第十八章 相似形 2022-2023学年上学期北京市（北京课改版）九年级数学期末试题选编（含解析）

第十八章 相似形
一、单选题
1．（2022秋·北京平谷·九年级统考期末）已知，那么下列比例式中正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022秋·北京门头沟·九年级统考期末）已知，则下列比例式成立的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022秋·北京门头沟·九年级统考期末）如图，，相交于点O，且．如果，，那么的值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
4．（2022秋·北京门头沟·九年级统考期末）如果，那么的值是（ ）
A． B． C． D．
5．（2022秋·北京顺义·九年级统考期末）已知，那么下列比例式不成立的是（　　）
A． B． C． D．
6．（2022秋·北京石景山·九年级统考期末）如果，那么的值是（　　）
A． B． C． D．
7．（2022秋·北京房山·九年级统考期末）如图所示，点D，E分别在△ABC的AB，AC边上，且DE∥BC．如果AD：DB=2：1，那么AE：AC等于（　　　　）
A．2：1 B．2：5 C．2：3 D．3：5
8．（2022秋·北京顺义·九年级统考期末）如图，点D在△ABC的边AC上，要判断△ADB与△ABC相似，添加一个条件，不正确的是（ ）
A．∠ABD=∠C B．∠ADB=∠ABC C． D．
9．（2022秋·北京密云·九年级统考期末）如图，身高1.6米的小慧同学从一盏路灯下的B处向前走了8米到达点C处时，发现自己在地面上的影子CE的长是2米，则路灯AB的高为（ ）
A．5米 B．6.4米 C．8米 D．10米
二、填空题
10．（2022秋·北京门头沟·九年级统考期末）若，则的值为 ．
11．（2022秋·北京石景山·九年级统考期末）如图，在中，，点D在边上，点E在边上且．只需添加一个条件即可证明，这个条件可以是 （写出一个即可）．
12．（2022秋·北京通州·九年级统考期末）如图，在测量旗杆高度的数学活动中，某同学在地面放了一个平面镜C，然后向后退，直到他刚好在镜子中看到旗杆的顶部A．如果他的眼睛到地面的距离ED＝1.6m，同时量得他到平面镜C的距离DC＝2m，平面镜C到旗杆的底部B的距离CB＝15m，那么旗杆高度AB＝ m．
13．（2022秋·北京石景山·九年级统考期末）有一块三角形的草坪，其中一边的长为10m．在这块草坪的图纸上，这条边的长为5cm．已知图纸上的三角形的周长为15cm，则这块草坪的周长为 m．
14．（2022秋·北京平谷·九年级统考期末）如图，小明在地面上放了一个平面镜，选择合适的位置，刚好在平面镜中看到旗杆的顶部，此时小明与平面镜的水平距离为2m，旗杆底部与平面镜的水平距离为12m．若小明的眼睛与地面的距离为1.5m，则旗杆的高度为 ．（单位：m）
15．（2022秋·北京顺义·九年级统考期末）如图，身高是1.6m的某同学直立于旗杆影子的顶端处，测得同一时刻该同学和旗杆的影子长分别为1.2m和9m.则旗杆的高度为 m.
