第四章 指数函数与对数函数--2023-2024学年高一数学人教A版必修第一册同步练习（含答案）

第四章指数函数与对数函数 -小结
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1. 从年开始，支付宝推出了一款“蚂蚁森林”的小应用，使用者通过完成任务收集能量，在荒漠中种树，从而为祖国绿色公益事业做出贡献．某人于年通过“蚂蚁森林”种植了一棵树．已知该树的高度米与生长年限年，的函数模型为，则该树的高度开始超过米的年份为参考数据：( )
A. B. C. D.
2. 函数的图象经过点，则
A. B. C. D.
3. 函数的图象的大致形状是( )
A. B.
C. D.
4. 对任意实数，都有，且，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
5. 已知，，则的值为( )
A. B. C. D.
6. 若函数是指数函数，则的取值范围是( )
A. B. ，且 C. D.
7. 设，则使函数的定义域是，且为偶函数的所有的值是( )
A. ， B. ， C. D.
8. 函数的零点为．( )
A. B. C. D.
9. 设，，则( )
A. B. C. D.
10. 宜昌一中高一期末已知关于的不等式，则该不等式的解集为 ( )
A. B. C. D.
11. 已知函数，记，，，则、、的大小关系是( )
A. B. C. D.
12. 已知函数，若，则( )
A. B. C. D.
13. 函数的大致图象如图，则函数的图象可能是( )
A. B.
C. D.
14. 已知函数的值域是 ，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
15. 已知函数且的图像恒过定点，点在幂函数的图像上，则( )
A. B. C. D.
16. 定义，如，且当时，有解，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题
17. 下列运算法则正确的是( )
A. B.
C. 且 D. 、
18. 已知函数的图象恒过点，则下列函数图象也过点的是( )
A. B. C. D.
19. 设为常数，则( )
A. 当时，为奇函数 B. 当时，为奇函数
C. 当时，为非奇非偶函数 D. 当时，为非奇非偶函数
20. 在同一直角坐标系中，函数与，且的大致图象如图所示，则下列数中可能是实数的取值的有( )
A. B. C. D.
21. 已知某湖泊蓝藻面积单位：与时间单位：月满足若第个月的蓝藻面积为，则( )
A. 蓝藻面积每个月的增长率为；
B. 蓝藻每个月增加的面积都相等；
C. 第个月时，蓝藻面积就会超过；
D. 若蓝藻面积到，，所经过的时间分别是，，，则
22. 已知函数，，对，与中的最大值记为，则( )
A. 函数的零点为， B. 函数的最小值为
C. 方程有个解 D. 方程最多有个解
23. 若，则下列结论错误的是( )
A. B. C. D.
24. 已知函数，则下面几个结论正确的有( )
A. 的图象关于原点对称
B. 的图象关于轴对称
C. 的值域为
D. ，，且，恒成立，
三、填空题
25. 函数在区间上的最大值为 ．
26. 不等式的解集为 ．
27. 金陵中学高一期末已知函数，若，则的值为 ．
28. 已知函数为偶函数，且当时，，则当时， ；如果实数满足，那么的取值范围为 ．
29. 化简的结果为__________．
30. 已知，则不等式的解集为 ．
31. 已知函数若函数有四个不同的零点，则实数的取值范围是 ，设，则 ．
32. 如果一个点是一个指数函数与一个对数函数的图象的公共点，那么称这个点为“好点”在下面的五个点，，，，中，可以是“好点”的个数为 ．
四、解答题
33. 本小题分
双十中学高一月考已知实数满足关系式且，且．
若，求的表达式；
在的条件下，当时，有最小值，求和的值．
34. 本小题分
湖南师大附中高一期末已知函数是偶函数，且当时，，且，________．
求当时，的解析式；
在在上单调递增，在区间上恒有这两个条件中任选一个补充到上面的横线中，求的值域．
注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答记分．
35. 本小题分
已知函数．
设，若函数在上有且仅有一个零点，求实数的取值范围；
设，是否存在正实数，使得函数在内的最大值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由。
36. 本小题分
已知函数是指数函数．
求的表达式；
判断的奇偶性，并加以证明．
37. 本小题分
已知函数的图像经过定点．
Ⅰ求的值；
Ⅱ设，，求用，表示．
38. 本小题分
计算题：
求值：
已知，求的值
39. 本小题分
已知函数，函数．
求函数的值域；
若不等式对任意实数恒成立，试求实数的取值范围．
40. 本小题分
年某市某地段商业用地价格为每亩万元，由于土地价格持续上涨，到年已经上涨到每亩万元，现给出两种地价增长方式，其中：是按直线上升的地价，：是按对数增长的地价，是年以来经过的年数年对应的值为．
求，的解析式；
年开始，国家出台“稳定土地价格”的相关调控政策，为此，该市要求年的地价相对于年上涨幅度控制在以内，请分析比较以上两种增长方式，确定出最合适的一种模型参考数据：
41. 本小题分
设是函数定义域内的一个子集，若存在，使得成立，则称是的一个“次不动点”，也称在区间上存在次不动点．设函数，．
Ⅰ若，求函数的次不动点
Ⅱ若函数在上不存在次不动点，求实数的取值范围．
42. 本小题分
已知函数是定义在上的奇函数，当时，．
求时，的解析式；
设，函数，是否存在实数使得的最小值为，若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
43. 本小题分
已知函数在上的最大值与最小值之和为
求实数的值；
对于任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．
44. 本小题分
解方程
已知，，求的值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查指数函数模型的应用，涉及指数不等式求解，属于基础题．
根据题意转化为不等式求解即可．
【解答】
解：令，即，
所以，即，
则该树的高度开始超过米的年份为年．
故选B．
2.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查指数函数的图象与性质，属于基础题．
将点代入函数解析式，求出的值，即可得到函数的解析式，再求即可．
【解答】
解：因为函数的图象经过点，
所以，解得，
则，
所以，
故选C．

