第三章 函数的概念与性质--2023-2024学年高一数学人教A版必修第一册同步练习（含答案）

第三章函数的概念与性质 -小结
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
单选题
1. 下列各组函数表示相同函数的是( )
A. ， B. ，
C. D. ，
2. 如图是张大爷晨练时所走的离家距离与行走时间之间的函数关系图，若用黑点表示张大爷家的位置，则张大爷散步行走的路线可能是( )
A. B. C. D.
3. 已知函数的定义域为，满足，且，若，则等于( )
A. B. C. D.
4. 设函数，的定义域都为，且是奇函数，是偶函数，则下列结论正确的是( )
A. 是偶函数 B. 是奇函数
C. 是奇函数 D. 是奇函数
5. 设，则的值是( )
A. B. C. D.
6. 定义在上的偶函数，对任意，，有，则( )
A. B.
C. D.
7. 已知函数，若对一切，都成立，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
8. 设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，若，则( )
A. B. C. D.
9. 设，若，则( )
A. B. C. D.
10. 函数与的图象如左图，则函数的图象可能是( )
A. B. C. D.
11. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为( )
A. B. C. D.
12. 已知定义在上的函数在内为减函数，且为偶函数，则，，的大小关系为．( )
A. B.
C. D.
13. 已知是定义域为的奇函数，满足，若，则( )
A. B. C. D.
14. 若函数在区间上的最大值是，最小值是，则( )
A. 与有关，且与有关 B. 与有关，但与无关
C. 与无关，且与无关 D. 与无关，但与有关
15. 设函数的定义域为，满足，且当时，若对任意，都有，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
16. 已知函数，则( )
A. B. C. D.
17. 定义在上的函数的图象关于直线对称，且满足：对任意的，都有，且，则关于的不等式的解集是( )
A. B.
C. D.
18. 已知函数，下列关于的性质，推断正确的有
函数的定义域为 函数是偶函数 函数与的值域相同
在上递增 在上有最大值
A. B. C. D.
二、多选题
19. 给出下列命题，其中是错误命题的是( )
A. 若函数的定义域为，则函数的定义域为
B. 函数的单调递减区间是
C. 若定义在上的函数在区间上是单调增函数，在区间上也是单调增函数，则在上是单调增函数
D. ，是定义域内的任意的两个值，且，若，则是减函数
20. 已知幂函数互质，下列关于的结论正确的是( )
A. 当，都是奇数时，幂函数是奇函数
B. 当是偶数，是奇数时，幂函数是偶函数
C. 当是奇数，是偶数时，幂函数是偶函数
D. 当时，幂函数在上是减函数
三、填空题
21. 已知函数在上的图象如图所示，则的解析式为 ．
22. 函数的定义域是 ．
23. 已知奇函数在区间上是增函数，且在区间上的最大值为，最小值为，则的值为 ．
24. 函数的单调递减区间为 ．
25. 函数的单调增区间是
26. 已知函数在区间上存在最小值，则实数的取值范围是 ．
27. 函数的值域是 ．
28. 已知，则的解析式为 ．
29. 若函数在区间上是单调递增函数，则实数的取值范围是 ．
