2023-2024学年初中数学七年级上册4.1 几何图形 同步分层训练培优卷 (人教版吉林地区)
一、选择题
1．（2022七上·延庆期末）一个正方体的展开图如图所示，如果正方体相对的两个面所标的数字均互为相反数，那么的值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022七上·顺义期末）在下面的图形中，不是正方体的展开图的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022七上·平谷期末）你见过一种折叠灯笼吗？它看起来是平面的，可是提起来后却变成了美丽的灯笼，这个过程可近似地用哪个数学原理来解释（ ）
A．点动成线 B．线动成面
C．面动成体 D．面与面相交的地方是线
4．（2023七上·达川期末）如图，是正方体包装盒的表面积展开图，如在其中的三个正方形、、、内分别填上适当的数，使得将这个表面积展开图沿虚线折成正方形后，相对面上的两数字互为相反数，则填在、、内的三个数字依次为（ ）
A．0，1，-2 B．0，-2，1 C．1，0，-2 D．-2，0，1
5．（2023七上·泗洪期末）某正方体的每一个面上都有一个汉字，如图是它的种表面展开图，那么在原正方体的表面上，与“洗”字相对的面上的汉字是（ ）
A．罩 B．勤 C．口 D．戴
6．（2023七上·渠县期末）如图是一个正方体的平面展开图.如果将其折叠成正方体，那么"祖”的对面是（ ）
A．我 B．和 C．的 D．国
7．（2020七上·内江月考）在正方体的表面上画有如图1中所示的粗线，图2是其展开图的示意图，但只在A面上画有粗线，那么将图1中剩余两个面中的粗线画入图2中，画法正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．（2020七上·西安月考）如图所示的三棱柱，高为 ，底面是一个边长为 的等边三角形.要将该三棱柱的表面沿某些棱剪开，展开成一个平面图形，需剪开棱的棱长的和的最小值为（ ） .
A．28 B．31 C．34 D．36
二、填空题
9．（2022七上·双阳期末）如图，在有序号的小正方形中选出一个，它与图中五个有阴影的小正方形组合后，能构成正方体的表面展开图的是 ．
10．（2023七上·万源期末）如图是正方体的展开图，相对两个面上的数互为倒数，则x＝ ，y＝ ．
11．（2023七上·达川期末）如图是一个正方体纸盒的展开图，正方体的各面标有数1，2，3，-3，，，相对面上的两个数互为相反数，则 ．
12．（2022七上·永兴期末）如图：一个正方体的侧面展开图，相对的面是一对相反数，则 .
13．（2021七上·成都期末）一张长50cm，宽40cm的长方形纸板，在其四个角上分别剪去一个小正方形（边长相等且为整厘米数）后，折成一个无盖的长方体形盒子，这个长方体形盒子的容积最大为 cm3.
三、解答题
14．（2023七上·宁强期末）如图是一个正方体的表面展开图，每一个面上都写有一个整数，并且相对两个面上所写的两个互为相反数，求的值.
15．（2022七上·济南期中）如图，是一个几何体的表面展开图，依据图中数据求该几何体的表面积和体积．
四、作图题
16．（2020七上·九江月考）如图（1），这是将一个棱长为1的正方体空盒子截去一个角后的剩下的几何体，请在图（2）的 的网格中画出它的一种展开图．
五、综合题
17．（2022七上·义乌月考）每个正方体相对两个面上写的数之和等于2．
（1）求图1的正方体看不见的三个面上的数字的积．
（2）现将两个这样的正方体黏合放置（如图2），求所有看不见的七个面上所写的数字的和．
18．（2020七上·寿阳期中）综合实践
问题情景：某综合实践小组进行废物再利用的环保小卫士行动. 他们准备用废弃的宣传单制作装垃圾的无盖纸盒.
操作探究：
（1）若准备制作一个无盖的正方体形纸盒，如图1，下面的哪个图形经过折叠能围成无盖正方体形纸盒？
（2）如图2是小明的设计图，把它折成无盖正方体形纸盒后与“保”字相对的是哪个字？
（3）如图3，有一张边长为20cm的正方形废弃宣传单，小华准备将其四角各剪去一个小正方形，折成无盖长方体形纸盒.
