第十九章 二次函数和反比例函数 2022-2023学年上学期北京市（北京课改版）九年级数学期末试题选编（含解析）

二次函数和反比例函数
一、单选题
1．（2022秋·北京平谷·九年级统考期末）如果I表示汽车经撞击之后的损坏程度，经多次实验研究后知道，I与撞击时的速度v的平方之比是常数2，则I与v的函数关系为（ ）
A．正比例函数关系 B．反比例函数关系 C．一次函数关系 D．二次函数关系
2．（2022秋·北京石景山·九年级统考期末）如图，线段，点在线段上（不与点重合），以为边作正方形，设，，正方形的面积为，则与，与满足的函数关系分别为（　　）
A．一次函数关系，二次函数关系 B．反比例函数关系，二次函数关系
C．一次函数关系，反比例函数关系 D．反比例函数关系，一次函数关系
3．（2022秋·北京昌平·九年级统考期末）关于四个函数，，，的共同点，下列说法正确的是（ ）
A．开口向上 B．都有最低点
C．对称轴是轴 D．随增大而增大
4．（2022秋·北京顺义·九年级统考期末）下面两个问题中都有两个变量：
①矩形的周长为20，矩形的面积y与一边长x；
②矩形的面积为20，矩形的宽y与矩形的长x．
其中变量y与变量x之间的函数关系表述正确的是（　　）
A．①是反比例函数，②是二次函数 B．①是二次函数，②是反比例函数
C．①②都是二次函数 D．①②都是反比例函数
5．（2022秋·北京房山·九年级统考期末）已知点，都是反比例函数图象上的点，并且，则（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
6．（2022秋·北京顺义·九年级统考期末）对于二次函数，当的取值范围是 时，随的增大而减小．
7．（2022秋·北京朝阳·九年级统考期末）如图，矩形绿地的长和宽分别为和．若将该绿地的长、宽各增加，扩充后的绿地的面积为，则y与x之间的函数关系是 ．（填“正比例函数关系”、“一次函数关系”或“二次函数关系”）
8．（2022秋·北京大兴·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，点，，若抛物线与线段有公共点，则的取值范围是 ．
9．（2022秋·北京顺义·九年级统考期末）将二次函数化为的形式，则 ， ．
10．（2022秋·北京石景山·九年级统考期末）抛物线的对称轴为直线 ．
11．（2022秋·北京门头沟·九年级统考期末）将二次函数写成的形式为 ．
12．（2022秋·北京丰台·九年级统考期末）若点在抛物线．上，则的大小关系为： ．(选填“”，“”或“”)
13．（2022秋·北京门头沟·九年级统考期末）写出一个二次函数，其图像满足：①开口向下；②当时，y随x的增大而增大．这个二次函数的表达式可以是 ．
14．（2022秋·北京房山·九年级统考期末）平面直角坐标系中，抛物线与轴只有一个交点，则的值为 ．
15．（2022秋·北京房山·九年级统考期末）如图，平面直角坐标系中，若反比例函数的图象过点和点，则a的值为 ．
16．（2022秋·北京昌平·九年级统考期末）已知反比例函数的图象经过第二、四象限，则k的取值范围是 ．
三、解答题
17．（2022秋·北京海淀·九年级统考期末）已知抛物线过点和，求该抛物线的解析式．
18．（2022秋·北京平谷·九年级统考期末）已知二次函数．
（1）求该二次函数图象的顶点坐标；
（2）求该二次函数图象与x轴、y轴的交点；
（3）在平面直角坐标系xOy中，画出二次函数的图象；
（4）结合函数图象，直接写出当时，x的取值范围．
19．（2022秋·北京西城·九年级统考期末）在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线，且．
(1)当时，求的值；
(2)点，，在抛物线上，若，判断，与的大小关系，并说明理由．
20．（2022秋·北京顺义·九年级统考期末）已知：二次函数．
(1)求这个二次函数图象的对称轴和顶点坐标；
(2)若点，在抛物线上，且，求n的取值范围．
21．（2022秋·北京海淀·九年级统考期末）在平面直角坐标系中，抛物线过点．
(1)求（用含的式子表示）；
(2)抛物线过点，，．
①判断：______0（填“＞”“＜”或“＝”）；
②若，，恰有两个点在轴上方，求的取值范围．
22．（2022秋·北京平谷·九年级统考期末）在平面直角坐标系xOy中，抛物线，设抛物线的对称轴为．
(1)当抛物线过点时，求t的值；
(2)若点和在抛物线上，若，且，求t的取值范围．
23．（2022秋·北京西城·九年级统考期末）跳台滑雪是冬季奥运会的比赛项目之一，如图，运动员通过助滑道后在点处起跳经空中飞行后落在着陆坡上的点处，他在空中飞行的路线可以看作抛物线的一部分，这里表示起跳点到地面的距离，表示着陆坡的高度，表示着陆坡底端到点的水平距离，建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到着陆的过程中，运动员的竖直高度（单位：m）与水平距离（单位：m）近似满足函数关系：，已知，，落点的水平距离是40m，竖直高度是30m．
(1)点的坐标是_____，点的坐标是_______；
