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(人教版吉林地区)2023-2024学年初中数学七年级上册3.1.1 一元一次方程 同步分层训练培优卷
一、选择题
1．（2023七上·海曙期末）已知关于x的一元一次方程的解是，关于y的一元一次方程的解是（其中b和c是含有y的代数式），则下列结论符合条件的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023七上·益阳期末）两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工1个月完成总工程的，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成，如果乙队单独完成总工程需多少个月？设乙队单独完成总工程共需个月，则下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023七上·长安期末）用200张彩纸制作圆柱，每张彩纸可制作圆柱侧面20个或底面60个，一个圆柱侧面与两个底面组成一个圆柱.为使制作的圆柱侧面和底面正好配套，设用张彩纸制作圆柱侧面，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
4．（2023七上·玉林期末）若关于x的方程的解是，则a的值等于（ ）
A．8 B．0 C．2 D．
5．（2023七上·渭滨期末）已知关于x的一元一次方程的解为，那么关于y的一元一次方程的解为（ ）
A． B． C． D．
6．（2023七上·桂平期末）下列方程的变形，正确的是（ ）.
A．由，得 B．由，得
C．由，得 D．由，得
7．（2021七上·江北期中）若不论 取什么实数，关于 的方程 （ 、 常数）的解总是 ，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
8．（2020七上·武汉月考）下列说法：
①符号相反的数互为相反数；②有理数a、b、c满足 ，且 ，则化简 的值为5；③若 是关于x的一元一次方程，则这个方程的解是 ；④若 是关于x的一元一次方程，则 ；
其中正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二、填空题
9．（2023七上·余姚期末）关于的方程的解是，则的值是 .
10．（2023七上·青田期末）如图，小红同学编了一道数学谜题，若设“□”内的数字为x，则可列出方程为 .
11．（2023七上·慈溪期末）《莱因德纸草书》是古埃及培训年轻抄写员时可能使用的问题合集，其中记载了下列一个简单的问题：一个量与它的一半及它的三分之一加在一起变成10.若设这个量为x，则根据题意可列出方程 .
12．（2021七上·江北期末）若关于 的方程 的解为整数，则非负整数 的值为 .
13．（2020七上·岳麓月考）若关于x一元一次方程 x+2018＝2x+m的解为x＝2018，则关于y的一元一次方程 y+2018+ ＝2y+m+2的解为 .
三、计算题
14．（2021七上·西安期末）已知 是方程 的解，求m的值.
四、解答题
15．（2023七上·长安期末）已知关于的方程的解是的倒数，求的值.
16．（2020七上·海淀期中）设a，b，c为整数，且对一切实数都有（x-a）（x -8）+1=（x-b）（x-c）恒成立．求a+b+c的值．
五、综合题
17．（2023七上·嘉兴期末）小周学习《5.2等式的基本性质》后，对等式5m-2= 3m-2进行变形，得出“5=3”的错误结论，但他找不到错误原因，聪明的你能帮助他找到原因吗？小周同学的具体过程如图所示：
（1）哪一步等式变形产生错误？
（2）请你分析产生错误的原因．
18．（2021七上·锦江期末）已知关于 的方程 为一元一次方程，且该方程的解与关于 的方程 的解相同．
（1）求 、 的值；
（2）在（1）的条件下，若关于 的方程 有无数解，求 ， 的值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】一元一次方程的解
【解析】【解答】解：∵，得到，
∴的解为，
∵方程的解是，
∴，
故答案为：B.
【分析】根据x、y的值可得x=1-y，则方程的解为y=-2021，据此解答.
2．【答案】D
【知识点】根据数量关系列方程
【解析】【解答】解：设乙队单独施1个月能完成总工程的，甲1个月完成的工作量为，甲和乙半个月完成的工作量为，根据题意得：.
故答案为：D.
【分析】设乙队单独施1个月能完成总工程的，甲1个月完成的工作量为，甲和乙半个月完成的工作量为，然后根据总量为1就可列出方程.
