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(人教版吉林地区)2023-2024学年初中数学七年级上册4.3.1 角 同步分层训练培优卷
一、选择题
1．（2023七上·达川期末）如图，是直线，是直线上一点，、是两条射线，则图中小于平角的角有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
2．（2023七上·宁强期末）时钟的分针从8点整转到8点20分，分针旋转了（ ）度.
A．20 B．120 C．90 D．150
3．（2023七上·沙坡头期末）下列四个图中，能用、、三种方法表示同一个角的图形是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2022七上·广平期末）用度、分、秒表示为（ ）
A． B． C． D．
5．（2022七上·磁县期末）如图，货轮在O处观测到岛屿B在北偏东的方向，岛屿C在南偏东的方向，则的大小是（ ）
A． B． C． D．
6．（2022七上·定州期末）如图，下列说法中错误的是（ ）
A．与是同一个角
B．与是同一个角
C．可以用来表示
D．图中共有三个角：，，
7．（2022七上·汾阳期末）如图，已知点位于点南偏东30°的方向上，若，在的左侧，则点位于点（ ）
A．南偏西的方向上 B．南偏东的方向上
C．北偏东的方向上 D．北偏西的方向上
8．（2022七上·江油月考）如图所示，点在点的北偏东的方向上，射线与射线所成的角是，则射线的方向是( )
A．北偏西 B．北偏西 C．北偏西 D．西偏北
二、填空题
9．（2023七上·兰溪期末）如图是一个时钟在这个时刻的图形，时针与分针所成的角为 度.
10．（2023七上·洛川期末）计算：25°45′+62°19′＝ ．
11．（2022七上·密云期末）单位换算： 度 分．
12．（2023七上·北碚期末）时钟上时针和分针的夹角是 度.
13．（2023七上·沙坡头期末）下列说法：（1）两点之间的所有连线中，线段最短；（2）角是由两条具有公共端点的射线组成的；（3）经过两点有且只有一条直线；（4）连接两点的线段叫做这两点之间的距离.其中正确的有 （填正确说法的序号）.
14．（2021七上·龙泉驿期末）我们将圆形钟面的时针和分针看作是两条从圆心发出的射线，当时针和分针夹角180度时形成一条直线，这条直线刚好平分钟面，我们将这样的时刻称为“平衡时刻”，如图，6点整就是一个平衡时刻，请问从0时到24时共有 个平衡时刻.
三、作图题
15．（2021七上·石景山期末）请用下列工具按要求画图，并标出相应的字母．
已知：点P在直线a上，点Q在直线a外．
（ 1 ）画线段；
（ 2 ）画线段的中点M；
（ 3 ）画直线b，使于点M；
（ 4 ）直线b与直线a交于点N；
（ 5 ）利用半圆仪测量出 （精确到）．
四、解答题
16．用适当的方法表示如图所示图形中所有小于平角的角.
17．在下图中一共有几个角？它们应如何表示？
五、综合题
18．如图所示，写出：
（1）能用一个字母表示的角.
（2）以为顶点的角.
（3）图中共有几个小于平角的角
19．（2021七上·武义期末）阅读理解：在钟面上，把一周分成12个大格，每个大格分成5个小格，所以每个大格对应的是角，每个小格对应的是角，时针每分钟转过的角度是0.5度，分针每分针转过的角度是6度．
（1）解决问题：当时钟的时刻是8：30时，求此时分针与时针所夹的锐角的度数．
（2）8：00开始几分钟后分针第一次追上时针．
（3）设在8：00时，分针的位置为，时针的位置为，运动后的分针为，时针为．问：在8：00~9：00之间，从8：00开始运动几分钟，，，这三条射线，其中一条射线是另外两条射线所夹的角的平分线？
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】角的概念
【解析】【解答】解：图中小于平角的角有∠AOC，∠AOD，∠COD，∠COB，∠BOD，一共5个.
故答案为：C
【分析】利用角的定义，写出以点O为角的顶点，分别以OA，OC，OD为边的锐角，由此可得到图中小于平角的角.
2．【答案】B
【知识点】钟面角、方位角
【解析】【解答】解：由题意得：4×30°=120°，
∴时钟的分针从8点整转到8点20分，分针旋转了120度，
故答案为：B.
【分析】时钟上一大格为30°，8点整与8点20分相隔4个大格，据此求解.
