5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式--2023-2024学年高一数学人教A版必修第一册同步练习（含答案）

5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
单选题
1. 的值为( )
A. B. C. D.
2. 已知，是第二象限角，则的值为( )
A. B. C. D.
3. 化简的结果为( )
A. B. C. D.
4. 在平面直角坐标系中，点，在单位圆上，且点在第一象限，横坐标是，将点绕原点顺时针旋转到点，则点的横坐标为( )
A. B. C. D.
5. 已知，其中，则( )
A. B. C. D.
6. 可化为( )
A. B. C. D.
7. 的值等于( )
A. B. C. D.
8. 已知，，则( )
A. B. C. D.
9. 在中，，边上的高等于，则等于( )
A. B. C. D.
10. 定义运算，若，，，则等于( )
A. B. C. D.
11. ( )
A. B. C. D.
12. 已知，则( )
A. B. C. D.
13. ( )
A. B. C. D.
14. 已知，则( )
A. B. C. D.
15. 已知，，，，则的值是( )
A. B. C. D.
16. 的值为( )
A. B. C. D.
17. ( )
A. B. C. D.
18. 等于( )
A. B. C. D.
19. 已知、为锐角，，，则( )
A. B. C. D.
20. 若点在角的终边上，则( )
A. B. C. D.
21. 已知，则( )
A. B. C. D.
22. 若，则( )
A. B. C. D.
23. 若，的值为( )
A. B. C. D.
24. 若，则( )
A. B. C. D.
25. 已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边上有两点，，且，则( )
A. B. C. D.
26. 若，则( )
A. B. C. D.
二、多选题
27. ，则的值可能为( )
A. B. C. D.
28. 若则的值是( )
A. B. C. D.
29. 满足的一组的值为( )
A. B.
C. D.
30. 如图，在平面直角坐标系中，角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，它们的终边分别与单位圆相交于两点，若点，的坐标分别为和，则以下结论正确的是( )
A. B. C. D.
31. 下列说法正确的有( )
A. ，使
B. ，有
C. ，
D. ，有
32. 已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，它的终边过点若角满足，则的值为( )
A. B. C. D.
33. 下列各项中，值等于的是( )
A. B.
C. D.
34. 已知，和是方程的两个根，则下列判断正确的是
( )
A. B.
C. D.
35. 已知，，，则下列说法不正确的是( )
A. B. C. D.
36. 已知，则( )
A. B. C. D.
37. 已知，是方程的两个实根，则( )
A. B. C. D.
38. 下列说法正确的是( )
A. 已知，，，则
B. 若正数，满足，则的最小值为
C. 若函数在区间内单调递增，则实数的取值范围为
D.
三、填空题
39. ．
40. ．
41. ．
42. 已知，则 ；
43. 若，则 ．
44. ．
45. 已知，则 ， ．
46. 若是偶函数，则有序实数对可以是 注：写出你认为正确的一组数字即可
47. 中，若，，则 ．
48. 给出下列命题：函数是偶函数；
方程是函数的图象的一条对称轴方程；
在锐角中，；
函数的最小正周期为；
函数的对称中心是，，
其中正确命题的序号是 ．
49. 已知，均为锐角，，，则的值是 ．
50. 如图，在矩形中，，，在上取一点，使，则 ．
51. 设，，，，则 ， ．
52. 在中， ．
53. 已知为第二象限角，，则 ．
54. 求值： ．
55. 公元前世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割值约为，这一数值也可以表示为若，则 用数字作答
56. 已知为第二象限角，且，则 ， ．
57. 如图是来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形的斜边、直角边、，，分别为，的中点，点在以为直径的半圆上．已知以直角边，为直径的半圆的面积之比为，，则 ．
四、解答题
58. 本小题分
利用公式求的值．
59. 本小题分
利用公式证明：

