北师大版九年级上册数学第二章 一元二次方程 检测试题（含答案）

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※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※
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北师大版九年级上册数学第二章检测试题（附答案）
一、单选题（共12题；共24分）
1.下列方程中，属于一元二次方程的是（ ）
A. B. C. D.
2.方程x2－2(3x－2)+(x+1)=0的一般形式是 ( )
A. x2－5x+5=0 B. x2+5x+5=0 C. x2+5x－5=0 D. x2+5=0
3.一元二次方程x2+px-2=0的一个根为2，则p的值为（　　）
A. 1 B. 2 C. -1 D. -2
4.两圆的半径分别为R和r，圆心距为1，且R、r分别是方程的两个根，则两圆的位置关系是（ ）
A. 相交 B. 外切 C. 内切 D. 外离
5.某商店四月份的利润为6.3万元，此后两个月进入淡季，利润均以相同的百分比下降，至六月份利润为5.4万元．设下降的百分比为x，由题意列出方程正确的是（　　）
A. 5.4（1+x）2=6.3 B. 5.4（1﹣x）2=6.3 C. 6.3（1+x）2=5.4 D. 6.3（1﹣x）2=5.4
6.把一块长80mm、宽60mm的铁皮的4个角分别剪去一个边长相等的小正方形，做成一个底面积是1500mm2的无盖铁盒．若设小正方形的边长为x mm，下面所列的方程中，正确的是（ ）
A. （80﹣x）（60﹣x）=1500 B. （80﹣2x）（60﹣2x）=1500
C. （80﹣2x）（60﹣x）=1500 D. （80﹣x）（60﹣2x）=1500
7.已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程x2-4x+3=0的根，则该三角形的周长可以是（ ）
A. 5 B. 7 C. 5或7 D. 10
8.若α、β为方程的两个实数根，则的值为（ ）。
A. B. 12 C. 14 D. 15
9.若方程 是一元二次方程，则m的值为（ ）
A. 0 B. ±1 C. 1 D. –1
10.下面结论错误的是（　　）
A. 方程x2+4x+5=0，则x1+x2=﹣4，x1x2=5 B. 方程2x2﹣3x+m=0有实根，则m≤
C. 方程x2﹣8x+1=0可配方得（x﹣4）2=15 D. 方程x2+x﹣1=0两根x1=， x2=
11.已知关于x的一元四次方程x4+px2+qx+r=0有三个相等的实根和另一个与之不同的实根，则下列三个命题中真命题有（　　）个
①p+q=r可能成立；②p+r=q可能成立；③q+r=p可能成立．
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
12.如图，若正方形OABC的顶点B和正方形ADEF的顶点E都在函数y=（x>0）的图像上，则点E的坐标为（ ）
A. (,) B. （1,） C. （2,） D. （,)
二、填空题（共6题；共14分）
13.一元二次方程 的二次项系数是________.
14.某水果店销售一种进口水果，其进价为每千克40元，若按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售可增加20千克．水果店想要能尽可能让利于顾客，赢得市场，又想要平均每天获利2090元，则该店应降价________元出售这种水果．
15.去年2月“蒜你狠”风潮又一次来袭，某市蔬菜批发市场大蒜价格猛涨，原来单价4元/千克的大蒜，经过2月和3月连续两个月增长后，价格上升很快，物价部门紧急出台相关政策控制价格，4月大蒜价格下降了36%，恰好与涨价前的价格相同，则2月，3月的平均增长率为________．
16.已知方程x2+mx+3=0的一个根是1，则它的另一个根是________．
17.已知方程x2+100x+10=0的两根分别为x1 ， x2 ， 则x1x2﹣x1﹣x2的值等于________．
18.方程：（2x+1）（x-1）=8（9-x）-1的根为________。
三、计算题（共2题；共10分）
19.解方程：x2+6x+5=0．
20.解方程： （1） （2）
（3） （4）．
四、解答题（共4题；共21分）
21.解方程x（2x+3）﹣2x﹣3=0．
22.某小区有一块长21米，宽8米的矩形空地，如图所示．社区计划在其中修建两块完全相同的矩形绿地，并且两块绿地之间及四周都留有宽度为x米的人行通道．如果这两块绿地的面积之和为60平方米，人行通道的宽度应是多少米？
23.已知a、b、c为三角形三个边， +bx（x-1）= -2b是关于x的一元二次方程吗？
24.某连锁超市派遣调查小组在春节期间调查某种商品的销售情况，下面是调查后小张与其他两位成员交流的情况．
