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四川省达州市2022-2023学年高二下学期数学期末监测试卷
一、单选题
1．（2023高二下·达州期末）已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023高二下·达州期末）复数，则的虚部是（ ）
A．bi B． C．0 D．
3．（2023高二下·达州期末）某地区高三学生参加体检，现随机抽取了部分学生的身高，得到下列频数分布表：
身高范围（单位：cm）
学生人数 5 40 40 10 5
根据表格，估计该地区高三学生的平均身高是（ ）
A．165 B．167 C．170 D．173
4．（2023高二下·达州期末）已知，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2023高二下·达州期末）是定义域为R的奇函数，，，则（ ）
A．3 B． C．6 D．0
6．（2023高二下·达州期末）已知双曲线的离心率为2，则它的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
7．（2023高二下·达州期末）设，，，则（ ）
A． B． C． D．
8．（2023高二下·达州期末）已知1，，，成等差数列（，，都是正数），若其中的3项按一定的顺序成等比数列，则这样的等比数列个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
9．（2023高二下·达州期末）已知棱长为的正方体中，点P满足，其中，．当平面时，的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．2
10．（2023高二下·达州期末）如图，函数的图象交坐标轴于点B，C，D，直线BC与曲线的另一交点为A．若，的重心为，则（ ）
A．函数在上单调递减
B．直线是函数图象的一条对称轴
C．
D．将的图象向左平移个单位长度，得到的图象
11．（2023高二下·达州期末）椭圆任意两条相互垂直的切线的交点轨迹为圆：，这个圆称为椭圆的蒙日圆．在圆上总存在点P，使得过点P能作椭圆的两条相互垂直的切线，则r的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
12．（2023高二下·达州期末）设是正项数列的前n项和，，则（ ）
A．如果，那么 B．
C．如果，那么 D．
二、填空题
13．（2023高二下·达州期末）平面向量，满足，，则 ．
14．（2023高二下·达州期末）如果x，y满足，则的最小值为 ．
15．（2023高二下·达州期末）某玩具厂计划设计一款玩具，准备将一个棱长为4 cm的正四面体（所有棱长都相等的三棱锥）密封在一个圆柱形容器内，并且这个正四面体在该圆柱形容器内可以任意转动，则该圆柱形容器内壁高的最小值为 cm．
16．（2023高二下·达州期末）已知是曲线上的点，是曲线上的点，恒成立，则实数a的取值范围是 ．
三、解答题
17．（2023高二下·达州期末）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，．
（1）求和的值；
（2）若的面积为，求的值．
18．（2023高二下·达州期末）某地区新高考要求语文、数学和英语是考生的必考科目，考生还要从物理、化学、生物、历史、地理和政治六个科目中选取三个科目作为选考科目．现从该地区已选科的学生中随机选出200人，对其选科情况进行统计，选考物理的占，选考政治的占，物理和政治都选的有80人.
（1）完成选考物理和政治的人数的列联表，并判断是否可以在犯错误概率不超过的前提下，认为考生选考物理与选考政治有关？
选考政治的人数 没选考政治的人数 合计
选考物理的人数
没选考物理的人数
合计
（2）若甲、乙、丙三人选考的是物理、化学和生物，A，B两人选考的是历史、地理和政治，从这5人中随机选出2人，求这两人中选考物理和政治的各一人的概率.
附参考数据和公式：
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
，其中.
19．（2023高二下·达州期末）已知四棱锥，底面ABCD是边长为2的菱形，且，，，E为PB中点．
（1）证明：；
（2）若，求三棱锥的体积．
20．（2023高二下·达州期末）已知是抛物线上的点．当时，．
（1）求E的标准方程；
（2）F是E的焦点，直线AF与E的另一交点为B，，求的值．
21．（2023高二下·达州期末）已知函数．
（1）若，函数的极大值为，求a的值；
（2）若在上恒成立，求a的取值范围．
22．（2023高二下·达州期末）在平面直角坐标系xOy中，曲线C的方程为，直线l过点且倾斜角为．以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．
（1）写出直线l的参数方程（用P点坐标与表示）和曲线C的极坐标方程；
（2）设直线l与曲线C交于A，B两点，求的最小值．
23．（2023高二下·达州期末）已知函数，函数的最小值为k．
（1）求k的值；
（2）已知a，b，c均为正数，且，求的最小值．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】交集及其运算；一元二次不等式的解法
【解析】【解答】∵B={x|（x+1)(x+2)≤ 0}={x|-2≤x≤-1}， A={0，1，2}.