．
60. 本小题分
求的值并写出“两角差的余弦公式”角用，，表示
证明“两角差的余弦公式”备用图是单位圆，如果用到备用图请在答卷上作图．
61. 本小题分
已知，，，是第三象限角，求的值．
62. 本小题分
已知，，且，，求的值．
63. 本小题分
化简：．
已知，，求的值．
64. 本小题分
已知，为锐角且．
求的值；
若，求的值．
65. 本小题分
已知，，，，求的值．
66. 本小题分
在平面直角坐标系中，角，的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，终边分别与单位圆交于，两点，，两点的纵坐标分别为，．
求的值；
求的值．
67. 本小题分
求的值
已知，都为锐角，且，，求的值．
68. 本小题分
已知，，，求的值．
69. 本小题分
已知．
化简；
均为锐角，求角的值．
70. 本小题分
如图，在平面直角坐标系中，角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，角的终边与单位圆分别交，两点．
求的值；
若，，求的值．
71. 本小题分
已知，是方程的两根，且，求：及的值．
72. 本小题分
已知，，，是第三象限角．
求的值
求的值．
73. 本小题分
已知，其中．
求的值；
求的值．
74. 本小题分
是否存在锐角，使，同时成立？若存在，求出的度数；若不存在，请说明理由．
75. 本小题分
在角的终边经过点，，，，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中并解答．
问题：已知________，且，求的值．
76. 本小题分
已知，．
求的值；
求的值．
77. 本小题分
已知锐角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边过点．
求的值；
若锐角满足，求的值．
78. 本小题分
在中，，，求的值．
79. 本小题分
在，，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解决问题．
已知，，，____，求．
80. 本小题分
已知，为锐角，，．
求的值；
求的值．
81. 本小题分
如图，在平面直角坐标系中，角，的始边均为轴正半轴，终边分别与圆交于，两点，若，，且点的坐标为．
若，求实数的值；
若，求的值．
82. 本小题分
证明下列恒等式．
．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了诱导公式及两角和与差的余弦函数公式的应用，熟练掌握公式是解本题的关键，属于基础题．
所求式子中的角变形后，利用诱导公式及两角和与差的余弦函数公式化简，再利用特殊角的三角函数值计算即可求出值．
【解答】
解：
．
故选C．

2.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了两角差的余弦公式，同角三角函数的基本关系，属于基础题．
由题意利用同角三角函数的基本关系求出的值，利用两角差的余弦公式即可求出的值．
【解答】
解：因为，是第二象限角，
所以，
．
故选B．

3.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查的知识点是两角和与差的余弦公式，属于基础题．
逆用两角差的余弦公式化简即可．
【解答】
解：原式．
故选：．

4.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查任意角的三角函数的定义，两角差的余弦公式的应用，属于中档题．
设射线对应的角为，利用任意角的三角函数的定义求得、，再利用两角差的余弦公式求得点的横坐标为的值．
【解答】
解：点，在单位圆上，且点在第一象限，
设射线对应的角为，横坐标是，故点的纵坐标为，
将点绕原点顺时针旋转到点，
则射线对应的终边对应的角为，
则点的横坐标为．
故选B．

5.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了同角三角函数的基本关系、两角和与差的三角函数公式，属于中档题．
利用同角三角函数的基本关系可求得的值，再利用两角差的余弦公式可求得的值．
【解答】
解：，，
可得，
因此，
．
故选：．

6.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查两角和的正弦公式，考查推理能力和计算能力，属于基础题．
由原式，逆用两角和的正弦公式即可化简．
【解答】
解：．
故选C．

7.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查诱导公式及两角和与差的三角函数公式，
结合诱导公式及两角和的余弦函数公式求解即可．
【解答】
解：
．
故选B．

8.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查两角差的余弦函数，同角三角函数基本关系，注意角的范围，属于基础题．
由题意求出的范围，由平方关系求出的值，利用两角差的余弦函数求出的值．
【解答】
解：，．
，
，
因此
，
故选C．

9.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查两角和的余弦公式，属于中档题．
作出图形，令，依题意，可求得，，利用两角和的余弦公式即可求得答案．
【解答】
解：设中角、、对应的边分别为、、，于，令，
在中，，边上的高，
，，
在中，，
故，
．
故选C．

10.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了两角和与差的三角函数公式以及同角三角函数基本关系，是一般题．
根据新定义化简原式，然后根据两角差的正弦函数公式变形得到的值，
根据，利用同角三角函数间的基本关系求出，再根据求出，利用即可得到的值，即可求出．
【解答】
解：由，
得，
所以．
又，
所以，
所以
，
，
所以
，
所以，
故选D．

11.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查利用三角函数诱导公式以及和角公式化简求值，属于基础题．
先利用诱导公式化简为，然后利用和角公式求解．
【解答】
解：
，
故选D．