小张：“该商品的进价为24元/件．”
成员甲：“当定价为40元/件时，每天可售出480件．”
成员乙：“若单价每涨1元，则每天少售出20件；若单价每降1元，则每天多售出40件．”根据他们的对话，请你求出要使该商品每天获利7680元，应该怎样合理定价？
五、综合题（共4题；共41分）
25.某水果商场经销一种高档水果，原价每千克50元，连续两次降价后每千克32元，若每次下降的百分率相同．（1）求每次下降的百分率；
（2）若每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，且要尽快减少库存，那么每千克应涨价多少元？
26.我们知道，解一元二次方程，可以把它转化为两个一元一次方程来解，其实用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程，例如一元三次方程x3+x2﹣2x=0，可以通过因式分解把它转化为x（x2+x﹣2）=0，解方程x=0和x2+x﹣2=0，可得方程x3+x2﹣2x=0的解．
（1）方程x3+x2﹣2x=0的解是x1=0，x2=________，x3=________．
（2）用“转化”思想求方程 =x的解．
（3）如图，已知矩形草坪ABCD的长AD=14m，宽AB=12m，小华把一根长为28m的绳子的一端固定在点B处，沿草坪边沿BA、AD走到点P处，把长绳PB段拉直并固定在点P处，然后沿草坪边沿PD、DC走到点C处，把长绳剩下的一段拉直，长绳的另一端恰好落在点C处，求AP的长．
27.如图，抛物线y=ax2+bx﹣2经过点A（1，0）和点B（4，0），与y轴交于点C．
附：阅读材料
法国弗朗索瓦 韦达最早发现一元二次方程中根与系数的关系为：两根之和等于一次项系数与二次项系数之比的相反数，两根之积等于常数项羽二次项系数之比，人们称之为韦达定理．
即：设一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为x1、x2 ， 则：x1+x2=﹣ ，x1 x2= 能灵活运用韦达定理，有时可以使解题更为简单．
（1）求抛物线的解析式；
（2）以点A为圆心，作于直线BC相切的⊙A，求⊙A的面积；
（3）将直线BC向下平移n个单位后与抛物线交于点M、N，且线段MN=2CB，求直线MN的解析式及平移距离．
28.如图，在边长为12cm的等边三角形ABC中，点P从点A开始沿AB边向点B以每秒钟1cm的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以每秒钟2cm的速度移动．若P、Q分别从A、B同时出发，其中任意一点到达目的地后，两点同时停止运动，求：
（1）经过6秒后，BP=________cm，BQ=________cm；
（2）经过几秒后，△BPQ是直角三角形？
（3）经过几秒△BPQ的面积等于 cm2？
答案
一、单选题
1. B 2. A 3. C 4. C 5. D 6. B 7. B 8. B 9. D 10. A 11. B 12. A
二、填空题
13. 4 14.9 15.25% 16.3 17.110 18.-8或
三、计算题
19. 解：解法一：x2+6x+5=0
(x+1)(x+5)=0
∴x+1=0或x+5=0∴x1=-1．X2=-5
解法二：x2+6x+5=0
x2+6x=-5 x2+6x+9=-5+9 (x+3)2=4 x+3=±2 x1=-1，x2=-5
解法三：∵a=1，b=6，c=5
∴b2-4ac=16>0∴x= ∴x1=-1，x2=-5
20. （1）解：方程整理得： ，
这里 ， ， ，
∵ ，∴ ，
∴ ，
（2）解：分解因式得： ，
可得 或 ，
解得： ， ．
（3）解：移项得， ，
开平方得， ，
移项得， ，
（4）解：∵ ，∴ ，∴ ，∴ ．
四、解答题
21.解：x（2x+3）﹣（2x+3）=0，
（2x+3）（x﹣1）=0，
2x+3=0或x﹣1=0，
所以x1=﹣，x2=1．
22.解：根据题意，得 ．
整理得 ．
解得 ， ．
∵ 不符合题意，舍去，．
答：人行通道的宽度是2米
23.是
24. 解：设每件商品定价为x元．
①当x≥40时，(x-24)[480-20(x-40)]=7680，
解得：x1=40，x2=48；
②当x<40时，(x-24)[480+40(40-x)]=7680，
解得：x1=40（舍去），x2=36．
答：要使该商品每天获利7680元，应定价为36元/件、40元/件或48元/件．
五、综合题
25. （1）解：设每次降价的百分率为 ，
根据题意，得： ，
解得： 或 （舍去），
答：每次下降的百分率为 ；
（2）解：设每千克应涨价 元，
由题意，得： ，
解得： 或 ，
∵当 时销售量较少，不符合尽快减少库存的销售策略，
∴ 不符合题意，舍去，
答：该商场要保证每天盈利6000元，且要尽快减少库存，那么每千克应涨价5元.