三、解答题
16．（2022秋·北京门头沟·九年级统考期末）如图，在中，点D在上，连接．请添加一个条件 ，使得，然后再加以证明．
17．（2022秋·北京顺义·九年级统考期末）如图，在中，点D在边上，且满足．请找出图中的一对相似三角形，并证明．
18．（2022秋·北京房山·九年级统考期末）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，点D在AC边上，交BC于点E．求证：．
19．（2022秋·北京密云·九年级统考期末）已知：如图，在△ABC中，∠ABC=2∠C，BD平分∠ABC．求证：△ABD∽△ACB．
20．（2022秋·北京通州·九年级统考期末）如图，，点B、C分别在AM、AN上，且．
（1）尺规作图：作∠CBM的角平分线BD，BD与AN相交于点D；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）所作的图中，求证：ABC∽ADB．
21．（2022秋·北京平谷·九年级统考期末）已知：如图，在中，D为边的中点，连接，，，求的长．
22．（2022秋·北京门头沟·九年级统考期末）如图，在中，，点D在上，连接，在直线右侧作，且，连接交于点F．
(1)如图1，当时，
①依题意补全图1，猜想与之间的数量关系，并证明；
②用等式表示线段，的数量关系，并证明．
(2)如图2，当时，直接用含m的等式表示线段，的数量关系．
23．（2022秋·北京顺义·九年级统考期末）已知：在平行四边形中，于点，平分，交线段于点．
(1)如图1，若，延长到点，使得，连接，依题意补全图形并证明；
(2)在（1）的条件下，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明；
(3)如图2，若，用等式表示线段，，之间的数量关系，直接写出结果．
24．（2022秋·北京石景山·九年级统考期末）如图，四边形是正方形，以点A为中心，将线段顺时针旋转，得到线段，连接，．
(1)求的度数；
(2)过点B作于点F，连接，依题意补全图形，用等式表示线段与的数量关系，并证明．
25．（2022秋·北京昌平·九年级统考期末）如图，在中，，点在上，，连接，点是上一点，，过点作的垂线分别交，于，．
(1)依题意补全图形；
(2)，求的大小（用含的式子表示）；
(3)用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明．
26．（2022秋·北京密云·九年级统考期末）如图，在正方形ABCD中，点E是CD边上一动点（点E与点C、D不重合），连接AE，过点A作AE的垂线交CB延长线于点F，连接EF．
(1)依据题意，补全图形；
(2)求∠AEF的度数；
(3)连接AC交EF于点H，若，用含a的等式表示线段CF和CE之间的数量关系，并说明理由．
27．（2022秋·北京通州·九年级统考期末）如图，O为四边形ABCD内一点，E为AB的中点，OA＝OD，OB＝OC，∠AOB+∠COD＝．
（1）若∠BOE＝∠BAO，AB＝，求OB的长；
（2）用等式表示线段OE和CD之间的关系，并证明．
参考答案：
1．B
【分析】根据比例的性质求解即可．
【详解】解：A、∵，∴，故A不符合题意；
B、∵，∴，故B符合题意；
C、∵，∴，故C不符合题意；
D∵，∴，故D不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了比例的性质，掌握比例的性质是解题的关键．
2．B
【分析】根据两内项之积等于两外项之积对各选项分析判断即可得出答案．
【详解】A.由，得出，本选项不符合题意；
B.，得出，本选项符合题意；
C.，得出，本选项不符合题意；
D.，得出，本选项不符合题意；
故选B．
【点睛】本题考查了比例的性质，主要利用了两内项之积等于两外项之积．
3．B
【分析】根据得出，然后直接代入数据求值即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，，
∴，
解得：，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，解题的关键是熟练掌握平行线分线段成比例定理，得出．
4．B
【分析】由得到，再代入即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故选：B
【点睛】此题考查了比例的基本性质，由比例的基本性质得到是解题的关键．
5．A
【分析】利用比例的性质，逐一进行判断即可．
【详解】解：A、∵，∴，与已知不符，符合题意；
B、∵，∴，与已知相符，不符合题意；
C、∵，∴，与已知相符，不符合题意；
D、∵，∴，与已知相符，不符合题意；
故选A．
【点睛】本题考查比例的性质．熟练掌握内项积等于外项积，是解题的关键．
6．C
【分析】根据比例的性质即可得到结论．
【详解】解：∵，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．
7．C
【分析】根据平行线分线段成比例定理得出，求出AE=2EC，再代入求出即可．
【详解】解：∵DE∥BC，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，解题关键是熟练运用定理得出比例式，通过比例的基本性质得出结论．
8．C
【分析】由∠A是公共角，利用有两角对应相等的三角形相似，即可得A与B正确；又由两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，即可得D正确，继而求得答案，注意排除法在解选择题中的应用．
【详解】∵∠A是公共角，
∴当∠ABD=∠C或∠ADB=∠ABC时，△ADB∽△ABC（有两角对应相等的三角形相似），故A与B正确，不符合题意要求；
当AB：AD=AC：AB时，△ADB∽△ABC（两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似），故D正确，不符合题意要求；
AB：BD=CB：CD时，∠A不是夹角，故不能判定△ADB与△ABC相似，故C错误，符合题意要求，
故选：C．
9．C
【分析】根据CD//AB，得出△ECD∽△EBA，进而得出比例式求出即可．
【详解】解：由题意知，CE＝2米，CD＝1.6米，BC＝8米，CDAB，
则BE＝BC+CE＝10米，
∵CDAB，
∴△ECD∽△EBA
∴＝，即＝，
解得AB＝8（米），即路灯的高AB为8米．
故选C．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的应用，根据题意说明△ECD∽△EBA是解答本题的关键．
10．
【分析】由，设，然后再代入求解即可；
【详解】解：∵，设，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查比例的性质，设是解题关键．
11．
【分析】由相似三角形的判定定理可求解．
【详解】解：添加，
又∵，
∴，
故答案为：（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定定理是本题的关键．
12．12
【分析】根据物理光学中的入射角等于反射角可知∠ECD=∠ACB，所以图中两个三角形相似，再利用相似比求出AB即可．
【详解】∵∠ECD=∠ACB
∴△ABC≌△EDC
∴
∴AB=BC×0.8=15×0.8=12（m）
故答案为：12
【点睛】本题考查光的反射和三角形相似的结合，掌握这些知识点是本题关键．
13．
【分析】设这块草坪的周长为m，由实际的三角形草坪与图纸上的三角形草坪是相似三角形，再利用相似三角形的性质列方程即可.