∴ A∩B= .
故选：A.
【分析】先通过一元二次不等式求出集合B，再求出集合A和集合B的交集.
2．【答案】C
【知识点】复数的基本概念
【解析】【解答】∵z=2+bi
∴=2-bi
∴=(2+bi)(2-bi)=4+b2
∴只有实部4+b2，所以虚部为0.
故选：C.
【分析】先通过复数z求出对应的共轭复数，再对进行乘法计算.
3．【答案】B
【知识点】频率分布表；众数、中位数、平均数
【解析】【解答】根据频率分布表，可知总数为100
可知每组频率分别为：0.05、0.4、0.4、0.1、0.05
再取每组区间的中间数，分别为：150、160、170、180、190
故选：B.
【分析】频率分布表中，平均数等于各分组区间的中间数乘以每组频率的积，再求和.
4．【答案】A
【知识点】二倍角的正弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】根据诱导公式可知，
，
再利用二倍角公式可知，
.
故选A.
【分析】先使用诱导公式，再使用二倍角公式即可求解.
5．【答案】B
【知识点】奇函数；奇函数与偶函数的性质
【解析】【解答】由周期T的性质可知，
，说明是周期函数，且周期T=4.
又因为是奇函数，
所以，
所以.
故选：B.
【分析】先利用函数的周期性，再利用函数的奇偶性
6．【答案】A
【知识点】双曲线的标准方程
【解析】【解答】由双曲线可知，
离心率公式可知，
，
.
故选：A.
【分析】先利用双曲线中离心率公式求出a，c关系，再结合，求出值，最合根据渐近线公式代入化解.
7．【答案】D
【知识点】对数函数的单调性与特殊点；指数函数与对数函数的关系；正弦函数的单调性
【解析】【解答】是对数函数，单调递减，
是指数函数，单调递增，
是三角函数，在中单调递增，
故选：D.
【分析】先分别根据对数函数、指数函数、正弦函数的单调性将与比较，与比较，与比较.
8．【答案】C
【知识点】等差数列的性质；等比数列的性质；等差数列与等比数列的综合
【解析】【解答】根据等差数列的通项公式可知，
，
因为，
所以，
从4个数中任取3个数排等比数列，共12组，
下面分类讨论：
1、构成等比数列，；
2、构成等比数列，；
3、构成等比数列，；
4、构成等比数列，；
5、构成等比数列，；
6、构成等比数列，；
7、构成等比数列，；
8、构成等比数列，；
9、构成等比数列，；
10、构成等比数列，；
11、构成等比数列，；
12、构成等比数列，；
综上所述，d=0或1或，
当时，等比数列为1，1，1，
当时，等比数列为1，2，4或4，2，1，
当时，等比数列为或，
所以共5个数列.
故选：C.
【分析】先利用等差数列，再结合排列组合，利用等比数列进行计算.
9．【答案】C
【知识点】点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】如图，建立空间直角坐标系，
由棱长，得到下面点坐标：
是平面的一个法向量，
平面，
与垂直，
.
，
，
.
，
，
，
利用二次函数图象，当时取最小值.
故答案为：C.
【分析】先建立空间直接坐标系，求出各点坐标，求出平面的一个法向量，通过平行于平面的向量与法向量垂直可知数量积为0，求出与关系，最后根据向量模长公式，结合二次函数，在顶底处求出最小值.