3.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查分段函数及指数函数的图象和性质，属于基础题．
先将函数写成分段函数的形式，然后利用指数函数的性质求解．
【解答】
解：因为 ，
由指数函数的性质知：在函数单调递减，在单调递增，
观察四个图象只有符合．
故选D

4.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了对数函数的性质，不等式恒成立问题，属于基础题．
由题意，且对任意实数都成立，从而得出结果．
【解答】
解：，
且对任意实数都成立，
又，
，
故选B．

5.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了指数与指数幂的运算，是一个基础题．
根据指数幂的运算有，将，代入求值即可．
【解答】
解：．

6.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查指数函数的定义，属于基础题．
利用指数函数的定义中对底数的要求，列出不等式组，求解即得．
【解答】
解：因为函数是指数函数，
得：，化简得
故选B．

7.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查幂函数和函数的奇偶性，属于基础题．
根据函数的定义域是，则，再判断函数是偶函数即可．
【解答】
解：函数的定义域是，则，又函数为偶函数，则满足条件的值是．
故选D．

8.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查函数的零点，关键是掌握函数零点的定义．
根据题意，令，即，解可得，由函数零点的定义分析可得答案．
【解答】
解：根据题意，函数，
令，即，解可得，
即函数的零点为；
故选A．

9.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查对数的运算．
由对数的运算性质可得，继而用，表示出，，最后利用换底公式求解即可．
【解答】
解：
则．
故选D．

10.【答案】
【解析】
【分析】
利用指数函数的单调性解不等式
将转化为，根据单调性求解
【解答】
解：依题意可知，原不等式可转化为，由于指数函数为上的增函数，故，解得，故选C．

11.【答案】
【解析】
【分析】
推导出，的增区间是，的减区间是，推导出，由此能比较、、的大小关系．
本题考查三个数的大小关系的判断，考查指数、对数函数的性质、对数运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
【解答】
解：已知函数，
由，解得，所以函数的定义域为，
且，所以函数为偶函数，
根据复合函数的单调性可知的增区间是，的减区间是，
，
，
，
，
记，，，
、、的大小关系是．
故选：．

12.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查函数值的求法，函数的性质等基础知识，对数运算，考查运算求解能力，是中档题．
由，得，由此能求出．
【解答】
解：函数，，
，
，
．
故选D．

13.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查指数函数与对数函数的图象与性质，考查图象的平移变化，属于基础题．
由函数的图象可得且，从而可得的大致图象．
【解答】
解：由图象可得函数单调递减，
所以，
与轴的交点为，，
所以，
则函数为减函数，排除、，
当时，，排除．
故选D．

14.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查对数函数的性质与值域，考查基本不等式求最值，属于中档题．
由题意可得：可以取遍的任意值，也就是函数的最小值小于等于，再由均值不等式可得：，进而得到答案．
【解答】
解：因为函数的值域为，
所以函数的最小值小于等于，
由均值不等式可得：，
当且仅当时“”成立，
即的最小值为：，
所以，
即．
故选D．

