数学人教A版（2019）选择性必修第一册1.2空间向量基本定理（共24张ppt）
文档属性
| 名称 | 数学人教A版（2019）选择性必修第一册1.2空间向量基本定理（共24张ppt） |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 2.9MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-08-02 18:05:19 | ||
图片预览
文档简介
(共24张PPT)
1.2空间向量基本定理
复习导入
空间向量及其线性运算
空间向量
常见的空间向量
线性运算
共面向量
共线向量
定义、长度（模）、表示法
零向量、单位向量、相等向量、相反向量
加法、减法、数乘
，，，使.
如果两个向量不共线，那么向量与共面的充要条件是存在唯一的有序实数对，使.
复习导入
运算律
空间向量的数量积运算
夹角
数量积
常见题型
(交换律)；(分配律).
垂直
模长
夹角
复习导入
平面向量基本定理
如果 ， 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数 ，，使
＝ ＋ ．
若 ， 不共线，我们把{， }叫做表示这一平面内所有向量的一个基底．
为了表示空间中的向量，至少需要几个向量来表示？两个还够吗？
新知探究
思考：任意一个空间向量可以用任意三个向量来表示吗？
情况一：共面
情况二：不共面
？
新知探究
对于任意三个不共面的向量能否表示空间中任意向量，我们先从空间中三个不共面的向量两两垂直这一特殊情况开始讨论.
三个两两垂直的向量
i
j
k
P
Q
α
O
表示为
吗？
新知探究
i
j
k
yj
zk
xi
P
xi
i
j
k
P
yj
zk
三个两两垂直的向量
我们称，， 分别为向量在 上的分向量.
新知探究
思考：如果给定的三个不共面的向量不是两两垂直的，能用它们的线性运算表示任意一个空间向量吗 ？
α
O
P
B
C
A
Q
新知探究
x
O
Q
y
B
C
A
思考：如果给定的三个不共面的向量不是两两垂直的，能用它们的线性运算表示任意一个空间向量吗 ？
新知探究
平面向量基本定理
如果 ， 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数 ，，使
＝ ＋ ．
若 ， 不共线，我们把{， }叫做表示这一平面内所有向量的一个基底．
你能类比平面向量基本定理，写出空间向量基本定理吗？
新知探究
空间向量基本定理
如果三个向量不共面，那么对任意一个空间向量，存在唯一的有序实数组，使得
.
若三个向量不共面，我们把叫做空间向量的一个基底，都叫做基向量.空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底.
空间的基底有无数个
特别地，我们常研究基向量两两垂直的情况
新知探究
特别地，如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用表示.
由空间向量基本定理知，对空间中的任意向量，均可以分解为三个向量，， ，使
.
像这样，把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解.
空间向量基本定理
例题讲解
辨析1.判断正误.
只有两两垂直的三个向量才能作为空间向量的一组基底.（ ）
(2)若是空间三个向量，则对空间任意向量，总存在唯一的有序数组 ，使.（ ）
(3)若为空间一个基底，则也可以构成空间的一个基底.（ ）
(4)对于三个不共面向量，，，不存在实数组使
.（ ）
答案：×， × ，√，×.
例题讲解
练习1.若{，，}构成空间的一个基底，则下列向量能构成空间的一个
基底的是( )
A、 , , B、, ,
C、 , , D、 , ,
答案：.
析： A、 , , 均与、 共面；
B、 , 均不与共面；
C、 , , 均与共面；
D、 + ，所以共面
对于任意一组向量，如何判断是否共面呢？
例题讲解
练习2.若{，，}构成空间的一个基底，则能否构成空间的一个基底
解:，
方法：
①判断是否存在零向量；
②判断是否可以用另外的向量线性表示另一个向量．
方法总结
三个空间向量是否能构成一个基底
是否共面
如果向量中存在零向量，则不能作为基底
可以，则不能作为基底
假设，运用空间向量基本定理，建立，的方程组，
若有解，则共面，不能作为基底；
若无解，则不共面，能作为基底．
例题讲解
例1.如图，是四面体的棱的中点，点在线段上，点在线段上，且用向量，，表示.
解:
例题讲解
变式1.如图，在三棱柱中，已知，，，,分别是， 的中点，试用基底{}表示向量，.
解:
A
B
C
A1
B1
C1
M
N
例题讲解
例2.如图，在平行六面体中，
分别为，的中点.
求证.
证明:设这三个向量不共面，构成空间的一个基底，我们用它们表示，，
则
所以
例题讲解
例3.如图，正方体的棱长为1，分别为，的中点.
(1)求证：；
(2)求与所成角的余弦值.
(1)证明:设
则构成空间的一个单位正交基底.
所以
所以
所以.
例题讲解
例3.如图，正方体的棱长为1，分别为，的中点.
(1)求证：；
(2)求与所成角的余弦值.
(2)因为
所以
所以与所成角的余弦值.
例题讲解
变式2.如图，在棱长为的正方体 中，,分别是与的中点，点在上，且.
(1)求证：； (2)求与所成角的余弦值.
(1)证明:设
则构成空间的一个单位正交基底.
所以
.
所以.
例题讲解
变式2.如图，在棱长为的正方体 中，,分别是与的中点，点在上，且.
(1)求证：； (2)求与所成角的余弦值.
(2)由(1)得 .