10．【答案】C
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】由题意可知G在X轴上，说明CD是的一条中线，
，
，
代入，
A选项：
在上单调递减，在上单调递增，
所以与A选项矛盾，A选项不正确.
B选项：
，
不是对称轴.
C选项：
，
，
，
所以C选项符合题意，
D选项：
所以D选项不符合题意.
故选：C.
【分析】先利用重心G，求点D坐标，从而求出三角函数的周期，再利用与关系求出，并将点C坐标代入，求出，从而得出三角函数的解析式以及对称轴的表达式，结合向量求出余弦值.
11．【答案】D
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质
【解析】【解答】由题意可知椭圆的两条相互垂直的切线的交点P轨迹为：，
圆心为（0，0），半径=2，
在圆上总存在点P，
圆心为（4，3），半径=r，
点P同时存在两个圆上，说明两圆一定有交点，
，
，
.
故选：D.
【分析】先利用椭圆可知a，b的值，代入求出P的轨迹：圆的方程，从而得到圆心坐标以及半径，再根据两圆存在公共点，得到圆心距与半径之间的关系，最后求出r的范围.
12．【答案】D
【知识点】数列的应用；数列的求和
【解析】【解答】A、
B、取特殊值验证
不成立
C、
D、D、因为数列都是正数
所以
故选：D.
【分析】利用数列的性质，求出数列大致范围，再结合取特殊值法进行排除.
13．【答案】1
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【解答】，
，
故填：1.
【分析】利用向量的坐标求数量积.
14．【答案】-4
【知识点】简单线性规划
【解析】【解答】如图，根据所给函数画出平面图像，
设z=2y-x，
，
在平面坐标系上画出虚线图像，
根据图像的上下平移可知，
经过点A(1，-2)，z有最小值=，
故填：-4.
【分析】首先设题目为z，求出直线的一般方程，在图进行上下平移，找出在A点处有最小值，利用线性规划求最值.
15．【答案】
【知识点】棱锥的结构特征
【解析】【解答】由题意可知，正四面体在该圆柱形容器内可以任意转动，要使内壁最小，正四面体刚好内接于该圆柱的内切球，
如图，作正四面体，作平面，
，
.
设半径为r，
，
故填：.
【分析】结合题意画图，作出平面ABC的高，再通过勾股定理，求出PH的值，二次使用勾股定理，求出球的半径，进一步得出内壁高.
16．【答案】
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】由题意可知，指数函数与对数函数刚好是一对反函数，
与图像关于对称，
要使得恒成立，那么需要找最小值.
利用平行线间距离最短性质，可知到距离最近的点在
求导得出上斜率为1的切线上，
上到距离最近的点为，
又由于图像的对称性，
所以总距离
故填：.
【分析】先利用反函数关于对称的性质，通过求导得到直线的切线斜率，从而得出切点坐标，再利用点到直线距离公式，得到上点到的最小值，最后再乘以2，求出AB最小值.
17．【答案】（1）在中，，，则，
而，则，，
因此.
（2）在中，由（1）知，而，则，
于是的面积，解得，
由正弦定理得，即，因此，
所以.
【知识点】二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；解三角形
【解析】【分析】（1）在三角形中，先利用三角函数二倍角公式，求出值，再根据求出值，进一步通过B=2A关系，求出sinB，最后通过诱导公式化简求出cosC.
（2）先通过cosC求出sinC，再利用正弦公式与三角形面积，求出ab值，最后再根据正弦定理分别求出a，b值.
18．【答案】（1）根据题意，选考物理的考生有人，
选考政治的考生有人，列联表补充完整如下：
选考政治的人数 没选考政治的人数 合计
选考物理的人数 80 40 120
没选考物理的人数 70 10 80
合计 150 50 200
因为，
所以在犯错误概率不超过的前提下，可以认为考生选考物理与选考政治有关.
（2）从5人中抽取2人包含的基本事件有甲乙、甲丙、乙丙、甲A、甲B、乙A、乙B、丙A、丙B、AB，
共10个，其中选考物理和政治的各一人的基本事件有、甲A、甲B、乙A、乙B、丙A、丙B，共6个，
所以所求概率.