3．【答案】A
【知识点】列一元一次方程
【解析】【解答】解：设把x张彩纸制作圆柱侧面，则有（200-x）张纸作圆柱底面，
根据题意可得：
故答案为：A.
【分析】设把x张彩纸制作圆柱侧面，则有（200-x）张纸作圆柱底面，则可作侧面20x个，作底面60（200-x）个，进而根据底面的个数=侧面个数的2倍建立方程即可.
4．【答案】A
【知识点】一元一次方程的解
【解析】【解答】解：∵关于x的方程的解是，
∴将代入方程，可得：，
解得：，
∴a的值等于.
故答案为：A.
【分析】将x=-2代入方程中可得关于a的一元一次方程，求解可得a的值.
5．【答案】D
【知识点】一元一次方程的解
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
故答案为：D.
【分析】由题意可得x=y+1=-3，求解可得y的值.
6．【答案】D
【知识点】等式的性质
【解析】【解答】解：A、由，得，因为移项时没有变号，所以原变形错误，故此选项不符合题意；
B、由，得，原变形错误，故此选项不符合题意；
C、由，得，原变形错误，故此选项不符合题意；
D、由，得，原变形正确，故此选项符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据等式的性质分别移项、将系数化为1将方程变形，再判断即可.
7．【答案】A
【知识点】一元一次方程的解
【解析】【解答】解：∵关于x的方程 的解总是
∴
∴
∴
∴
解得：
∴
故答案为：A.
【分析】将x=1代入方程中可得，根据方程解总是 ，可知该方程的解与k的值无关，故可得字母k的系数应该等于0，据此推出4+b=0，7-2a=0，据此解答即可.
8．【答案】D
【知识点】相反数及有理数的相反数；绝对值及有理数的绝对值；一元一次方程的定义
【解析】【解答】解：仅仅只有符号不同的两个数互为相反数，故①错误；
由 ，且 ，
所以：
＜ ＜ ＜
故②错误；
是关于x的一元一次方程，
或 （ ）或 ，
或 或
或
当 时，原方程为：
当 时，原方程化为：
，不合题意舍去，
当 时，原方程化为：
综上：方程的解为： 或 故③错误；
是关于x的一元一次方程，
，
故④正确
故答案为：D.
【分析】 ①根据相反数的定义：只有符号不同的数叫做互为相反数，即可判断①错误；
②根据题意得出a+c=0，b-3＜0，b-1＜0，再求出=3，即可判断②错误；
③根据一元一次方程的定义求出m的值，代入方程得出一元一次方程，分别求出方程的解，即可判断③错误；
④根据一元一次方程的定义得出3a+4b=0，得出一元一次方程ax+b=0，得出x=-=，即可判断④正确.
9．【答案】3
【知识点】一元一次方程的解
【解析】【解答】解：把代入方程得：，
解得：，
故答案为：3.
【分析】根据方程解的概念，将x=1代入方程中进行计算可得m的值.
10．【答案】
【知识点】列一元一次方程
【解析】【解答】解：，
中，□在个位上，
故变为：，
中，□在十位上，
故变为：，
故变为：，
故答案为：.
【分析】根据两个方框即两个x所在的不同数位，结合数的表示方法，分别表示出两个数，即可得出答案.
11．【答案】
【知识点】根据数量关系列方程
【解析】【解答】解：设这个量为x，根据题意可列出方程：，
故答案为：.
【分析】设这个量为x，则它的一半可表示为x，三分之一可表示为x，然后根据加在一起变成10即可列出方程.
12．【答案】0，2
【知识点】一元一次方程的解
【解析】【解答】解： ，
移项，得
mx+x=3，
合并同类项，得
（m+1）x=3，
系数化为1，得
x= ，
∵方程的解是整数，
∴m+1=-3，-1，1，3，
∴m=-4，-2，0，2，
∵m是非负整数，
∴m=0，2，
故答案为： 0，2.