30. 已知偶函数和奇函数的定义域都是，且在上的图象如图所示，则关于的不等式的解集是
31. 已知，函数在区间上的最大值是，则的取值范围是 ．
32. 已知函数，则满足的的取值范围是_________．
四、解答题
33. 本小题分
已知定义在上的奇函数是增函数，且．
Ⅰ求函数的解析式；
Ⅱ解不等式．
34. 本小题分
已知函数．
证明：函数是偶函数；
利用绝对值及分段函数知识，将函数解析式写成分段函数，然后画出函数图象；
写出函数的值域和单调区间．
35. 本小题分
已知函数．
求函数的解析式；
根据函数单调性的定义证明在上是减函数．
36. 本小题分
设函数的定义域为，且满足条件对任意的，有，且当时，有．
求的值；
如果，求的取值范围．
37. 本小题分
若点在幂函数的图象上，点在幂函数的图象上，定义，求函数的最大值以及单调区间．
38. 本小题分
对于函数，若在定义域内存在实数，满足，则称“局部中心函数”．
已知二次函数，试判断是否为“局部中心函数”，并说明理由；
若是定义域为上的“局部中心函数”，求实数的取值范围．
39. 本小题分
已知满足
若时，，判断的单调性并证明；
若时，，证明；
若，是定义在上的减函数，解不等式．
40. 本小题分
已知函数是定义在上的偶函数，当时，，
求的解析式；
讨论函数的单调性，并求的值域．
41. 本小题分
设函数．
Ⅰ若函数在上不单调，求实数的取值范围；
Ⅱ求函数在的最小值．
42. 本小题分
某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水不超过吨时每吨为元，当用水超过吨时，超过部分每吨元，某月甲、乙两户共交水费元，已知甲、乙两用户该月用水量分别为，吨．
求关于的函数；
若甲、乙两户该月共交水费元，分别求出甲、乙两户该月的用水量和水费．
精确到
43. 本小题分
已知函数定义在上的奇函数，且，对任意，，时，有成．
解不等式；
若对任意恒成立，求实数的取值范围．
44. 本小题分
东北育才学校高一期中已知函数，若同时满足以下条件：
在上单调递减或单调递增；
存在区间，使在上的值域是，那么称为闭函数．
求闭函数符合条件的区间
判断函数是不是闭函数，若是，请找出区间；若不是，请说明理由．
若是闭函数，求实数的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：对于，的定义域是，的定义域是，
定义域不同，对应关系不同，不是相同函数；
对于，的定义域是，的定义域是，对应关系不同，不是相同函数；
对于，的定义域是，的定义域是，
定义域相同，对应关系也相同，是相同函数；
对于，的定义域是，的定义域是，
定义域不同，不是相同函数．
故选：．
根据两个函数的定义域相同，对应关系也相同，即可判断两个函数是相等的函数．
本题考查了判断两个函数是否为相等函数的应用问题，是基础题目．
2.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了识别图象的及利用图象解决实际问题的能力，还要注意排除法在解题中的应用．
由已知图形可知，张大爷的行走是：开始一段时间离家越来越远，然后有一段时间离家的距离不变，然后离家越来越近，结合图象逐项排除．
【解答】
解：由已图形可知，张大爷的行走是：开始一段时间离家越来越远，然后有一段时间离家的距离不变，然后离家越来越近，符合；
：行走路线是离家越来越远，不符合；
：行走路线没有一段时间离家的距离不变，不符；
：行走路线没有一段时间离家的距离不变，不符；
故选D．