【知识点】概率的应用
【解析】【分析】（1）考查样本、总数、概率之间关系，结合独立性检验公式，其中.
（2）利用枚举法，列出所有情况即可求解.
19．【答案】（1）连接，
因为底面ABCD是边长为2的菱形，
所以，且是的中点，
因为，所以，
又因为平面，
所以平面，因为平面，
所以
（2）因为，所以，
又因为，所以，即，
因为平面ABCD，所以平面ABCD，
因为底面ABCD是边长为2的菱形，且，，
所以，
因为E为PB中点，所以，
所以
【知识点】棱锥的结构特征；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定
【解析】【分析】（1）先根据菱形的性质，可知对角线互相垂直，再结合等腰三角形三线合一，可知，可得线面垂直，再利用线面垂直的性质得到线线垂直；
（2）首先通过三角形全等，得到，结合等量代换，得到，再根据所给条件，得出平面ABCD，利用线面垂直，找到底面所对应的高，最后使用锥形体积公式求解.
20．【答案】（1）依题意，抛物线过点，则，解得，
所以E的标准方程为.
（2）由（1）知，抛物线E的焦点，准线方程为，
显然直线不垂直于轴且斜率不为0，
设直线的方程为：，点，
由消去并整理得：，则，，
而，解得，于是，，
所以.
【知识点】抛物线的标准方程；抛物线的简单性质
【解析】【分析】（1）根据点在抛物线上，代入求p即可求解；
（2）恒过定点F(1，0)设立直线方程，联立方程组，结合韦达定理得到A、B横坐标的关系，再利用抛物线上点到焦点距离等于到准线距离求出BF.
21．【答案】（1）由，得
，
①当时，，
当时，，当时，，
所以当时，取得极大值，不合题意，
②当时，令，则
当时，，当时，，
所以当时，取得极大值，
解得，
③当时，令，则或，
当时，，则在上递增，所以无极值，所以不合题意，
当时，，
当或时，，当时，，
所以在和上递增，在上递减，
所以当时，取得极大值，
解得（舍去），
综上，
（2）由在上恒成立，得在上恒成立，
当时，上式恒成立，
当时，令，
则，
①当时，当时，，当时，，
所以在上递减，在上递增，
所以当时取得极小值，也是最小值，
所以，解得，
②当时，当时，，当时，，
所以在上递减，在上递增，
所以，
所以，解得，
综上，，
即a的取值范围为
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）首先对表达式求一阶导，根据题意存在极大值，所以图像存在极点，同时对常数a进行分类讨论：
当时，极大值为，与题意不符；
当时，x=-1，极大值为，与题意相符合；
当时，下面再分两种情况讨论：当时，g(x）无极值；当时，g(x）有极值
（2）在上恒成立，找出的最小值，
对a进行分类讨论：
当时，恒成立；
当时，对函数解析式进行求导，再次分类分别对与进行讨论：
当时，有极小值，最小值在x=-1处，求得a范围.
当时，有极大值，需要比较在x=-2和x=-2处函数值大小，求得a范围.
22．【答案】（1）因为直线l过点且倾斜角为，则直线l的参数方程为（为参数），
把代入方程得：，
所以曲线C的极坐标方程是.
（2）由（1）知，把直线l的参数方程代入方程得：
，设点所对参数分别为，则，
因此
，当且仅当时取等号，
所以的最小值为.
【知识点】圆的参数方程
【解析】【分析】（1）根据恒过定点P(3，1) 设立参数方程，根据直角坐标转换为极坐标，再将极坐标代入后得到极坐标方程；
（2）直线l与曲线C交于A，B两点，将第一问中得到的直线的参数方程代入圆的方程，结合韦达定理进行化简，最后根据函数的定义域，求出表达式最小值.
23．【答案】（1）依题意，，当且仅当，即时取等号，
所以k的值为3.
（2）由（1）知，，而均为正数，
所以，当且仅当时取等号，
由解得，
所以当时，取得最小值.