12.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查的知识要点是三角恒等变换，同角三角函数关系式，主要考查学生的运算能力和转化能力，
直接利用同角三角函数关系式求出，，再由，运用两角和的余弦函数公式求出结果．
【解答】
解：已知：，
所以：，故：，
，所以：，
则：
故选D．

13.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查利用诱导公式和两角差的正切公式求解三角函数值的问题，考查对于基础公式的应用．
根据诱导公式可转化为求解，利用两角差的正切公式求得结果．
【解答】
解：
．
故选：．

14.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查的知识点：三角关系式的恒等变形，两角和与差的正切值，属于基础题．
利用正切公式可得答案．
【解答】
解：，

故选C

15.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查两角和的正切公式，属于基础题．
根据题意利用两角和的正切公式可得的值，进而即可求得结果．
【解答】
解：，
，，
，
．
故选C．

16.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查两角和与差的正切函数，属于基础题．
将转化为，然后利用两角和的正切公式进行计算．
【解答】
解：
．
故选B．

17.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了两角和与差的三角函数公式，属于基础题．
根据，利用两角和的正切公式的变形可得，移项得解．
【解答】
解：
，
．
．
故选D．

18.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要根据正切的两角和与差的公式，把角转化为特殊角代入公式求解即可
【解答】
解：
故选

19.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和的正切公式的应用，属于基础题．
利用同角三角函数的基本关系，两角和的正切公式，求得的值．
【解答】
解：、为锐角，，，
，，
则，
故选：．

20.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查三角函数的化简求值，考查任意角的三角函数的定义及二倍角公式的应用，属于基础题．
利用任意角的三角函数的定义求得，的值，再由二倍角公式求的值．
【解答】
解：点在角的终边上，
则，，
．
故选B．
21.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了二倍角公式，属于基础题．
由条件，两边平方，根据二倍角公式和同角三角函数的平方关系即可求出．
【解答】
解：，
，
，
故选A．

22.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了二倍角公式及同角三角函数的基本关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
由同角三角函数的基本关系，可得，进而利用二倍角公式求解即可．
【解答】
解：，
，
．
故选C．

23.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了诱导公式和二倍角的余弦公式的应用，属于基础题．
由已知利用诱导公式及二倍角公式求得的值．
【解答】
解：，
．
故选：．

24.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查二倍角的余弦公式的逆用之降幂公式，以及和差角的三角函数公式，属于基础题．
利用降幂公式以及和差角的三角函数公式进行求解即可．
【解答】
解：
．
故选C．

25.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查二倍角公式、直线的斜率等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
推导出，从而，进而，由此能求出结果．
【解答】
解：角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，
终边上有两点，，且，
，解得，
，，
，
故选：．

26.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查二倍角公式，考查同角三角函数关系，考查两角差的正切公式，属于较难题．
已知条件中的式子利用同角三角函数基本关系化简后可求出的值，再利用二倍角公式求出，最后由两角差的正切公式即可求出．
【解答】
解：因为，
所以，
即，
所以，
所以，
所以，
故选A．

27.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查同角三角函数，两角和与差的余弦公式，属于基础题型．
有同角三角函数关系求得 ，再由，三角函数值代入即可．
【解答】
解：，
当
，
当
．
故答案为．

28.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查两角差的余弦公式，属于基础题．
根据两角差的余弦公式，化简整理，结合的范围，即可求得答案．
【解答】
解：由已知得
又，
所以或．
故选：．

29.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了两角和与差的三角函数公式，属于基础题．
将条件等式化为，然后代值检验即可．
【解答】
解：，

即
当，时，，此时，
适合，故B适合．
同理适合．
故选BD．

30.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查任意角的三角函数和两角和差公式，是基础题．
根据单位圆中的点，可得到角的正弦、余弦值，再结合两角和差的余弦公式求值即可逐项判断．
【解答】
解：因为角的终边经过点，
则故A正确；
因为角的终边经过点，
则故B错误；
由
，故C错误；
由
，故D正确；
故选AD．

31.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查两角和与差的正弦公式与余弦公式，属基础题．
举特例判断，由两角和与差的正弦公式证明，进行化简可得结果．
【解答】
解：取，A正确，D错误；
取，，C正确；
，B正确．
故选：．