3.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了利用赋值法求解函数值，关键是要选择特殊的函数值进行求解．
函数满足，且，令可求 ，然后由 可求，然后由 可求．
【解答】
解：函数满足，且，
，，
，，
，
，
故选D．

4.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查函数奇偶性的判断，根据函数奇偶性的定义是解决本题的关键．
根据函数奇偶性的性质即可得到结论．
【解答】
解：是定义在上的奇函数，是定义在上的偶函数，
，，
，故函数是奇函数，故A错误；
为偶函数，故B错误；
是奇函数，故C正确；
为偶函数，故D错误，
故选C．

5.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查函数值的求法，是基础题．
由已知条件利用函数的性质得，由分段函数即可得到．
【解析】
解：，
．
故选：．
6.【答案】
【解析】解：由题意，对任意，，有，
函数在上单调减
函数是偶函数，
故选：．
确定函数在上单调减，结合函数是偶函数，即可得到结论．
本题考查函数单调性与奇偶性的结合，确定函数的单调性是关键．
7.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力，属于基础题．
利用函数恒成立，转化求解的表达式，然后通过二次函数的最值求解即可．
【解答】
解：由题意得，对一切，都成立，
即，因为，，所以当时，
有最大值，则实数的取值范围为：．
故选：．

8.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查函数的周期性与奇偶性的综合应用．
由已知得的周期为，则，由已知得，，即可求出函数的解析式，即可得解．
【解答】
解：因为为奇函数，
所以，
所以的图象关于中心对称，则，
因为为偶函数，
所以，
所以的图象关于直线轴对称．
由，得，
所以，
则，即的周期为，
所以，
又因为，，，
所以，则，
因为当时，，
即，解得，
所以，当时，，
所以．
故选D．

9.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查分段函数的应用，考查转化思想分类讨论以及计算能力．属于基础题．
利用已知条件，求出的值，然后求解所求的表达式的值即可．
【解答】
解：当时，，，，
，
，解得或舍去．
．
当时，，
，，
，无解．
当时，，，，不符合题意．
综上，．
故选C．

10.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了函数图象的识别和判断，考查了函数的奇偶性和定义域，属于中档题．
利用函数的奇偶性和定义域进行排除即可．
【解答】
解：由图象可知为偶函数，为奇函数，
所以为奇函数，排除，
因为函数的定义域为，
所以函数的定义域为，排除，，
故选A．

11.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了抽象函数的定义域．
先通过函数的定义域求出函数的定义域为，再求函数的定义域．
【解答】
解：因为函数的定义域为
所以，
所以函数的定义域为
所以，
所以．
所以函数的定义域为．
故选：

12.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查函数的奇偶性和单调性，为偶函数，可得函数的图象关于对称，则函数的图象关于对称，利用在内为减函数，即可得出结论．
【解答】
解：函数为偶函数，则函数的图象关于对称，
则函数的图象关于对称，，，
，，即．
故选 A．

13.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查函数值的计算，根据函数奇偶性和对称性的关系求出函数的周期性是解决本题的关键．
根据函数奇偶性和对称性的关系求出函数是以为周期的周期函数，结合函数的周期性和奇偶性进行转化求解即可．
【解答】
解：是定义域为的奇函数，且，
，，
则，则，
即函数是以为周期的周期函数，
，
，，
，
则，
则
，
故选：．

14.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．
结合二次函数的图象和性质，分类讨论不同情况下的取值与，的关系，综合可得答案．
【解答】
解：函数的图象是开口朝上且以直线为对称轴的抛物线，
当或，即，或时，
函数在区间上单调，
此时，
故的值与有关，与无关；
当，即时，
函数在区间上递减，在上递增，
且，
此时，
故的值与有关，与无关；
当，即时，
函数在区间上递减，在上递增，
且，
此时，
故的值与有关，与无关；
综上可得：的值与有关，与无关．
故选：．

15.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了函数与方程的综合运用，属于中档题．
由，得，分段求解析式，得值域，结合图象可得结论．
【解答】
解：
因为，
，
时，，
时，，；
时，，，
当时，由，解得或，
若对任意，都有，则．
故选B．

16.【答案】
【解析】
【分析】
此题考查函数求值．
根据进行求解即可．
【解答】
解：因为，，
所以
．
故选B．

17.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查的知识点是函数的单调性，函数的对称性，属于中档题．
由已知可得函数在上为减函数，且，结合函数的图象关于直线对称，可得：在上为增函数，且，分类讨论可得答案．
【解答】
解：对任意的，都有，
函数在上为减函数，且，
又由函数的图象关于直线对称，
在上为增函数，且，
当，，满足，
当，，满足，
当，，不满足，
综上可得：．
故答案选：．

18.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了函数的定义域与值域，函数的单调性以及函数的奇偶性等知识点．
根据解析式求得定义域，利用基本不等式可求得的最值．
【解答】
解：函数，定义域是，故正确；
，故函数为奇函数，不正确；
当时，，
当时，，
令，
由对勾函数的性质可知：的值域为
的值域是，
令，则，同上得值域为，故正确；
在上单调递减，则在上单调递增，故正确；
由基本不等式当时，，故 错误；
综上，正确．
故选B．

