2.2.2函数的表示法（第3课时）-2023-2024学年高一数学北师版必修第一册课件(共31张PPT)

(共31张PPT)
2.2.2函数的表示法
之
【函数解析式求解8法】
教学目标
代入法+待定系数法+图像法+换元法+配凑法+消元法+赋值法+性质法
方法一
代入法
已知一个函数的解析式，用它表示另一个函数，求另一个函数的解析式
例1.已知
分析
是分段定义的，在此基础上得到的也是分段定义的
解
例2.已知函数求
=4
例3.下列函数不满足f(2x)=2f(x)的是(　　)
A.f(x)=|x| B.f(x)=x-|x|
C.f(x)=x+1 D.f(x)=-x
解析:A中,因为f(2x)=|2x|=2|x|=2f(x),
所以A满足要求;B中,因为f(2x)=2x-|2x|=2(x-|x|)=2f(x),所以B满足要求;C中,因为f(2x)=2x+1≠2(x+1)=2f(x),
所以C不满足要求;因为f(2x)=-2x=2f(x),
所以D满足要求.故选C.
方法二
待定系数法
这应该是学生比较熟悉的方法，先设后得
.(1)已知f(x)是一次函数,且f(f(x))=4x-1,求f(x);
(2)已知f(x)是二次函数,且f(0)=1,f(x+1)-f(x)=2x,求f(x).
解:(1)∵ f(x)是一次函数,
∴可设f(x)=ax+b(a≠0),则f(f(x))=f(ax+b)=a(ax+b)+b=a2x+ab+b.
又f(f(x))=4x-1,∴a2x+ab+b=4x-1.
则解得
∴f(x)=2x-(x∈R),或f(x)=-2x+1(x∈R).
(2)∵f(x)是二次函数,∴可设f(x)=ax2+bx+c(a≠0).
由f(0)=1,知c=1.又f(x+1)-f(x)=2x,
∴a(x+1)2+b(x+1)+1-ax2-bx-1=2x.
整理得2ax+(a+b)=2x.
∴解得
∴f(x)=x2-x+1(x∈R).
.已知函数F(x)=f(x)+g(x),其中f(x)是x的正比例函数,g(x)是x的反比例函数,且F(1/3)=16,F(1)=8,则F(x)的解析式为　　　　　　　　　　.
解析:由题意设f(x)=k1x(k1≠0),g(x)=(k2≠0,x≠0),则由F=16,F(1)=8,得 解得故F(x)=3x+(x≠0).答案:F(x)=3x+(x≠0)
方法三
图像法
已知函数的图像，求解析式
　如图所示，已知底角为45°的等腰梯形ABCD，底边BC长为7 cm，腰长为22 cm，当垂直于底边BC(垂足为F)的直线l从左至右移动(与梯形ABCD有公共点)时，直线l把梯形分成两部分，令BF＝x，试写出左边部分的面积y关于x的函数解析式
点拨
可按点E所在的位置分E在线段AB，E在线段AD及E在线段CD三类分别求解．
过点A，D分别作AG⊥BC，DH⊥BC，垂足分别是G，H.因为四边形ABCD是等腰梯形，底角为45°，AB＝22 cm，所以BG＝AG＝DH＝HC＝2 cm，又BC＝7 cm，所以AD＝GH＝3 cm.
(1)当点F在BG上，即x∈[0,2]时，y＝12x2；
(2)当点F在GH上，即x∈(2,5]时，y＝＝2x－2；
(3)当点F在HC上，即x∈(5,7]时，y＝S五边形ABFED＝S梯形ABCD－SRt△CEF＝12(7＋3)×2－(7－x)2
＝－(x－7)2＋10.
综合(1)(2)(3)，得函数的解析式为
已知模拟图像，可用排除法获解
函数y=f(x)的图象如图所示,则函数y=f(x)的解析式为(　　)
A.f(x)=(x-a)2(b-x)
B.f(x)=(x-a)2(x+b)
C.f(x)=-(x-a)2(x+b)
D.f(x)=(x-a)2(x-b)
由题中图象知,当x=b时,f(x)=0,故排除B,C,又当x>b时,f(x)<0,故排除D.答案:A
方法四
换元法
由 [ ( )]解析式求 ( )解析式,令反过来用示x，把原解析式中的x都换成t,最后定义域是t的范围
已知函数f(x-1)=x2-4x,求函数f(x),f(2x+1)的解析式.
解:已知f(x-1)=x2-4x,令x-1=t,则x=t+1,
所以f(t)=(t+1)2-4(t+1)=t2-2t-3,
即f(x)=x2-2x-3(x∈R).
因此f(2x+1)=(2x+1)2-2(2x+1)-3=4x2-4(x∈R).
方法五
配凑法
解析式求解析式，如果解析式可以用示，就把等都换成x,定义域相当于范围。
已知函数f(2x-1)=4x2(x>0),则f(x)=　　　　　　　　　　
解：f(2x-1)=
解：f(x)=
方法六
消元法
又叫构造方程组法：若已知的函数关系较为抽象简约，则可以对变量进行置换， 设法构造方程组，通过解方程组求得函数解析式
若f(x)满足关系式f(x)+2f()=3x(x≠0),则f(2)的值为(　　)
A.1 B.-1 C.- D.
解析:由f(x)+2f()=3x, ①
以代x,得f()+2f(x)=, ②
②×2-①得3f(x)=-3x,所以f(x)=-x(x≠0),所以f(2)=-2=-1.
答案:B
则
解：因为，所以解得
方法七
赋值法
赋值法： 当题中所给变量较多，且含有“ 任意”等条件时，往往可以对具有“ 任意性”的变量进行赋值，使问题具体化、简单化，从而求得解析式。
已知函数满足：对任意实数x,y满足
解：令得
方法八
性质法
本部分内容仅供老师参考
01
奇 偶性
函数和偶函数且求它们的解析式
解：由奇偶性知，
得
01
奇 偶性
函数，求
解：，所以，=2x2,
02
周期性
是定义在R上的周期函数，周期是2，如果在则上解析式。
解.因为周期是2，所以
03
类周期性
是定义在R上满足：，如果在则上解析式。
解. ( 2)=2 ( )，所以，
课堂小结
1．核心要点
八种解析式的求法
2．数学素养
体会化归与转化思想的应用
通过求解析式，培养数学建模和构造素养。
还有其他方法，由于涉及到其他章节内容，不再归纳