2023-2024学年初中数学七年级上册4.3.2 角的比较与运算 同步分层训练基础卷 (人教版吉林地区)
一、选择题
1．（2023七上·凤翔期末）如图所示，，，OD平分，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023七上·江北期末）将一副三角板按如图所示位置摆放，其中∠α与∠β一定相等的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023七上·益阳期末）如图，在同一平面内，，，点为反向延长线上一点（图中所有角均指小于的角）.下列结论：①；②；③；④.其中正确结论的个数有（ ）.
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
4．（2023七上·陈仓期末）一副三角板如图摆放，则的度数是（ ）
A．90° B．75° C．60° D．15°
5．（2023七上·礼泉期末）若∠1=50°5′，∠2=50.5°，则∠1与∠2的大小关系是（ ）
A．∠1=∠2 B．∠2>∠1 C．∠1>∠2 D．无法确定
6．（2023七上·嘉兴期末）将一副三角板按如图所示的不同方式摆放，则图中∠a与∠β一定相等的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2023七上·金东期末）如图，点为直线上一点，平分，，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
8．（2023七上·慈溪期末）若，，则与的大小关系是（ ）
A． B． C． D．无法判断
二、填空题
9．（2023七上·苍南期末）如图，，射线在内部，，则 度.
10．（2023七上·长兴期末）如图，将一副三角板摆成如图形状，如果，那么的度数是 .
11．（2023七上·嘉兴期末）如图，OA⊥OB， OB平分∠COD，若∠BOC=31°30'，则∠AOD的度数为 ．(结果用度表示)
12．（2023七上·澄城期末）数学课上，老师要求同学们用一副三角板画一个钝角，并且画出它的角平分线．小丹的画法如下：
①先按照图1的方式摆放一副三角板，画出；
②再按照图2的方式摆放一副三角板，画出射线；
③图3是去掉三角板后得到的图形．
（1）小丹画的的度数是 ．
（2）射线是的角平分线的依据是 ．
13．（2023七上·大竹期末）如图，将一副直角三角板叠在一起，使直角顶点重合于点O，∠AOB=155°，则∠COD＝ ，∠BOC＝ ．
三、解答题
14．（2023七上·西安期末）如图，О是直线上一点，，，平分.求的度数.
15．（2023七上·东方期末）如图，，平分，求度数.
解：∵，，
∴ （填角的名称）= ，
∵平分，
∴ ，
∴ （填角的名称）= .
四、综合题
16．（2023七上·韩城期末）如图，是内部的一条射线，是内部的一条射线，是内部的一条射线.
（1）如图1，、分别是、的角平分线，已知，，求的度数；
（2）如图2，若，，且，求的度数.
17．（2023七上·兰溪期末）如图1，已知，平分，平分.
（1）若，则是多少度？
（2）如图2，若角平分线的位置在射线和射线之间（包括重合），请说明的度数应控制在什么范围.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】角的大小比较；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵，，
∵OD平分，
∴
故答案为：A.
【分析】由∠AOC=∠AOB+∠BOC算出∠AOC的度数，由角平分线定义可得∠AOD=∠AOC，进而根据∠BOD=∠AOB-∠AOD可得答案.
2．【答案】B
【知识点】角的运算
【解析】【解答】解：A、，故不符合题意；
B、由同角的余角相等可得=，故符合题意；
C、∵，，
∴与不相等，故不符合题意；
D、，，
∴与不相等，故不符合题意.
故答案为：B.
【分析】根据一副三角形板中每一个角的度数，并结合角的和差、平角的定义及同角的余角相等一一计算，即可判断得出答案.
3．【答案】B
【知识点】角的运算
【解析】【解答】解：∵∠AOB=∠COD=90°，
∴∠AOC=∠BOD，
而∠COE=∠BOE，
∴∠AOE=∠DOE，所以①正确；
∠AOD+∠COB=∠AOD+∠AOC+90°=90°+90°=180°，所以②正确；
∠COB-∠AOD=∠AOC+90°-∠AOD，
而∠AOC≠∠AOD，所以③不正确；
∵E、O、F三点共线
∴∠BOE+∠BOF=180°，
∵∠COE=∠BOE，
∴∠COE+∠BOF=180°，所以④正确.