【详解】解：设这块草坪的周长为m，
由题意可得：实际的三角形草坪与图纸上的三角形草坪是相似三角形，
解得：，
所以这块草坪的周长为m.
故答案为：
【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，掌握“相似三角形的周长之比等于相似比”是解本题的关键.
14．9
【分析】如图，BC=2m，CE=12m，AB=1.5m，利用题意得∠ACB=∠DCE，则可判断△ACB∽△DCE，然后利用相似比计算出DE的长．
【详解】解：如图，
BC=2m，CE=16m，AB=1.5m，
由题意得∠ACB=∠DCE，
∵∠ABC=∠DEC，
∴△ACB∽△DCE，
∴，即，
∴DE=9．
即旗杆的高度为9m．
故答案为：9
【点睛】本题考查了相似三角形的应用：借助标杆或直尺测量物体的高度．利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高（长）作为三角形的边，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度．
15．12
【详解】试题分析：利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求出旗杆的高度即可．
解：∵同一时刻物高与影长成正比例．
设旗杆的高是xm．
∴1.6：1.2=x：9
∴x=12．
即旗杆的高是12米．
故答案为12．
考点：相似三角形的应用．
16．（答案不唯一），证明见解析
【分析】利用相似三角形的判定可求解．
【详解】解：添加，
又∵，
∴，
故答案为：（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．
17．；证明见解析
【分析】根据得出，然后根据相似三角形的判定方法可得，．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，解题的关键是根据得出，熟记相似三角形的判定方法．
18．证明见解析
【分析】由，∠B=90°可得出，再由公共角相等，即可证得．
【详解】∵，∠B=90°，
∴．
又∵∠C=∠C，
∴．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，常用的判定两个三角形相似的方法有1、定义法：三个角分别相等，三条边成比例的两个三角形相似．2、平行于三角形一边的直线截其他两边（或其他两边的延长线）所构成的三角形和原三角形相似．3、两角分别相等的两个三角形相似．4、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．
19．见解析
【分析】由BD平分∠ABC可得∠ABC=2∠ABD，再结合∠ABC=2∠C可得∠ABD=∠C，再结合∠A=∠A即可证明结论．
【详解】证明：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABC=2∠ABD
∵∠ABC=2∠C
∴∠ABD=∠C
∵∠A=∠A
∴△ABD∽△ACB．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，掌握两角分别对应相等的两个三角形相似是解答本题的关键．
20．（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）根据角平分线的作图方法解答；
（2）根据三角形外角的性质及角平分线的性质证明，即可得到结论．
【详解】解：（1）如图：
（2）∵，
∴，
∵BD平分∠MBC，
∴，
∵是△ADB的一个外角，
∴，
∴.