19.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查函数定义域和单调性的概念．
根据抽象函数定义域及函数单调性定义，逐项判断即可．
【解答】
解：若函数的定义域为，则函数的定义域为，故A错误；
B.函数的单调递减区间是，故B错误；
C.若定义在上的函数在区间上是单调增函数，在区间上也是单调增函数，则在上不一定为单调增函数，如，故C错误；
为单调性的定义，正确．
故答案为．

20.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查幂函数的定义和性质，属于中档题．
利用幂函数的定义和性质及奇偶函数的定义可判断，利用幂函数在上的单调性可判断．
【解答】
解：幂函数互质，
故，都是奇数时，，则幂函数是奇函数，故A正确；
当是偶数，是奇数时，，则幂函数是偶函数，故B正确；
当是奇数，是偶数时，幂函数定义域为，一定不是偶函数，
如，它的定义域为，不是偶函数，故C错误．
当 时，幂函数在上是增函数，故D错误，
故选：．

21.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了分段函数的解析式的求法，属于基础题．
函数明显为分段函数，根据一次函数解析式即可得解．
【解答】
解：当时，；
当，，
故的解析式为
故答案为：．

22.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查函数的定义域及其求法，考查一元二次不等式的解法，是基础题．
根据函数令即可得到定义域．
【解答】
解：函数，
要使其有意义，即，得，
解得：．
函数的定义域是．
故答案为．

23.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了函数的奇偶性和单调性，属于基础题．
利用单调性可知 的最大值为 ， 的最小值为 ，再结合奇函数得 ，即可求出答案．
【解答】
解：由于 在上为增函数，
所以 的最大值为 ， 的最小值为 ，
因为 为奇函数，
所以 ，
所以 ．
故答案为．

24.【答案】，
【解析】
【分析】
本题主要考查函数的单调性，属于基础题．
将原函数变形为，通过研究函数的图象得到单调区间．
【解答】
解：因为，
所以函数的图象是将向上移动个单位，单调性不改变，
易知的单调递减区间为， ，
所以的单调递减区间为，
故答案为， ．

25.【答案】和
【解析】
【分析】
本题考查函数的单调性，涉及二次函数的单调性，绝对值函数的图象的作法．
画出函数的图象，利用函数的图象求函数的单调区间．
【解答】
解：由，可得或，
且函数的对称轴为，
所以
作出函数的图象如图所示，
可知函数的单调递增区间为和．
故答案为和．

26.【答案】
【解析】
【分析】
分类讨论结合函数的单调性即可得解．
本题考查函数性质的综合运用，考查分类讨论思想，解题的时候需要注意的是题目所给的区间为开区间，属于较难题．
【解答】
解：当时，在区间上不存在最小值；
当时，函数在区间上为增函数，不存在最小值；
当时，由双勾函数的图象及性质可知，要使在区间上存在最小值，则需满足，即．
故答案为：．

27.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查对勾函数的图象和性质，利用基本不等式求最值，求函数值域，属于拔高题．
将原函数化为，由对勾函数的性质可得在单调递减；在单调递增，求出区间端点的函数值，可得值域．
【解答】
解：由
，
得：当时，，当且仅当，即，即时，等号成立．
根据“双勾函数”模型，有在单调递减；在单调递增，
所以在单调递减；在单调递增，又；．
所以当时，的值域为
故答案为

28.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查函数解析式的求法，属于中档题．
依题意，利用换元法，令得，进而求得函数的解析式．
【解答】
解：令，则，
所以，，
所以．
故答案为．

29.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查函数的奇偶性和单调性，属于较难题．
易知为定义域为的奇函数，研究函数的性质可得到的单调性，即可求解．
【解答】
解：易知为定义域为的奇函数，
当时，函数变形为，
设，在单调递减，在单调递增，
所以在单调递增，在单调递减，又为连续的奇函数，，
所以在上的单调增区间为，
则由题意可得，
解得
故答案为．

30.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了函数奇偶性的性质，函数图象的意义．
令，根据的奇偶性和函数图象得出不等式的解．
【解答】
解：设，定义域是，关于原点对称，
则，
是奇函数，
由图象可知：当时，，，即，
当时，，，即，
的解为．
故答案为．