所以，正确的结论有3个.
故答案为：B.
【分析】根据同角的余角相等可得∠AOC=∠BOD，由已知条件可知∠COE=∠BOE，然后根据等式的性质可判断①；∠AOD+∠COB=∠AOD+∠AOC+90°，据此判断②；∠COB-∠AOD=∠AOC+90°-∠AOD，据此判断③；由平角的概念可得∠BOE+∠BOF=180°，结合∠COE=∠BOE可判断④.
4．【答案】B
【知识点】角的运算
【解析】【解答】解：对图形标注点D，
由题意得，
故答案为：B.
【分析】对图形标注点D，根据图形可得∠ABD=30°，∠DBC=45°，然后根据∠ABC=∠ABD+∠DBC进行计算.
5．【答案】B
【知识点】角的大小比较
【解析】【解答】解：∵∠2=50.5°=50°30′，
50°30′＞50°5′，
∴∠2＜∠1.
故答案为：B
【分析】将∠2用度分秒表示，再比较两个角的大小.
6．【答案】A
【知识点】角的运算
【解析】【解答】解：A、由图形得：∠β＝45°，∠α＝90° 45°＝45°，∴∠α＝∠β，故符合题意；
B、由图形得：∠α＋∠β＝60°，∴∠α不一定等于∠β，故不合题意；
C、由图形得：∠α＝90° 60°＝30°，∠β＝90° 45°＝45°，∴∠α≠∠β，故不合题意；
D、由图形得：∠α＋∠β＝90°，不合题意．
故答案为：A.
【分析】A、由图形可得∠β＝45°，且∠α+∠β=90°，即可做出判断；
B、由图形可分别求出∠α与∠β的关系数，即可做出判断；
C、由图形可分别求出∠α与∠β的度数，即可做出判断；
D、由图形可得两角互余，不合题意．
7．【答案】D
【知识点】角的大小比较；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵ ，OC平分∠AOD，
∴，
∴，
∵∠BOD=3∠BOE，
∴，
∴.
故答案为：D.
【分析】根据角平分线的定义得∠AOD的度数，根据平角的定义表示出∠BOD的度数，进而根据∠BOD=3∠BOE，表示出∠BOE的度数，最后根据∠COE=180°-∠AOC-∠BOE即可算出答案.
8．【答案】A
【知识点】常用角的单位及换算；角的大小比较
【解析】【解答】解：∵，而，
∴.
故答案为：A.
【分析】根据1°=60′可得∠A=99.6°=99°36′，据此进行比较.
9．【答案】150
【知识点】角的运算
【解析】【解答】解：∵，
，
∴，
∵
∴，
∴，
∴，
故答案为：150.
【分析】根据周角定义可得∠AOB=∠BOC=∠AOC=120°，根据垂直定义得∠AOD=90°，进而根据角的和差，由∠DOC=∠AOC-∠AOD，∠BOD=∠BOC+∠DOC，代入计算即可.
10．【答案】152°
【知识点】角的运算
【解析】【解答】解：由图可知：，
∴
；
故答案为：152°.
【分析】由图可得∠AOC=∠BOD=90°，然后根据∠AOB=∠AOC+∠COB=∠AOC+∠BOD-∠DOC进行计算.
11．【答案】58.5°
【知识点】角的运算；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵ OB平分∠COD，若∠BOC=31°30'， ∴∠BOD=∠BOC=31°30'，
∵OA⊥OB，
∴∠AOB=90°，
∴∠AOD=∠AOB-∠BOD=90°-31°30′=58°30′=58.5°.
故答案为：58.5°.
【分析】首先根据角平分线的定义得∠BOD的度数，根据垂直的定义得∠AOB的度数，进而根据∠AOD=∠AOB-∠BOD算出答案.
