5.5.2 简单的三角恒等变换--2023-2024学年高一数学人教A版必修第一册同步练习（含答案）

5.5.2 简单的三角恒等变换
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1. 的值为( )
A. B. C. D.
2. 在中，若，则的形状是( )
A. 直角三角形 B. 等腰直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰三角形
3. 若，，则( )
A. B. C. D.
4. 若，且，则的值为( )
A. B. C. D.
5. 若，，且，，则的值是( )
A. B. C. 或 D. 或
6. 已知是锐角三角形，，，则( )
A. B.
C. D. 与的大小不能确定
7. 设，，，则有( )
A. B. C. D.
二、多选题
8. 已知，，，，则( )
A. B.
C. D.
9. 设函数，则( )
A. 是偶函数 B. 在单调递减
C. 最大值为 D. 其图象关于直线对称
10. 已知角是锐角，若，是关于的方程的两个实数根，则实数和的关系式中一定成立的是( )
A. B. C. D.
三、填空题
11. 化简： ．
12. 已知，在第二象限，则 ．
13. 等腰三角形的顶角的正弦值为，则它的底角的余弦值为 ．
14. 如图所示，圆与正半轴的交点为，点在圆上，且点位于第一象限，，．
若，则 ；若，则的值为 ．
15. 若，且是第四象限角，则 ．
四、解答题
16. 本小题分
求下列各式的值：
17. 本小题分
求下列函数的周期，最大值和最小值：
18. 本小题分
已知函数，
求的最小正周期和最值；
求这个函数的单调递增区间．
19. 本小题分
如图，某公司有一块边长为百米的正方形空地，现要在正方形空地中规划一个三角形区域种植花草，其中，分别为边，上的动点，，其他区域安装健身器材，设为弧度．
求的面积关于的函数解析式；
求面积的最小值．
20. 本小题分
在条件；；中任选一个，补充在下面的问题中，并求解．
已知角为锐角，_____．
求角的大小；
求的值．
21. 本小题分
已知，，
求的值；
你能根据所给的条件，自己构造出一些求值问题吗？
22. 本小题分
已知，且，，且，．
化简；
是否存在，使得与相等？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查辅助角公式，属于基础题．
利用辅助角公式化简即可得到结果．
【解答】
解：
．
故选C．

2.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了对数的运算性质及三角函数的诱导公式、和差角公式的综合应用，属于中档试题．由对数的运算性质可得，利用三角形的内角和及诱导公式及和差角公式可得，的关系，从而可判断三角形的形状．
【解答】
解：由可得 ，
，
即，
展开可得，，
，
．
B、为三角形内角，
．
为等腰三角形．
故选D．

3.【答案】
【解析】
【分析】
根据角的范围确定角所在的象限，求出的值，再根据半角公式求出，最后根据二倍角公式即可求得结果．
本题主要考查三角的同角三角函数关系以及相关公式定义的化简求值的运用．
【解答】
解：由题意得：
，即，
为第二象限角，
，
，
为第三象限角，
，
．
故选B．
【分析】
本题主要考查半角公式，考查同角三角函数关系以及相关公式定义的化简求值的运用．
根据角的范围确定角所在的象限，求出的值，再根据半角公式求出，最后根据二倍角公式即可求得结果．
【解答】
解：，即，
为第二象限角，
，
，
为第三象限角，
，
．
故选B．

4.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了同角三角函数关系，半角公式的应用，属于中档题．
利用同角三角函数关系，半角公式即可得．
【解答】
解：由已知得
，
又，，
所以
，
故选C．

5.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查同角三角函数间的关系式的应用，着重考查两角和的余弦，考查转化思想与综合运算能力，属于较难题．
依题意，可求得，进一步可知，于是可求得与的值，再利用两角和的余弦公式及余弦函数的单调性即可求得答案．
【解答】
解：，，，
，，
又，
，即，
，
又，
，
，
．
又，，
，
，
故选A．

6.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查和差化积公式的应用，属于综合题．
作差化简得，根据为锐角三角形，判断和的范围，进而可判断，即可得解．
【解答】
解：
由于是锐角三角形，
所以，
，
，，
所以，
，
综上，知，即，
故选：．

7.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查两角和与差的三角函数公式、二倍角公式和半角公式的应用，三角函数的性质 综合性较强，为比较大小，往往须先化简三角函数式，利用函数单调性或引入“媒介”．
【解答】
解： ，
，
，
所以
故选B．

8.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查同角三角函数的基本关系，两角和与差的三角函数公式，是中档题．
先根据，判断角的范围，再根据求；根据平方关系，判断的值；利用公式求值，并根据角的范围判断角的值；利用公式和，联合求．
【解答】
解：因为，所以，
又，故有，，
解出，故A错误；
，
由知：，所以，
所以，故B正确；
由知：，而，所以，
又，所以，
解得，
所以，
又因为，，
所以，有，故C正确；
由，
由知，，
两式联立得：，故D错误．
故选BC．