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【分析】（1）根据绝对值三角不等式公式求最小值
（2）根据柯西不等式求最小值
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四川省达州市2022-2023学年高二下学期数学期末监测试卷
一、单选题
1．（2023高二下·达州期末）已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】交集及其运算；一元二次不等式的解法
【解析】【解答】∵B={x|（x+1)(x+2)≤ 0}={x|-2≤x≤-1}， A={0，1，2}.
∴ A∩B= .
故选：A.
【分析】先通过一元二次不等式求出集合B，再求出集合A和集合B的交集.
2．（2023高二下·达州期末）复数，则的虚部是（ ）
A．bi B． C．0 D．
【答案】C
【知识点】复数的基本概念
【解析】【解答】∵z=2+bi
∴=2-bi
∴=(2+bi)(2-bi)=4+b2
∴只有实部4+b2，所以虚部为0.
故选：C.
【分析】先通过复数z求出对应的共轭复数，再对进行乘法计算.
3．（2023高二下·达州期末）某地区高三学生参加体检，现随机抽取了部分学生的身高，得到下列频数分布表：
身高范围（单位：cm）
学生人数 5 40 40 10 5
根据表格，估计该地区高三学生的平均身高是（ ）
A．165 B．167 C．170 D．173
【答案】B
【知识点】频率分布表；众数、中位数、平均数
【解析】【解答】根据频率分布表，可知总数为100
可知每组频率分别为：0.05、0.4、0.4、0.1、0.05
再取每组区间的中间数，分别为：150、160、170、180、190
故选：B.
【分析】频率分布表中，平均数等于各分组区间的中间数乘以每组频率的积，再求和.
4．（2023高二下·达州期末）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二倍角的正弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】根据诱导公式可知，
，
再利用二倍角公式可知，
.
故选A.
【分析】先使用诱导公式，再使用二倍角公式即可求解.
5．（2023高二下·达州期末）是定义域为R的奇函数，，，则（ ）
A．3 B． C．6 D．0
【答案】B
【知识点】奇函数；奇函数与偶函数的性质
【解析】【解答】由周期T的性质可知，
，说明是周期函数，且周期T=4.
又因为是奇函数，
所以，
所以.
故选：B.
【分析】先利用函数的周期性，再利用函数的奇偶性
6．（2023高二下·达州期末）已知双曲线的离心率为2，则它的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】双曲线的标准方程
【解析】【解答】由双曲线可知，
离心率公式可知，
，
.
故选：A.
【分析】先利用双曲线中离心率公式求出a，c关系，再结合，求出值，最合根据渐近线公式代入化解.
7．（2023高二下·达州期末）设，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】对数函数的单调性与特殊点；指数函数与对数函数的关系；正弦函数的单调性
【解析】【解答】是对数函数，单调递减，
是指数函数，单调递增，
是三角函数，在中单调递增，
故选：D.
【分析】先分别根据对数函数、指数函数、正弦函数的单调性将与比较，与比较，与比较.
8．（2023高二下·达州期末）已知1，，，成等差数列（，，都是正数），若其中的3项按一定的顺序成等比数列，则这样的等比数列个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【知识点】等差数列的性质；等比数列的性质；等差数列与等比数列的综合
【解析】【解答】根据等差数列的通项公式可知，
，
因为，
所以，
从4个数中任取3个数排等比数列，共12组，
下面分类讨论：
1、构成等比数列，；
2、构成等比数列，；
3、构成等比数列，；
4、构成等比数列，；
5、构成等比数列，；
6、构成等比数列，；
7、构成等比数列，；
8、构成等比数列，；
9、构成等比数列，；
10、构成等比数列，；
11、构成等比数列，；
12、构成等比数列，；
综上所述，d=0或1或，
当时，等比数列为1，1，1，
当时，等比数列为1，2，4或4，2，1，
当时，等比数列为或，
所以共5个数列.
故选：C.
【分析】先利用等差数列，再结合排列组合，利用等比数列进行计算.
