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(人教版吉林地区)2023-2024学年初中数学七年级上册3.1.2 等式的性质 同步分层训练基础卷
一、选择题
1．（2023七上·海曙期末）根据等式的性质，下列变形不成立的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
2．（2023七上·苍南期末）已知，则下列选项中的等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022七上·信阳月考）下列说法中错误的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
4．（2023七上·平南期末）下列等式不一定成立的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若， 则 D．若，则
5．（2023七上·桂平期末）下列方程的变形，正确的是（ ）.
A．由，得 B．由，得
C．由，得 D．由，得
6．（2023七上·开江期末）运用等式的性质，下列变形不正确的是（ ）.
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
7．（2022七上·宁河月考）下列方程变形中，正确的是（ ）
A．由3x＝﹣4，系数化为1得x＝
B．由5＝2﹣x，移项得x＝5﹣2
C．由 ，去分母得4（x﹣1）﹣3（2x+3）＝1
D．由 3x﹣（2﹣4x）＝5，去括号得3x+4x﹣2＝5
8．（2022七上·余杭月考）下列方程变形正确的是（ ）
A．由x+2=7，得x=7+2 B．由5x=3，得
C．由x-3=2，得x=-3-2 D．由，得x=0
二、填空题
9．（2021七上·顺义期末）小硕同学解方程的过程如下：
解：移项，得． 合并同类项，得． 把未知数的系数化为1，得． 所以方程的解是．
其中，第一步移项的依据是 ．
10．（2023七上·港南期末）若，则 .
11．（2022七上·延安月考）若|a﹣2020|+（﹣3）＝10，则a＝ ．
12．（2022七上·长沙开学考）x是实数，若，则 ．
13．（2021七上·江油期末）已知a、m、n均为有理数，且满足|a+m|＝6，|n﹣a|＝3，那么|m+n|的值为 ．
三、计算题
14．（2020七上·来宾月考）解方程：
（1）3x-7(x-1)=5-2(x+ 3)；
（2）x- =2-
四、解答题
15．（2020七上·海淀期中）设a，b，c为整数，且对一切实数都有（x-a）（x -8）+1=（x-b）（x-c）恒成立．求a+b+c的值．
五、综合题
16．（2023七上·嘉兴期末）小周学习《5.2等式的基本性质》后，对等式5m-2= 3m-2进行变形，得出“5=3”的错误结论，但他找不到错误原因，聪明的你能帮助他找到原因吗？小周同学的具体过程如图所示：
（1）哪一步等式变形产生错误？
（2）请你分析产生错误的原因．
17．（2022七上·东阳月考）计算：（﹣8）×（■）﹣23．
小阳在做作业时，发现题中有一个数字被墨水污染了．
（1）如果被污染的数字是，请计算（﹣8）×（）﹣23；
（2）如果计算结果等于12，求被污染的数字．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】等式的性质
【解析】【解答】解：A、若，则，正确，故此选项不符合题意；
B、若，则，正确，故此选项不符合题意；
C、若，则，正确，故此选项不符合题意；
D、若，则，原变形错误，故此选项符合题意.
故答案为：D.
【分析】等式的性质：等式两边同时加上或减去相等的数或式子，两边依然相等；
等式两边同时乘（或除）相等的非零的数或式子，两边依然相等；
等式两边同时乘方（或开方），两边依然相等.
2．【答案】C
【知识点】等式的性质
【解析】【解答】解：A、由得，原变形错误，故本选项不符合题意；
B、由得，原变形错误，故本选项不符合题意；
C、由得，原变形正确，故本选项符合题意；
D、由得不到，原变形错误，故本选项不符合题意.
故答案为：C.
【分析】等式的两边同时加上或减去同一个数或式子，等式依然成立；等式的两边同时乘以或除以（除数不为0）同一个数或式子，等式依然成立，据此一一判断得出答案.
3．【答案】B
【知识点】等式的性质
【解析】【解答】解：A、若，则，选项正确，不符合题意；
B、若，当时，x不一定和y相等，选项错误，符合题意；
C、若，则，选项正确，不符合题意；
D、若，则，选项正确，不符合题意.
故答案为：B.
【分析】等式的基本性质，在一个等式的左右两边同时加上或减去同一个数或式子，等式依然成立；在一个等式的左右两边同时乘以或除以同一个数或式子（除数不为0），等式依然成立，据此一一判断得出答案.
4．【答案】A
【知识点】等式的性质
【解析】【解答】解：A、若，当时，不一定成立，符合题意；
B、若，则，不符合题意；
C、若， 则，不符合题意；
D、若，则，不符合题意.
