第二十一章 圆（上） 2022-2023学年上学期北京市（北京课改版）九年级数学期末试题选编（含解析）

第二十一章 圆（上）
一、单选题
1．（2022秋·北京海淀·九年级统考期末）如图，已知正方形，以点为圆心，长为半径作，点与的位置关系为（ ）
A．点在外 B．点在内 C．点在上 D．无法确定
2．（2022秋·北京密云·九年级统考期末）已知⊙O的半径为4，点P 在⊙O外部，则OP需要满足的条件是（ ）
A．OP>4 B．0≤OP<4 C．OP>2 D．0≤OP<2
3．（2022秋·北京昌平·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，⊙O的半径为2，与x轴，y轴的正半轴分别交于点A，B，点C（1，c），D（，d），E（e，1），P（m，n）均为上的点（点P不与点A，B重合），若m＜n＜m，则点P的位置为（ ）
A．在上 B．在上 C．在上 D．在上
4．（2022秋·北京门头沟·九年级统考期末）已知的半径为4，点在内，则的长可能是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
5．（2022秋·北京西城·九年级统考期末）如图，在中，弦，相交于点，，，则的大小是（ ）
A．35° B．45° C．60° D．70°
6．（2022秋·北京门头沟·九年级统考期末）如图，线段是的直径，如果，那么的度数是（ ）
A． B． C． D．
7．（2022秋·北京房山·九年级统考期末）如图，A，B，C是上的三个点，如果，那么的度数是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
8．（2022秋·北京西城·九年级统考期末）已知的半径为5，点到圆心的距离为8，则点在 （填“内”“上”或“外”）．
9．（2022秋·北京西城·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，点，，的横、纵坐标都为整数，过这三个点作一条圆弧，则此圆弧的圆心坐标为 ．
10．（2022秋·北京门头沟·九年级统考期末）石拱桥是中国传统桥梁四大基本形式之一，它的主桥拱是圆弧形．如图，已知某公园石拱桥的跨度米，拱高米，那么桥拱所在圆的半径 米．
11．（2022秋·北京昌平·九年级统考期末）我国古代著名数学著作《九章算术》总共收集了246个数学问题，这些问题的算法要比欧洲同类算法早1500年．其中有这样一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用数学语言可以表述为：“如图，为的直径，弦于点，寸，寸（注：1尺＝10寸），则可得直径的长为 寸．”
12．（2022秋·北京大兴·九年级统考期末）如图，为的直径，弦于点，连接，若，，则弦的长度为 ．
13．（2022秋·北京西城·九年级统考期末）如图，是的直径，为上一点，且，为圆上一动点，为的中点，连接，若的半径为2，则长的最大值是 ．
14．（2022秋·北京顺义·九年级统考期末）如图，点A，B，C都在上，如果，那么的度数为 ．
15．（2022秋·北京海淀·九年级统考期末）如图，是的内接三角形，于点，若的半径为，，则 ．
16．（2022秋·北京房山·九年级统考期末）丽丽的圆形镜子摔碎了，她想买一个同样大小的镜子．为了测算圆形镜子的半径，如图，她将直角三角尺的直角顶点C放在破损的圆形镜子的圆框上，两直角边分别与圆框交于A，B两点，测得CA为8cm，CB为6cm，则该圆形镜子的半径是 cm．
三、解答题
17．（2022秋·北京房山·九年级统考期末）在平面直角坐标系中，已知一条开口向上的抛物线，连接此抛物线上关于对称轴对称的两点（点在点左侧），以为直径作．取线段下方的抛物线部分和线段上方的圆弧部分（含端点），组成一个封闭图形，我们称这种图形为“抛物圆”，其中线段叫做“横径”，线段的垂直平分线被“抛物圆”截得的线段叫做“”，规定“纵径”长度和“横径”长度的比值叫做此“抛物圆”的“扁度”．
(1)已知抛物线．
①若点A横坐标为，则得到的“抛物圆”的“横径”长为______，“纵径”长为______；
②若点A横坐标为t，用t表示此“抛物圆”的“纵径”长，并求出当它的“扁度”为2时t的值；
(2)已知抛物线，若点A在直线上，求“抛物圆”的“扁度”不超过3时a的取值范围．
18．（2022秋·北京石景山·九年级统考期末）在平面直角坐标系xOy中，的半径为2．点P，Q为外两点，给出如下定义：若上存在点M，N，使得P，Q，M，N为顶点的四边形为矩形，则称点P，Q是的“成对关联点”．
（1）如图，点A，B，C，D横、纵坐标都是整数．在点B，C，D中，与点A组成的“成对关联点”的点是______；
（2）点在第一象限，点F与点E关于x轴对称．若点E，F是的“成对关联点”，直接写出t的取值范围；