①请你在图3中画出示意图，用实线表示剪切线，虚线表示折痕.
②若四角各剪去了一个边长为xcm的小正方形，用含x的代数式表示这个纸盒的高以及底面积，当小正方形边长为4cm时，求纸盒的容积.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】相反数及有理数的相反数；几何体的展开图
【解析】【解答】解：根据正方体的展开图可得：x与2相对，y与1相对，
根据题意可得：x=-2，y=-1
则，
故答案为：B
【分析】根据正方体展开图的特征及相反数的定义求出x、y的值，再将其代入计算即可。
2．【答案】D
【知识点】几何体的展开图
【解析】【解答】解：由四棱柱四个侧面和上下两个底面的特征可知，B，C，A选项可以围成一个正方体，
D选项折叠后缺少一个底面，故不是正方体的展开图．
故答案为：D．
【分析】根据正方体展开图的特征求解即可。
3．【答案】C
【知识点】点、线、面、体及之间的联系
【解析】【解答】解：由平面图形变成立体图形的过程是面动成体，
故答案为：C．
【分析】利用面动成体的关系求解即可。
4．【答案】B
【知识点】相反数及有理数的相反数；几何体的展开图
【解析】【解答】解：A的对面是0，B的对面是2，C的对面是-1.
∴点A表示的数是0，点B表示的数是-2，点C表示的数是1.
故答案为：B
【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，可得到A，B，C对面表示的数，再利用相反数的定义可得到A，B，C表示的数.
5．【答案】D
【知识点】几何体的展开图
【解析】【解答】解：根据题意得：“勤”与“罩”是相对面，
“洗”与“戴”是相对面，
“手”与“口”是相对面.
故答案为：D.
【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答.
6．【答案】A
【知识点】几何体的展开图
【解析】【解答】解：因为正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，
所以与“祖”相对的面上的字是第一行的“我”.
故答案为：A.
【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答.
7．【答案】A
【知识点】几何体的展开图
【解析】【解答】解：可把A、B、C、D选项折叠，能够复原（1）图的只有A．
故答案为：A．
【分析】根据题意和所给图形对每个选项一一判断求解即可。
8．【答案】A
【知识点】几何体的展开图
【解析】【解答】解：由图形可知：没有剪开的棱的条数是4条，
则至少需要剪开的棱的条数是：9-4=5（条），
∴棱长和的最小值为：8+4×5=28，
故答案为：A
【分析】三棱柱有9条棱，观察三棱柱的展开图可知没有剪开的棱的条数是条，相减即可求出需要剪开的棱的条数.
9．【答案】①
【知识点】几何体的展开图
【解析】【解答】解：∵选取②③④不可以构成正方体的表面展开图，
选取①时，能构成正方体的表面展开图；
故答案为：①．
【分析】根据正方体展开图的特征求解即可。
10．【答案】；
【知识点】有理数的倒数；几何体的展开图；利用合并同类项、移项解一元一次方程
【解析】【解答】解：∵正方体的展开图中，相对两个面上的数互为倒数，
∴-3（x-1）=1，3（y-2）=1，
解之：，.
故答案为：，
【分析】利用正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，再根据相对两个面上的数互为倒数，可得到关于x，y的方程组，解方程组求出x，y的值.
11．【答案】-2
【知识点】相反数及有理数的相反数；几何体的展开图
【解析】【解答】解：∵相对面上的两个数互为相反数，
∴A的对面是2，
∴A表示的数为-2.
故答案为：-2
【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，可得到A的对面表示的数，利用只有符号不同的数是互为相反数，可得到A的值.
12．【答案】
【知识点】相反数及有理数的相反数；几何体的展开图
【解析】【解答】解：由正方体的展开图可得：
写有的这一面与写有的这一面是相对面，
∴，
解得：，
故答案为：.