32.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了任意角的三角函数的定义、同角三角函数的基本关系以及两角差的余弦公式，属于中档题．
先根据终边过点求出以及，再利用同角三角函数的基本关系和两角差的余弦公式求解即可．
【解答】
解：由角的终边过点，
得，．
由，得．
又因为，
若，
则
．
若，
则
．
综上，或．
故选：．

33.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查三角函数恒等变换，属于基础题．
运用两角和差正余弦公式逆运算，二倍角的正切公式，特殊角的三角函数，逐项进行计算．
【解答】
解：由题设原式．
B.原式．
C.原式．
D.原式．
故选BD．

34.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查两角和的正切公式的应用及一元二次方程根与系数的关系，属于中档题．
由一元二次方程根与系数的关系得，结合两角和的正切公式，可得到关于的方程，求得，进一步求得，再一次利用一元二次方程根与系数的关系可求得的值．
【解答】
解：因为和是方程的两个根，
所以，
又
故，解得，
又，则，
故，
又因为和是方程的两个根，
则，
则，
故选ABD．

35.【答案】
【解析】
【分析】本题考查了正切函数的图象与性质的相关知识，试题难度较易
【解答】
解：，
所以；
又，，在上是增函数，
所以，即．
故选ABC．

36.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了三角函数的求值，涉及同角三角函数基本关系式、二倍角公式、诱导公式，属于基础题．
由已知及同角三角函数基本关系式求得，再用二倍角公式求，最后用诱导公式求得结果．
【解答】
解：，
，
，
．
故选AD．

37.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查两角差的正切公式，属于基础题．
由已知得 ， 或 ， ，利用两角差的正切公式，即可得．
【解答】
解：因为，是方程的两个实根，
所以得 ，
或 ， ，
．
故选BC．

38.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了函数的奇偶性的应用、复合函数的单调性，考查利用基本不等式求最值及三角恒等变换化简求值，属于中档题
对于选项A，首先利用求出，再利用函数的奇偶性即可求解；对于选项B，根据条件可得，利用基本不等式求最值即可判断；对于选项C，利用复合函数的单调性可得函数的单调递增区间，即可得关于的不等式，求解即可；对于选项D，利用三角恒等变换化简求值即可．
【解答】
解：对于选项A，因为，所以，
即，可得，
设，
由，
即函数为奇函数，
故，
故，
由，得，故A正确；
对于选项B，正数，满足，
则，
当且仅当，时取等号，故B正确；
对于选项C，由，解得，
因为二次函数的对称轴为，
由复合函数单调性可得函数的单调递增区间为，
要使函数在区间内单调递增，
只需解得，
即实数的取值范围为，故C错误；
对于选项D，原式
，故D正确．
故选ABD．

39.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查两角和与差的三角函数公式，属于基础题．
，利用公式展开，代入数值即可．
【解答】
解：
．
故答案为．

40.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了利用两角和与差的三角函数公式化简求值，属于基础题．
将，代入化简．
【解答】
解：，
故答案为．

41.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查两角差的余弦公式，属于基础题．
根据两角差的余弦公式进行化简、运算，即可求解．
【解答】
解：由
．
故答案为：．

42.【答案】

【解析】
【分析】
本题主要考查三角函数两角和差公式的应用，以及同角三角函数关系，属于基础题．
根据同角三角函数关系求出，根据余弦函数的两角差公式求出．
【解答】
解：由题意得，，
，
，
故答案为；．

43.【答案】
【解析】
【分析】
原式展开，利用、两角差的余弦公式，化简整理，即可得答案．
本题考查同角三角函数的关系，两角差的余弦公式，考查计算化简的能力，属中档题．
【解答】
解：
．
故答案为：

44.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查两角和与差的三角公式的应用，考查同角三角函数的基本关系，属于基础题．
把式子中的化为，利用两角差的正弦、余弦公式展开化简为即可．
【解答】
解：
，
故答案为：．

45.【答案】

【解析】
【分析】
本题考查同角三角函数的基本关系、两角和与差的三角函数公式，属于基础题．
由题两角和与差的三角函数公式计算得，利用同角三角函数的基本关系计算得．
【解答】解：
，
由，即，
联立，得，
所以，
故答案为：．
46.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查两角和与差的正弦公式．
通过化简变形为的形式，即可找到为偶函数的条件，从而得出结论．
【解答】
解：，
，
是偶函数，
只要即可，
可以取，．
故答案可以为：．