∵，
∴△ABC∽△ADB．
【点睛】此题考查了角平分线的作图，相似三角形的判定，熟记相似三角形的判定定理是解题的关键．
21．
【分析】先证明，再根据相似三角形对应边成比例即可求解．
【详解】解：∵D为边的中点，，
∴，
∵，，
∴
∴，即，
解得：（负值舍去），
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握有两个角相等的两个三角形相似，相似三角形对应边成比例．
22．(1)①见解析；，证明见解析；②；证明见解析；
(2)
【分析】（1）①根据题意补全图形，根据余角的性质，证明即可；
②先证明，得出，说明，再证明，即可得出结论；
（2）过点E作于点G，先证明，得出，从而得出，证明，得出，即可得出答案．
【详解】（1）解：①根据题意补全图形，如图所示：
，理由如下：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
②，理由如下：
过点E作于点G，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴．
（2）解：，理由如下：
过点E作于点G，如图所示：
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质，余角的性质，解题的关键是作出辅助线，构造全等三角形．
23．(1)见解析
(2)，证明见解析
(3)
【分析】（1）如图，由平行四边形的性质得，，得出，进而由证得，从而得到；
（2）由（1），得到，，再由平行四边形的性质，得出，，，再由角平分线的定义，可知，进而得出，根据等边对等角得，最后得出；
（3）延长至点，使得，连接，根据两边对应成比例且夹角相等，证得，求得相似比，与（2）同理，．
【详解】（1）证明：如图所示，
四边形是平行四边形，
，
，
，即，
在与中，
，
；
（2），证明如下：
，
，，
，
，
，即，
平分，
，
，，
，
，
即；
（3），
如图，延长至点，使得，连接，
四边形是平行四边形，
，，，
，
，即，
又，，
，
，
，
平分，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，角平分线的性质，平行四边形的性质，解题的关键在于要有类比推理的思想．
24．(1)
(2)，见详解
【分析】（1）求出的度数，即可求出；
（2）依题意补全图形，连接BD，证即可求出与的数量关系．
【详解】（1）解：在正方形ABCD中，AB=AD=BC，，
，
，，
（2）解：，
理由：根据题意补全图形，连接BD，
，
，
由（1）知，
，
，
在中，，
，
又，
，
，
，
，
，
【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，连接BD，证是解本题的关键．
25．(1)见解析
(2)
(3)
【分析】（1）根据题意画出图形即可；
（2）先求出，再在中根据等腰三角形性质求出即可；
（3）设，，再证明，求出的长即可．
【详解】（1）解：补齐图形如下：
（2）∵，，
∴，
∵，
∴，
∴
（3）设，，
∴，
∴，
∴，
∵
∴，
∴，
∴
∴
∴
∴
∴
∵，
∴
即
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，数形结合，用代数式表示线段长，准确的计算是本题的关键．
26．(1)补全图形见解析
(2)∠AEF=45°
(3)数量关系为CF=aCE，理由见解析
【分析】（1）根据垂直的定义，画图即可；
（2）证明△ABF≌△ADE即可；
（3）过点E作EM//CF交AC于点M，证明△MEH∽△CFH，利用等腰直角三角形的性质，等量代换即可．
【详解】（1）补全图形
（2）解：在正方形ABCD中，∠DAB=∠ABC=∠D =90°，AD=AB.
∵AF⊥AE，
∴∠FAE =90°，
∴∠FAE =∠DAB，
∴∠FAE-∠BAE =∠DAB-∠BAE，
即∠FAB =∠DAE，
∵∠ABF =∠D=90°，
∴△ABF≌△ADE，
∴AF=AE，
∴△AEF是等腰直角三角形，
∴∠AEF=45°．
（3）解：数量关系为CF=aCE．
过点E作EM//CF交AC于点M
∴∠MEH=∠EFC，∠MEC=∠D=90°，
∵∠MHE=∠CHF，
∴△MEH∽△CFH，
∴
∵∠ACD=45°
∴△MEC是等腰直角三角形
∴ME=EC
∴
即CF=aCE．
【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的判定，三角形相似的判定和性质，熟练掌握正方形的性质，三角形相似的判定是解题的关键．
27．（1）2；（2），理由见解析
【分析】（1）由已知条件∠BOE＝∠BAO，且公共角，证明△OBE∽△ABO，进而列出比例式，代入数值即可求得；
（2）延长OE到点F，使得，连接AF，FB，证明△AOF≌△DOC，进而可得，即
【详解】（1）解：∵∠BOE＝∠BAO，，
∴△OBE∽△ABO，
∴，
∵AB＝，E为AB的中点，
∴
∴，
∴（舍负）.
（2）线段OE和CD的数量关系是：，理由如下，
证明：如图，延长OE到点F，使得，连接AF，FB.
∵
∴四边形AFBO是平行四边形，
∴，，
∴，
∵∠AOB+∠COD＝，
∴，
∵OB＝OC，
∴，
在△AOF和△DOC中，
，
∴△AOF≌△ODC，
∴
∴.
【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，第（2）小问中，根据题意正确的添加辅助线是解题的关键．