【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，则写有a+12的这一面与写有3a-4的这一面是相对面，然后根据相对的面是一对相反数就可求出a的值.
13．【答案】6552
【知识点】几何体的展开图
【解析】【解答】解：设减去的正方形的边长为x厘米，则体积V=x（50-2x）（40-2x）=2×2x（25-x）（20-x）；
因为2x+（25-x）+（20-x）=45，当2x、（25-x）、（20-x）三个值最接近时，积最大，而每一项=45÷3=15时，积最大，而取整数厘米，所以2x=14，即x=7时；
这时纸盒的容积v=（50-7×2）×（40-7×2）×7，
=36×26×7，
=6552cm3.
故答案为：6552.
【分析】根据题意，这张纸板上在它的四个角上剪去大小相等的四个正方形，然后做成一个无盖的纸盒,也就是纸板的长和宽分别减去所剪正方形的两个边长，是纸盒底面的长和宽，纸盒的高就等于所剪去的正方形的边长；当纸盒的长、宽、高三个值最接近时，它们的容积最大，因此可以设减去的正方形的边长为x厘米，列方程解答.
14．【答案】解：∵a与相对，b与2相对，c与1相对，相对两个面上所写的两个互为相反数，
∴，
∴.
故答案为：2.
【知识点】相反数及有理数的相反数；几何体的展开图
【解析】【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，据此可得相对的面，然后根据相对的面上所写的两个数互为相反数可得a、b、c的值，然后根据有理数的混合运算法则进行计算.
15．【答案】解：有展开图得这个几何体为长方体，
表面积：（平方米）；
体积：（立方米），
答：该几何体得表面积是22平方米，体积是6立方米．
【知识点】几何体的表面积；几何体的展开图
【解析】【分析】 展开图得这个几何体为长方体， 根据长方体的表面积和体积公式计算即可。
16．【答案】解：根据分析画图如下：（画出其中一种就可以）
【知识点】几何体的展开图
【解析】【分析】观察图形，结合正方体展开图的特征，画出它的一个平面展开图即可。
17．【答案】（1）解：∵1+1=2；3+（-1）=2；-2+4=2；
∴积是1×4×（﹣1）＝﹣4；
（2）解：∵1+1=2，，2+0=2，3+(-1)=2，-4+6=2，
∴看不见的面上得数字为1，，0，-1，6，
左边的正方体的左右两面的数值之和为2，
∴和是1+ +2+6﹣1+0＝8 ．
【知识点】几何体的展开图；有理数的加法；有理数的加、减混合运算
【解析】【分析】（1）利用对面两个每个正方体相对两个面上写的数之和等于2，可得到看不见的三个面上得数字分别是1，-1，4，然后将这三个数相乘，求出结果.
（2）根据相对两个面上写的数之和等于2，可得到看不见的数字为1，，0，-1，6，左边的正方体的左右两面的数值之和为2，然后将六个数求和即可.