47.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查同角三角函数的关系式，以及两角和与差的三角函数公式，属于中档题．
由同角三角函数的基本关系可和，和，而，代值计算可得．
【解答】
解：由题意可得，
，
又可得，
，．
当时，
，
当时，，
由，可得，
此时两角之和就大于了，应舍去，
故答案为．

48.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查三角函数的图象与性质、诱导公式与三角恒等变换．
根据三角函数的图象与性质、诱导公式与三角恒等变换逐项进行分析判断即可．
【解答】
解：因为函数，所以函数是偶函数，故正确；
因为函数，所以函数图象的对称轴，即，当时，，故正确；
在锐角中，，即，所以，故正确；
函数的最小正周期为，故错误；
令，，解得，，所以函数的对称中心是，，故错误．
故答案为：
49.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键，属于基础题．
由、均为锐角，根据与的值分别求出与的值，进而确定出与的值，原式利用两角差的正切函数公式化简，将各自的值代入计算即可求出值．
【解答】
解：，均为锐角，，，
，，
，，
则．
故答案为：．

50.【答案】
【解析】
【分析】
由，求出，设，，求出、，利用和角的正切公式，即可得出结论．
本题考查两角和与差的正切函数，考查学生的计算能力，属于中档题．
【解答】
解：由，得，解得，
设，，则，．
从而．
又，
．
故答案为：．

51.【答案】

【解析】
【分析】
本题考查了二倍角公式，同角三角函数间的基本关系，以及两角和的正切公式，熟练掌握公式是解本题的关键，属于中档题．
由的值，利用二倍角公式求出，，，的值，由利用同角三角函数的基本关系求的值，再由两角和的正切公式即可求的值．
【解答】
解：，，
，，
，
因为，，
，
，
．
故答案为： ．

52.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查三角形内角和定理、及两角和的正切公式的灵活使用，考查诱导公式，属于中档题．
结合已知条件，利用三角形内角和定理，及两角和的正切公式、诱导公式化简运算即可．
【解答】
解：原式
，
故答案为．

53.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查同角三角函数基本关系，二倍角公式的应用，属于基础题．
先由同角三角函数关系式求，，在由二倍角公式求解．
【解答】
解：由，且为第二象限角，得，
，
．
故答案为．

54.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查二倍角公式和两角和与差的正弦公式，属于中等题．
直接根据公式化简即可．
【解答】
解：
，
故答案为．

55.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查同角三角函数关系，考查二倍角公式以及诱导公式，属于中档题．
利用已知得，代入所求表达式，利用二倍角公式化简后，可求得表达式的值．
【解答】
解：由，
得，
代入所求表达式，
可得
．
故答案为．

56.【答案】

【解析】
【分析】
本题考查了同角三角函数的基本关系、两角和与差的三角函数公式、二倍角公式的相关知识．
由已知可解出和的值，利用和角公式可解得和，从而可得，再次利用差角公式可解得和，从而得．
【解答】
解：为第二象限角，且，
．
又，
，，
，
．
．
，
，
．
故答案为：；．

57.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查同角三角函数的基本关系，两角和与差的三角函数公式，二倍角公式及其应用，考查分析解决问题的能力，属于中档题．
由题意，可得，设，则，且，利用三角公式求得，，再由余弦的差角公式可得．
【解答】
解：以直角边，为直径的半圆的面积之比为，
，
，则，
设，则，且，
若，由已知，得，
则，
，
故
．
若，，与矛盾，不合题意．
故答案为．

58.【答案】解：
．
【解析】本题是指定方法求的值，属于套用公式型的，将非特殊角拆分成两个特殊角的差的形式进一步探究，提高学生灵活运用公式求值能力属于基础题
由，利用两角差的余弦函数公式展开计算即可．
59.【答案】证明：
．
【解析】本题主要考查了两角差的余弦公式，属于基础题．
根据两角差的余弦公式展开化简即可证明．
60.【答案】解：，
两角差的余弦公式为．
如图，在平面直角坐标系中，以原点为圆心，
作一单位圆，再以原点为顶点，
轴非负半轴为始边分别作角，．
设它们的终边分别交单位圆于点，，
即有两单位向量，它们的所成角是，
根据向量数量积的性质得：
又根据向量数量积的坐标运算得：
由得 ．