【分析】解关于x的字母方程，得出x= ，再 非负整数 的值。
13．【答案】y＝2017
【知识点】一元一次方程的解
【解析】【解答】解： y+2018+ ＝2y+m+2变形为 （y+1）+2018＝2（y+1）+m，
设y+1＝x，方程变形得： x+2018＝2x+m，
由 x+2018＝2x+m的解为x＝2018，
得到y+1＝x＝2018，
解得：y＝2017
故答案为：y＝2017.
【分析】设y+1＝x，则方程可变形为：x+2018＝2x+m，结合题意可得y+1=x=2018，据此不难求出y的值.
14．【答案】解：∵ 是方程 的解，
∴ ，
∴3（1-m）-6=2-4m，
解方程，得
m=5.
【知识点】一元一次方程的解
【解析】【分析】把 代入方程，转化为关于m的一元一次方程，解方程即可.
15．【答案】解：∵的倒数是，
∴方程的解是，
将代入方程，得，
解得，
所以m的值是6.
【知识点】有理数的倒数；一元一次方程的解
【解析】【分析】根据乘积为1的两个数互为倒数可得x=-5，进而根据方程根的概念，将x=-5代入原方程可得关于字母m的方程，求解即可.
16．【答案】解：∵（x﹣a）（x﹣8）+1＝x2﹣（a+8）x+8a+1，
（x﹣b）（x﹣c）＝x2﹣（b+c）x+bc
又∵（x﹣a）（x﹣8）+1＝（x﹣b）（x﹣c）恒成立，
∴﹣（a+8）＝﹣（b+c），
∴8a+1＝bc，
消去a得：
bc﹣8（b+c）＝﹣63，
（b﹣8）（c﹣8）＝1，
∵b，c都是整数，故b﹣8＝1，c﹣8＝1或b﹣8＝﹣1，c﹣8＝﹣1，
解得b＝c＝9或b＝c＝7，
当b＝c＝9时，解得a＝10，
当b＝c＝7时，解得a＝6，
故a+b+c＝9+9+10＝28或7+7+6＝20，
故答案为：20或28．
【知识点】等式的性质；多项式的项和次数
【解析】【分析】等式两边化简之后，利用一次项系数相等和常数项相等得到两个等式a+8＝b+c和8a+1＝bc；消去a,再因式分解得到（b﹣8）（c﹣8）＝1，进而b﹣8＝1，c﹣8＝1或b﹣8＝﹣1，c﹣8＝﹣1，分别计算出a，b，c的值即可得出答案．
17．【答案】（1）解：第②步变形产生了错误；
（2）解：①m可能为0，
②两边同时除以不为0的数，违背了等式的性质，所以出错了.
【知识点】等式的性质
【解析】【分析】（1）根据等式的性质观察发现出错在第②步；
（2）小周同学的解题过程中，第一步的依据是等式两边同时加上或减去同一个数或整式，等式依然成立，第二步依据是等式的两边同时乘以或除以（除数不为0）同一个不为0的数或整式，等式依然成立，但在使用性质的时候，忽略了条件（除数不能为0）从而导致了出错 .
18．【答案】（1）解：∵关于 的方程 为一元一次方程，
∴ ，解得： ，
当 ，方程为 ，解得： ，
又∵两个方程同解，
∴ ，解得： .
（2）解：把 ， 代入 ，
可得： ，变形得： ，
∵关于 的方程 有无数解，即与y的取值无关，
∴ ，
∴ 或 ， .
【知识点】一元一次方程的定义；一元一次方程的解
【解析】【分析】（1）只含有一个未知数，未知数的次数为1，且未知数的系数不为0的整式方程就是一元一次方程，据此可得|a|-1=1，a-2≠0，求出a的值，然后求出方程的解，根据两个方程的解相同就可得到b的值；
（2）将a、b的值代入可得(|m-1|-2)y=-n-1，根据方程有无数解可知方程的解与y的值无关，据此可得|m-1|-2=0，-n-1=0，求解可得m、n的值.