（3）点G在y轴上．若直线上存在点H，使得点G，H是的“成对关联点”，直接写出点G的纵坐标的取值范围．
19．（2022秋·北京石景山·九年级统考期末）《九章算术》标志中国古代数学形成了完整的体系，第九卷《勾股》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小.以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现在的数学语言可表述为：“如图，是的直径，弦于点，寸，寸，求直径的长，”请你解答这个问题．
20．（2022秋·北京西城·九年级统考期末）如图，是的一条弦，点是的中点，连接并延长交劣弧于点，连接，，若，，求的面积．
21．（2022秋·北京海淀·九年级统考期末）紫砂壶是我国特有的手工制造陶土工艺品，其制作过程需要几十种不同的工具，其中有一种工具名为“带刻度嘴巴架”，其形状及使用方法如图1．当制显艺人把“带刻度嘴巴架”上圆弧部分恰好贴在壶口边界时，就可以保证需要粘贴的壶嘴、壶把、壶口中心在一条直线上．图2是正确使用该工具时的示意图．如图3，为某紫砂壶的壶口，已知，两点在上，直线过点，且于点，交于点．若，，求这个紫砂壶的壶口半径的长．
22．（2022秋·北京房山·九年级统考期末）在历史的长河中，很多文物难免损耗或破碎断裂，而文物修复师能运用自身拥有的多门学科的专业知识去修复破损的文物，使其重获新生．如图1，某文物修复师在修复一件破碎的古代瓷器束口盏（盏口原貌为圆形）的时候，仅凭一块碎片就初步推算出了该文物原貌口径的尺寸．如图2是文物修复师根据碎片的切面画出的几何图形．碎片的边缘是圆弧，表示为，测得弧所对的弦长为12.8，弧中点到弦的距离为2．设所在圆的圆心为O，半径于D，连接．求这个盏口半径的长（精确到0.1）．
23．（2022秋·北京朝阳·九年级统考期末）圆管涵是公路路基排水中常用的涵洞结构类型，它不仅力学性能好，而且构造简单、施工方便．某水平放置的圆管涵圆柱形排水管道的截面是直径为的圆，如图所示，若水面宽，求水的最大深度．
24．（2022秋·北京平谷·九年级统考期末）如图，已知劣弧，如何等分？下面给出两种作图方法，选择其中一种方法，利用直尺和圆规完成作图，并补全证明过程．
方法一：①作射线、；
②作的平分线，与交于点C；
点C即为所求作．
证明：∵平分，
∴
∴___（_____）（填推理的依据）．
方法二：①连接；
②作线段的垂直平分线，直线与交于点C；
点C即为所求作．
证明：∵垂直平分弦，
∴直线经过圆心O，
∴___（___）（填推理的依据）．
25．（2022秋·北京门头沟·九年级统考期末）下面是小李设计的“作圆的内接等边三角形”的尺规作图过程．
已知：如图1，．
求作：等边，使得等边内接于．
作法：
①如图2，作半径；
②以M为圆心，长为半径作弧，交于点A，B，连接；
③以B为圆心，长为半径作弧，交于点C；
④连接，．
∴就是所求作的等边三角形．
根据上述尺规作图的过程，回答以下问题：
(1)使用直尺和圆规，依作法补全图2（保留作图痕迹）；
(2)完成下面的证明．
证明：连接，，，．
由作图可知，
∴，是等边三角形．
∴ ．
∴．
∵，
∴．（ ）（填推理的依据）
∵，
∴是等边三角形．
26．（2022秋·北京顺义·九年级统考期末）在证明圆周角定理时，某学习小组讨论出圆心与圆周角有三种不同的位置关系（如图1，2，3所示），小敏说：当圆心O在∠ACB的边上时，只要利用三角形内角和定理的推论和等腰三角形的性质即可证明．小亮说：当圆心O在∠ACB的内部或外部时，可以通过添加直径这条辅助线，把问题转化为圆心O在∠ACB的边上时的特殊情形来解决．请选择图2或图3中的一种，完成证明．
圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半． 已知：如图，在中，所对的圆周角是∠ACB，圆心角是∠AOB． 求证：．
27．（2022秋·北京海淀·九年级统考期末）如图，四边形内接于，为直径，．若，求的度数．
参考答案：
1．A
【分析】设正方形的边长为，用勾股定理求得点到的圆心之间的距离，为的半径，通过比较二者的大小，即可得到结论．
【详解】解：设正方形的边长为，
则，，
，
点在外，
故选：A．
【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，解题的关键是确定圆的半径和点到圆心之间的距离的大小关系．
2．A
【分析】点在圆外，则点与圆心的距离大于半径，根据点与圆的位置关系解答．
【详解】解：∵⊙O的半径为4，点P 在⊙O外部，
∴OP需要满足的条件是OP>4，
故选：A．
【点睛】此题考查了点与圆的位置关系，熟记点在圆内、圆上、圆外的判断方法是解题的关键．
3．B
【分析】先由勾股定理确定出各点坐标，再利用m＜n＜m判断即可.