(2)求满足的函数关系；
(3)运动员在空中飞行过程中，当他与着陆坡竖直方向上的距离达到最大时，直接写出此时的水平距离．
24．（2022秋·北京门头沟·九年级统考期末）在平面直角坐标系中，点，在抛物线上，其中，设抛物线的对称轴为．
(1)当时，如果，直接写出，的值；
(2)当，时，总有，求t的取值范围．
25．（2022秋·北京顺义·九年级统考期末）如图1是某条公路的一个具有两条车道的隧道的横断面．经测量，两侧墙和与路面垂直，隧道内侧宽米，为了确保隧道的安全通行，工程人员在路面上取点E，测量点E到墙面的距离，点E到隧道顶面的距离．设米，米．通过取点、测量，工程人员得到了x与y的几组值，如下表：
x（米） 0 2 4 6 8
y（米） 4.0 5.5 6.0 5.5 4.0
(1)根据上述数据，直接写出隧道顶面到路面AB的最大距离为___________米，并求出满足的函数关系式；
(2)请你帮助工程人员建立平面直角坐标系．描出上表中各对对应值为坐标的点，画出可以表示隧道顶面的函数的图像．
(3)若如图2的汽车在隧道内正常通过时，汽车的任何部位需到左侧墙及右侧墙的距离不小于1米且到隧道顶面的距离不小于0.35米．按照这个要求，隧道需标注的限高应为多少米（精确到0.1米）？
26．（2022秋·北京海淀·九年级统考期末）学校举办“科技之星”颁奖典礼，颁奖现场人口为一个拱门．小明要在拱门上顺次粘贴“科”“技”“之”“星”四个大字（如图1），其中，“科”与“星”距地面的高度相同，“技”与“之”距地面的高度相同，他发现拱门可以看作是抛物线的一部分，四个字和五角星可以看作抛物线上的点．通过测量得到拱门的最大跨度是10米，最高点的五角星距地面6.25米．
(1)请在图2中建立平面直角坐标系，并求出该抛物线的解析式；
(2)“技”与“之”的水平距离为米．小明想同时达到如下两个设计效果：
① “科”与“星”的水平距离是“技”与“之”的水平距离的2倍；
②“技”与“科”距地面的高度差为1.5米．
小明的设计能否实现？若能实现，直接写出的值；若不能实现，请说明理由．
27．（2022秋·北京朝阳·九年级统考期末）一位运动员在距篮圈中心（点）水平距离处竖直跳起投篮（为出手点），球运行的路线是抛物线的一部分，当球运行的水平距离为时，达到最高点（点），此时高度为，然后准确落入篮圈．已知篮圈中心（点）到地面的距离为，该运动员身高，在这次跳投中，球在头顶上方处出手，球出手时，他跳离地面的高度是多少？
28．（2022秋·北京平谷·九年级统考期末）已知：一次函数，与反比例函数的图象交与点．
(1)求一次函数和反比例函数的表达式；
(2)已知点过点P作垂直于y轴的直线，与反比例函数的图象交于点B，与一次函数的图象交于点C，横、纵坐标都是整数的点叫做整点．若线段、与反比例函数图象上之间的部分围成的图象中（不含边界）恰有3个整点，直接写出n的取值范围．
29．（2022秋·北京门头沟·九年级统考期末）在平面直角坐标系xOy中，一次函数的图象与反比例函数的图象的一个交点为．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)当时，对于x的每一个值，一次函数的值大于反比例函数的值，直接写出k的取值范围．
30．（2022秋·北京顺义·九年级统考期末）已知：在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与直线都经过点．
(1)分别求k，m的值；
(2)若点P的坐标为，过点P作平行于y轴的直线与直线和反比例函数的图象分别交于点C，D，若点D在点C的上方，直接写出n的取值范围．
31．（2022秋·北京石景山·九年级统考期末）在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点，一次函数的图象与y轴交于点B．
(1)求反比例函数的表达式并直接写出点的坐标；
(2)当时，对于的每一个值，都有，直接写出的取值范围．
32．（2022秋·北京密云·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系xOy中的第一象限内，反比例函数的图象经过点A（4，1），点B（x，y）是该函数图象上的一个动点．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）当y>1时，结合图象直接写出x的取值范围．
参考答案：
1．D
【分析】根据题意，列出I与v的函数关系式，即可进行解答．
【详解】解：根据题意可得：，
整理得：，
∴I与v的函数关系为二次函数关系；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了二次函数的定义，解题的关键是正确理解题意，根据题意列出正确的函数函数关系式．
2．A
【分析】通过，可得到与的函数关系，通过正方形的面积可得到与的函数关系．
【详解】解：，
，
，
所以与是一次函数关系；
，
，
所以与是二次函数关系；
故选：A．
【点睛】本题考查了一次函数和二次函数的定义，解题的关键是通过题意准确找出关系式．
3．C
