角平分线性质[上学期]
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课件21张PPT。角平分线的性质授课教师:王志宏想一想：
1、假如现在我市新开发区有三个居民小区，要建一所学校，使它到三个小区的距离相等，你能画出学校所在的位置吗？ （如下图）
A． ．B
．C 2、有三条互相交叉的道路，要在道路的附近建一座加油站，使加油站的位置到三条路的距离相等，加油站应建在哪里呢？ （如图）L1L2L3 新的折痕与OB 的交点为E .做一做 （1）在一张纸上任意画一个角∠AOB，AOB沿角的两边剪下，将这个角对折，使角的两边重合.(3) 过点C折OA边的垂线，得到新的折痕CD，(4) 将纸打开，E 其中点D是折痕与OA的交点，即垂足. （2）在折痕(即角平分线)上任意取一点C;ODAC●BE1、在上述操作过程中，你发现了那些相同的线段？说说你的理由。2、在角平分线上另取一点，再试一试.●PMN定理：在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等几何语言：∵P是∠BOA的平分线
PD⊥AO于D，PE⊥OB于E∴PD=PE(
)在角的平分线上的点
到这个角的两边的距离相等下列两图中，能表示角的平分线上的一点P到角的边上的距离的是（ ）
练习1（1）已知：如图，OC平分∠AOB，CD⊥AO于D，CE⊥OB于E，若CD=3，则CE=（ ）3（2）已知：如图，△ABC中∠C=90°
BD平分∠ABC交AC于D，若BD=5，
BC =4，则点D到AB的距离为（ ）3（3）已知：如图，△ABC中， BD平分∠ABC交AC于D，若BD=5， BC =4，DC=3，则点D到AB的距离为（ ）3练一练已知：点P为∠AOB的角平分线上的一点，它到OA的距离为2cm，那么它到OB的距离是__________________。2cm2cm？ 如图，在 中， 是 的平分线， ，垂足为 ， 与 相等吗？为什么？
练一练
答： DE与DC相等。
∵BD是∠B的平分线，并且DE⊥AB，垂足是E，DC ⊥ BC，垂足是C。
∴DE=DC
理由：角的平分线上的点到这个角的两边距离相等。
、三角形两边中垂线的交点到_________的距离相等；三角形
两个内角平分线的交点到________的距离相等。
例1 已知：如图，点E是∠BAC平分线上一 点，EB⊥AB，EC⊥AC，B，C是垂足
求证：∠EBC=∠ECB证明：∵ E是∠BAC平分线上一 点 EB⊥AB，EC⊥AC∴EB=EC∴∠EBC=∠ECB
（在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等）
（在一个三角形中，等边对等角）如图，已知△ABC中， AD平分∠BAC，且BD=CD，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，∠B与∠C相等吗？为什么？试一试DE⊥AB，DF⊥AC 如图,直线a,b,c表示三条相交叉的公路,A、B,表示公路b 与 c 、a与 c的交叉点.若在三条公路围成的区域内修建一处加油站,使加油站到三条公路a,b,c的距离相等,则加油站应建在何处？用一用abcABＰＤＥＦC综合应用P逆定理:到一个角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上几何语言：∵PD=PE
PD⊥AO于D，PE⊥OB于E∴OP是∠BOA的平分线例2 已知：如图，DB⊥AB,DC⊥AC,B,C 是垂足,DB=DC
求证:DA平分∠BDC证明:∵ DB⊥AB,DC⊥AC
DB=DC∴DA平分∠BAC(到一个角的两边
的距离相等的点，在这个角的平分线上)
∴∠BAD=∠DAC
∵∠B=∠C=90°
∴∠BDA=90 ° -∠BAD
∠ADC=90 ° -∠DAC
∴∠BDA=∠ADC(等角的余角相等）
即DA平分∠BDC
总结:(1)定理：在角的平分线上的点到
这个角的两边的距离相等(2)逆定理:到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上
(3)角的平分线的性质定理和逆定理给证题提供了新方法(4)应用角平分线的性质定理和逆定理
解题要注意由三个条件得出相应的结果(5)角的平分线是到角的两边的距离相等的所有点的集合.1、 如图，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别是E，F， DE =DF， ∠EDB= 60°，则 ∠EBF= 度，BE= 。60BFC同学们再见
