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2023-2024学年初中数学七年级上册3.1.2 等式的性质 同步分层训练培优卷 (人教版吉林地区)
一、选择题
1．（2022七上·顺义期末）下列变形正确的是（ ）
A．如果，那么 B．如果，那么
C．如果，那么 D．如果，那么
2．（2023七上·宝塔期末）下列变形中，运用等式的性质变形不正确的是（ ）
A．若x＝y，则x+3＝y+3 B．若x＝y，则﹣4x＝﹣4y
C．若x＝y，则ax＝ay D．若x＝y，则
3．（2022七上·永兴期末）下列运用等式的性质进行的变形，错误的是（ ）
A．如果，则 B．如果 ，则
C．如果 ，则 D．如果 ，则
4．（2022七上·淮南期末）已知，则下列变形错误的是（ ） ．
A． B． C． D．
5．（2022七上·阳西期末）下列运用等式性质进行的变形，正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
6．（2022七上·宝塔期末）下列变形中，运用等式的性质变形错误的是（ ）
A．若x＝y，则x+3＝y+3 B．若x＝y，则﹣4x＝﹣4y
C．若x＝y，则ax＝ay D．若x＝y，
7．（2022七上·长兴月考）根据等式的性质，下列变形错误的是（ ）
A．若a=b，则a-1=b-1 B．若，则a=b
C．若a=b，则-3a=-3b D．若ac=bc，则a=b
8．（2022七上·南宁月考）已知等式则下列等式中不一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．（2021七上·林口期末）下列叙述中，正确的有 （填序号）．
①单项式5×103x2y的次数是3；
②x﹣2xy+y是一次三项式；
③是一元一次方程；
④如果，那么；
⑤两个数相加，它们的和一定大于其中一个数；
⑥互为相反数的两个数的绝对值相等．
10．（2021七上·汕尾期末）小邱认为，若，则.你认为小邱的观点正确吗？ (填“是”或“否”)，并写出你的理由： .
11．（2021七上·哈尔滨月考）在等式 的两边同时减去一个多项式可以得到等式 ，则这个多项式是 ．
12．（2021七上·奉化期末）已知等式：①②③④ ，其中可以通过适当变形得到 的等式是 ．（填序号）
13．（2020七上·公主岭期末）阅读框图，在四个步骤中，不是依据等式性质变形的是 （填序号即可）．
14．（2020七上·东胜期末）将方程 移项得 ，你认为“移项”的依据是 ．
三、计算题
15．（2020七上·北京期中）解下列方程．
（1） ．
（2） ．
四、解答题
16．（2020七上·海淀期中）设a，b，c为整数，且对一切实数都有（x-a）（x -8）+1=（x-b）（x-c）恒成立．求a+b+c的值．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】等式的性质
【解析】【解答】解：A. 如果，那么，不符合题意；
B. 如果，且，那么，不符合题意；
C. 如果，那么，不符合题意；
D. 如果，那么a=b，符合题意；
故答案为：D．
【分析】利用等式的性质逐项判断即可。
2．【答案】D
【知识点】等式的性质
【解析】【解答】解：A、若x＝y，则x+3＝y+3，正确，故A不符合题意；
B、若x＝y，则﹣4x＝﹣4y ，正确，故B不符合题意；
C、若x＝y，则ax＝ay，正确，故C不符合题意；
D、若x＝y且a≠0，则，故D符合题意；
故答案为：D
【分析】利用等式的性质1，可对A作出判断；利用不等式的性质2，可对B，C，D作出判断.
3．【答案】C
【知识点】等式的性质
【解析】【解答】解：A. 如果，则，说法正确，故不符合题意；
B. 如果 ，则，说法正确，故不符合题意；
C. 如果 ，则，只有当的时候才成立，说法错误，故符合题意；
D. 如果 ，则，说法正确，故不符合题意；
故答案为：C.
【分析】等式的性质：等式两边同时加上或者是减去同一个整式，等式仍然成立；
等式两边同时乘或除以同一个不为0的整式，等式仍然成立；
等式两边同时乘方（或开方），两边依然相等.
4．【答案】D
【知识点】等式的性质
【解析】【解答】解：A、根据等式两边加上相同的数，等式成立，不符合题意；
B、移项得，不符合题意；
C、等式两边乘上相同的数，成立，不符合题意；
D、等式除以同一个不为零的数，等式才成立，需要强调，符合题意；
故答案为：D．
【分析】等式的性质①：等式的两边同时加上或减去同一个整式，等式仍成立；等式性质②：等式的两边同时乘或除以同一个不为0的整式，等式仍成立；据此逐一判断即可.
