1.3.1 不等式的性质--2023-2024学年高一数学北师版必修第一册课件（23张PPT）

第1章 预备知识
1.3.1 不等式的性质
北师大版必修第一册
≠ ＞＜ ≥ ≤
01
不等关系及其表示
02
实数大小的比较
03
一个重要不等式
04
等式的性质是哪些？
05
不等式的性质又是哪些呢？
不等关系及其表示
1
不等关系及其表示
1
在现实世界和日常生活中，大量存在着相等关系和不等关系，例如多与少、
大与小、长与短、高与矮、远与近、快与慢、涨与跌、轻与重、不超过和不
少于等。类似于这样的问题反映在数量关系上就是相等和不相等，相等用等
式表示不等用不等式表示。
【等式】指的是用等号“=”连接起来的式子
【不等式】指的是用不等号“≠”“＞”“＜”“≥”“≤”
连接起来的式子
不等关系及其表示
1
【问题1】你能用不等式或不等式组表示下列问题中的不等关系吗？
（1）某路段限速；????????????????????；
?
（2）某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量????应不少于2.5%，蛋
白质的含量????应不少于2.3%；
?
（3）三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；
（4）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.
设该路段行驶的汽车速度为????，则0?
????≥????.????%，????≥????.????%
?
设三角形三边分别为????，????，????，则????+????>????,??????????
设P是直线AB外任意一点，PQ是P到AB的垂
线段，C是直线AB上任意一点，则PC≥PQ
A
B
C
P
Q
不等关系及其表示
1
【问题2】某种杂志原本以每本2.5元的价格出售，可以售出8万本.据市场调查
发现，杂志的单价每提高0.1元，销售量就可能减少2000本.如何定价
才能使涨价后的总收入不低于20万元?
【分析】设涨价之后的杂志每本定价????元，则销售总收入为
?
??????????
实数大小的比较
2
实数大小的比较
2
如何解不等式8?x?2.50.1×0.2x ≥20呢？
?
实际上，在初中我们已经通过具体实例归纳出了一些不等式的性质，那么
这些不等式的性质为什么是正确的呢？还有其他不等式的性质吗？回答这些问题
要用到关于两个实数大小关系的基本事实.
不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变
不等式的两边同乘(或除以)一个正数，不等号的方向不变
不等式的两边同乘(或除以)一个负数，不等号的方向改变
实数大小的比较
2
由于数轴上的点与实数一一对应，所以可以利用数轴上的点的位置关系来
规定实数的大小关系；如图，设????，????是两个实数，他们在数轴上所对应的点分
别是A，B，当点A在点B的左边时，????????；当
点A和点B重合时，????=????.
?
A
B
????
?
B
A
????
?
A(B)
????
?
?????
????>????
?
????=????
?
实数大小比较
的基本事实①
【作差法】
①??????????>?????????>????
②??????????③??????????=?????????=????
?
实数大小的比较
2
设????>0，????>0，当????????的值小于1时，????????；
当????????的值等于1时，????=????.
?
????① ????????????
② ????????>?????????③ ????????=?????????=????
?
实数大小比较
的基本事实②
【作商法】
设????<0，????<0，当????????的值小于1时，????>????；当????????的值大于1时，????当????????的值等于1时，????=????.
?
????>????，????>????，?
① ????????>?????????>????
② ????????③ ????????=?????????=????
?
实数大小的比较
2
比较????+2????+3和????+1????+4的大小.
?
【解】运用作差法：
0是正数与负数的分界线，它为比较实数的大小提供了标杆.
????+2????+3?? ????+1????+4?
?
=????2+5????+?????????2+5????+4
?
=2
?
因为2＞0，
所以????+2????+3?＞ ????+1????+4?.
?
实数大小的比较
2
再
若????>2，比较????2+4????+4和????2?4的大小.
?
【解】运用作商法：
1是相等与不等的分界线，它也为比较实数的大小提供了标杆.
????2+4????+4????2?4
?
因为????>2， 所以????+2>?????2>0，
即x+2x?2 > 1，所以????2+4????+4 >????2?4.
?
=????+22????+2?????2
?