15.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查指数函数图像与性质，幂函数的解析式，属于中档题．
利用指数函数的性质求得点，代入幂函数求得其解析式，然后求．
【解答】
解：函数且的图像恒过定点，
当时，，即，
设，代入点，，则，，
．
故选A ．

16.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查函数存在性问题，考查换元法的应用，属于中档题．
依题意知有解，则将不等式问题转化为，构造函数令，，再利用换元法，可得，从而可得答案．
【解答】
解：由题可知，当时，有解，
令，，则将不等式问题转化为，
令，，
，
当时，取得最大值，即取得最大值，
，
故选：．

17.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查指数式与对数式的运算，涉及数学运算等数学学科核心素养，属于基础题．
根据指数式的运算法则可判断、两个选项；再根据对数式的运算公式可以判断、两个选项．
【解答】
解：成立的条件是，且，，，．
显然当，时，；而无意义，A错误；
成立的前提条件是，
显然当、、时，；，不满足相等，则B错误．
且是对换底公式的运用，C正确．
当，时，无论还是，都成立，D正确．
故选：．

18.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查指数函数的性质，属于基础题．
由函数的图象恒过点，将点分别代入各个函数可得结果．
【解答】
解：函数的图象恒过点，
将点代入四个选项中的函数逐项验证：
A.的图象过点，故A正确；
B.的图象过点，故B正确；
C.的图象过点，故C正确
D.的图象不过点，故D错误，
故选ABC．

19.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查函数奇偶性的判断，属于基础题．
代入与验证即可．
【解答】
解：当时，，，，
，既不是奇函数也不是偶函数．
当时，，是奇函数．
故选BC．

20.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查指数函数和对数函数的图象和性质，以及简单的指数、对数运算，属于基础题．
由图象可知，且，把各选项代入验证即可得到答案．
【解答】
解：由图象可知，且
，故A不符合题意
，故B符合题意
，故C符合题意
，故D不符合题意．
故选BC．

21.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查函数模型的选择和应用问题，在解答时，由已知条件第个月的蓝藻面积为， 进而确定函数解析式，属于中档题．
结合所给月份计算函数值从而获得相应浮萍的面积进而对问题作出判断，选项要充分结合对数运算的运算法则进行计算验证．
【解答】
解：由题意可知：浮萍蔓延的面积与时间月的关系：且，
由题意，，这个指数函数的底数是，可知浮萍每月的增长率为，A正确；
函数的解析式为：，
对于，浮萍一月增加的面积与浮萍二月增加的面积不相等，不正确；
对于，当时，，故第个月时，浮萍的面积就会超过，成立，故C正确；
对于，由于：，，，
，，，
又因为，
若浮萍蔓延到，，所经过的时间分别为，，，
则，，，
则成立．
故选：．

22.【答案】
【解析】
【分析】
本题重点考查一元二次函数的零点，函数的概念与最值，函数图象及其应用，方程与函数等函数的基础知识，考查学生的应用所学知识分析问题与解决问题的能力，属稍难题．
【解答】
解：对于，由，即，得或，所以的零点为和，所以不正确
对于，因为的解为和，在同一坐标系内作出与的图象，由图象可知，当时，有最小值，所以B正确
对于，因为的图象与有个交点，所以方程有个解，所以C正确
对于，令，因为，由的图象可知，当时，最多有个解，，当时，有个解而有个解，故最多有个解，所以D正确．
故选：．

23.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查指数函数以及对数函数性质的应用，属于中档题．
设，由，根据函数的单调性即可比较．
【解答】
解：设，则为增函数，因为，
所以，
所以，所以，
所以，
当时，，此时，有，
当时，，此时，有，所以、、D错误．
故选：

24.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查函数的奇偶性、单调性、值域，属于中档题．
利用函数性质逐一判断即可．
【解答】
解：对于，，则，则的图象关于原点对称，对
对于，计算，，故的图象不关于轴对称，错
对于，，令，，
在上单调递减，易知：，
故的值域为，对
对于，，由函数在上单调递增，及函数在上单调递减，知在定义域上单调递减，
故，，且，恒成立，对
故选：．

25.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查指数函数的性质及指数运算和二次函数的最值，属于基础题．
由指数的运算化已知函数为关于的二次函数，由二次函数的知识可得答案．
【解答】
解：
，
令，由可得，
可得原函数为，
由二次函数可知，当时，函数取最大值．
故答案为．