【分析】根据a值得函数图象的开口方向，从而判定A；根据a值得函数图象的开口方向，即可得出函数有最高点或电低点，从而判定B；根据函数的对称轴判定C；根据函数的增减性判定D．
【详解】解：A．函数与的开口向下，函数与开口向上， 故此选项不符合题意；
B．函数与的开口向下，有最高点；函数与开口向上，有最低点， 故此选项不符合题意；
C．函数，，，的对称轴都是y轴，故此选项符合题意；
D．函数与，当时，y随x增大而增大，当时，y随x增大而减小；函数与，当时，y随x增大而减小，当时，y随x增大而增大；故此选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查函数图象性质，熟练掌握函数的图象性质是解题的关键．
4．B
【分析】先根据矩形的周长和面积公式列出函数关系式，然后根据反比例函数和二次函数的定义即可解答．
【详解】解：①∵矩形的周长为20，一边长x
∴另一边长为
∴为二次函数；
②∵矩形的面积为20，矩形的长x
∴是反比例函数．
故选B．
【点睛】本题主要考查了反比例函数、二次函数解析式的判定等知识点，正确列出函数解析式是解答本题的关键．
5．D
【分析】反比例函数在每一象限内，y随x的增大而减小，从而可得答案．
【详解】解：∵点，都是反比例函数图象上的点，
又∵，
∴反比例函数的图象在第一象限和第三象限，
即当时，y随x的增大而减小，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查的是反比例函数的图象与性质，掌握反比例函数的增减性是解本题的关键．
6．
【分析】根据二次函数的顶点式，可知二次函数的顶点坐标是，且图像开口向下，由此即可求解．
【详解】解：二次函数的顶点坐标是，图象开口向下，
当时，随的增大而减小，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查二次函数的图像的性质和特点，理解二次函数图像的性质是解题的关键．
7．二次函数关系
【分析】根据矩形面积公式求出y与x之间的函数关系式即可得到答案．
【详解】解：由题意得，
∴y与x之间的函数关系是二次函数关系，
故答案为；二次函数关系．
【点睛】本题主要考查了列函数关系式和二次函数的定义，正确列出y与x之间的函数关系式是解题的关键．
8．/
【分析】分别把A、B点的坐标代入得a的值，根据二次函数的性质得到a的取值范围．
【详解】解：把代入得；
把代入得，
∴a的取值范围为．
故答案为：．
【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质．
9．
【分析】将转化为顶点式，即可得解．
【详解】解：；
∴；
故答案为：．
【点睛】本题考查将二次函数的一般式转化为顶点式．熟练掌握配方法，将一般式转化为顶点式，是解题的关键．
10．
【分析】把解析式化为顶点式即可求得答案．
【详解】解：，
对称轴是直线，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键．
11．
【分析】根据题意利用配方法加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式即可．
【详解】解：．
故答案为：．
【点睛】本题考查二次函数的一般式化为顶点式，解题的关键是掌握配方法．
12．
【分析】将代入得，即可求解．
【详解】解：将代入得，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了比较二次函数值的大小，掌握二次函数的图象上点的坐标特征是解题的关键．
13．（答案不唯一）
【分析】首先由①得到；由②得到；只要举出满足以上两个条件的的值即可得出所填答案．
【详解】解：二次函数，
①开口向下，
；
②当时，随着的增大而增大，，即；
∴只要满足以上两个条件就行，
如时，二次函数的解析式是．
故答案为：．（答案不唯一）
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，熟练运用性质进行计算是解此题的关键．此题是一道开放型的题目．
14．
【分析】根据题意，得出，即，然后再根据一元二次方程的判别式，计算即可．
【详解】∵抛物线与轴只有一个交点，
∴方程根的判别式，
即，
解得：，
故答案为：1
【点睛】本题考查了二次函数与轴交点问题，转为为一元二次方程根的判别式进行求解是解题的关键．
15．/1.5
【分析】根据点的坐标求得反比例函数解析式，将代入，即可求解．
【详解】解：依题意，将点代入，得出，
∴反比例数解析式为，
当时，，
即，
故答案为：．
【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，求得反比例函数解析式是解题的关键．
16．
【分析】根据图象经过第二、四象限，得到，进行求解即可．
【详解】解：∵反比例函数的图象经过第二、四象限，
∴，
∴；
故答案为：．
【点睛】本题考查反比例函数的图象和性质．熟练掌握反比例函数的性质，是解题的关键．
17．
【分析】把和代入，解方程组求出b、c的值即可得答案.