【解析】本题主要考查两角和差的应用和推导，利用向量数量积的定义以及坐标公式是解决本题的关键．
利用两角和差的余弦公式进行求解即可
在单位圆中，作出两个向量，利用向量数量积的定义和坐标公式进行求解即可
61.【答案】解：由，，
得．
又由，是第三象限角，
得．
所以
．

【解析】本题考查了任意角的三角函数，同角三角函数的基本关系和两角和与差的三角函数公式，属于基础题．
利用同角三角函数的基本关系，结合各三角函数在各象限的符号，求出，，然后结合两角差的余弦函数公式，计算得结论．
62.【答案】解：，，
，
．
，
又，
，
，
，
，．

【解析】本题考查同角三角函数关系以及两角差的余弦公式，属于基础题．
根据同角三角函数得出，，然后利用两角差的余弦公式求出结果．
63.【答案】解：原式
．
因为，，
所以，
所以
．

【解析】本题考查两角和与差的三角函数公式，考查同角三角函数的基本关系，考查简单的运算能力，考查分析与计算能力，属于基础题．
直接由两角差的余弦公式计算求解即可．
由题已知可得，再运用两角差的余弦公式计算求解即可得到答案．
64.【答案】解：，
，．
，，，为锐角，
，．
当时，
．
当时，
．
为锐角，．

【解析】本题考查了两角和与差的余弦公式的正用和逆用，属于拔高题．
三角恒等变换求值常用的方法有：三看看角看名看式三变变角变名变式，要根据已知条件灵活选择方法求解．
化简已知即得；
由题得，，再分类讨论，利用差角的余弦公式求解．
65.【答案】解：由，，
，，
则，
，
则有
．
【解析】本题考查三角函数的求值，考查同角的平方关系和两角差的余弦公式的运用，考查运算能力，属于中档题．
运用同角的平方关系，求得，，再由两角差的余弦公式，计算即可得到所求值．
66.【答案】解：角，的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，终边分别与单位圆交于，两点，，两点的纵坐标分别为，．
所以：，，
由于：，，
所以：，
则：．
由求出，，
由于：，，
所以：，，
所以：
．
【解析】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，两角的和与差的余弦公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题．
直接利用已知条件求出角的正弦和余弦的值，再利用关系式求出角的正切值．
利用的条件求出两角的差的余弦．
67.【答案】解法一：原式
解法二：原式
．
，都为锐角，且，，
，，
，
，都为锐角，
，
故．
【解析】本题考查三角函数的化简求值问题，中间注意运用两角和与差的三角函数公式、诱导公式和同角三角函数的基本关系，属于中档题．
解法一：根据两角和与差的三角函数公式化简即可；
解法二：根据两角和与差的三角函数公式化简即可；
利用同角三角函数的基本关系求出和，然后利用两角和的余弦公式求解即可．
68.【答案】解：，
，
即
，
，
，
则，
，，
又，，
则，
则
．
【解析】本题主要考查诱导公式及两角和与差的三角函数公式，灵活运用两角和与差的三角函数公式是解答本题的关键，考查了学生的计算能力，培养了学生分析问题与解决问题的能力，属于较难题．
由，利用诱导公式及两角和与差的三角函数公式即可求得结果．
69.【答案】解：
；
由题意，，
所以，
所以
，
因为均为锐角，
所以，
故．
【解析】本题考查三角函数的化简求值，同角三角函数的基本关系，诱导公式，两角和与差的三角函数公式，属于中档题．
利用同角三角函数的基本关系和诱导公式，化简可得；
由条件知：，即可求出结果．
70.【答案】解：由，，
得，，，，
则
．
由已知得，
．
，，，
，，
则
，
．

【解析】本题考查三角函数在单位圆中的定义，以及三角恒等变换的公式．
利用三角函数的定义得出，，，
，再利用公式即可求值．
得出的值，再利用两角差的正弦公式代入求解即可．
71.【答案】解： 、 为方程的两根，
，，
．
，，，
．
【解析】本题主要考查韦达定理，两角和的正切公式，根据三角函数的值求角，属于基础题．
由条件利用韦达定理，两角和的正切公式求出的值，再结合，，求得的值．
72.【答案】解：，，，是第三象限角，
，，
．
，，
．
【解析】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，两角差的正弦函数公式，两角和的正切函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．
由已知利用同角三角函数基本关系式可求，，利用两角差的正弦函数公式可求的值．
利用同角三角函数基本关系式可求，，利用两角和的正切函数公式即可计算得解．
73.【答案】解：因为，，
所以，
所以 ，
所以
；
，
因为， ，
所以，
因为，，
所以，
所以 ，
所以．