9．（2023高二下·达州期末）已知棱长为的正方体中，点P满足，其中，．当平面时，的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】C
【知识点】点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】如图，建立空间直角坐标系，
由棱长，得到下面点坐标：
是平面的一个法向量，
平面，
与垂直，
.
，
，
.
，
，
，
利用二次函数图象，当时取最小值.
故答案为：C.
【分析】先建立空间直接坐标系，求出各点坐标，求出平面的一个法向量，通过平行于平面的向量与法向量垂直可知数量积为0，求出与关系，最后根据向量模长公式，结合二次函数，在顶底处求出最小值.
10．（2023高二下·达州期末）如图，函数的图象交坐标轴于点B，C，D，直线BC与曲线的另一交点为A．若，的重心为，则（ ）
A．函数在上单调递减
B．直线是函数图象的一条对称轴
C．
D．将的图象向左平移个单位长度，得到的图象
【答案】C
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】由题意可知G在X轴上，说明CD是的一条中线，
，
，
代入，
A选项：
在上单调递减，在上单调递增，
所以与A选项矛盾，A选项不正确.
B选项：
，
不是对称轴.
C选项：
，
，
，
所以C选项符合题意，
D选项：
所以D选项不符合题意.
故选：C.
【分析】先利用重心G，求点D坐标，从而求出三角函数的周期，再利用与关系求出，并将点C坐标代入，求出，从而得出三角函数的解析式以及对称轴的表达式，结合向量求出余弦值.
11．（2023高二下·达州期末）椭圆任意两条相互垂直的切线的交点轨迹为圆：，这个圆称为椭圆的蒙日圆．在圆上总存在点P，使得过点P能作椭圆的两条相互垂直的切线，则r的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质
【解析】【解答】由题意可知椭圆的两条相互垂直的切线的交点P轨迹为：，
圆心为（0，0），半径=2，
在圆上总存在点P，
圆心为（4，3），半径=r，
点P同时存在两个圆上，说明两圆一定有交点，
，
，
.
故选：D.
【分析】先利用椭圆可知a，b的值，代入求出P的轨迹：圆的方程，从而得到圆心坐标以及半径，再根据两圆存在公共点，得到圆心距与半径之间的关系，最后求出r的范围.
12．（2023高二下·达州期末）设是正项数列的前n项和，，则（ ）
A．如果，那么 B．
C．如果，那么 D．
【答案】D
【知识点】数列的应用；数列的求和
【解析】【解答】A、
B、取特殊值验证
不成立
C、
D、D、因为数列都是正数
所以
故选：D.
【分析】利用数列的性质，求出数列大致范围，再结合取特殊值法进行排除.
二、填空题
13．（2023高二下·达州期末）平面向量，满足，，则 ．
【答案】1
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【解答】，
，
故填：1.
【分析】利用向量的坐标求数量积.
14．（2023高二下·达州期末）如果x，y满足，则的最小值为 ．
【答案】-4
【知识点】简单线性规划
【解析】【解答】如图，根据所给函数画出平面图像，
设z=2y-x，
，
在平面坐标系上画出虚线图像，
根据图像的上下平移可知，
经过点A(1，-2)，z有最小值=，
故填：-4.
【分析】首先设题目为z，求出直线的一般方程，在图进行上下平移，找出在A点处有最小值，利用线性规划求最值.
15．（2023高二下·达州期末）某玩具厂计划设计一款玩具，准备将一个棱长为4 cm的正四面体（所有棱长都相等的三棱锥）密封在一个圆柱形容器内，并且这个正四面体在该圆柱形容器内可以任意转动，则该圆柱形容器内壁高的最小值为 cm．
【答案】
【知识点】棱锥的结构特征
【解析】【解答】由题意可知，正四面体在该圆柱形容器内可以任意转动，要使内壁最小，正四面体刚好内接于该圆柱的内切球，
如图，作正四面体，作平面，
，
.
设半径为r，
，
故填：.