3．【答案】D
【知识点】角的概念
【解析】【解答】解：A、图中的不能用表示，故本选项错误；
B、图中的和不是表示同一个角，故本选项错误；
C、图中的和不是表示同一个角，故本选项错误；
D、图中、、表示同一个角，故本选项正确；
故答案为：D.
【分析】以点O为顶点的角只有一个角时，可表示为∠O，据此判断.
4．【答案】D
【知识点】常用角的单位及换算
【解析】【解答】解：
故答案为：D．
【分析】利用角的单位换算求解即可。
5．【答案】B
【知识点】钟面角、方位角
【解析】【解答】解：由题意得：
，
故答案为：B．
【分析】利用方向角的计算方法求解即可。
6．【答案】C
【知识点】角的概念
【解析】【解答】解：A、∠1与表示的是同一个角，故A不符合题意；
B、与是同一个角，故B不符合题意；
C、以O为顶点的角一共有三个，不能用一个顶点字母表示，故C符合题意；
D、由图可知，图中共有三个角：，，，故D不符合题意．
故答案为：C．
【分析】根据角的定义及表示方法逐项判断即可。
7．【答案】A
【知识点】钟面角、方位角
【解析】【解答】如图，
由题意得：，
∵，
∴，
∴点B位于O的南偏西．
故答案为：A．
【分析】利用方向角的计算方法求解即可。
8．【答案】B
【知识点】钟面角、方位角
【解析】【解答】如图所示，
∵点B在点O的北偏东60°的方向上，射线OB与射线OA所成的角是110°，
∴射线OA的方向角为：西偏北40°或北偏西50°方向.
故答案为：B.
【分析】由点B在点O的北偏东60°的方向上，射线OB与射线OA所成的角是110°，再结合角的互余关系，即可求解.
9．【答案】120
【知识点】钟面角、方位角
【解析】【解答】解：，此时时针与分针相距4份，
，此时时针与分针所成的角度，
故答案为：120.
【分析】8：00时，时针与分针相隔4大格，结合1大格为30°进行计算即可.
10．【答案】88°4′
【知识点】常用角的单位及换算
【解析】【解答】解：25°45′+62°19′＝ 87°64′=88°4′.
故答案为：88°4′.
【分析】根据1°=60′进行计算即可.
11．【答案】；
【知识点】常用角的单位及换算
【解析】【解答】解：，
．
故答案为：，．
【分析】利用常用角的单位换算的计算方法求解即可。
12．【答案】40
【知识点】钟面角、方位角
【解析】【解答】解：∵，时钟上的时针和分针相距的份数是：，
∴，时钟上的时针和分针之间的夹角是.
故答案为：40.
【分析】6：40时，时针和分针相距的份数为，然后根据一份为30°进行计算.
13．【答案】（1）（2）（3）
【知识点】直线的性质：两点确定一条直线；线段的性质：两点之间线段最短；两点间的距离；角的概念
【解析】【解答】解：（1）两点之间的所有连线中，线段最短，正确；
（2）角是由两条具有公共端点的射线组成的，正确；
（3）经过两点有且只有一条直线，正确；
（4）连接两点的线段的长度叫做这两点之间的距离，故原说法错误.
故答案为：（1）（2）（3）.
【分析】根据两点之间，线段最短的性质可判断（1）；根据角的概念可判断（2）；根据直线的概念可判断（3）；根据两点间距离的概念可判断（4）.
14．【答案】22
【知识点】钟面角、方位角
【解析】【解答】解：钟面角和“平衡时刻”的意义可知，
时针每分钟走0.5度，分针每分钟走6度，
在相邻两次成180度之间，分针比时针多走了360度，所花时间为 (分)，
24小时共1440分，
所以平衡时刻有 （次），
故答案为：22.
【分析】由于每小时会出现一次时针与分针的夹角为180°的时刻，据此即可判断.
15．【答案】解：⑴线段PQ如图所示；⑵PQ的中点M如图所示；⑶直线b如图所示；⑷点N如图所示；⑸∠PNM≈50°．故答案为：50°．
【知识点】角的概念；作图-直线、射线、线段
【解析】【分析】根据题意作图计算求解即可。
16．【答案】解：∠A，∠B，∠ACD，∠BCD，∠ACB，∠ADC，∠BDC
【知识点】角的概念
【解析】【分析】分别找出以点A，点B，点D，点C为顶点的角，然后写出这些角.