12．【答案】75°（）射线是的角平分线的依据是_______．【答案】角平分线定义
（1）75°
（2）角平分线定义
【知识点】角的运算；角平分线的定义
【解析】【解答】解：（1）∵图1∠AOB=90°+60°=150°，
∠AOC=∠AOB-∠BOC=150°-30°-45°=75°.
故答案为：75°
（2）∵∠BOC=30°+45°=75°，
∴∠BOC=∠AOC，
∴OC平分∠AOB，
∴射线OC平分∠AOB的依据是角平分线的定义.
故答案为：角平分线的定义
【分析】（1）观察图1，可求出∠AOB的度数，再根据图2，根据∠AOC=∠AOB-∠BOC，代入计算求出∠AOC的度数.
（2）利用（1）中的计算可得到∠BOC=∠AOC，利用角平分线的定义可证得OC平分∠AOB.
13．【答案】25°；65°
【知识点】角的运算
【解析】【解答】解：∵∠AOC=∠BOD=90°，
∴∠AOC+∠DOB=∠AOB+∠COD=180°.
∵∠AOB=155°，
∴∠COD=180°-155°=25°，
∴∠BOC=∠DOB-∠COD=90°-25°=65°.
故答案为：25°，65°.
【分析】根据角的和差关系可得∠AOC+∠DOB=∠AOB+∠COD=180°，结合∠AOB的度数可得∠COD的度数，然后根据∠BOC=∠DOB-∠COD进行计算.
14．【答案】解：∵，
∴
∵平分
∴
∴.
【知识点】角的大小比较；角平分线的定义
【解析】【分析】由角的构成∠BOC=∠AOB-∠AOC求得∠BOC的值；由角平分线定义得∠COD=2∠BOC求出∠COD的度数，再根据平角定义可求解.
15．【答案】解：∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∴.
故答案为：；；；；.
【知识点】角的运算；角平分线的定义
【解析】【分析】根据角的和差关系可得∠AOC=∠AOB+∠BOC=90°，由角平分线的概念可得∠AOD=∠AOC=45°，然后根据∠BOD=∠AOD-∠AOB进行计算.
16．【答案】（1）解：∵OM是∠AOB的角平分线，∠AOB=30°，
∴，
∵∠MON=70°，
∴∠BON=∠MON-∠BOM=55°，
∵ON是∠BOC的角平分线，
∴∠BOC=2∠BON=110°；
（2）解：设∠AOM=∠NOC=x，则∠AOB=4x，
∴∠BOM=∠AOB-∠AOM=3x，
∵∠BOM：∠BON=3：2，
∴∠BON=2x，
∴∠AOC=∠AOB+∠BON+∠NOC=7x=140°，
∴x=20°，
∴∠MON=∠BOM+∠BON=5x=100°.
【知识点】角的运算；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）根据角平分线的概念得∠BOC=2∠BON，∠BOM=∠AOB=15°，则∠BON=∠MON-∠BOM=55°，据此求解；
（2）设∠AOM=∠NOC=x，则∠AOB=4x，∠BOM=∠AOB-∠AOM=3x，∠BON=2x，则∠AOC=∠AOB+∠BON+∠NOC=7x=140°，求出x的度数，然后根据∠MON=∠BOM+∠BON进行计算.
17．【答案】（1）解：∵，，
∴，
∵平分，平分，
∴，
∴
（2）解：如图1，当与重合时，最小，.
如图2，当与重合时，最大，
所以，
【知识点】角的运算；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）根据垂直的概念可得∠AOB=90°，则∠AOC=∠AOB+∠BOC=130°，根据角平分线的概念可得∠EOC=∠AOC，∠COF=∠BOC，然后根据∠EOF=∠EOC-∠FOC进行计算；
（2）画出∠AOC最大、最小时对应的图形，进而得到∠AOC的范围.
1 / 12023-2024学年初中数学七年级上册4.3.2 角的比较与运算 同步分层训练基础卷 (人教版吉林地区)
一、选择题
1．（2023七上·凤翔期末）如图所示，，，OD平分，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】角的大小比较；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵，，
∵OD平分，
∴
故答案为：A.