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(人教版吉林地区)2023-2024学年初中数学七年级上册3.1.1 一元一次方程 同步分层训练培优卷
一、选择题
1．（2023七上·海曙期末）已知关于x的一元一次方程的解是，关于y的一元一次方程的解是（其中b和c是含有y的代数式），则下列结论符合条件的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】一元一次方程的解
【解析】【解答】解：∵，得到，
∴的解为，
∵方程的解是，
∴，
故答案为：B.
【分析】根据x、y的值可得x=1-y，则方程的解为y=-2021，据此解答.
2．（2023七上·益阳期末）两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工1个月完成总工程的，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成，如果乙队单独完成总工程需多少个月？设乙队单独完成总工程共需个月，则下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】根据数量关系列方程
【解析】【解答】解：设乙队单独施1个月能完成总工程的，甲1个月完成的工作量为，甲和乙半个月完成的工作量为，根据题意得：.
故答案为：D.
【分析】设乙队单独施1个月能完成总工程的，甲1个月完成的工作量为，甲和乙半个月完成的工作量为，然后根据总量为1就可列出方程.
3．（2023七上·长安期末）用200张彩纸制作圆柱，每张彩纸可制作圆柱侧面20个或底面60个，一个圆柱侧面与两个底面组成一个圆柱.为使制作的圆柱侧面和底面正好配套，设用张彩纸制作圆柱侧面，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】列一元一次方程
【解析】【解答】解：设把x张彩纸制作圆柱侧面，则有（200-x）张纸作圆柱底面，
根据题意可得：
故答案为：A.
【分析】设把x张彩纸制作圆柱侧面，则有（200-x）张纸作圆柱底面，则可作侧面20x个，作底面60（200-x）个，进而根据底面的个数=侧面个数的2倍建立方程即可.
4．（2023七上·玉林期末）若关于x的方程的解是，则a的值等于（ ）
A．8 B．0 C．2 D．
【答案】A
【知识点】一元一次方程的解
【解析】【解答】解：∵关于x的方程的解是，
∴将代入方程，可得：，
解得：，
∴a的值等于.
故答案为：A.
【分析】将x=-2代入方程中可得关于a的一元一次方程，求解可得a的值.
5．（2023七上·渭滨期末）已知关于x的一元一次方程的解为，那么关于y的一元一次方程的解为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】一元一次方程的解
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
故答案为：D.
【分析】由题意可得x=y+1=-3，求解可得y的值.
6．（2023七上·桂平期末）下列方程的变形，正确的是（ ）.
A．由，得 B．由，得
C．由，得 D．由，得
【答案】D
【知识点】等式的性质
【解析】【解答】解：A、由，得，因为移项时没有变号，所以原变形错误，故此选项不符合题意；
B、由，得，原变形错误，故此选项不符合题意；
C、由，得，原变形错误，故此选项不符合题意；
D、由，得，原变形正确，故此选项符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据等式的性质分别移项、将系数化为1将方程变形，再判断即可.
7．（2021七上·江北期中）若不论 取什么实数，关于 的方程 （ 、 常数）的解总是 ，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】一元一次方程的解
【解析】【解答】解：∵关于x的方程 的解总是
∴
∴
∴
∴
解得：
∴
故答案为：A.
【分析】将x=1代入方程中可得，根据方程解总是 ，可知该方程的解与k的值无关，故可得字母k的系数应该等于0，据此推出4+b=0，7-2a=0，据此解答即可.