【详解】解：∵抛物线过点和，∴
解方程组，得
∴抛物线的解析式是．
【点睛】本题考查待定系数法求二次函数解析式，把抛物线上的点的坐标代入解析式确定字母的值是解题关键.
18．（1）顶点坐标（-1，-4）；（2）抛物线与x轴交点为（-3，0），（1，0）；抛物线与y轴交点为（0，-3）；（3）见解析；（4）．
【分析】（1）将函数关系式运用配方法配成顶点式即可解答；
（2）令y=0，得一元二次方程，求出x的值，可得函数图象与x轴的交点，令x=0，可得y的值，从而可得函数图象与y轴的交点；
（3）根据函数解析式，可以写出该函数的顶点坐标和图象上的几个点的坐标，从而可以画出相应的函数图象；
（4）根据函数图象，可以写出x的取值范围．
【详解】解：（1）
∴顶点坐标（-1，-4）
（2）令y=0，得
解得，
∴抛物线与x轴交点为（-3，0），（1，0）；
令x=0，则y=-3
∴抛物线与y轴交点为（0，-3）
（3）如图所示．
（4）根据图象可得，当时，x的取值范围是：
【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数的图象、二次函数图象上点的坐标特征，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键．
19．(1)
(2)
【分析】（1）由，，可得，根据对称轴为直线即可求解；
（2）根据，求得对称轴的范围，再将点根据对称性转化到对称轴右侧，再根据得抛物线开口向上，随的增大而增大，即可得出答案．
【详解】（1）当时，得，
，
；
（2），
，
，
，
，
，
点关于直线的对称点的坐标是，
．
．
，
当时，随的增大而增大．
．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，主要涉及到二次函数的开口方向、对称性以及增减性，熟知二次函数的基本性质是解决函数问题的关键．
20．(1)对称轴为，顶点坐标为
(2)
【分析】（1）将转化为顶点式，即可得解；
（2）根据二次函数的性质，分点在对称轴的同侧和异侧两种情况，进行讨论求解即可．
【详解】（1）解：，
∴抛物线的对称轴为：；顶点坐标为：；
（2）解：，
∵，抛物线开口向上，对称轴为：，
∴在对称轴的左侧，随的增大而减小，在对称轴的右侧，随的增大而增大；
①当点在对称轴的同侧时：
∵，，
∴随的增大而减小；
∴点在对称轴的左侧，即：，解得：；
②当点在对称轴的异侧时：即：，解得：时，
根据抛物线的对称性，可得，和的函数值相等，
∵在对称轴的右侧，随的增大而增大，，
∴，解得：，
∴当时，；
综上：当时，．
【点睛】本题考查二次函数的图象和性质．熟练掌握二次函数的图象和性质，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键．
21．(1)
(2)①＜
②的取值范围是或
【分析】（1）把代入，计算即可；
（2）①把代入，得，把代入，得，当时，，，得；当时，，，得；即可得出结论；
②把，，代入，得，，．当时，抛物线开口向上，对称轴为，则抛物线在时，取得最小值．所以，在轴上方，在轴上或轴下方，则，解得．当时，抛物线开口向下，对称轴为，所以抛物线在时，取得最大值，且．所以，在轴上方，在轴上或轴下方．则，解得．
【详解】（1）解：把代入，得
，
∴；
（2）解：①把代入，得
，
由（1）知：，
∴，
把代入，得
，
，
当时，，，
∴，
当时，，，
∴，
绽上，；
②由（1）知，
∴
∴抛物线对称轴为．
∵抛物线过点，，，
∴，，．
当时，抛物线开口向上，对称轴为，
∴抛物线在时，取得最小值．
∵，，恰有两点在轴上方，
∴，在轴上方，在轴上或轴下方．
∴，解得．
当时，抛物线开口向下，对称轴为，
∴抛物线在时，取得最大值，且．
∵，，恰有两点在轴上方，
∴，在轴上方，在轴上或轴下方．
∴，解得．
综上，的取值范围是或．
【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，熟练掌握二次函数的图象性质是解题的关键．
22．(1)
(2)当时，；当时，