故答案为：A.
【分析】不等式的两边同时加上或减去同一个数或式子，不等号的方向不改变；不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不改变；不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变，据此一一判断得出答案.
5．【答案】D
【知识点】等式的性质
【解析】【解答】解：A、由，得，因为移项时没有变号，所以原变形错误，故此选项不符合题意；
B、由，得，原变形错误，故此选项不符合题意；
C、由，得，原变形错误，故此选项不符合题意；
D、由，得，原变形正确，故此选项符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据等式的性质分别移项、将系数化为1将方程变形，再判断即可.
6．【答案】C
【知识点】等式的性质
【解析】【解答】解：A、两边都-5，等式仍成立，故本选项不符合题意；
B、两边都乘以c，等式仍成立，故本选项不符合题意；
C、两边都除以c，且c≠0，等式才成立，故本选项符合题意.
D、两边都乘以c，等式仍成立，故本选项不符合题意.
故答案为：C.
【分析】等式的性质：等式两边同时加上或减去相等的数或式子，两边依然相等；
等式两边同时乘（或除）相等的非零的数或式子，两边依然相等；
等式两边同时乘方（或开方），两边依然相等.
7．【答案】D
【知识点】等式的性质
【解析】【解答】解：3x＝﹣4，系数化为1，得x＝﹣，A不符合题意；
5＝2﹣x，移项，得x＝2﹣5，B不符合题意；
由，去分母得4（x﹣1）﹣3（2x+3）＝24，C不符合题意；
由 3x﹣（2﹣4x）＝5，去括号得，3x﹣2+4x＝5，D符合题意，
故答案为：D．
【分析】利用等式的性质逐项判断即可。
8．【答案】D
【知识点】等式的性质
【解析】【解答】解：A、 由x+2=7，得x=7-2 ，故A不符合题意；
B、 由5x=3，得，故B不符合题意；
C、由x-3=2，得x=3+2，故C不符合题意；
D、 由，得x=0，故D符合题意；
故答案为：D
【分析】利用移项要变号，可对A，C作出判断；利用等式的性质，可对B，D作出判断.
9．【答案】等式的基本性质1
【知识点】等式的性质
【解析】【解答】解：等式的基本性质1：等式两边同时加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等，
所以第一步移项的依据是等式的基本性质1，
故答案为：等式的基本性质1．
【分析】根据等式的性质求解即可。
10．【答案】-2
【知识点】等式的性质；含乘方的有理数混合运算
【解析】【解答】解：由得，；
由得，；
由得，；
；
故答案为：-2.
【分析】根据连等式可得a-b=-1，b-c=-1，c-a=2，然后整体代入按含乘方的有理数的混合运算的运算顺序计算即可.
11．【答案】2033或2007
【知识点】绝对值及有理数的绝对值；等式的性质
【解析】【解答】解：∵|a-2020|+（-3）＝10，
∴|a-2020|＝13，
∴a-2020=13或a-2020=-13，
∴a=2033或a=2007.
故答案为：2033或2007.
【分析】先将|a-2020|+（-3）＝10变形为|a-2020|＝13，从而得a-2020=13或a-2020=-13，再分别求得a的值即可.
12．【答案】1
【知识点】等式的性质
【解析】【解答】解：① ，
两边同时乘以 ，
，
，
②，
②－①得
，
故答案为：1.
【分析】给已知条件两边同时乘以x得出①式，两边同时加上1得出②式，然后用②式减去①式可得出答案.
13．【答案】3或9
【知识点】绝对值及有理数的绝对值；等式的性质
【解析】【解答】解：∵|a+m|＝6，|n-a|＝3，
∴a+m＝±6，n-a＝±3，
∴a+m+n-a＝m+n=±9或±3，
∴ |m+n| =9或3.
故答案为：3或9.
【分析】根据绝对值的性质得出a+m＝±6，n-a＝±3，根据等式 的性质得出m+n=±9或±3，即可得出|m+n| =9或3.