31.【答案】
【解析】
【分析】
通过转化可知且，进而解绝对值不等式可知，进而计算可得结论．
本题考查函数的最值，考查绝对值函数，考查转化与化归思想，注意解题方法的积累，属于中档题．
【解答】
解：由题可知，即，所以，
又因为，
所以，
所以，
又因为，，
所以，解得，
故答案为：

32.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了分段函数的单调性，函数的奇偶性和不等式求解，考查学生的计算能力和推理能力，难度适中．
根据题意可得函数的图象，结合函数的单调性和奇偶性即可解得的取值．
【解答】
解：函数，
可得函数图象如下：
可知函数为奇函数，且在上单调递减，
由，则，
，即，
解得，即的的取值范围为，
故答案为．

33.【答案】解：Ⅰ因为是定义在上的奇函数，
所以，得，
又因为，所以，
所以；
Ⅱ因为定义在上的奇函数是增函数，
由得
所以有，
解得．
即不等式的解集为．
【解析】本题考查函数单调性与奇偶性的综合，考查学生的计算能力，正确运用函数的单调性是关键．
Ⅰ利用是定义在上的奇函数，可得，从而可求的值，根据，求出的值，即可求函数的解析式；
Ⅱ利用定义在上的奇函数是增函数，由得，可得不等式组，解之，即可求解不等式．
34.【答案】解：函数的定义域为，
定义域关于原点对称．
，
函数是定义在上的偶函数．
当时，
当时，
当时，
综上函数的解析式为，
函数的图象为：
由函数的图象可知函数的值域为，函数的单调递减区间为，函数的单调递增区间为．
【解析】本题主要考查了偶函数的概念及判断、分段函数的解析式及图象、函数的值域及单调区间，属于基础题．
根据函数奇偶性的定义证明，即可证明该函数为偶函数；
分，，三段写出函数的解析式，根据解析式作出函数图象；
由图象得出函数的值域及单调区间．
35.【答案】解：因为，
所以
证明：取，且，
有
，
因为，
所以，，
又由，得，
于是，
即，
所以．
所以，函数在上是减函数
【解析】本题考查求函数解析式及利用定义法证明函数单调性，属于基础题．
化简为，可得
取，且，，根据已知可得 ，函数在是减函数
36.【答案】解：因为对任意的，，有，
所以令，得，所以．
设，则．
又因为当时，，
所以，即，
所以在定义域内为增函数．
又，令，得，
即．
即时，原不等式可化为．
又因为在定义域上为增函数，
所以，解得或．
又因为，所以．
所以的取值范围为．
【解析】本题主要考查了抽象函数求值，以及利用抽象函数的单调性解不等式，同时考查了转化的思想，属于中档题．
利用赋值法，令，得，就可解得．
根据可得，从而将转化成，然后结合函数的单调性和定义域建立关系，解之即可．
37.【答案】解：设，
因为点在幂函数的图像上，
所以，解得，
所以．
设，
因为点在幂函数的图像上，
所以，解得，
所以．
所以．
作出函数的图像如图所示，
可知函数的最大值为，
的单调递增区间是，单调递减区间是和
【解析】本题考查幂函数的解析式的求法，注意运用待定系数法，同时考查分段函数的运用，函数的单调性和最值的求法，属于中档题．
设，，代入点的坐标，解方程可得，的解析式，再由定义，求得的解析式，通过二次函数和反比例函数的性质，可得最大值和单调区间．
38.【答案】解：

当时，，
是“局部中心函数”
是上“局部中心函数”，
，
即有解．
令，则，则在时有解，
当时，，则，；
当时，令，
则，解得
，
综上可得．
【解析】本题考查新定义问题，考查函数的对称性，代换法及二次函数的性质．
根据新定义直接代入判断即可；
问题转化为在时有解即可求解．
39.【答案】解：设则，
，
又，
即，
，
是定义在上的减函数．
由得：．
又，
，
即．
，
，
．
即，
又是定义在上的减函数，
，
不等式的解为．