【分析】（1）把点代入，得出a和b的数量关系，即可求解；
（2）根据题意进行分类讨论即可，当时，当时．
【详解】（1）解：把点代入得：，
∴，整理得：，
∴抛物线的对称轴为，
∴．
（2）当时，，
∴该函数经过，
设该函数与x轴的另一个交点坐标为，
∴
①当时，
∵点和在抛物线上，，，
∴，
即点到对称轴距离大于点到对称轴距离，
∴，解得：，
∵该函数经过、，且
∴该函数与x轴的另一个交点横坐标，
∴，
∴，
∴当时，；
②当时，
∵点和在抛物线上，，，
∴，
即点到对称轴距离小于点到对称轴距离，
∴，解得：，
∵该函数经过、，且
∴该函数与x轴的另一个交点横坐标，
∴，
∴，
∴当时，；
综上：当时，；当时，．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的对称轴的求法以及二次函数图象上点的坐标特征．
23．(1)，；
(2)；
(3)
【分析】（1），落点的水平距离是40m，竖直高度是30m，即可得到点、的坐标；
（2）用待定系数法求解即可；
（3）由，先求出直线的表达式，作轴交抛物线和直线于点、，用含未知数的式子表示，再根据二次函数的性质进行判断即可．
【详解】（1）解：，落点的水平距离是40m，竖直高度是30m，
，；
（2）解：把，代入
得，，
解得，，
；
（3）解：，
设直线的表达式为，
把代入，得，
解得，，
，
设到竖直方向上的距离最大，作轴交抛物线和直线于点、，
，
，
当时，最大，即水平距离为时，运动员与着陆坡竖直方向上的距离达到最大．
【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，待定系数法求解析式，二次函数图象的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
24．(1)，；
(2)
【分析】（1）根据题意，当时，，由抛物线的对称轴为，得到关于对称轴对称的点的坐标为，即可写出答案；
（2）首先由，得到图象开口向下，满足，，可得到，求出点关于对称轴对称的点为，即可得到答案．
【详解】（1）解：根据题意，当时，，
∵抛物线的对称轴为，
∴关于对称轴对称的点的坐标为，
∵，且，
∴，；
（2）解：根据题意可知，当时，，
∵,
∴图象开口向下，满足，，
∴当时，y随着x的增大而增大，
∴设抛物线对称轴为,
∴
∴点关于对称轴对称的点为，
∵，图象开口向下，,，
∴解得，
∴．
【点睛】此题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
25．(1)6，．
(2)见解析
(3)隧道需标注的限高应为4.5米
【分析】（1）根据二次函数的对称性可知在时y取得最大值，然后运用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）根据题意，以点A为原点，为x轴，为y轴建立平面直角坐标，画出函数图像即可；
（3）令，求得相应的y值，结合到隧道顶面的距离不小于0.35米,可得汽车最高点距地面的距离即可解答．
【详解】（1）解：根据二次函数的对称性可知，当时，y有最大值6，
设
∵D的坐标为
∴，解得
∴．
故答案为：6，．
（2）解：根据题意，以点A为原点，为x轴，为y轴建立平面直角坐标,画出图像如图所示：
（3）解：令，可得
隧道需标注的限高应为（米）．
答：隧道需标注的限高应为4.5米．
【点睛】本题主要考查了二次函数在实际问题中的应用、数形结合、待定系数法等知识点，理清题中的数量关系、求得函数解析式是解题的关键．
26．(1)（答案不唯一）
(2)能实现；
【分析】（1）建立平面直角坐标系，写出点的坐标，代入求解析式即可；
（2）设“技”的坐标，表示“科”，列出方程解方程即可．
【详解】（1）解：如图，以抛物线顶点为原点，以抛物线对称轴为轴，建立平面直角坐标系．
设这条抛物线表示的二次函数为．
∵抛物线过点，
∴
∴
∴这条抛物线表示的二次函数为．
（2）能实现；．
由“技”与“之”的水平距离为米，设“技”，“之”，
则 “科”，
“技”与“科”距地面的高度差为1.5米，