18．【答案】（1）解：A．有田字，故A不能折叠成无盖正方体；
B．只有4个小正方形，无盖的应该有5个小正方形，不能折叠成无盖正方体；
C．可以折叠成无盖正方体；
D．有6个小正方形，无盖的应该有5个小正方形，不能折叠成无盖正方体．
故答案为：C．
（2）解：正方体的平面展开图中，相对面的特点是中间必须间隔一个正方形，所以与“保”字相对的字是“卫”．
（3）解：①如图，
②设剪去的小正方形的边长为x（cm），用含字母x的式子表示这个盒子的高为xcm，底面积为（20﹣2x）2cm2，当小正方形边长为4cm时，纸盒的容积为=x（20﹣2x）2=4×（20﹣2×4）2=576（cm3）．
【知识点】立体图形的初步认识；几何体的展开图
【解析】【分析】（1）由平面图形的折叠及正方体的展开图解答本题；（2）正方体的平面展开图中，相对面的特点是中间必须间隔一个正方形，据此作答；（3）①根据题意，画出图形即可；②根据正方体底面积、体积，即可解答．
1 / 12023-2024学年初中数学七年级上册4.1 几何图形 同步分层训练培优卷 (人教版吉林地区)
一、选择题
1．（2022七上·延庆期末）一个正方体的展开图如图所示，如果正方体相对的两个面所标的数字均互为相反数，那么的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】相反数及有理数的相反数；几何体的展开图
【解析】【解答】解：根据正方体的展开图可得：x与2相对，y与1相对，
根据题意可得：x=-2，y=-1
则，
故答案为：B
【分析】根据正方体展开图的特征及相反数的定义求出x、y的值，再将其代入计算即可。
2．（2022七上·顺义期末）在下面的图形中，不是正方体的展开图的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】几何体的展开图
【解析】【解答】解：由四棱柱四个侧面和上下两个底面的特征可知，B，C，A选项可以围成一个正方体，
D选项折叠后缺少一个底面，故不是正方体的展开图．
故答案为：D．
【分析】根据正方体展开图的特征求解即可。
3．（2022七上·平谷期末）你见过一种折叠灯笼吗？它看起来是平面的，可是提起来后却变成了美丽的灯笼，这个过程可近似地用哪个数学原理来解释（ ）
A．点动成线 B．线动成面
C．面动成体 D．面与面相交的地方是线
【答案】C
【知识点】点、线、面、体及之间的联系
【解析】【解答】解：由平面图形变成立体图形的过程是面动成体，
故答案为：C．
【分析】利用面动成体的关系求解即可。
4．（2023七上·达川期末）如图，是正方体包装盒的表面积展开图，如在其中的三个正方形、、、内分别填上适当的数，使得将这个表面积展开图沿虚线折成正方形后，相对面上的两数字互为相反数，则填在、、内的三个数字依次为（ ）
A．0，1，-2 B．0，-2，1 C．1，0，-2 D．-2，0，1
【答案】B
【知识点】相反数及有理数的相反数；几何体的展开图
【解析】【解答】解：A的对面是0，B的对面是2，C的对面是-1.
∴点A表示的数是0，点B表示的数是-2，点C表示的数是1.
故答案为：B
【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，可得到A，B，C对面表示的数，再利用相反数的定义可得到A，B，C表示的数.
5．（2023七上·泗洪期末）某正方体的每一个面上都有一个汉字，如图是它的种表面展开图，那么在原正方体的表面上，与“洗”字相对的面上的汉字是（ ）
A．罩 B．勤 C．口 D．戴
【答案】D
【知识点】几何体的展开图
【解析】【解答】解：根据题意得：“勤”与“罩”是相对面，
“洗”与“戴”是相对面，
“手”与“口”是相对面.
故答案为：D.
【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答.
6．（2023七上·渠县期末）如图是一个正方体的平面展开图.如果将其折叠成正方体，那么"祖”的对面是（ ）
A．我 B．和 C．的 D．国
【答案】A
【知识点】几何体的展开图
【解析】【解答】解：因为正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，
所以与“祖”相对的面上的字是第一行的“我”.
故答案为：A.
【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答.
7．（2020七上·内江月考）在正方体的表面上画有如图1中所示的粗线，图2是其展开图的示意图，但只在A面上画有粗线，那么将图1中剩余两个面中的粗线画入图2中，画法正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】几何体的展开图
【解析】【解答】解：可把A、B、C、D选项折叠，能够复原（1）图的只有A．
故答案为：A．
【分析】根据题意和所给图形对每个选项一一判断求解即可。
8．（2020七上·西安月考）如图所示的三棱柱，高为 ，底面是一个边长为 的等边三角形.要将该三棱柱的表面沿某些棱剪开，展开成一个平面图形，需剪开棱的棱长的和的最小值为（ ） .