【分析】结合题意画图，作出平面ABC的高，再通过勾股定理，求出PH的值，二次使用勾股定理，求出球的半径，进一步得出内壁高.
16．（2023高二下·达州期末）已知是曲线上的点，是曲线上的点，恒成立，则实数a的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】由题意可知，指数函数与对数函数刚好是一对反函数，
与图像关于对称，
要使得恒成立，那么需要找最小值.
利用平行线间距离最短性质，可知到距离最近的点在
求导得出上斜率为1的切线上，
上到距离最近的点为，
又由于图像的对称性，
所以总距离
故填：.
【分析】先利用反函数关于对称的性质，通过求导得到直线的切线斜率，从而得出切点坐标，再利用点到直线距离公式，得到上点到的最小值，最后再乘以2，求出AB最小值.
三、解答题
17．（2023高二下·达州期末）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，．
（1）求和的值；
（2）若的面积为，求的值．
【答案】（1）在中，，，则，
而，则，，
因此.
（2）在中，由（1）知，而，则，
于是的面积，解得，
由正弦定理得，即，因此，
所以.
【知识点】二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；解三角形
【解析】【分析】（1）在三角形中，先利用三角函数二倍角公式，求出值，再根据求出值，进一步通过B=2A关系，求出sinB，最后通过诱导公式化简求出cosC.
（2）先通过cosC求出sinC，再利用正弦公式与三角形面积，求出ab值，最后再根据正弦定理分别求出a，b值.
18．（2023高二下·达州期末）某地区新高考要求语文、数学和英语是考生的必考科目，考生还要从物理、化学、生物、历史、地理和政治六个科目中选取三个科目作为选考科目．现从该地区已选科的学生中随机选出200人，对其选科情况进行统计，选考物理的占，选考政治的占，物理和政治都选的有80人.
（1）完成选考物理和政治的人数的列联表，并判断是否可以在犯错误概率不超过的前提下，认为考生选考物理与选考政治有关？
选考政治的人数 没选考政治的人数 合计
选考物理的人数
没选考物理的人数
合计
（2）若甲、乙、丙三人选考的是物理、化学和生物，A，B两人选考的是历史、地理和政治，从这5人中随机选出2人，求这两人中选考物理和政治的各一人的概率.
附参考数据和公式：
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
，其中.
【答案】（1）根据题意，选考物理的考生有人，
选考政治的考生有人，列联表补充完整如下：
选考政治的人数 没选考政治的人数 合计
选考物理的人数 80 40 120
没选考物理的人数 70 10 80
合计 150 50 200
因为，
所以在犯错误概率不超过的前提下，可以认为考生选考物理与选考政治有关.
（2）从5人中抽取2人包含的基本事件有甲乙、甲丙、乙丙、甲A、甲B、乙A、乙B、丙A、丙B、AB，
共10个，其中选考物理和政治的各一人的基本事件有、甲A、甲B、乙A、乙B、丙A、丙B，共6个，
所以所求概率.
【知识点】概率的应用
【解析】【分析】（1）考查样本、总数、概率之间关系，结合独立性检验公式，其中.
（2）利用枚举法，列出所有情况即可求解.
19．（2023高二下·达州期末）已知四棱锥，底面ABCD是边长为2的菱形，且，，，E为PB中点．
（1）证明：；
（2）若，求三棱锥的体积．
【答案】（1）连接，
因为底面ABCD是边长为2的菱形，
所以，且是的中点，
因为，所以，
又因为平面，
所以平面，因为平面，
所以
（2）因为，所以，
又因为，所以，即，
因为平面ABCD，所以平面ABCD，
因为底面ABCD是边长为2的菱形，且，，
所以，
因为E为PB中点，所以，
所以
【知识点】棱锥的结构特征；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定
【解析】【分析】（1）先根据菱形的性质，可知对角线互相垂直，再结合等腰三角形三线合一，可知，可得线面垂直，再利用线面垂直的性质得到线线垂直；
（2）首先通过三角形全等，得到，结合等量代换，得到，再根据所给条件，得出平面ABCD，利用线面垂直，找到底面所对应的高，最后使用锥形体积公式求解.