【详解】点C、D、E、P都在上，
由勾股定理得：，，，
解得，，，
故，D（，），E（，1），
P（m，n），m＜n＜m，且m在上，点C的横坐标满足，点D纵坐标满足，
从点D到点C的弧上的点满足：，
故点P在上.
故选：B
【点睛】此题考查勾股定理和圆的基本性质，掌握相应的定理和性质是解答此题的关键.
4．A
【分析】根据点和圆的位置与圆的半径的关系求得OP的范围即可解答．
【详解】解：∵的半径为4，点在内，
∴0≤OP＜4，
故选：A．
【点睛】本题考查了点和圆的位置关系，熟知点和圆的位置与圆的半径的关系是解答的关键．
5．A
【分析】根据三角形的外角的性质可得，求得，再根据同弧所对的圆周角相等，即可得到答案．
【详解】解：，，，
，
，
故选：A．
【点睛】本题考查了圆周角定理及三角形的外角的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
6．D
【分析】连接，根据直径所对的圆周角是直角得出，从而求出的度数，最后利用同弧所对的圆周角相等即可解答．
【详解】解：如图：连接，
是的直径，
，
，
，
，
故选：D．
【点睛】本题考查了圆周角定理，熟练掌握直径所对的圆周角是直角是解题的关键．
7．C
【分析】根据同圆中，同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得结果．
【详解】∵在中，，
∴，
故选：C
【点睛】本题考查圆周角定理，掌握圆周角定理，并能找出同弧所对的圆周角和圆心角是解题的关键．
8．外
【分析】点与圆的位置关系有3种．设的半径为，点到圆心的距离，则有：①点在圆外 ；②点在圆上 ；③点在圆内 ，由此即可判断；
【详解】解：，，
，
点在外，
故答案为：外．
【点睛】本题考查点与圆的位置关系，记住：①点在圆外 ；②点在圆上 ；③点在圆内 是解题的关键．
9．（2，1）
【分析】根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心．
【详解】解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，
可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心．
如图所示，则圆心是（2，1）．
故答案为（2，1）．
【点睛】本题考查垂径定理的应用，解答此题的关键是熟知垂径定理，即“垂直于弦的直径平分弦”．
10．10
【分析】根据题意构造直角三角形，进而利用勾股定理求出答案．
【详解】解：连接，，，
可得：，，
∵，拱高米，
∴，
设，则，
根据题意可得：，
即，
解得：，
即圆弧形桥拱所在圆的半径是米．
故答案为：10
【点睛】此题主要考查了垂径定理的应用以及勾股定理，正确应用垂径定理是解题关键．
11．26
【分析】根据垂径定理得出的长，设半径为r寸，再利用勾股定理求解．
【详解】
解：连接OA，
，
由垂径定理知，点E是AB的中点，
设半径为r寸，
由勾股定理得，
，
即，
解得：，
，
即圆的直径为26寸．
故答案为：26．
【点睛】本题利用了垂径定理和勾股定理，正确构造直角三角形求出半径长是解题关键．
12．
【分析】先根据为圆的直径，弦可知，再根据，可求出的长，利用勾股定理可求出的长，进而可求出答案．
【详解】解：∵为圆的直径，弦，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，掌握垂径定理是解题的关键．
13．/
【分析】连接，，取中点，连接、，是⊙的直径，可推出和，由此可知，则在以为直径的圆上，当与点重合时，最大，根据求出长代入即可．
【详解】解：连接，，
∵是⊙的直径，
∴，
∵为的中点，为的中点，
∴，
∴，
取中点，连接，
∴在以为直径的圆上，
∵三角形两边之和大于第三边，且的半径为2，
∴，
∴当与点重合时，最大，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为．