=x+2x?2
?
一个重要不等式
3
一个重要不等式
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如图是根据第24届国际数学家大会的会标设计的，会标灵感来
源于中国古代数学家赵爽的弦图，图中有什么不等关系？
很显然赵爽弦图是我们在初中研究勾股定理时的模型，我们把
它抽象成如图所示的图形.
设图中直角三角形的两个直角边长为????，????，那么正方形的边长就是????2+????2，这样，四个直角三角形的面积之和就是2????????，正方形的面积为????2+????2，很显然正方形的面积大于三角形面积和.即????2+????2>2????????.
?
????
?
????
?
????
?
????
?
当直角三角形变为等腰直角三角形时，内部的小正方形变成了一个点，此时????=????，有????2+????2=2????????，所以综合可知，
????2+????2≥2????????
?
一个重要不等式
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一般地，?????,?????????,????????+????????≥????????????，这个不等式被称为重要不等式，
当且仅当????=????时，等号成立.
?
事实上，利用完全平方公式也可以得到这个不等式：
因为?a,b?R,a?b2≥0,当且仅当a=b时，等号成立.所以a2+b2≥2ab
?
????≥??????????????≥???????；?????
因此，由两个实数大小关系的基本事实，我们得到：
????????+????????≥????????????，当且仅当????=????时，等号成立.
?
等式的性质是哪些？
4
等式的性质是哪些？
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★【对称性】
★【传递性】
★【加减性】
★【同乘性】
★【同除性】
如果????=????，那么????=????
?
如果????=????，????=????，那么????=????
?
如果????=????，那么????±????=????±????
?
如果????=????，那么????????=????????
?
如果????=????，????≠0，那么????????=????????
?
????????=????????
?
????=????
?
我成立，你不一定成立！
为什么啊？
c≠0时，你成立；c=0时，你不一定成立！
????????=????????
?
????=????时，我也成立！
?
那可不一定，你是不是成立，得问问c，c=0时，你就不成立！
????
?
不等式的性质又是哪些呢？
5
不等式的性质又是哪些呢？
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★【对称性】
★【传递性】
如果????>????，那么??????????????
如果????>????，????>????，那么????>????.即????>????，????>?????????>????
?
证明：
????>??????????????>0
?
????>??????????????>0
?
?????????+?????????>0??????????>0?????>????
?
如果传递的时候两个不等式只有一个带等号，那么等号是传递不过去的.只有两个不等式都带等号，等号才能传递过去.例如：
如果a≥b且????>????，那么只能得到????>????，无法得到????≥????；
如果a>b且????≥????，那么只能得到????>????，无法得到????≥????；
如果a≥b且????≥????，那么可以得到????≥????. 此时有????=????=????.
?
不等式的性质又是哪些呢？
5
★【可加性】
★【可乘性】
★【同向可加性】
如果????>????，那么????+????>????+????
?
如果????>????，????>0，那么????????>????????；
?
如果????>????，????>????,那么????+????>????+????
?
不等式两边同时加上一个数，不变号
不等式两边同时乘上一个正数，不变号；
如果????>????，????<0，那么?????????
不等式两边同时乘上一个负数，要变号 .
如果????≥????，????>????,那么????+????>????+????
?
如果????>????，????≥????,那么????+????>????+????
?
只有一个等式有等号也是传递不过去的.
不等式的性质又是哪些呢？
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★【同向同正可乘性】
★【同正可乘方性】
如果????>????>0，????>???? >0，那么????????>????????
?
我只有同向可加性，同向可乘还必须保证是正数！
如果????>????>0，那么????????>????????????∈????,????≥1
?
我的等号左右能对应加减乘除(除数不为0)，你行吗？
等式
不等式
不等式的性质又是哪些呢？
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已知????>????>0，????<0，求证 ????????>????????
?
【分析】因为????<0，所以要证????????>????????，可先证明1????<1????
?
【证明】因为????>????>0，所以????????>0， 1????????>0.
?
所以????·1???????? >????·1????????， 1????>1????,即1????<1????
?
因为????<0，所以????·?1????>????·1????，即????????>????????