17．【答案】解：以AB为边的角有∠1，∠ABC，以BD为边的角为∠2，
一共有3个角.
【知识点】角的概念
【解析】【分析】观察图形可知：顺时针方向找，以AB为边的角有2个，以BD为边的角有1个，然后分别写出这些角.
18．【答案】（1）解：能用一个字母表示的角有∠A，∠C
（2）解：以B为顶点的角有 ， ，
（3）解： 图中小于平角的角有∠ABC，∠ABE，∠BEC，∠EBC，∠AEB，∠C，∠A一共7个
【知识点】角的概念
【解析】【分析】（1）若以一个大写字母为顶点的角只有一个时，可以用一个大写字母表示，观察图形，可得答案.
（2）观察图形可知以点B为顶点的角有3个，然后写出这三个角即可.
（3）利用图形，分别写出以点A，B，C，E为顶点的角（小于平角的角），可得到小于平角的角的个数.
19．【答案】（1）解：8：30时，时针与分针的夹角是2.5个大格，，即分针与时针所夹的锐角的度数是．
（2）解：设x分钟后分针第一次追上时针.8：00时，时针与分针所夹钝角是8个大格，，由题意，，解得，即8：00开始分钟后分针第一次追上时针．
（3）解：设运动m分钟后，，，这三条射线，其中一条射线是另外两条射线所夹的角的平分线．分三种情况：如图①，
当平分时，，∴，解得；如图②，
当平分时，，∴，解得；如图③，
当平分时，，∴，解得；综上，运动分钟或分钟或48分钟后，，，这三条射线，其中一条射线是另外两条射线所夹的角的平分线．
【知识点】钟面角、方位角
【解析】【分析】（1）根据8：30时，时针与分针的夹角是2.5个大格，可得所夹锐角的度数；
（2）设x分钟后分针第一次追上时针，由题意得6x 0.5x＝240，解方程可求解；
（3）分三种情况：①当OB平分∠QOP时，0.5m＝240 6m；②当OP平分∠QOB时，0.5m＝2（6m 240）；③当OQ平分∠BOP时，6m 240＝2×0.5m.
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(人教版吉林地区)2023-2024学年初中数学七年级上册4.3.1 角 同步分层训练培优卷
一、选择题
1．（2023七上·达川期末）如图，是直线，是直线上一点，、是两条射线，则图中小于平角的角有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【答案】C
【知识点】角的概念
【解析】【解答】解：图中小于平角的角有∠AOC，∠AOD，∠COD，∠COB，∠BOD，一共5个.
故答案为：C
【分析】利用角的定义，写出以点O为角的顶点，分别以OA，OC，OD为边的锐角，由此可得到图中小于平角的角.
2．（2023七上·宁强期末）时钟的分针从8点整转到8点20分，分针旋转了（ ）度.
A．20 B．120 C．90 D．150
【答案】B
【知识点】钟面角、方位角
【解析】【解答】解：由题意得：4×30°=120°，
∴时钟的分针从8点整转到8点20分，分针旋转了120度，
故答案为：B.
【分析】时钟上一大格为30°，8点整与8点20分相隔4个大格，据此求解.
3．（2023七上·沙坡头期末）下列四个图中，能用、、三种方法表示同一个角的图形是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】角的概念
【解析】【解答】解：A、图中的不能用表示，故本选项错误；
B、图中的和不是表示同一个角，故本选项错误；
C、图中的和不是表示同一个角，故本选项错误；
D、图中、、表示同一个角，故本选项正确；
故答案为：D.
【分析】以点O为顶点的角只有一个角时，可表示为∠O，据此判断.