【点睛】本题考查了直径所对的圆周角是及三角形的中位线的性质，熟练掌握数形结合思想是解题关键．
14．/120度
【分析】如图：在优弧AC上取一点D，连接,由圆周角定理和圆的内接四边形可得,，再结合求得，最后根据四边形的内角和定理即可解答．
【详解】解：如图：在优弧AC上取一点D，连接,
∴,
∵
∴，解得：
∵四边形
∴
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理、圆的内接四边形、四边形的内角和等知识点，掌握圆的内接四边形对角互补是解答本题的关键．
15．1
【分析】连接，，由圆周角定理求得，再由等腰三角形三线合一性质求得，从而求得，得到，然后在中，，由勾股定理求解即可．
【详解】解：连接，，
∴，
∵于点，
∴，
∴，
∴，
在中，，由勾股定理，得
，
∴，
∴，
故答案为：1．
【点睛】本题考查圆周角定理，等腰三角形的性质，勾股定理，熟练掌握圆周角定理，等腰三角形三线合一性质是解题的关键．
16．5
【分析】连接，根据圆周角定理可得：是该圆形镜子的直径，进而直接根据勾股定理求得，即可求解．
【详解】如图，连接，
∵，
∴是该圆形镜子的直径，
在Rt中，cm，cm，
∴cm，
∴该圆形镜子的半径是cm，
故答案为：5．
【点睛】本题考查圆周角定理和勾股定理的应用，解题的关键是构造直角三角形，证得是该圆形镜子的直径．
17．(1)①，；②
(2)且
【分析】（1）①根据题意分别求得的长，的长，根据定义即可求解；
②根据题意求得“抛物圆”的“横径”、“纵径”，根据它的“扁度”为2，建立方程，解方程即可求解；
（2）设的横坐标为，则的横坐标为，同（1）的方法求得“抛物圆”的“横径”、“纵径”， 根据它的“扁度”不超过3，得出，根据点A在直线上也在抛物线上得出，代入解不等式即可求解．
【详解】（1）解：①如图，
∵点A横坐标为，
∴，
∴，则关于轴对称的点，
∴，
设与轴交于点，半圆与轴交于点，
∴，
∴，，
∴则得到的“抛物圆”的“横径”长为，“纵径”长为；
故答案为：；
②∵关于轴对称，
∴当点A横坐标为t，则横坐标为，点在点左侧，
∴得到的“抛物圆”的“横径”长为，
“纵径”长为，
∵它的“扁度”为2，
即，
解得：或（舍去），
（2），
对称轴为，顶点为，
设的横坐标为，则的横坐标为，
∴，半径为，
∵在抛物线上，当时，，
∴“纵径”长为，“抛物圆”的“横径”长为，
“扁度”为，
即，即，
∵点A在直线上，
∴，
解得：，
∴，
解得：．
∵，
∴，
∴，
∴且．
【点睛】本题考查了新定义，二次函数图象的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键．
18．（1）B和C；（2）；（3）
【分析】（1）根据图形可确定与点A组成的“成对关联点”的点；
（2）如图，点E在直线上，点F在直线上，当点E在线段上，点F在线段上时，有的“成对关联点”，求出即可得出的取值范围；
（3）分类讨论：点G在上，点G在的下方和点G在的上方，构造的“成对关联点”，即可求出的取值范围．
【详解】（1）如图所示：
在点B，C，D中，与点A组成的“成对关联点”的点是B和C，
故答案为：B和C；
（2）∵
∴在直线上，
∵点F与点E关于x轴对称，
∴在直线，
如下图所示：
直线和与分别交于点，，与直线分别交于，，
由题可得：，
当点E在线段上时，有的“成对关联点”
∴；
（3）
如图，当点G在上时，轴，在上不存在这样的矩形；
如图，当点G在下方时，也不存在这样的矩形；
如图，当点G在上方时，存在这样的矩形GMNH，
当恰好只能构成一个矩形时，
设，直线与y轴相交于点K，
则，，，，，
∴，即，
∴，
解得：或（舍），
综上：当时，点G，H是的“成对关联点”．
【点睛】本题考查几何图形综合问题，属于中考压轴题，掌握“成对关联点”的定义是解题的关键．
19．直径的长为寸
【分析】连接，设的半径为r，利用垂径定理得到寸，再利用勾股定理求解即可．
【详解】接：连接，设的半径为r，
∵是的直径，，
∴，，
在中，根据勾股定理得，
∴，解得，