8．（2020七上·武汉月考）下列说法：
①符号相反的数互为相反数；②有理数a、b、c满足 ，且 ，则化简 的值为5；③若 是关于x的一元一次方程，则这个方程的解是 ；④若 是关于x的一元一次方程，则 ；
其中正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】D
【知识点】相反数及有理数的相反数；绝对值及有理数的绝对值；一元一次方程的定义
【解析】【解答】解：仅仅只有符号不同的两个数互为相反数，故①错误；
由 ，且 ，
所以：
＜ ＜ ＜
故②错误；
是关于x的一元一次方程，
或 （ ）或 ，
或 或
或
当 时，原方程为：
当 时，原方程化为：
，不合题意舍去，
当 时，原方程化为：
综上：方程的解为： 或 故③错误；
是关于x的一元一次方程，
，
故④正确
故答案为：D.
【分析】 ①根据相反数的定义：只有符号不同的数叫做互为相反数，即可判断①错误；
②根据题意得出a+c=0，b-3＜0，b-1＜0，再求出=3，即可判断②错误；
③根据一元一次方程的定义求出m的值，代入方程得出一元一次方程，分别求出方程的解，即可判断③错误；
④根据一元一次方程的定义得出3a+4b=0，得出一元一次方程ax+b=0，得出x=-=，即可判断④正确.
二、填空题
9．（2023七上·余姚期末）关于的方程的解是，则的值是 .
【答案】3
【知识点】一元一次方程的解
【解析】【解答】解：把代入方程得：，
解得：，
故答案为：3.
【分析】根据方程解的概念，将x=1代入方程中进行计算可得m的值.
10．（2023七上·青田期末）如图，小红同学编了一道数学谜题，若设“□”内的数字为x，则可列出方程为 .
【答案】
【知识点】列一元一次方程
【解析】【解答】解：，
中，□在个位上，
故变为：，
中，□在十位上，
故变为：，
故变为：，
故答案为：.
【分析】根据两个方框即两个x所在的不同数位，结合数的表示方法，分别表示出两个数，即可得出答案.
11．（2023七上·慈溪期末）《莱因德纸草书》是古埃及培训年轻抄写员时可能使用的问题合集，其中记载了下列一个简单的问题：一个量与它的一半及它的三分之一加在一起变成10.若设这个量为x，则根据题意可列出方程 .
【答案】
【知识点】根据数量关系列方程
【解析】【解答】解：设这个量为x，根据题意可列出方程：，
故答案为：.
【分析】设这个量为x，则它的一半可表示为x，三分之一可表示为x，然后根据加在一起变成10即可列出方程.
12．（2021七上·江北期末）若关于 的方程 的解为整数，则非负整数 的值为 .
【答案】0，2
【知识点】一元一次方程的解
【解析】【解答】解： ，
移项，得
mx+x=3，
合并同类项，得
（m+1）x=3，
系数化为1，得
x= ，
∵方程的解是整数，
∴m+1=-3，-1，1，3，
∴m=-4，-2，0，2，
∵m是非负整数，
∴m=0，2，
故答案为： 0，2.
【分析】解关于x的字母方程，得出x= ，再 非负整数 的值。
13．（2020七上·岳麓月考）若关于x一元一次方程 x+2018＝2x+m的解为x＝2018，则关于y的一元一次方程 y+2018+ ＝2y+m+2的解为 .
【答案】y＝2017
【知识点】一元一次方程的解
【解析】【解答】解： y+2018+ ＝2y+m+2变形为 （y+1）+2018＝2（y+1）+m，
设y+1＝x，方程变形得： x+2018＝2x+m，
由 x+2018＝2x+m的解为x＝2018，
得到y+1＝x＝2018，
解得：y＝2017
故答案为：y＝2017.
【分析】设y+1＝x，则方程可变形为：x+2018＝2x+m，结合题意可得y+1=x=2018，据此不难求出y的值.
三、计算题
14．（2021七上·西安期末）已知 是方程 的解，求m的值.
【答案】解：∵ 是方程 的解，
∴ ，
∴3（1-m）-6=2-4m，
解方程，得
m=5.
【知识点】一元一次方程的解
【解析】【分析】把 代入方程，转化为关于m的一元一次方程，解方程即可.
四、解答题
15．（2023七上·长安期末）已知关于的方程的解是的倒数，求的值.
