数图象如选项D图示，
故选：．

4.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查三角函数值的求解，考查正切函数的图象与性质，根据条件求出函数的周期和是解决本题的关键，根据条件求出函数的周期和，即可得到结论．
【解答】
解：的图象的相邻两支截直线所得线段长为，
函数的周期，即，则，则，
则．
故选D．

5.【答案】
【解析】
【分析】
先求函数的定义域，关于原点对称，再根据定义式判断与的关系即可得出结论．
本题主要考查了函数的定义域，函数奇偶性的判定，属于基础题．
【解答】
解：的定义域为，又，
所以为奇函数．
故选A．

6.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了正切函数的周期性与三角函数值计算问题，解题的关键是准确理解给定的信息，得出该函数的周期．属于基础题．
根据平行于横轴的直线与平行曲线截得的线段长度相等，得到是周期，利用周期公式求得的值，再求的值．
【解答】
解：由题意知，，
所以，解得；
所以，
所以．
故选：．

7.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查函数的奇偶性的判断，正切函数的性质，属于中档题．
根据题意，其定义域为 ，，关于原点对称，又，即可判断函数的奇偶性．
【解答】
解： ，
其定义域为 ，，关于原点对称，
令，
又 ，
为奇函数，
故选A．

8.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查正弦函数的图象，正切函数的图象，考查作图能力，是基础题．
直接作出函数和在上的图象，观察可得交点个数，即可．
【解答】
解：在同一坐标系内画与在
上的图象，
由图，结合周期性知函数和的图象在上共有个交点，
故选A．

9.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了正切函数的图象与性质的相关知识，属于基础题．
逐个分析即可．
【解答】
解：令，解得， ，
显然满足上述关系式，故A正确；
易知该函数的最小正周期为，故B正确；
令，解得， ，任取值不能得到，故C错误；
正切函数曲线没有对称轴，因此函数的图象也没有对称轴，故D错误．
故选AB．

10.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了正切函数，函数图象的作法和正切函数的图象与性质，属于中档题．
利用正切函数的周期对进行判断，利用正切函数的值域，结合分段函数的值域，对进行判断，利用分段函数图象作法，结合正切函数的图象得函数的对称轴方程，对进行判断，利用函数的性质得函数的单调递减区间，通过计算对进行判断，从而得结论．
【解答】
解：对于、因为函数的周期为，因此A正确；
对于、因为函数的值域为，
所以函数的值域是，因此不正确；
对于、由，得，
因此函数的对称轴方程为，
而关于的方程无解，
所以直线不是函数对称轴，因此不正确；
对于、由，
得，
因此函数的单调递减区间是，所以D正确．
故选AD．

11.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了函数的周期，单调性，对称性，意在考查学生的对于函数知识的综合应用，属于一般题型．
根据题意把函数化为，作出函数图象，根据图像逐项分析，即可求解．
【解答】
解：余切函数，其图象如下图所示，
对于，函数的最小正周期为，不是，即A错误；
对于，关于对称，即B正确；
对于，在上单调递减，即C正确；
对于，因为，
所以与的图象并不关于对称，即D错误．
故选BC．

12.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了三角函数的图象和性质，属于中档题．
利用正切函数和正弦函数的定义域判断；利用周期函数判断；利用函数的奇偶性的定义判断；利用正切函数和正弦函数的对称性判断．
【解答】
解：由有意义，得的定义域为，故A正确；
B.因为
，
所以是周期函数，易得最小正周期为，故B正确；
C.因为，
所以不具有奇偶性，故C错误；
D.由正弦函数和正切函数的对称性可知具有轴对称性，
且对称轴是，，故D正确．
故选ABD．

13.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了三角函数的单调性与值域的问题，属于基础题．
根据时，结合正切函数的单调性求出的值域．
【解答】
解：时，，且函数，在上是单调增函数，
，
的值域为．
故答案为．

14.【答案】
【解析】
【分析】
根据正切函数的周期性即可得到结论．
本题主要考查函数值的计算，根据正切函数的周期性是解决本题的关键．
【解答】
解：正切函数的周期，
则，，
则，
则，
故答案为：

15.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了的图象性质，属于容易题．
由周期，得，由此得解．
【解答】
解：函数，
周期，
函数图象与直线的交点横坐标为，，
则，
则的最小值是．
故答案为．

16.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了正切函数的定义域，奇偶性，对称性，单调性的运用．考查推理能力和计算能力，属于中档题．
根据正切函数的图象及性质依次判断即可．
【解答】
解：因为，，
所以的定义域为，故错误；
因为的定义域不关于原点对称，显然不是奇函数，故 错误；
因为时，无意义，所以函数的图象关于点对称，故正确；
因为，
令，
则可知的单调递减区间为，故错误，
综上，正确命题的序号是．
故答案为．

17.【答案】解：令，
因为，
所以，
所以函数化为，，
对称轴为，
所以当时，，
当时，，
所以的值域为．

【解析】本题考查了正切函数的图象与性质，二次函数的性质，三角函数的值域，属于基础题．
令，可得，再根据二次函数的图象与性质可得答案．
18.【答案】解：函数的自变量应满足，，
即，．
所以函数的定义域是．
由于，
因此，函数的周期为．
由，，解得，．
因此，函数的单调递增区间是，．
【解析】本题考查正切型函数的图像与性质，属于基础题．
由，，求出定义域，由求出周期，由，，即可判断单调性．
19.【答案】解：对于函数，它的最小正周期为，
由，求得，可得它的定义域为 ．
，即，故，
求得，故的取值范围为 ，．
【解析】利用正切型函数的周期性、定义域，得出结论．
不等式即，再利用正切型函数的图象性质，求得的取值范围．
本题主要考查正切型函数的周期性、定义域，正切型函数的图象性质，属于中档题．
20.【答案】解：若选：；
则，
为锐角，．
若选；
则，
得，得，
得或，
为锐角，，．
若选；
则，
即，
为锐角，，．
综上．
在的条件下，．
则，
由，
得，．
即函数的定义域为．
周期．
由，，
得，
即函数的单调递增区间为，．
无单调递减区间．
【解析】利用三角函数的诱导公式进行化简即可．
求出函数的解析式，结合正切函数的性质进行求解即可．
本题主要考查三角函数的恒等变换，结合三角函数的诱导公式进行化简，以及利用正切函数的性质是解决本题的关键，是中档题．
21.【答案】解：，
在区间上为增函数，
．
又由，得：，
，
解得
由得，
此时，，
故存在，满足题意．

【解析】本题考查了正切型函数的单调性，属于中档题．
由得，由题意得且，解得，则时存在，满足题意．
22.【答案】解：，
所以，
即，
所以函数定义域为，
定义域关于原点对称，且，
故函数为奇函数
令，
不等式恒成立化为不等式恒成立，
转化为在上恒成立，
即，
令，则，
因为当且仅当时取等号，的最大值为，
所以．
故实数的取值范围．
【解析】本题主要考查函数的定义域、奇偶性，基本不等式的运用，以及不等式恒成立与最值求解的相互转化，属于中档题．
结合对数函数及正切函数的定义域即可求解，然后结合奇偶性定义检验函数的奇偶性．
原题可转化为任意，使得恒成立，分离系数后利用基本不等式可求的取值范围．
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