，
解得：或(舍去)
【点睛】本题考查运用二次函数解决实际问题，建立适当的平面直角坐标系，求出函数解析式是解题的关键．
27．0.15m
【分析】设抛物线的表达式为，根据题意可知图象经过的坐标，由此可得的值，然后将代入抛物线解析式，得，再由即可求解．
【详解】解：如图，建立平面直角坐标系，
则，，
设抛物线的表达式为，
∵抛物线经过，
∴代入得，
∴抛物线的表达式为，
当时，，
，
∴球出手时，他跳离地面的高度是．
【点睛】此题主要考查了二次函数的相关知识，利用二次函数解决抛物线形的实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上是解题关键．
28．(1)一次函数的表达式为；反比例函数的表达式为
(2)或
【分析】（1）把点分别代入和求出k和m的值即可；
（2）画出图形，分两种情况进行讨论即可．
【详解】（1）解：把点代入得：，
解得：，
∴一次函数的表达式为：，
把点代入得：，
解得：，
∴反比例函数的表达式为：；
（2）如图所示，
①当线段在点A上方时，点P在7和8之间时，恰有3个整点，
此时；
②当线段在点A下方时，点P在1和2之间时，恰有3个整点，
此时；
综上：当或时，恰有3个整点．
【点睛】本题主要考查了一次函数和反比例函数的图象和性质，解题的关键是掌握用待定系数法求解函数表达式的方法和步骤，会画函数图象．
29．(1)反比例函数的解析式为：；
(2)k的取值范围是．
【分析】（1）根据一次函数图象上点的坐标特征求出直线与双曲线的交点坐标，进而求出m，得出反比例函数的解析式；
（2）解方程组求出一次函数图象与反比例函数图象交点，根据题意列出不等式，解不等式得到答案．
【详解】（1）解：对于，当时，，
∴一次函数的图象与反比例函数的图象的一个交点为，
∴，
∴反比例函数的解析式为：；
（2）解：解方程组，得或，
由题意得：，
解得：，
则k的取值范围是．
【点睛】本题考查的是反比例函数知识的综合运用，掌握一次函数图象与反比例函数图象交点的求法是解题的关键．
30．(1)，
(2)
【分析】（1）根据题意，把的坐标分别代入和，得出两个方程，分别解出，即可得出答案；
（2）根据（1）的结论，得出反比例函数的解析式为，正比例函数的解析式为，然后根据题意，得出，，进而得出且，然后再求出两图象的交点，观察图象，即可得出n的取值范围．
【详解】（1）解：∵反比例函数的图象与直线都经过点，
∴把的坐标分别代入和，
∴可得：，，
解得：，；
（2）解：由（1）可知：，，
∴反比例函数的解析式为，正比例函数的解析式为，
∵点P的坐标为，过点P作平行于y轴的直线，
∴过点P作平行于y轴的直线为：，
又∵直线与直线和反比例函数的图象分别交于点C，D，若点D在点C的上方，
∴，，
∵点D在点C的上方，
∴可得：且，
如图，
∵直线与直线相交于两点分别为和，
∴观察图象，可得：的取值范围为．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、用图象法解不等式，解本题的关键在正确求出，的值．
31．(1)反比例函数的表达式为；
(2)
【分析】（1）待定系数法求解析式，对于直线令，得，求得点的坐标；
（2）令中，，解得：，结合函数图象即可求解．
【详解】（1）解：依题意，把点，代入
得，
∴反比例函数的表达式为；
由的图象与y轴交于点B，
令，得，
∴；
（2）解：如图，令中，，解得：，
当直线经过点时，
解得：，
根据函数图象可知，当时，
当时，对于的每一个值，都有，
∴
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数综合，待定系数法求解析式，数形结合是解题的关键．
32．（1）（2）0＜x＜4
【分析】（1）根据待定系数法即可求解；
（2）由函数图象即可直接求解．
【详解】（1）解：设反比例函数表达式为
∵其图象经过点A（4，1）
∴k=4
∴反比例函数表达式为
（2）当y>1时，结合图象可知x的取值为：0＜x＜4．
【点睛】此题主要考查反比例函数的图象与性质，解题的关键是熟知待定系数法的运用．