【答案】解：∵的倒数是，
∴方程的解是，
将代入方程，得，
解得，
所以m的值是6.
【知识点】有理数的倒数；一元一次方程的解
【解析】【分析】根据乘积为1的两个数互为倒数可得x=-5，进而根据方程根的概念，将x=-5代入原方程可得关于字母m的方程，求解即可.
16．（2020七上·海淀期中）设a，b，c为整数，且对一切实数都有（x-a）（x -8）+1=（x-b）（x-c）恒成立．求a+b+c的值．
【答案】解：∵（x﹣a）（x﹣8）+1＝x2﹣（a+8）x+8a+1，
（x﹣b）（x﹣c）＝x2﹣（b+c）x+bc
又∵（x﹣a）（x﹣8）+1＝（x﹣b）（x﹣c）恒成立，
∴﹣（a+8）＝﹣（b+c），
∴8a+1＝bc，
消去a得：
bc﹣8（b+c）＝﹣63，
（b﹣8）（c﹣8）＝1，
∵b，c都是整数，故b﹣8＝1，c﹣8＝1或b﹣8＝﹣1，c﹣8＝﹣1，
解得b＝c＝9或b＝c＝7，
当b＝c＝9时，解得a＝10，
当b＝c＝7时，解得a＝6，
故a+b+c＝9+9+10＝28或7+7+6＝20，
故答案为：20或28．
【知识点】等式的性质；多项式的项和次数
【解析】【分析】等式两边化简之后，利用一次项系数相等和常数项相等得到两个等式a+8＝b+c和8a+1＝bc；消去a,再因式分解得到（b﹣8）（c﹣8）＝1，进而b﹣8＝1，c﹣8＝1或b﹣8＝﹣1，c﹣8＝﹣1，分别计算出a，b，c的值即可得出答案．
五、综合题
17．（2023七上·嘉兴期末）小周学习《5.2等式的基本性质》后，对等式5m-2= 3m-2进行变形，得出“5=3”的错误结论，但他找不到错误原因，聪明的你能帮助他找到原因吗？小周同学的具体过程如图所示：
（1）哪一步等式变形产生错误？
（2）请你分析产生错误的原因．
【答案】（1）解：第②步变形产生了错误；
（2）解：①m可能为0，
②两边同时除以不为0的数，违背了等式的性质，所以出错了.
【知识点】等式的性质
【解析】【分析】（1）根据等式的性质观察发现出错在第②步；
（2）小周同学的解题过程中，第一步的依据是等式两边同时加上或减去同一个数或整式，等式依然成立，第二步依据是等式的两边同时乘以或除以（除数不为0）同一个不为0的数或整式，等式依然成立，但在使用性质的时候，忽略了条件（除数不能为0）从而导致了出错 .
18．（2021七上·锦江期末）已知关于 的方程 为一元一次方程，且该方程的解与关于 的方程 的解相同．
（1）求 、 的值；
（2）在（1）的条件下，若关于 的方程 有无数解，求 ， 的值．
【答案】（1）解：∵关于 的方程 为一元一次方程，
∴ ，解得： ，
当 ，方程为 ，解得： ，
又∵两个方程同解，
∴ ，解得： .
（2）解：把 ， 代入 ，
可得： ，变形得： ，
∵关于 的方程 有无数解，即与y的取值无关，
∴ ，
∴ 或 ， .
【知识点】一元一次方程的定义；一元一次方程的解
【解析】【分析】（1）只含有一个未知数，未知数的次数为1，且未知数的系数不为0的整式方程就是一元一次方程，据此可得|a|-1=1，a-2≠0，求出a的值，然后求出方程的解，根据两个方程的解相同就可得到b的值；
（2）将a、b的值代入可得(|m-1|-2)y=-n-1，根据方程有无数解可知方程的解与y的值无关，据此可得|m-1|-2=0，-n-1=0，求解可得m、n的值.
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