A．28 B．31 C．34 D．36
【答案】A
【知识点】几何体的展开图
【解析】【解答】解：由图形可知：没有剪开的棱的条数是4条，
则至少需要剪开的棱的条数是：9-4=5（条），
∴棱长和的最小值为：8+4×5=28，
故答案为：A
【分析】三棱柱有9条棱，观察三棱柱的展开图可知没有剪开的棱的条数是条，相减即可求出需要剪开的棱的条数.
二、填空题
9．（2022七上·双阳期末）如图，在有序号的小正方形中选出一个，它与图中五个有阴影的小正方形组合后，能构成正方体的表面展开图的是 ．
【答案】①
【知识点】几何体的展开图
【解析】【解答】解：∵选取②③④不可以构成正方体的表面展开图，
选取①时，能构成正方体的表面展开图；
故答案为：①．
【分析】根据正方体展开图的特征求解即可。
10．（2023七上·万源期末）如图是正方体的展开图，相对两个面上的数互为倒数，则x＝ ，y＝ ．
【答案】；
【知识点】有理数的倒数；几何体的展开图；利用合并同类项、移项解一元一次方程
【解析】【解答】解：∵正方体的展开图中，相对两个面上的数互为倒数，
∴-3（x-1）=1，3（y-2）=1，
解之：，.
故答案为：，
【分析】利用正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，再根据相对两个面上的数互为倒数，可得到关于x，y的方程组，解方程组求出x，y的值.
11．（2023七上·达川期末）如图是一个正方体纸盒的展开图，正方体的各面标有数1，2，3，-3，，，相对面上的两个数互为相反数，则 ．
【答案】-2
【知识点】相反数及有理数的相反数；几何体的展开图
【解析】【解答】解：∵相对面上的两个数互为相反数，
∴A的对面是2，
∴A表示的数为-2.
故答案为：-2
【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，可得到A的对面表示的数，利用只有符号不同的数是互为相反数，可得到A的值.
12．（2022七上·永兴期末）如图：一个正方体的侧面展开图，相对的面是一对相反数，则 .
【答案】
【知识点】相反数及有理数的相反数；几何体的展开图
【解析】【解答】解：由正方体的展开图可得：
写有的这一面与写有的这一面是相对面，
∴，
解得：，
故答案为：.
【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，则写有a+12的这一面与写有3a-4的这一面是相对面，然后根据相对的面是一对相反数就可求出a的值.
13．（2021七上·成都期末）一张长50cm，宽40cm的长方形纸板，在其四个角上分别剪去一个小正方形（边长相等且为整厘米数）后，折成一个无盖的长方体形盒子，这个长方体形盒子的容积最大为 cm3.
【答案】6552
【知识点】几何体的展开图
【解析】【解答】解：设减去的正方形的边长为x厘米，则体积V=x（50-2x）（40-2x）=2×2x（25-x）（20-x）；
因为2x+（25-x）+（20-x）=45，当2x、（25-x）、（20-x）三个值最接近时，积最大，而每一项=45÷3=15时，积最大，而取整数厘米，所以2x=14，即x=7时；
这时纸盒的容积v=（50-7×2）×（40-7×2）×7，
=36×26×7，
=6552cm3.
故答案为：6552.
【分析】根据题意，这张纸板上在它的四个角上剪去大小相等的四个正方形，然后做成一个无盖的纸盒,也就是纸板的长和宽分别减去所剪正方形的两个边长，是纸盒底面的长和宽，纸盒的高就等于所剪去的正方形的边长；当纸盒的长、宽、高三个值最接近时，它们的容积最大，因此可以设减去的正方形的边长为x厘米，列方程解答.
三、解答题
14．（2023七上·宁强期末）如图是一个正方体的表面展开图，每一个面上都写有一个整数，并且相对两个面上所写的两个互为相反数，求的值.
【答案】解：∵a与相对，b与2相对，c与1相对，相对两个面上所写的两个互为相反数，
∴，
∴.
故答案为：2.
【知识点】相反数及有理数的相反数；几何体的展开图
【解析】【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，据此可得相对的面，然后根据相对的面上所写的两个数互为相反数可得a、b、c的值，然后根据有理数的混合运算法则进行计算.