14．【答案】（1）解：去括号得：3x-7x+7=5-2x-6，
移项合并得：-2x=-8，
解得：x=4；
（2）解：去分母得：10x-5x+5=20- 2x-36，
移项合并得：7x=-21，
解得：x=-3
【知识点】等式的性质
【解析】【分析】（1）根据等式的基本性质，求出方程的解即可；
（2）同理，利用那个等式的基本性质，解出方程的解即可。
15．【答案】解：∵（x﹣a）（x﹣8）+1＝x2﹣（a+8）x+8a+1，
（x﹣b）（x﹣c）＝x2﹣（b+c）x+bc
又∵（x﹣a）（x﹣8）+1＝（x﹣b）（x﹣c）恒成立，
∴﹣（a+8）＝﹣（b+c），
∴8a+1＝bc，
消去a得：
bc﹣8（b+c）＝﹣63，
（b﹣8）（c﹣8）＝1，
∵b，c都是整数，故b﹣8＝1，c﹣8＝1或b﹣8＝﹣1，c﹣8＝﹣1，
解得b＝c＝9或b＝c＝7，
当b＝c＝9时，解得a＝10，
当b＝c＝7时，解得a＝6，
故a+b+c＝9+9+10＝28或7+7+6＝20，
故答案为：20或28．
【知识点】等式的性质；多项式的项和次数
【解析】【分析】等式两边化简之后，利用一次项系数相等和常数项相等得到两个等式a+8＝b+c和8a+1＝bc；消去a,再因式分解得到（b﹣8）（c﹣8）＝1，进而b﹣8＝1，c﹣8＝1或b﹣8＝﹣1，c﹣8＝﹣1，分别计算出a，b，c的值即可得出答案．
16．【答案】（1）解：第②步变形产生了错误；
（2）解：①m可能为0，
②两边同时除以不为0的数，违背了等式的性质，所以出错了.
【知识点】等式的性质
【解析】【分析】（1）根据等式的性质观察发现出错在第②步；
（2）小周同学的解题过程中，第一步的依据是等式两边同时加上或减去同一个数或整式，等式依然成立，第二步依据是等式的两边同时乘以或除以（除数不为0）同一个不为0的数或整式，等式依然成立，但在使用性质的时候，忽略了条件（除数不能为0）从而导致了出错 .
17．【答案】（1）解：原式=-6+4-8
=-10.
（2）解：由题意得：（-8）×（-■）-23=12，
∴-■=20×（），
∴■=+=
∴被污染的数字是.
【知识点】等式的性质；含括号的有理数混合运算
【解析】【分析】（1）原式先算乘方，再利用乘法分配律去掉括号，最后再进行加减法计算，即可求解；
（2）由题意得：（-8）×（-■）-23=12，利用等式性质化简、计算可得■=，即可求解.
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(人教版吉林地区)2023-2024学年初中数学七年级上册3.1.2 等式的性质 同步分层训练基础卷
一、选择题
1．（2023七上·海曙期末）根据等式的性质，下列变形不成立的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】D
【知识点】等式的性质
【解析】【解答】解：A、若，则，正确，故此选项不符合题意；
B、若，则，正确，故此选项不符合题意；
C、若，则，正确，故此选项不符合题意；
D、若，则，原变形错误，故此选项符合题意.
故答案为：D.
【分析】等式的性质：等式两边同时加上或减去相等的数或式子，两边依然相等；
等式两边同时乘（或除）相等的非零的数或式子，两边依然相等；
等式两边同时乘方（或开方），两边依然相等.
2．（2023七上·苍南期末）已知，则下列选项中的等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】等式的性质
【解析】【解答】解：A、由得，原变形错误，故本选项不符合题意；
B、由得，原变形错误，故本选项不符合题意；
C、由得，原变形正确，故本选项符合题意；
D、由得不到，原变形错误，故本选项不符合题意.
故答案为：C.
【分析】等式的两边同时加上或减去同一个数或式子，等式依然成立；等式的两边同时乘以或除以（除数不为0）同一个数或式子，等式依然成立，据此一一判断得出答案.
3．（2022七上·信阳月考）下列说法中错误的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】B
【知识点】等式的性质
【解析】【解答】解：A、若，则，选项正确，不符合题意；
B、若，当时，x不一定和y相等，选项错误，符合题意；
C、若，则，选项正确，不符合题意；
D、若，则，选项正确，不符合题意.
故答案为：B.
【分析】等式的基本性质，在一个等式的左右两边同时加上或减去同一个数或式子，等式依然成立；在一个等式的左右两边同时乘以或除以同一个数或式子（除数不为0），等式依然成立，据此一一判断得出答案.
4．（2023七上·平南期末）下列等式不一定成立的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若， 则 D．若，则
【答案】A
【知识点】等式的性质
【解析】【解答】解：A、若，当时，不一定成立，符合题意；
B、若，则，不符合题意；
C、若， 则，不符合题意；
D、若，则，不符合题意.
故答案为：A.