所以， 与所成角的余弦值为
小结
空间向量基本定理
基底
空间向量基本定理
单位正交基底
正交分解
不共面，则对，唯一有序实数组，使得
空间任意三个不共面的向量
反设共面，，
若有解，则共面，不能作为基底；
若无解，则不共面，能作为基底．
两两垂直，且长度都为1的基地
1.2空间向量基本定理
复习导入
空间向量及其线性运算
空间向量
常见的空间向量
线性运算
共面向量
共线向量
定义、长度（模）、表示法
零向量、单位向量、相等向量、相反向量
加法、减法、数乘
，，，使.
如果两个向量不共线，那么向量与共面的充要条件是存在唯一的有序实数对，使.
复习导入
运算律
空间向量的数量积运算
夹角
数量积
常见题型
(交换律)；(分配律).
垂直
模长
夹角
复习导入
平面向量基本定理
如果 ， 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数 ，，使
＝ ＋ ．
若 ， 不共线，我们把{， }叫做表示这一平面内所有向量的一个基底．
为了表示空间中的向量，至少需要几个向量来表示？两个还够吗？
新知探究
思考：任意一个空间向量可以用任意三个向量来表示吗？
情况一：共面
情况二：不共面
？
新知探究
对于任意三个不共面的向量能否表示空间中任意向量，我们先从空间中三个不共面的向量两两垂直这一特殊情况开始讨论.
三个两两垂直的向量
i
j
k
P
Q
α
O
表示为
吗？
新知探究
i
j
k
yj
zk
xi
P
xi
i
j
k
P
yj
zk
三个两两垂直的向量
我们称，， 分别为向量在 上的分向量.
新知探究
思考：如果给定的三个不共面的向量不是两两垂直的，能用它们的线性运算表示任意一个空间向量吗 ？
α
O
P
B
C
A
Q
新知探究
x
O
Q
y
B
C
A
思考：如果给定的三个不共面的向量不是两两垂直的，能用它们的线性运算表示任意一个空间向量吗 ？
新知探究
平面向量基本定理
如果 ， 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数 ，，使
＝ ＋ ．
若 ， 不共线，我们把{， }叫做表示这一平面内所有向量的一个基底．
你能类比平面向量基本定理，写出空间向量基本定理吗？
新知探究
空间向量基本定理
如果三个向量不共面，那么对任意一个空间向量，存在唯一的有序实数组，使得
.
若三个向量不共面，我们把叫做空间向量的一个基底，都叫做基向量.空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底.
空间的基底有无数个
特别地，我们常研究基向量两两垂直的情况
新知探究
特别地，如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用表示.
由空间向量基本定理知，对空间中的任意向量，均可以分解为三个向量，， ，使
.
像这样，把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解.
空间向量基本定理
例题讲解
辨析1.判断正误.
只有两两垂直的三个向量才能作为空间向量的一组基底.（ ）
(2)若是空间三个向量，则对空间任意向量，总存在唯一的有序数组 ，使.（ ）
(3)若为空间一个基底，则也可以构成空间的一个基底.（ ）
(4)对于三个不共面向量，，，不存在实数组使
.（ ）
答案：×， × ，√，×.
例题讲解
练习1.若{，，}构成空间的一个基底，则下列向量能构成空间的一个
基底的是( )
A、 , , B、, ,
C、 , , D、 , ,
答案：.
析： A、 , , 均与、 共面；
B、 , 均不与共面；
C、 , , 均与共面；
D、 + ，所以共面
对于任意一组向量，如何判断是否共面呢？
例题讲解
练习2.若{，，}构成空间的一个基底，则能否构成空间的一个基底
解:，
方法：
①判断是否存在零向量；
②判断是否可以用另外的向量线性表示另一个向量．
方法总结
三个空间向量是否能构成一个基底
是否共面
如果向量中存在零向量，则不能作为基底
可以，则不能作为基底
假设，运用空间向量基本定理，建立，的方程组，
若有解，则共面，不能作为基底；
若无解，则不共面，能作为基底．
例题讲解
例1.如图，是四面体的棱的中点，点在线段上，点在线段上，且用向量，，表示.
解:
例题讲解
变式1.如图，在三棱柱中，已知，，，,分别是， 的中点，试用基底{}表示向量，.
解:
A
B
C
A1
B1
C1
M
N
例题讲解
例2.如图，在平行六面体中，
分别为，的中点.
求证.
证明:设这三个向量不共面，构成空间的一个基底，我们用它们表示，，
则
所以
例题讲解
例3.如图，正方体的棱长为1，分别为，的中点.
(1)求证：；
(2)求与所成角的余弦值.
(1)证明:设
则构成空间的一个单位正交基底.
所以
所以
所以.
例题讲解
例3.如图，正方体的棱长为1，分别为，的中点.
(1)求证：；
(2)求与所成角的余弦值.
(2)因为
所以
所以与所成角的余弦值.
例题讲解
变式2.如图，在棱长为的正方体 中，,分别是与的中点，点在上，且.
(1)求证：； (2)求与所成角的余弦值.
(1)证明:设
则构成空间的一个单位正交基底.
所以
.
所以.
例题讲解
变式2.如图，在棱长为的正方体 中，,分别是与的中点，点在上，且.
(1)求证：； (2)求与所成角的余弦值.
(2)由(1)得 .
所以， 与所成角的余弦值为
小结
空间向量基本定理
基底
空间向量基本定理
单位正交基底
正交分解
不共面，则对，唯一有序实数组，使得
空间任意三个不共面的向量
反设共面，，
若有解，则共面，不能作为基底；
若无解，则不共面，能作为基底．
两两垂直，且长度都为1的基地