【解析】本题考查抽象函数，函数的单调性、奇偶性，以及单调性与奇偶性的综合应用，属于中档题．
设，则，，又，可得是定义在上的减函数．
由题意得：，又，即．
原不等式即，则，求解即可．
40.【答案】解：当时，，
所以，
由于是偶函数，则，
即当时，，
综上所述，函数的解析式为．
任取，则
，
当时，，，，
所以即，即，
所以在上为单调减函数，
当时，，，，
所以即，即，
所以在上为增函数．
又因为函数是定义在上的偶函数，
所以当时，函数在上为减函数，在上为增函数，
综上．函数在和上为单调减函数，在，上为单调增函数．
当时，，
当且仅当，即时，取等号，
又函数是定义在上的偶函数，
所以值域为．
【解析】本题主要考查了利用函数的奇偶性求解函数解析式及利用定义判断函数的单调性，属于拔高题．
先设时，，然后根据是偶函数及时的解析式即可求解；
先取，然后根据作差法比较与的大小，判断函数在区间上的单调性，即可讨论函数的单调性，利用基本不等式求值域．
41.【答案】解：
设，
Ⅰ当时，在上递减，在上递增，函数在上不单调，则
当时，在上递减，在上递增，函数在上不单调，则
综上，实数的取值范围
Ⅱ当时，此时，
时，，在上单调递增，
，
时，在上递减，在上递增，
，
当时，，此时，
时，在上递增，
，
时，在上递减，在上递增，
，
综上，函数在的最小值为，
．
【解析】本题考查函数的单调性和最值的求法，考查了分类讨论的思想方法，属于拔高题．
Ⅰ分和两种情况讨论即可求解．
Ⅱ设，
当时，分和两种情况讨论，
当时，分和两种讨论即可求解．
42.【答案】解：由题意知：，令，得；令，得．
则当时，
当时，
当时，
即得
由于在各段区间上均单增，
当时，
当时，
当时，令，得
所以甲户用水量为吨，付费元
乙户用水量为吨，
付费元
【解析】由题意知：，令，得；令，得将取值范围分三段，求对应函数解析式可得答案．
在分段函数各定义域上讨论函数值对应的的值．
本题是分段函数的简单应用题，关键是列出函数解析式，找对自变量的分段区间．
43.【答案】解：函数定义在上的奇函数，
任取，
对任意，，时，有成立．
由已知得，
所以
所以在上单调递增．
原不等式等价于
所以
即原不等式解集为
由知，即，即，对恒成立．
设
若成立；
若则，即或
故或或．
【解析】在上是增函数，然后利用增函数的定义进行证明．将不等式结合函数的单调性进行转化，解得答案．
根据函数的单调性知最大值为，所以要使对所有的恒成立，只需成立．进而得到实数的取值范围．
本题考查函数的性质和应用，解题时要认真审题，仔细求解．
44.【答案】解：在上单调递减，，解得故所求的区间为．
函数在上单调递增，假设存在满足条件的区间，，
则，即
在上至少有两个不同的实数根，
但是结合对数函数的单调性可知，
的图象与的图象只有一个交点，
故函数不是闭函数．
解法一：易知在上单调递增．
设满足条件的区间为，，则方程组有解，
方程至少有两个不同的解．
故方程有两个都不小于的不等实根．
得．
实数的取值范围为．
解法二：易知是增函数，
则在区间上的值域也是，
说明函数的图象与直线有两个不同交点．
令，，
则，
数形结合知．
【解析】本题考察函数的单调性、图像、性质，考察逻辑推理能力、抽象概括能力、运算求解能力和转化思想。
易知函数是减函数，则有，即可求解；
由函数在上单调递增，可知，即，结合函数的单调性即可判断；
由函数是闭函数，易知函数是增函数，则在区间上函数的值域也是，说明函数图像与直线有两个不同交点，结合函数的图像可求．
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