26.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查指数不等式解法，属于基础题．
原不等式等价于，利用指数函数的单调性转化为二次不等式求解．
【解答】
解：不等式，
可化为：，
等价于，
即，
解得．
故答案为．

27.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查分段函数的求值问题，属于基础题．
求出，得到，进而可求得结果．
【解答】
解：由题意可知，，解得．
故答案为：

28.【答案】

【解析】
【分析】
本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，转化思想的应用，属于中档题．
根据时，，结合函数的奇偶性可求得时的解析式
将不等式化为，再根据单调性求解即可．
【解答】
解：当时，，
，
又函数为偶函数，
，
则当时，
函数是定义在上的偶函数，
，
不等式等价为，
即，
函数是定义在上的偶函数，且在区间上单调递减，
不等式等价于．
即，
，
解得．
故空答案为： 空答案为： ．

29.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了指数运算性质的应用，考查了数学运算能力．
运用指数运算的性质进行运算即可．
【解答】
解：
．
故答案为：

30.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查不等式的求解，根据分段函数的表达式分别进行讨论求解是解决本题的关键，属于基础题．
根据分段函数的表达式，讨论，进行求解即可．
【解答】
解：当时，，函数单调递增，且时，，
所以原不等式等价于或，得，即原不等式的解集为．
故答案为：．

31.【答案】

【解析】
【分析】
本题主要考查了函数零点与方程根的关系，该题解决函数零点问题的方法是方程加图象法令函数为零，再重新构造两个函数，数形结合分析得解，属于中档题．
将函数有四个不同的零点，转化为方程有四个不同的解，即与的图象有四个不同的交点，结合图象可得的范围；由二次函数的对称性，可得的值，结合，满足的方程，可求出所求．
【解答】
解：因为函数有四个不同的零点，，，，
所以方程有四个不同的解，
作出函数的图象如下图．
由图可知，即，
由二次函数的对称性，可得，
又
，
即，得，
所以，
故．
故答案为：；．

32.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查的知识点是指数函数与对数函数的性质，考查分析理解能力，属于中档题．
利用对数函数的性质，易得，不是好点，利用指数函数的性质，易得不是好点，利用“好点”的定义，我们易构造指数方程和对数方程，得到，两个点是好点，从而得到答案．
【解答】
解：当时，对数函数恒过点，
故，，一定不是好点，
当时，指数函数恒过点，
故也一定不是好点，
而是函数与的交点；
是函数与的交点；
故好点有个，
故答案为．

33.【答案】解：由，得，
由，，知，代入上式得，
，即．
令，则．
若，要使在区间上有最小值，
则在上应有最大值，但其在上不存在最大值，故不符合题意．
若，要使在区间上有最小值，
则在上应有最小值，
当时，，，由，得．
综上可知，，．
【解析】本题考查指数与对数的互化，以及复合函数的单调性、最值，属于难题．
由指数与对数的互化，化简得解析式；
由的最值得的最值，求参数．
34.【答案】解：当时，，又是偶函数，
则，即当时，
选，由于在上单调递增，显然不符合题意，
则，解得，此时的值域是
选，若，则，显然不符合题意．
当时，因为与都是偶函数，所以只需考虑时，即可．
由复合函数的单调性可知，函数在上单调递减，
而在上单调递增，所以在上单调递减．
则，即，解得，
此时的值域是．

【解析】本题主要考查函数奇偶性的应用、对数型复合函数的单调性的应用，考查学生的数学运算和逻辑推理素养．
根据函数为偶函数，当时，由即可求出；
若选，根据复合函数的单调性可知，，由此解出的取值范围，再根据指数函数在上单调递减，即可求出的值域；
若选，先讨论与的关系，当时，易知，所以可得，而与都是偶函数，所以只需在上，根据单调性即可求出．
35.【答案】解： 由，且，
可得，
且为单调递增连续函数，
又函数在上有且仅有一个零点，
所以，即，解得，
所以实数的取值范围是
由，设，
令，，，
易证在为单调递减函数，在为单调递增函数，
当时，函数在上为增函数，所以最大值为，
解得，不符合题意，舍去；
当时，函数在上为减函数，所以最大值为，
解得，不符合题意，舍去；
当时，函数在上单调递减，在上为单调递增，
所以最大值为或，解得，符合题意，
综上可得，存在使得函数的最大值为．