20．（2023高二下·达州期末）已知是抛物线上的点．当时，．
（1）求E的标准方程；
（2）F是E的焦点，直线AF与E的另一交点为B，，求的值．
【答案】（1）依题意，抛物线过点，则，解得，
所以E的标准方程为.
（2）由（1）知，抛物线E的焦点，准线方程为，
显然直线不垂直于轴且斜率不为0，
设直线的方程为：，点，
由消去并整理得：，则，，
而，解得，于是，，
所以.
【知识点】抛物线的标准方程；抛物线的简单性质
【解析】【分析】（1）根据点在抛物线上，代入求p即可求解；
（2）恒过定点F(1，0)设立直线方程，联立方程组，结合韦达定理得到A、B横坐标的关系，再利用抛物线上点到焦点距离等于到准线距离求出BF.
21．（2023高二下·达州期末）已知函数．
（1）若，函数的极大值为，求a的值；
（2）若在上恒成立，求a的取值范围．
【答案】（1）由，得
，
①当时，，
当时，，当时，，
所以当时，取得极大值，不合题意，
②当时，令，则
当时，，当时，，
所以当时，取得极大值，
解得，
③当时，令，则或，
当时，，则在上递增，所以无极值，所以不合题意，
当时，，
当或时，，当时，，
所以在和上递增，在上递减，
所以当时，取得极大值，
解得（舍去），
综上，
（2）由在上恒成立，得在上恒成立，
当时，上式恒成立，
当时，令，
则，
①当时，当时，，当时，，
所以在上递减，在上递增，
所以当时取得极小值，也是最小值，
所以，解得，
②当时，当时，，当时，，
所以在上递减，在上递增，
所以，
所以，解得，
综上，，
即a的取值范围为
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）首先对表达式求一阶导，根据题意存在极大值，所以图像存在极点，同时对常数a进行分类讨论：
当时，极大值为，与题意不符；
当时，x=-1，极大值为，与题意相符合；
当时，下面再分两种情况讨论：当时，g(x）无极值；当时，g(x）有极值
（2）在上恒成立，找出的最小值，
对a进行分类讨论：
当时，恒成立；
当时，对函数解析式进行求导，再次分类分别对与进行讨论：
当时，有极小值，最小值在x=-1处，求得a范围.
当时，有极大值，需要比较在x=-2和x=-2处函数值大小，求得a范围.
22．（2023高二下·达州期末）在平面直角坐标系xOy中，曲线C的方程为，直线l过点且倾斜角为．以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．
（1）写出直线l的参数方程（用P点坐标与表示）和曲线C的极坐标方程；
（2）设直线l与曲线C交于A，B两点，求的最小值．
【答案】（1）因为直线l过点且倾斜角为，则直线l的参数方程为（为参数），
把代入方程得：，
所以曲线C的极坐标方程是.
（2）由（1）知，把直线l的参数方程代入方程得：
，设点所对参数分别为，则，
因此
，当且仅当时取等号，
所以的最小值为.
【知识点】圆的参数方程
【解析】【分析】（1）根据恒过定点P(3，1) 设立参数方程，根据直角坐标转换为极坐标，再将极坐标代入后得到极坐标方程；
（2）直线l与曲线C交于A，B两点，将第一问中得到的直线的参数方程代入圆的方程，结合韦达定理进行化简，最后根据函数的定义域，求出表达式最小值.
23．（2023高二下·达州期末）已知函数，函数的最小值为k．
（1）求k的值；
（2）已知a，b，c均为正数，且，求的最小值．
【答案】（1）依题意，，当且仅当，即时取等号，
所以k的值为3.
（2）由（1）知，，而均为正数，
所以，当且仅当时取等号，
由解得，
所以当时，取得最小值.
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【分析】（1）根据绝对值三角不等式公式求最小值
（2）根据柯西不等式求最小值
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