15．（2022七上·济南期中）如图，是一个几何体的表面展开图，依据图中数据求该几何体的表面积和体积．
【答案】解：有展开图得这个几何体为长方体，
表面积：（平方米）；
体积：（立方米），
答：该几何体得表面积是22平方米，体积是6立方米．
【知识点】几何体的表面积；几何体的展开图
【解析】【分析】 展开图得这个几何体为长方体， 根据长方体的表面积和体积公式计算即可。
四、作图题
16．（2020七上·九江月考）如图（1），这是将一个棱长为1的正方体空盒子截去一个角后的剩下的几何体，请在图（2）的 的网格中画出它的一种展开图．
【答案】解：根据分析画图如下：（画出其中一种就可以）
【知识点】几何体的展开图
【解析】【分析】观察图形，结合正方体展开图的特征，画出它的一个平面展开图即可。
五、综合题
17．（2022七上·义乌月考）每个正方体相对两个面上写的数之和等于2．
（1）求图1的正方体看不见的三个面上的数字的积．
（2）现将两个这样的正方体黏合放置（如图2），求所有看不见的七个面上所写的数字的和．
【答案】（1）解：∵1+1=2；3+（-1）=2；-2+4=2；
∴积是1×4×（﹣1）＝﹣4；
（2）解：∵1+1=2，，2+0=2，3+(-1)=2，-4+6=2，
∴看不见的面上得数字为1，，0，-1，6，
左边的正方体的左右两面的数值之和为2，
∴和是1+ +2+6﹣1+0＝8 ．
【知识点】几何体的展开图；有理数的加法；有理数的加、减混合运算
【解析】【分析】（1）利用对面两个每个正方体相对两个面上写的数之和等于2，可得到看不见的三个面上得数字分别是1，-1，4，然后将这三个数相乘，求出结果.
（2）根据相对两个面上写的数之和等于2，可得到看不见的数字为1，，0，-1，6，左边的正方体的左右两面的数值之和为2，然后将六个数求和即可.
18．（2020七上·寿阳期中）综合实践
问题情景：某综合实践小组进行废物再利用的环保小卫士行动. 他们准备用废弃的宣传单制作装垃圾的无盖纸盒.
操作探究：
（1）若准备制作一个无盖的正方体形纸盒，如图1，下面的哪个图形经过折叠能围成无盖正方体形纸盒？
（2）如图2是小明的设计图，把它折成无盖正方体形纸盒后与“保”字相对的是哪个字？
（3）如图3，有一张边长为20cm的正方形废弃宣传单，小华准备将其四角各剪去一个小正方形，折成无盖长方体形纸盒.
①请你在图3中画出示意图，用实线表示剪切线，虚线表示折痕.
②若四角各剪去了一个边长为xcm的小正方形，用含x的代数式表示这个纸盒的高以及底面积，当小正方形边长为4cm时，求纸盒的容积.
【答案】（1）解：A．有田字，故A不能折叠成无盖正方体；
B．只有4个小正方形，无盖的应该有5个小正方形，不能折叠成无盖正方体；
C．可以折叠成无盖正方体；
D．有6个小正方形，无盖的应该有5个小正方形，不能折叠成无盖正方体．
故答案为：C．
（2）解：正方体的平面展开图中，相对面的特点是中间必须间隔一个正方形，所以与“保”字相对的字是“卫”．
（3）解：①如图，
②设剪去的小正方形的边长为x（cm），用含字母x的式子表示这个盒子的高为xcm，底面积为（20﹣2x）2cm2，当小正方形边长为4cm时，纸盒的容积为=x（20﹣2x）2=4×（20﹣2×4）2=576（cm3）．
【知识点】立体图形的初步认识；几何体的展开图
【解析】【分析】（1）由平面图形的折叠及正方体的展开图解答本题；（2）正方体的平面展开图中，相对面的特点是中间必须间隔一个正方形，据此作答；（3）①根据题意，画出图形即可；②根据正方体底面积、体积，即可解答．
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