9.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了函数的奇偶性、单调性、三角函数的最值、函数的对称性以及两角和与差的三角函数公式等内容，属于基础题由题意首先利用两角和与差的三角函数公式进行化简得到，利用余弦函数的图象与性质逐项进行判断即可得到答案．
【解答】
解：
，
由函数图象可知，为偶函数，且最大值为，
故A正确，C错误，
令，
解得，
令得，，
在上单调递减，故B正确，
当时，，取得最小值，
图像关于直线对称，故D正确，
综上，选项正确，
故选ABD．

10.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查同角三角函数的基本关系以及辅助角公式．
根据以及是锐角，再结合韦达定理逐一分析各选项即可．
【解答】
解：因为两根，不一定相等，所以判别式不一定为零，A错误；
由韦达定理及锐角可得，，
所以，C错误；
因为，
， B正确；
是锐角，所以
所以，D正确．
故选BD．

11.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查三角恒等变换式的应用，属于基础题．
利用三角恒等变换式和诱导公式将原式变形即可得解．
【解答】
解：
．
故答案为．

12.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查同角三角函数的基本关系，半角公式的应用，属于基础题．
利用同角三角函数的基本关系求出，利用半角公式求得的值．
【解答】
解：已知，在第二象限，，
，
故答案为：．

13.【答案】．
【解析】
【分析】
设顶角为，则的值可知，由同角三角函数间的关系式可得，进而根据三角形内角和求得底角，最后利用半角公式求得答案
【解答】
解：设顶角为，则，底角为，则，
由，
，
故答案为．

14.【答案】

【解析】
【分析】
本题主要考查任意角的三角函数的定义，三角恒等变换，属于中档题．
设，由条件利用任意角的三角函数的定义求得，，由图形将表示出来，再由两角差的正切公式及三角恒等变换从而求得所给式子的值．
【解答】
解：点的坐标为，设，
，，
即，，则
，，，则，

．
故答案为 ．

15.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查两角和差公式的应用和半角公式及应用，属于综合题．
先得出，，再由半角公式即可得出结果．
【解答】
解：由题意得，
，
是第四象限角，是第二或第四象限角，
，
，
故答案为．

16.【答案】解：原式
；
原式
．
【解析】本题主要考查了三角恒等变形，三角函数的诱导公式，同角公式，三角函数化简求值，属于中档题．
把正切化为正弦除以余弦，利用两角差的正弦公式，辅助角公式，诱导公式化简求值．
利用，，以及二倍角公式化简求值．
17.【答案】解：
因此，所求周期为，最大值为，最小值为．
设，
则．
于是，，
于是，
所以．
取，
则，．
由可知，所求周期为，最大值为，最小值为．
【解析】本题主要考查函数的图像与性质，以及辅助角公式，属于基础题．
利用辅助角公式将函数化为正弦型函数，根据函数性质求解．
18.【答案】解：，
，
由周期公式可得，最小正周期，
函数的最大值为，最小值；
令，，
解得：，，
函数的单调递增区间，．
【解析】本题主要考查了二倍角公式，辅助角公式在三角化简中的应用，还考查了正弦函数的性质的简单应用，属于基础试题．
结合二倍角公式及辅助角公式对已知函数进行化简可得，
结合周期公式可求周期，结合正弦函数的性质可求函数的最大值，最小值；
令，，可求函数的单调递增区间．
19.【答案】解：，正方形边长为百米，
，，
过点作的垂线，垂足为，则，
，其中．
，
，
当时，即时，取得最小值为．
答：当时，面积的最小值为．
【解析】本题考查函数模型的选择与应用，考查面积计算、三角函数等相关基础知识，注意解题方法的积累，属于中档题．
通过锐角三角函数的定义及过点作的垂线且垂足为可知，，进而利用面积公式计算即得结论；
利用辅助角公式化简可知，进而利用三角函数的有界性即得结论．
20.【答案】解：若选择条件，
由于，可得，
可得，即，
因为为锐角，
可得；
．
若选择，
由于，，
可得，解得，或舍去，
因为为锐角，可得．
．
若选择，
因为，
可得，或，
因为为锐角，，
可得，可得；
．
【解析】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，诱导公式在解三角形中的应用，考查了转化思想和方程思想，属于中档题．
若选择条件，
利用同角三角函数基本关系式化简已知等式可求，结合为锐角，可求的值．
利用诱导公式化简所求即可得解．
若选择，
利用同角三角函数基本关系式可求得，解方程可得的值，结合为锐角，可得的值．
利用诱导公式化简所求即可得解．
若选择，
利用同角三角函数基本关系式化简已知等式可求的值，结合为锐角，可得的值．
利用诱导公式化简所求即可得解．
21.【答案】解：由可得，
解得或由，舍去，
所以，于是；
根据所给条件，可求出仅由，，表示的三角函数式的值．
例如，，，，等等．
，，
．

【解析】此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．
将已知等式两边平方，利用同角三角函数间基本关系化简，求出的值，进而求出的值，联立求出与的值，即可确定出的值；
求出的值．
22.【答案】解：
，
同理得：
，且，，
若，
则，
，
即，
，
，即为存在的值．

【解析】本题考查利用二倍角公式进行化简、求值的问题，关键是能够利用已知关系建立等式，结合二倍角公式得到三角函数值，从而根据三角函数值确定角．
利用二倍角公式对式子进行整理化简可得；
令，解方程可求得，从而可得的取值．
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