【分析】不等式的两边同时加上或减去同一个数或式子，不等号的方向不改变；不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不改变；不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变，据此一一判断得出答案.
5．（2023七上·桂平期末）下列方程的变形，正确的是（ ）.
A．由，得 B．由，得
C．由，得 D．由，得
【答案】D
【知识点】等式的性质
【解析】【解答】解：A、由，得，因为移项时没有变号，所以原变形错误，故此选项不符合题意；
B、由，得，原变形错误，故此选项不符合题意；
C、由，得，原变形错误，故此选项不符合题意；
D、由，得，原变形正确，故此选项符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据等式的性质分别移项、将系数化为1将方程变形，再判断即可.
6．（2023七上·开江期末）运用等式的性质，下列变形不正确的是（ ）.
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】C
【知识点】等式的性质
【解析】【解答】解：A、两边都-5，等式仍成立，故本选项不符合题意；
B、两边都乘以c，等式仍成立，故本选项不符合题意；
C、两边都除以c，且c≠0，等式才成立，故本选项符合题意.
D、两边都乘以c，等式仍成立，故本选项不符合题意.
故答案为：C.
【分析】等式的性质：等式两边同时加上或减去相等的数或式子，两边依然相等；
等式两边同时乘（或除）相等的非零的数或式子，两边依然相等；
等式两边同时乘方（或开方），两边依然相等.
7．（2022七上·宁河月考）下列方程变形中，正确的是（ ）
A．由3x＝﹣4，系数化为1得x＝
B．由5＝2﹣x，移项得x＝5﹣2
C．由 ，去分母得4（x﹣1）﹣3（2x+3）＝1
D．由 3x﹣（2﹣4x）＝5，去括号得3x+4x﹣2＝5
【答案】D
【知识点】等式的性质
【解析】【解答】解：3x＝﹣4，系数化为1，得x＝﹣，A不符合题意；
5＝2﹣x，移项，得x＝2﹣5，B不符合题意；
由，去分母得4（x﹣1）﹣3（2x+3）＝24，C不符合题意；
由 3x﹣（2﹣4x）＝5，去括号得，3x﹣2+4x＝5，D符合题意，
故答案为：D．
【分析】利用等式的性质逐项判断即可。
8．（2022七上·余杭月考）下列方程变形正确的是（ ）
A．由x+2=7，得x=7+2 B．由5x=3，得
C．由x-3=2，得x=-3-2 D．由，得x=0
【答案】D
【知识点】等式的性质
【解析】【解答】解：A、 由x+2=7，得x=7-2 ，故A不符合题意；
B、 由5x=3，得，故B不符合题意；
C、由x-3=2，得x=3+2，故C不符合题意；
D、 由，得x=0，故D符合题意；
故答案为：D
【分析】利用移项要变号，可对A，C作出判断；利用等式的性质，可对B，D作出判断.
二、填空题
9．（2021七上·顺义期末）小硕同学解方程的过程如下：
解：移项，得． 合并同类项，得． 把未知数的系数化为1，得． 所以方程的解是．
其中，第一步移项的依据是 ．
【答案】等式的基本性质1
【知识点】等式的性质
【解析】【解答】解：等式的基本性质1：等式两边同时加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等，
所以第一步移项的依据是等式的基本性质1，
故答案为：等式的基本性质1．
【分析】根据等式的性质求解即可。
10．（2023七上·港南期末）若，则 .
【答案】-2
【知识点】等式的性质；含乘方的有理数混合运算
【解析】【解答】解：由得，；
由得，；
由得，；
；
故答案为：-2.
【分析】根据连等式可得a-b=-1，b-c=-1，c-a=2，然后整体代入按含乘方的有理数的混合运算的运算顺序计算即可.
11．（2022七上·延安月考）若|a﹣2020|+（﹣3）＝10，则a＝ ．
【答案】2033或2007
【知识点】绝对值及有理数的绝对值；等式的性质
【解析】【解答】解：∵|a-2020|+（-3）＝10，
∴|a-2020|＝13，
∴a-2020=13或a-2020=-13，
∴a=2033或a=2007.
故答案为：2033或2007.
【分析】先将|a-2020|+（-3）＝10变形为|a-2020|＝13，从而得a-2020=13或a-2020=-13，再分别求得a的值即可.
12．（2022七上·长沙开学考）x是实数，若，则 ．
【答案】1
【知识点】等式的性质
【解析】【解答】解：① ，
两边同时乘以 ，
，
，
②，
②－①得
，
故答案为：1.