【解析】本题考查零点存在性定理、对勾函数的单调性的应用、函数的最值，考查分类讨论思想．
依题意，为单调递增连续函数，又函数在上有且仅有一个零点，利用零点存在性定理得到，即可得到实数的取值范围；设，则，，，利用对勾函数的单调性知在上单调递减，在上单调递增，对进行分类讨论，求出最大值令其等于，求出符合条件的的值，再综合即可解答．
36.【答案】解函数是指数函数，且，
，
可得或舍去，
．
是偶函数，证明如下：，，
，
是偶函数．

【解析】本题考查指数函数和函数的奇偶性，属于基础题．
利用指数函数的定义即可求解；
先判断是偶函数，再利用奇偶性的定义即可求证．
37.【答案】解：Ⅰ由题意得，
所以，解得；
Ⅱ由Ⅰ得，
则，，
．
【解析】本题考查了对数运算与对数函数的性质应用问题，是基础题．
Ⅰ根据对数函数恒过定点，列出方程求得的值；
Ⅱ利用、表示即可．
38.【答案】解：原式
；
由，可得，
则，
所以．

【解析】本题考查了对数的运算性质，考查了有理指数幂的化简与求值，对于的解答，关键是运用了平方运算，是基础的计算题．
利用对数的运算和性质可解；
把给出的已知条件进行两次平方运算，然后分别代入要求解的式子即可得到答案．
39.【答案】解：
，
即的值域为
不等式，即对任意实数恒成立，
．
，
令，
，，
设，，
当时，取得最小值，
即，
，
即，
，即，
解得，
实数的取值范围为

【解析】本题考查了对数函数和指数函数及其性质、二次函数和不等式恒成立．
先化简得，即可得出函数的值域
由不等式对任意实数恒成立，得，利用换元法结合二次函数的性质可求得，所以，即可求得实数的取值范围．
40.【答案】解：由题意可知：，，
所以，且，解得，，
所以，
又，，
所以，解得，，舍去，
所以，
若按照模型：，到年时，，，
直线上升是增长率为，不符合要求，
若按照模型：，到年时，，，
对数增长的增长率为，符合要求，
综上，应该选择模型．
【解析】本题考查根据实际问题建立函数模型，涉及到增长率的计算，属于拔高题．
根据已知实际代入函数解析式解出，，，，即可求解；分别求出两种模型的增长率，比较即可选择．
41.【答案】解：Ⅰ当时，函数，
依题得，，
，，，
函数的次不动点为；
Ⅱ根据已知，得在上无解，
在上无解，
令，，在区间上无解，
在区间上无解，
设，在区间上单调递减，
故，
或，
又在上恒成立，
在上恒成立，即在上恒成立，
设，在区间上单调递减，
故，
，
综上实数的取值范围．
【解析】本题综合考查了函数恒成立问题、函数的基本性质等知识，理解所给的次不动点这个概念是解题的关键，属于难题．
Ⅰ首先，根据所给的值，代入后，结合次不动点的概念建立等式，然后，结合指数幂的运算性质，求解即可；
Ⅱ首先，得在上无解，然后，利用换元法进行确定其范围即可．
42.【答案】解：设，则，
则，
故；
由可知，时，
，
由，得，设，则，
故，，对称轴是，
函数在上有最小值，即为在上有最小值，
即时，在递增，
故，此时，不存在满足条件的实数；
即时，，解得：或，
此时，满足条件；
即时，函数在递减，
故，解得：，
此时，不存在满足条件的实数；
综合，存在满足条件的，使得的最小值为．
【解析】本题考查了函数的单调性，奇偶性问题，考查二次函数，指数函数的性质，考查分类讨论思想，转化思想，是难题．
根据时函数的解析式以及函数的奇偶性求出时的解析式即可；
设，则，故，，函数在上有最小值，即为在上有最小值，求出函数的对称轴，通过讨论的范围，求出函数的单调区间，求出的最小值，得到关于的方程，解出即可．
43.【答案】解：在上为单调函数
即：
解得：或舍去 的值为．
依题意，恒成立
在上为增函数

，即：的取值范围为．

【解析】本题考查了指数函数及其性质、对数函数及其性质和不等式的恒成立问题，是中档题．
易知在上为单调函数，则，解出可得；
由题意得恒成立，研究最值可得实数的取值范围．
44.【答案】解：等价于
解得或舍去，
故原方程的解为．
解：原式，
将的值代入上式得
原式

【解析】本题主要考査对数方程的解法，属于基础题注意对数有意义的条件．
本题主要考査代数式的化简求值，指对运算，属于基础题先根据指数幂的运算法则化简，再代入根据对数运算法则计算可得．
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