5．【答案】B
【知识点】等式的性质
【解析】【解答】解：A、若，当时，两边都除以c无意义，故此选项不符合题意；
B、若，两边都乘以c，得，故此选项符合题意；
C、若，得或，故此选项不符合题意；
D、若，两边都乘以，得，故此选项不符合题意．
故答案为：B．
【分析】等式的性质①：等式的两边同时加上或减去同一个整式，等式仍成立；等式性质②：等式的两边同时乘或除以同一个不为0的整式，等式仍成立；据此逐一分析即可.
6．【答案】D
【知识点】等式的性质
【解析】【解答】解：A. 已知x＝y，根据等式的性质，得到x+3＝y+3，不合题意；
B. 已知x＝y，根据等式的性质，得到﹣4x＝﹣4y，不合题意；
C. 已知若x＝y，根据等式的性质，得到ax＝ay，不合题意；
D. 已知x＝y，根据等式的性质，当a≠0时，，符合题意．
故答案为：D
【分析】利用等式的性质逐项判断即可。
7．【答案】D
【知识点】等式的性质
【解析】【解答】解：A、若a=b，则a-1=b-1，正确，故A不符合题意；
B、若，则a=b，正确，故B不符合题意；
C、 若a=b，则-3a=-3b，正确，故C不符合题意；
D、若ac=bc，当c≠0时则a=b，错误，故D符合题意；
故答案为：D
【分析】利用等式的性质1，可对A作出判断；再利用不等式的性质2，可对B、C、D作出判断.
8．【答案】C
【知识点】等式的性质
【解析】【解答】解：∵a=b，
∴a+1=b+1，
∴A选项正确，不符合题意；
∵2a=2b，
∴2a-2b=0，
∴B选项正确，不符合题意；
∵c=0或c≠0，
∴=不一定成立，ac=bc成立
∴C选项错误，符合题意；D选项正确，不符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据等式的加法性质得a+1=b+1，即可判断A选项；根据等式乘法性质得2a=2b，ac=bc，进而判断B、D选项；由于c=0或c≠0，根据等式除法性质可知=不一定成立，据此即可得出符合题意的选项.
9．【答案】①④⑥或①⑥④或④①⑥或④⑥①或⑥①④或⑥④①
【知识点】等式的性质；一元一次方程的定义；有理数的加法；单项式的次数和系数；多项式的项和次数
【解析】【解答】解：①单项式5×103x2y的次数是3；故符合题意；
②x﹣2xy+y是二次三项式；故不符合题意；
③变形的不是一元一次方程；故不符合题意；
④如果，那么；故符合题意；
⑤当两个负数相加，它们的和一定小于其中任何一个数；故不符合题意；
⑥互为相反数的两个数的绝对值相等；故符合题意．
故答案为：①④⑥.
【分析】根据单项式次数的定义，多项式的次数与项，一元一次方程的定义，等式的性质，有理数的加法，相反数的意义分别判断即可.
10．【答案】否；当c=0时，a可以不等于b
【知识点】等式的性质
【解析】【解答】小邱认为，若，则. 小邱的观点错误，原因是当c=0时，可以不等于.
故答案为否；当c=0时，a可以不等于b.
【分析】根据等式性质②：等式的两边同时乘或除以同一个不为0的整式，等式仍成立，进行判断即可.
11．【答案】
【知识点】等式的性质
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ，
∴等式两边同时减去 得： ，
∴等式 的两边同时减去一个多项式 可以得到等式 ，
故答案为： ．
【分析】根据等式的性质和整式的加减进行计算即可。
12．【答案】②③④
【知识点】等式的性质
【解析】【解答】解：①根据等式性质2，由 两边同乘以15得，5x= 3y；
②根据等式性质1， 两边同加x得， ；
③根据等式性质1， 两边同加5y得， ；
④根据等式性质2，由 两边同乘以3y得 ，据等式性质1， 两边同加3y得， ．
故答案为：②③④．
【分析】根据等式的性质“等式两边同时加或减去同一个数或式子，等式的值不变；等式两边同时乘或除以同一个不为0的数或式子，等式的值不变”并结合各选项可判断求解.