【分析】给已知条件两边同时乘以x得出①式，两边同时加上1得出②式，然后用②式减去①式可得出答案.
13．（2021七上·江油期末）已知a、m、n均为有理数，且满足|a+m|＝6，|n﹣a|＝3，那么|m+n|的值为 ．
【答案】3或9
【知识点】绝对值及有理数的绝对值；等式的性质
【解析】【解答】解：∵|a+m|＝6，|n-a|＝3，
∴a+m＝±6，n-a＝±3，
∴a+m+n-a＝m+n=±9或±3，
∴ |m+n| =9或3.
故答案为：3或9.
【分析】根据绝对值的性质得出a+m＝±6，n-a＝±3，根据等式 的性质得出m+n=±9或±3，即可得出|m+n| =9或3.
三、计算题
14．（2020七上·来宾月考）解方程：
（1）3x-7(x-1)=5-2(x+ 3)；
（2）x- =2-
【答案】（1）解：去括号得：3x-7x+7=5-2x-6，
移项合并得：-2x=-8，
解得：x=4；
（2）解：去分母得：10x-5x+5=20- 2x-36，
移项合并得：7x=-21，
解得：x=-3
【知识点】等式的性质
【解析】【分析】（1）根据等式的基本性质，求出方程的解即可；
（2）同理，利用那个等式的基本性质，解出方程的解即可。
四、解答题
15．（2020七上·海淀期中）设a，b，c为整数，且对一切实数都有（x-a）（x -8）+1=（x-b）（x-c）恒成立．求a+b+c的值．
【答案】解：∵（x﹣a）（x﹣8）+1＝x2﹣（a+8）x+8a+1，
（x﹣b）（x﹣c）＝x2﹣（b+c）x+bc
又∵（x﹣a）（x﹣8）+1＝（x﹣b）（x﹣c）恒成立，
∴﹣（a+8）＝﹣（b+c），
∴8a+1＝bc，
消去a得：
bc﹣8（b+c）＝﹣63，
（b﹣8）（c﹣8）＝1，
∵b，c都是整数，故b﹣8＝1，c﹣8＝1或b﹣8＝﹣1，c﹣8＝﹣1，
解得b＝c＝9或b＝c＝7，
当b＝c＝9时，解得a＝10，
当b＝c＝7时，解得a＝6，
故a+b+c＝9+9+10＝28或7+7+6＝20，
故答案为：20或28．
【知识点】等式的性质；多项式的项和次数
【解析】【分析】等式两边化简之后，利用一次项系数相等和常数项相等得到两个等式a+8＝b+c和8a+1＝bc；消去a,再因式分解得到（b﹣8）（c﹣8）＝1，进而b﹣8＝1，c﹣8＝1或b﹣8＝﹣1，c﹣8＝﹣1，分别计算出a，b，c的值即可得出答案．
五、综合题
16．（2023七上·嘉兴期末）小周学习《5.2等式的基本性质》后，对等式5m-2= 3m-2进行变形，得出“5=3”的错误结论，但他找不到错误原因，聪明的你能帮助他找到原因吗？小周同学的具体过程如图所示：
（1）哪一步等式变形产生错误？
（2）请你分析产生错误的原因．
【答案】（1）解：第②步变形产生了错误；
（2）解：①m可能为0，
②两边同时除以不为0的数，违背了等式的性质，所以出错了.
【知识点】等式的性质
【解析】【分析】（1）根据等式的性质观察发现出错在第②步；
（2）小周同学的解题过程中，第一步的依据是等式两边同时加上或减去同一个数或整式，等式依然成立，第二步依据是等式的两边同时乘以或除以（除数不为0）同一个不为0的数或整式，等式依然成立，但在使用性质的时候，忽略了条件（除数不能为0）从而导致了出错 .
17．（2022七上·东阳月考）计算：（﹣8）×（■）﹣23．
小阳在做作业时，发现题中有一个数字被墨水污染了．
（1）如果被污染的数字是，请计算（﹣8）×（）﹣23；
（2）如果计算结果等于12，求被污染的数字．
【答案】（1）解：原式=-6+4-8
=-10.
（2）解：由题意得：（-8）×（-■）-23=12，
∴-■=20×（），
∴■=+=
∴被污染的数字是.
【知识点】等式的性质；含括号的有理数混合运算
【解析】【分析】（1）原式先算乘方，再利用乘法分配律去掉括号，最后再进行加减法计算，即可求解；
（2）由题意得：（-8）×（-■）-23=12，利用等式性质化简、计算可得■=，即可求解.
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