【解析】本题考查三角函数化简求值，考查推理能力和计算能力，属于中档题．
先求出，再利用即可求解；
利用，结合角的范围即可求解．
74.【答案】解：假设存在锐角，，使，同时成立，
则，
则，
即，
又，
则为方程的两根．
，或，舍去，
，，
即，．
故存在锐角，．
【解析】本题考查了正切函数的两角和与差公式，二次方程的韦达定理的灵活应用．属于中档题．
利用假设法，假设使，同时成立，利用正切函数的和与差公式计算，看是否得到锐角，，即可说明．
75.【答案】解：若角的终边经过点，则，
若，，
则，则，
，，
得，
得代入，
得，
即，
得
，舍去
或，
当时，时，则，
若．
则
．
若是则
．

【解析】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用问题，也考查了计算能力和转化思想，是中档题．
选择条件，直接由正切函数的定义即可求得，最后由两角差的正切公式求解；
选择条件：结合同角三角函数的平方关系求得和，再由商的关系求得，最后由两角差的正切公式求解．
76.【答案】解：因为，，
所以，
所以，
根据二倍角公式与诱导公式可得：
．
【解析】本题考查同角三角函数的求值以及二倍角公式与诱导公式，属于基础题．
根据同角三角函数的基本关系可得答案
利用二倍角公式与诱导公式对已知进行化简，进而结合可得答案．
77.【答案】解：角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，它的终边过点．
所以，，
所以；
因为、均为锐角，所以，
因为，所以，所以．
所以
．
【解析】本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，诱导公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．
利用三角函数的定义、诱导公式及二倍角公式求出结果．
利用两角差的正弦函数公式求出结果．
78.【答案】解：
解法在中，由，
得，
所以，
．
又，
所以．
于是．
解法在中，由，
得，
所以．
又，
所以，
所以．
【解析】本题考查的知识点是两角和与差的正弦和正切公式，二倍角、同角三角函数基本关系式的灵活应用，属于中档题．
先利用条件求得，；，、等三角函数值，再代入两角和的正切公式或者正切函数的二倍角公式求解即可．
79.【答案】解：选择条件，．
得，
因为，所以，可得；
所以；
由于，，所以，
所以；
所以
．
选择条件：，
，
所以；
由于，，所以，
所以；
所以
．
选择条件：因为，所以，；
由，可得，解得，；
由于，，所以，
所以．
所以
．
【解析】本题考查三角函数恒等变换的应用，考查计算能力和转化思想，属于中档题．
选择条件，利用二倍角公式求出，再利用同角的三角函数关系求出、的值，由计算的值．
选择条件：，利用二倍角公式求出的值，以下解法同条件选择条件：由，利用同角的三角函数关系求出、，以下解法同条件．
80.【答案】解：因为，所以，
所以或，
又，所以
所以；
因为，，为锐角，
所以，
所以，

．

【解析】本题考查三角函数化简求值，考查两角和与差的三角函数公式，考查推理能力和计算能力，属于一般题．
先求出，再利用二倍角公式即可求解；
先求出，再利用即可求解．
81.【答案】解：因为，
所以，
所以或，
又因为，所以，
由三角函数的定义，，
所以；
因为，，
所以，
又因为，
所以，
所以，
所以

所以

【解析】本题考查了任意角的三角函数的定义及二倍角公式及应用，同角三角函数的基本关系，掌握二倍角公式及应用是解题的关键此题难度不大，属于中档题．
由，利用二倍角公式可得，再根据三角函数的定义可解出的值；
易得，利用同角三角函数的基本关系可得，再利用二倍角公式，两角和与差的正余弦公式可得答案
82.【答案】证明：
．

【解析】本题考查利用三角恒等变换公式化简的问题，涉及到积化和差公式、二倍角公式、两角和差公式的应用，属于中档题．
利用和差化积公式化简整理即可得到结果；
利用和差化积和二倍角公式化简整理即可得到结果；
利用二倍角公式、正余弦齐次式的求解方法、两角和差的正切公式可化简整理得到结果；
利用积化和差、二倍角公式化简整理得到结果．
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