1、假如现在我市新开发区有三个居民小区，要建一所学校，使它到三个小区的距离相等，你能画出学校所在的位置吗？ （如下图）
A． ．B
．C 2、有三条互相交叉的道路，要在道路的附近建一座加油站，使加油站的位置到三条路的距离相等，加油站应建在哪里呢？ （如图）L1L2L3 新的折痕与OB 的交点为E .做一做 （1）在一张纸上任意画一个角∠AOB，AOB沿角的两边剪下，将这个角对折，使角的两边重合.(3) 过点C折OA边的垂线，得到新的折痕CD，(4) 将纸打开，E 其中点D是折痕与OA的交点，即垂足. （2）在折痕(即角平分线)上任意取一点C;ODAC●BE1、在上述操作过程中，你发现了那些相同的线段？说说你的理由。2、在角平分线上另取一点，再试一试.●PMN定理：在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等几何语言：∵P是∠BOA的平分线
PD⊥AO于D，PE⊥OB于E∴PD=PE(
)在角的平分线上的点
到这个角的两边的距离相等下列两图中，能表示角的平分线上的一点P到角的边上的距离的是（ ）
练习1（1）已知：如图，OC平分∠AOB，CD⊥AO于D，CE⊥OB于E，若CD=3，则CE=（ ）3（2）已知：如图，△ABC中∠C=90°
BD平分∠ABC交AC于D，若BD=5，
BC =4，则点D到AB的距离为（ ）3（3）已知：如图，△ABC中， BD平分∠ABC交AC于D，若BD=5， BC =4，DC=3，则点D到AB的距离为（ ）3练一练已知：点P为∠AOB的角平分线上的一点，它到OA的距离为2cm，那么它到OB的距离是__________________。2cm2cm？ 如图，在 中， 是 的平分线， ，垂足为 ， 与 相等吗？为什么？
练一练
答： DE与DC相等。
∵BD是∠B的平分线，并且DE⊥AB，垂足是E，DC ⊥ BC，垂足是C。
∴DE=DC
理由：角的平分线上的点到这个角的两边距离相等。
、三角形两边中垂线的交点到_________的距离相等；三角形
两个内角平分线的交点到________的距离相等。
例1 已知：如图，点E是∠BAC平分线上一 点，EB⊥AB，EC⊥AC，B，C是垂足
求证：∠EBC=∠ECB证明：∵ E是∠BAC平分线上一 点 EB⊥AB，EC⊥AC∴EB=EC∴∠EBC=∠ECB
（在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等）
（在一个三角形中，等边对等角）如图，已知△ABC中， AD平分∠BAC，且BD=CD，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，∠B与∠C相等吗？为什么？试一试DE⊥AB，DF⊥AC 如图,直线a,b,c表示三条相交叉的公路,A、B,表示公路b 与 c 、a与 c的交叉点.若在三条公路围成的区域内修建一处加油站,使加油站到三条公路a,b,c的距离相等,则加油站应建在何处？用一用abcABＰＤＥＦC综合应用P逆定理:到一个角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上几何语言：∵PD=PE
PD⊥AO于D，PE⊥OB于E∴OP是∠BOA的平分线例2 已知：如图，DB⊥AB,DC⊥AC,B,C 是垂足,DB=DC
求证:DA平分∠BDC证明:∵ DB⊥AB,DC⊥AC
DB=DC∴DA平分∠BAC(到一个角的两边
的距离相等的点，在这个角的平分线上)
∴∠BAD=∠DAC
∵∠B=∠C=90°
∴∠BDA=90 ° -∠BAD
∠ADC=90 ° -∠DAC
∴∠BDA=∠ADC(等角的余角相等）
即DA平分∠BDC
总结:(1)定理：在角的平分线上的点到
这个角的两边的距离相等(2)逆定理:到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上
(3)角的平分线的性质定理和逆定理给证题提供了新方法(4)应用角平分线的性质定理和逆定理
解题要注意由三个条件得出相应的结果(5)角的平分线是到角的两边的距离相等的所有点的集合.1、 如图，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别是E，F， DE =DF， ∠EDB= 60°，则 ∠EBF= 度，BE= 。60BFC同学们再见