4．（2022七上·广平期末）用度、分、秒表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】常用角的单位及换算
【解析】【解答】解：
故答案为：D．
【分析】利用角的单位换算求解即可。
5．（2022七上·磁县期末）如图，货轮在O处观测到岛屿B在北偏东的方向，岛屿C在南偏东的方向，则的大小是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】钟面角、方位角
【解析】【解答】解：由题意得：
，
故答案为：B．
【分析】利用方向角的计算方法求解即可。
6．（2022七上·定州期末）如图，下列说法中错误的是（ ）
A．与是同一个角
B．与是同一个角
C．可以用来表示
D．图中共有三个角：，，
【答案】C
【知识点】角的概念
【解析】【解答】解：A、∠1与表示的是同一个角，故A不符合题意；
B、与是同一个角，故B不符合题意；
C、以O为顶点的角一共有三个，不能用一个顶点字母表示，故C符合题意；
D、由图可知，图中共有三个角：，，，故D不符合题意．
故答案为：C．
【分析】根据角的定义及表示方法逐项判断即可。
7．（2022七上·汾阳期末）如图，已知点位于点南偏东30°的方向上，若，在的左侧，则点位于点（ ）
A．南偏西的方向上 B．南偏东的方向上
C．北偏东的方向上 D．北偏西的方向上
【答案】A
【知识点】钟面角、方位角
【解析】【解答】如图，
由题意得：，
∵，
∴，
∴点B位于O的南偏西．
故答案为：A．
【分析】利用方向角的计算方法求解即可。
8．（2022七上·江油月考）如图所示，点在点的北偏东的方向上，射线与射线所成的角是，则射线的方向是( )
A．北偏西 B．北偏西 C．北偏西 D．西偏北
【答案】B
【知识点】钟面角、方位角
【解析】【解答】如图所示，
∵点B在点O的北偏东60°的方向上，射线OB与射线OA所成的角是110°，
∴射线OA的方向角为：西偏北40°或北偏西50°方向.
故答案为：B.
【分析】由点B在点O的北偏东60°的方向上，射线OB与射线OA所成的角是110°，再结合角的互余关系，即可求解.
二、填空题
9．（2023七上·兰溪期末）如图是一个时钟在这个时刻的图形，时针与分针所成的角为 度.
【答案】120
【知识点】钟面角、方位角
【解析】【解答】解：，此时时针与分针相距4份，
，此时时针与分针所成的角度，
故答案为：120.
【分析】8：00时，时针与分针相隔4大格，结合1大格为30°进行计算即可.
10．（2023七上·洛川期末）计算：25°45′+62°19′＝ ．
【答案】88°4′
【知识点】常用角的单位及换算
【解析】【解答】解：25°45′+62°19′＝ 87°64′=88°4′.
故答案为：88°4′.
【分析】根据1°=60′进行计算即可.
11．（2022七上·密云期末）单位换算： 度 分．
【答案】；
【知识点】常用角的单位及换算
【解析】【解答】解：，
．
故答案为：，．
【分析】利用常用角的单位换算的计算方法求解即可。
12．（2023七上·北碚期末）时钟上时针和分针的夹角是 度.
【答案】40
【知识点】钟面角、方位角
【解析】【解答】解：∵，时钟上的时针和分针相距的份数是：，
∴，时钟上的时针和分针之间的夹角是.
故答案为：40.
【分析】6：40时，时针和分针相距的份数为，然后根据一份为30°进行计算.
13．（2023七上·沙坡头期末）下列说法：（1）两点之间的所有连线中，线段最短；（2）角是由两条具有公共端点的射线组成的；（3）经过两点有且只有一条直线；（4）连接两点的线段叫做这两点之间的距离.其中正确的有 （填正确说法的序号）.
【答案】（1）（2）（3）
【知识点】直线的性质：两点确定一条直线；线段的性质：两点之间线段最短；两点间的距离；角的概念
【解析】【解答】解：（1）两点之间的所有连线中，线段最短，正确；
（2）角是由两条具有公共端点的射线组成的，正确；
（3）经过两点有且只有一条直线，正确；
（4）连接两点的线段的长度叫做这两点之间的距离，故原说法错误.
故答案为：（1）（2）（3）.
【分析】根据两点之间，线段最短的性质可判断（1）；根据角的概念可判断（2）；根据直线的概念可判断（3）；根据两点间距离的概念可判断（4）.
14．（2021七上·龙泉驿期末）我们将圆形钟面的时针和分针看作是两条从圆心发出的射线，当时针和分针夹角180度时形成一条直线，这条直线刚好平分钟面，我们将这样的时刻称为“平衡时刻”，如图，6点整就是一个平衡时刻，请问从0时到24时共有 个平衡时刻.