13．【答案】③
【知识点】等式的性质
【解析】【解答】解：①去分母时，在方程两边同时乘上10，依据为：等式的性质2；
②移项时，等式两边同时减去2x，依据为：等式的性质1；
③合并同类项时，依据是合并同类项法则；不是等式性质；
④系数化为1时，在等式两边同时除以3，依据为：等式的性质2；
故答案为：③．
【分析】根据等式的性质逐步判断即可。
14．【答案】等式的两边加（或减）同一个数，结果仍相等
【知识点】等式的性质
【解析】【解答】移项的依据是：等式的两边加（或减）同一个数，结果仍相等．
【分析】根据等式的性质判断即可。
15．【答案】（1）解：
去括号，得 ，
移项，得 ，
合并同类项，得 ，
系数化为1，得 ．
（2）解：
去分母得
去括号，得 ，
移项，得 ，
合并同类项，得 ，
系数化为1，得 ．
【知识点】等式的性质
【解析】【分析】（1）根据等式的基本性质，解方程即可；
（2）根据题意，由等式的基本性质，解方程得到答案即可。
16．【答案】解：∵（x﹣a）（x﹣8）+1＝x2﹣（a+8）x+8a+1，
（x﹣b）（x﹣c）＝x2﹣（b+c）x+bc
又∵（x﹣a）（x﹣8）+1＝（x﹣b）（x﹣c）恒成立，
∴﹣（a+8）＝﹣（b+c），
∴8a+1＝bc，
消去a得：
bc﹣8（b+c）＝﹣63，
（b﹣8）（c﹣8）＝1，
∵b，c都是整数，故b﹣8＝1，c﹣8＝1或b﹣8＝﹣1，c﹣8＝﹣1，
解得b＝c＝9或b＝c＝7，
当b＝c＝9时，解得a＝10，
当b＝c＝7时，解得a＝6，
故a+b+c＝9+9+10＝28或7+7+6＝20，
故答案为：20或28．
【知识点】等式的性质；多项式的项和次数
【解析】【分析】等式两边化简之后，利用一次项系数相等和常数项相等得到两个等式a+8＝b+c和8a+1＝bc；消去a,再因式分解得到（b﹣8）（c﹣8）＝1，进而b﹣8＝1，c﹣8＝1或b﹣8＝﹣1，c﹣8＝﹣1，分别计算出a，b，c的值即可得出答案．
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2023-2024学年初中数学七年级上册3.1.2 等式的性质 同步分层训练培优卷 (人教版吉林地区)
一、选择题
1．（2022七上·顺义期末）下列变形正确的是（ ）
A．如果，那么 B．如果，那么
C．如果，那么 D．如果，那么
【答案】D
【知识点】等式的性质
【解析】【解答】解：A. 如果，那么，不符合题意；
B. 如果，且，那么，不符合题意；
C. 如果，那么，不符合题意；
D. 如果，那么a=b，符合题意；
故答案为：D．
【分析】利用等式的性质逐项判断即可。
2．（2023七上·宝塔期末）下列变形中，运用等式的性质变形不正确的是（ ）
A．若x＝y，则x+3＝y+3 B．若x＝y，则﹣4x＝﹣4y
C．若x＝y，则ax＝ay D．若x＝y，则
【答案】D
【知识点】等式的性质
【解析】【解答】解：A、若x＝y，则x+3＝y+3，正确，故A不符合题意；
B、若x＝y，则﹣4x＝﹣4y ，正确，故B不符合题意；
C、若x＝y，则ax＝ay，正确，故C不符合题意；
D、若x＝y且a≠0，则，故D符合题意；
故答案为：D
【分析】利用等式的性质1，可对A作出判断；利用不等式的性质2，可对B，C，D作出判断.
3．（2022七上·永兴期末）下列运用等式的性质进行的变形，错误的是（ ）
A．如果，则 B．如果 ，则
C．如果 ，则 D．如果 ，则
【答案】C
【知识点】等式的性质
【解析】【解答】解：A. 如果，则，说法正确，故不符合题意；
B. 如果 ，则，说法正确，故不符合题意；
C. 如果 ，则，只有当的时候才成立，说法错误，故符合题意；
D. 如果 ，则，说法正确，故不符合题意；
故答案为：C.
【分析】等式的性质：等式两边同时加上或者是减去同一个整式，等式仍然成立；
等式两边同时乘或除以同一个不为0的整式，等式仍然成立；
等式两边同时乘方（或开方），两边依然相等.