∴，即直径的长为寸．
【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理，熟练掌握垂径定理是解答的关键．
20．
【分析】设的半径为，由垂径定理得出，用含的式子表示，再根据勾股定理列方程解得半径的长，即可求解．
【详解】解：设，则．
点是的中点，过圆心，
．
，，
，．
在中，，
．
解得，．
．
．
【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，根据垂径定理判断出是的垂直平分线是解题的关键．
21．
【分析】连接，根据垂径定理求得，又由，即可由勾股定理求解．
【详解】解：如图，连接．
∵过圆心，，，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
解得．
∴这个紫砂壶的壶口半径的长为．
【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键．
22．11.2
【分析】根据垂径定理求出，再根据勾股定理列出关于的方程求出答案即可．
【详解】∵，且，
∴．
根据题意可知，
∴（）．
根据勾股定理，得，
解得．
所以这个盏口半径的长为11.2．
【点睛】本题主要考查了垂径定理，勾股定理等，勾股定理是求线段长的常用方法．
23．0.8m
【分析】过点作于点，连接，根据垂径定理得到，再在中，根据勾股定理可求出，进而即可求解．
【详解】解：如图，作于点，连接，
∵，，
∵，
∴，
在中，根据勾股定理，得，
∴，
∴水的最大深度为0.8m．
【点睛】此题主要考查了垂径定理的应用，以及勾股定理，熟练掌握定理是解题的关键．
24．方法一：画图见解析，，，在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等；方法二：画图见解析，，，垂径定理．
【分析】方法一：按照作图语句提示作图，再根据圆心角与弧的关系进行证明即可；
方法二：按照作图语句提示作图，再根据垂径定理进行证明即可；
【详解】解：方法一：如图，点C即为所求作．
证明：∵平分，
∴
∴（在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等）．
方法二：如图，点C即为所求作．
证明：∵垂直平分弦，
∴直线经过圆心O，
∴（垂径定理）．
【点睛】本题考查的是复杂的作图，平分弧的作图，熟练的利用基本作图解决复杂的作图是解本题的关键，同时考查了角平分线的定义，线段的垂直平分线的性质．
25．(1)见解析
(2)，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半
【分析】（1）按照作图方法补全图形即可；
（2）连接，，，，证明，是等边三角形．得到．由圆周角定理得到，由即可得到结论．
【详解】（1）如图所示，
（2）证明：连接，，，．
由作图可知，
∴，是等边三角形．
∴．
∴．
∵，
∴．（ 同弧所对的圆周角等于圆心角的一半）
∵，
∴是等边三角形．
故答案为：，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半
【点睛】此题考查了基本作图、等边三角形的判定和性质、圆周角定理等知识，准确作图和证明是解题的关键．
26．见解析
【分析】由等腰三角形的性质可得，然后根据三角形外角的性质可得，同理可得：，然后根据即可证明结论．
【详解】证明：∵
∴
∴
同理：
∵
∴,即．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理、等腰三角形的性质、三角形外角等知识点，理解圆周角定理是解答本题的关键．
27．
【分析】连接．利用等弧所对圆周角相等，得出，从而得出，再利用直径所对圆周角是直角，最后由直角 三角形两锐角互余求解即可．
【详解】解：如图，连接．
∵，
∴．
∵，
∴．
∵为直径，
∴．
∴．
【点睛】本题考查圆周角定理的推论，直角三角形的性质，熟练掌握圆周角定理的推论是解题的关键．