26. （1）1；﹣2
（2）解：∵ =x，
∴2x+3=x2 ， 且2x+3＞0,x＞0
即x2﹣2x﹣3=0，
∴（x+1）（x﹣3）=0，
则x+1=0或x﹣3=0，
解得：x1=﹣1(舍去)、x2=3
（3）解：设AP=x，则DP=14﹣x，
∵AB=CD=12，∠A=∠D=90°，
∴PB= = 、PC= = ，
∵PB+PC=28，
∴ + =28，
=28﹣ ，
两边平方，整理可得： ，
再两边平方，整理可得：x2﹣14x+45=0，
解得x1=5、x2=9，
则AP的长为5m或9m．
27. （1）解：设抛物线解析式为y=a（x﹣1）（x﹣4），
即y=ax2﹣5ax+4a，∴4a=﹣2，解得a=﹣ ，
∴抛物线解析式为y=﹣ x2+ x﹣2；
（2）解：作AD⊥BC于D，如图，当x=0时，y=﹣ x2+ x﹣2=﹣2，则C（0，﹣2），
BC= =2 ；
∵∠ABD=∠CBO，∴Rt△BAD∽Rt△BCO，∴ = ，即 = ，∴AD= ，
∵直线BC相切的⊙A，∴AD为⊙A的半径，
∴⊙A的面积=π （ ）2= π；
（3）解：设直线BC的解析式为y=kx+m，
把B（4，0），C（0，﹣2）代入得 ，解得 ，
∴直线BC的解析式为y= x﹣2，
设直线MN的解析式为y= x+t，M（x1 ， y1），N（x2 ， y2），
则x1、x2为方程﹣ x2+ x﹣2= x+2t的两根，方程整理为x2﹣4x+2t+4=0，
∴x1+x2=4，x1 x2=2t+4，
∵y1﹣y2= x1+t﹣（ x2+t）= （x1﹣x2），
∴MN= = = = = ，
∵MN=2CB，∴ =4 ，解得t=﹣8，∴直线MN的解析式为y= x﹣8，
∴将直线BC向下平移6个单位得到直线MN，即平移的距离为6．
28. （1）6；12
（2）解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=12cm，∠A=∠B=∠C=60°，
当∠PQB=90°时，
∴∠BPQ=30°，
∴BP=2BQ．
∵BP=12﹣x，BQ=2x，
∴12﹣x=2×2x，
∴x= ，
当∠QPB=90°时，
∴∠PQB=30°，
∴BQ=2PB，
∴2x=2（12﹣x），
x=6
答6秒或 秒时，△BPQ是直角三角形
（3）解：作QD⊥AB于D，
∴∠QDB=90°，
∴∠DQB=30°，
∴DB= BQ=x，
在Rt△DBQ中，由勾股定理，得
DQ= x，
∴ ，
解得；x1=10，x2=2，
∵x=10时，2x＞12，故舍去
∴x=2．
答：经过2秒△BPQ的面积等于 cm2 ．
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