4．（2022七上·淮南期末）已知，则下列变形错误的是（ ） ．
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】等式的性质
【解析】【解答】解：A、根据等式两边加上相同的数，等式成立，不符合题意；
B、移项得，不符合题意；
C、等式两边乘上相同的数，成立，不符合题意；
D、等式除以同一个不为零的数，等式才成立，需要强调，符合题意；
故答案为：D．
【分析】等式的性质①：等式的两边同时加上或减去同一个整式，等式仍成立；等式性质②：等式的两边同时乘或除以同一个不为0的整式，等式仍成立；据此逐一判断即可.
5．（2022七上·阳西期末）下列运用等式性质进行的变形，正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】B
【知识点】等式的性质
【解析】【解答】解：A、若，当时，两边都除以c无意义，故此选项不符合题意；
B、若，两边都乘以c，得，故此选项符合题意；
C、若，得或，故此选项不符合题意；
D、若，两边都乘以，得，故此选项不符合题意．
故答案为：B．
【分析】等式的性质①：等式的两边同时加上或减去同一个整式，等式仍成立；等式性质②：等式的两边同时乘或除以同一个不为0的整式，等式仍成立；据此逐一分析即可.
6．（2022七上·宝塔期末）下列变形中，运用等式的性质变形错误的是（ ）
A．若x＝y，则x+3＝y+3 B．若x＝y，则﹣4x＝﹣4y
C．若x＝y，则ax＝ay D．若x＝y，
【答案】D
【知识点】等式的性质
【解析】【解答】解：A. 已知x＝y，根据等式的性质，得到x+3＝y+3，不合题意；
B. 已知x＝y，根据等式的性质，得到﹣4x＝﹣4y，不合题意；
C. 已知若x＝y，根据等式的性质，得到ax＝ay，不合题意；
D. 已知x＝y，根据等式的性质，当a≠0时，，符合题意．
故答案为：D
【分析】利用等式的性质逐项判断即可。
7．（2022七上·长兴月考）根据等式的性质，下列变形错误的是（ ）
A．若a=b，则a-1=b-1 B．若，则a=b
C．若a=b，则-3a=-3b D．若ac=bc，则a=b
【答案】D
【知识点】等式的性质
【解析】【解答】解：A、若a=b，则a-1=b-1，正确，故A不符合题意；
B、若，则a=b，正确，故B不符合题意；
C、 若a=b，则-3a=-3b，正确，故C不符合题意；
D、若ac=bc，当c≠0时则a=b，错误，故D符合题意；
故答案为：D
【分析】利用等式的性质1，可对A作出判断；再利用不等式的性质2，可对B、C、D作出判断.
8．（2022七上·南宁月考）已知等式则下列等式中不一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】等式的性质
【解析】【解答】解：∵a=b，
∴a+1=b+1，
∴A选项正确，不符合题意；
∵2a=2b，
∴2a-2b=0，
∴B选项正确，不符合题意；
∵c=0或c≠0，
∴=不一定成立，ac=bc成立
∴C选项错误，符合题意；D选项正确，不符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据等式的加法性质得a+1=b+1，即可判断A选项；根据等式乘法性质得2a=2b，ac=bc，进而判断B、D选项；由于c=0或c≠0，根据等式除法性质可知=不一定成立，据此即可得出符合题意的选项.
二、填空题
9．（2021七上·林口期末）下列叙述中，正确的有 （填序号）．
①单项式5×103x2y的次数是3；
②x﹣2xy+y是一次三项式；
③是一元一次方程；
④如果，那么；
⑤两个数相加，它们的和一定大于其中一个数；
⑥互为相反数的两个数的绝对值相等．
【答案】①④⑥或①⑥④或④①⑥或④⑥①或⑥①④或⑥④①
【知识点】等式的性质；一元一次方程的定义；有理数的加法；单项式的次数和系数；多项式的项和次数
【解析】【解答】解：①单项式5×103x2y的次数是3；故符合题意；
②x﹣2xy+y是二次三项式；故不符合题意；
③变形的不是一元一次方程；故不符合题意；
④如果，那么；故符合题意；
⑤当两个负数相加，它们的和一定小于其中任何一个数；故不符合题意；
⑥互为相反数的两个数的绝对值相等；故符合题意．
故答案为：①④⑥.
【分析】根据单项式次数的定义，多项式的次数与项，一元一次方程的定义，等式的性质，有理数的加法，相反数的意义分别判断即可.