【答案】22
【知识点】钟面角、方位角
【解析】【解答】解：钟面角和“平衡时刻”的意义可知，
时针每分钟走0.5度，分针每分钟走6度，
在相邻两次成180度之间，分针比时针多走了360度，所花时间为 (分)，
24小时共1440分，
所以平衡时刻有 （次），
故答案为：22.
【分析】由于每小时会出现一次时针与分针的夹角为180°的时刻，据此即可判断.
三、作图题
15．（2021七上·石景山期末）请用下列工具按要求画图，并标出相应的字母．
已知：点P在直线a上，点Q在直线a外．
（ 1 ）画线段；
（ 2 ）画线段的中点M；
（ 3 ）画直线b，使于点M；
（ 4 ）直线b与直线a交于点N；
（ 5 ）利用半圆仪测量出 （精确到）．
【答案】解：⑴线段PQ如图所示；⑵PQ的中点M如图所示；⑶直线b如图所示；⑷点N如图所示；⑸∠PNM≈50°．故答案为：50°．
【知识点】角的概念；作图-直线、射线、线段
【解析】【分析】根据题意作图计算求解即可。
四、解答题
16．用适当的方法表示如图所示图形中所有小于平角的角.
【答案】解：∠A，∠B，∠ACD，∠BCD，∠ACB，∠ADC，∠BDC
【知识点】角的概念
【解析】【分析】分别找出以点A，点B，点D，点C为顶点的角，然后写出这些角.
17．在下图中一共有几个角？它们应如何表示？
【答案】解：以AB为边的角有∠1，∠ABC，以BD为边的角为∠2，
一共有3个角.
【知识点】角的概念
【解析】【分析】观察图形可知：顺时针方向找，以AB为边的角有2个，以BD为边的角有1个，然后分别写出这些角.
五、综合题
18．如图所示，写出：
（1）能用一个字母表示的角.
（2）以为顶点的角.
（3）图中共有几个小于平角的角
【答案】（1）解：能用一个字母表示的角有∠A，∠C
（2）解：以B为顶点的角有 ， ，
（3）解： 图中小于平角的角有∠ABC，∠ABE，∠BEC，∠EBC，∠AEB，∠C，∠A一共7个
【知识点】角的概念
【解析】【分析】（1）若以一个大写字母为顶点的角只有一个时，可以用一个大写字母表示，观察图形，可得答案.
（2）观察图形可知以点B为顶点的角有3个，然后写出这三个角即可.
（3）利用图形，分别写出以点A，B，C，E为顶点的角（小于平角的角），可得到小于平角的角的个数.
19．（2021七上·武义期末）阅读理解：在钟面上，把一周分成12个大格，每个大格分成5个小格，所以每个大格对应的是角，每个小格对应的是角，时针每分钟转过的角度是0.5度，分针每分针转过的角度是6度．
（1）解决问题：当时钟的时刻是8：30时，求此时分针与时针所夹的锐角的度数．
（2）8：00开始几分钟后分针第一次追上时针．
（3）设在8：00时，分针的位置为，时针的位置为，运动后的分针为，时针为．问：在8：00~9：00之间，从8：00开始运动几分钟，，，这三条射线，其中一条射线是另外两条射线所夹的角的平分线？
【答案】（1）解：8：30时，时针与分针的夹角是2.5个大格，，即分针与时针所夹的锐角的度数是．
（2）解：设x分钟后分针第一次追上时针.8：00时，时针与分针所夹钝角是8个大格，，由题意，，解得，即8：00开始分钟后分针第一次追上时针．
（3）解：设运动m分钟后，，，这三条射线，其中一条射线是另外两条射线所夹的角的平分线．分三种情况：如图①，
当平分时，，∴，解得；如图②，
当平分时，，∴，解得；如图③，
当平分时，，∴，解得；综上，运动分钟或分钟或48分钟后，，，这三条射线，其中一条射线是另外两条射线所夹的角的平分线．
【知识点】钟面角、方位角
【解析】【分析】（1）根据8：30时，时针与分针的夹角是2.5个大格，可得所夹锐角的度数；
（2）设x分钟后分针第一次追上时针，由题意得6x 0.5x＝240，解方程可求解；
（3）分三种情况：①当OB平分∠QOP时，0.5m＝240 6m；②当OP平分∠QOB时，0.5m＝2（6m 240）；③当OQ平分∠BOP时，6m 240＝2×0.5m.
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