10．（2021七上·汕尾期末）小邱认为，若，则.你认为小邱的观点正确吗？ (填“是”或“否”)，并写出你的理由： .
【答案】否；当c=0时，a可以不等于b
【知识点】等式的性质
【解析】【解答】小邱认为，若，则. 小邱的观点错误，原因是当c=0时，可以不等于.
故答案为否；当c=0时，a可以不等于b.
【分析】根据等式性质②：等式的两边同时乘或除以同一个不为0的整式，等式仍成立，进行判断即可.
11．（2021七上·哈尔滨月考）在等式 的两边同时减去一个多项式可以得到等式 ，则这个多项式是 ．
【答案】
【知识点】等式的性质
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ，
∴等式两边同时减去 得： ，
∴等式 的两边同时减去一个多项式 可以得到等式 ，
故答案为： ．
【分析】根据等式的性质和整式的加减进行计算即可。
12．（2021七上·奉化期末）已知等式：①②③④ ，其中可以通过适当变形得到 的等式是 ．（填序号）
【答案】②③④
【知识点】等式的性质
【解析】【解答】解：①根据等式性质2，由 两边同乘以15得，5x= 3y；
②根据等式性质1， 两边同加x得， ；
③根据等式性质1， 两边同加5y得， ；
④根据等式性质2，由 两边同乘以3y得 ，据等式性质1， 两边同加3y得， ．
故答案为：②③④．
【分析】根据等式的性质“等式两边同时加或减去同一个数或式子，等式的值不变；等式两边同时乘或除以同一个不为0的数或式子，等式的值不变”并结合各选项可判断求解.
13．（2020七上·公主岭期末）阅读框图，在四个步骤中，不是依据等式性质变形的是 （填序号即可）．
【答案】③
【知识点】等式的性质
【解析】【解答】解：①去分母时，在方程两边同时乘上10，依据为：等式的性质2；
②移项时，等式两边同时减去2x，依据为：等式的性质1；
③合并同类项时，依据是合并同类项法则；不是等式性质；
④系数化为1时，在等式两边同时除以3，依据为：等式的性质2；
故答案为：③．
【分析】根据等式的性质逐步判断即可。
14．（2020七上·东胜期末）将方程 移项得 ，你认为“移项”的依据是 ．
【答案】等式的两边加（或减）同一个数，结果仍相等
【知识点】等式的性质
【解析】【解答】移项的依据是：等式的两边加（或减）同一个数，结果仍相等．
【分析】根据等式的性质判断即可。
三、计算题
15．（2020七上·北京期中）解下列方程．
（1） ．
（2） ．
【答案】（1）解：
去括号，得 ，
移项，得 ，
合并同类项，得 ，
系数化为1，得 ．
（2）解：
去分母得
去括号，得 ，
移项，得 ，
合并同类项，得 ，
系数化为1，得 ．
【知识点】等式的性质
【解析】【分析】（1）根据等式的基本性质，解方程即可；
（2）根据题意，由等式的基本性质，解方程得到答案即可。
四、解答题
16．（2020七上·海淀期中）设a，b，c为整数，且对一切实数都有（x-a）（x -8）+1=（x-b）（x-c）恒成立．求a+b+c的值．
【答案】解：∵（x﹣a）（x﹣8）+1＝x2﹣（a+8）x+8a+1，
（x﹣b）（x﹣c）＝x2﹣（b+c）x+bc
又∵（x﹣a）（x﹣8）+1＝（x﹣b）（x﹣c）恒成立，
∴﹣（a+8）＝﹣（b+c），
∴8a+1＝bc，
消去a得：
bc﹣8（b+c）＝﹣63，
（b﹣8）（c﹣8）＝1，
∵b，c都是整数，故b﹣8＝1，c﹣8＝1或b﹣8＝﹣1，c﹣8＝﹣1，
解得b＝c＝9或b＝c＝7，
当b＝c＝9时，解得a＝10，
当b＝c＝7时，解得a＝6，
故a+b+c＝9+9+10＝28或7+7+6＝20，
故答案为：20或28．
【知识点】等式的性质；多项式的项和次数
【解析】【分析】等式两边化简之后，利用一次项系数相等和常数项相等得到两个等式a+8＝b+c和8a+1＝bc；消去a,再因式分解得到（b﹣8）（c﹣8）＝1，进而b﹣8＝1，c﹣8＝1或b﹣8＝﹣1，c﹣8＝﹣1，分别计算出a，b，c的值即可得出答案．
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