【分析】由∠AOC=∠AOB+∠BOC算出∠AOC的度数，由角平分线定义可得∠AOD=∠AOC，进而根据∠BOD=∠AOB-∠AOD可得答案.
2．（2023七上·江北期末）将一副三角板按如图所示位置摆放，其中∠α与∠β一定相等的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】角的运算
【解析】【解答】解：A、，故不符合题意；
B、由同角的余角相等可得=，故符合题意；
C、∵，，
∴与不相等，故不符合题意；
D、，，
∴与不相等，故不符合题意.
故答案为：B.
【分析】根据一副三角形板中每一个角的度数，并结合角的和差、平角的定义及同角的余角相等一一计算，即可判断得出答案.
3．（2023七上·益阳期末）如图，在同一平面内，，，点为反向延长线上一点（图中所有角均指小于的角）.下列结论：①；②；③；④.其中正确结论的个数有（ ）.
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【知识点】角的运算
【解析】【解答】解：∵∠AOB=∠COD=90°，
∴∠AOC=∠BOD，
而∠COE=∠BOE，
∴∠AOE=∠DOE，所以①正确；
∠AOD+∠COB=∠AOD+∠AOC+90°=90°+90°=180°，所以②正确；
∠COB-∠AOD=∠AOC+90°-∠AOD，
而∠AOC≠∠AOD，所以③不正确；
∵E、O、F三点共线
∴∠BOE+∠BOF=180°，
∵∠COE=∠BOE，
∴∠COE+∠BOF=180°，所以④正确.
所以，正确的结论有3个.
故答案为：B.
【分析】根据同角的余角相等可得∠AOC=∠BOD，由已知条件可知∠COE=∠BOE，然后根据等式的性质可判断①；∠AOD+∠COB=∠AOD+∠AOC+90°，据此判断②；∠COB-∠AOD=∠AOC+90°-∠AOD，据此判断③；由平角的概念可得∠BOE+∠BOF=180°，结合∠COE=∠BOE可判断④.
4．（2023七上·陈仓期末）一副三角板如图摆放，则的度数是（ ）
A．90° B．75° C．60° D．15°
【答案】B
【知识点】角的运算
【解析】【解答】解：对图形标注点D，
由题意得，
故答案为：B.
【分析】对图形标注点D，根据图形可得∠ABD=30°，∠DBC=45°，然后根据∠ABC=∠ABD+∠DBC进行计算.
5．（2023七上·礼泉期末）若∠1=50°5′，∠2=50.5°，则∠1与∠2的大小关系是（ ）
A．∠1=∠2 B．∠2>∠1 C．∠1>∠2 D．无法确定
【答案】B
【知识点】角的大小比较
【解析】【解答】解：∵∠2=50.5°=50°30′，
50°30′＞50°5′，
∴∠2＜∠1.
故答案为：B
【分析】将∠2用度分秒表示，再比较两个角的大小.
6．（2023七上·嘉兴期末）将一副三角板按如图所示的不同方式摆放，则图中∠a与∠β一定相等的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】角的运算
【解析】【解答】解：A、由图形得：∠β＝45°，∠α＝90° 45°＝45°，∴∠α＝∠β，故符合题意；
B、由图形得：∠α＋∠β＝60°，∴∠α不一定等于∠β，故不合题意；
C、由图形得：∠α＝90° 60°＝30°，∠β＝90° 45°＝45°，∴∠α≠∠β，故不合题意；
D、由图形得：∠α＋∠β＝90°，不合题意．
故答案为：A.
【分析】A、由图形可得∠β＝45°，且∠α+∠β=90°，即可做出判断；
B、由图形可分别求出∠α与∠β的关系数，即可做出判断；
C、由图形可分别求出∠α与∠β的度数，即可做出判断；
D、由图形可得两角互余，不合题意．
7．（2023七上·金东期末）如图，点为直线上一点，平分，，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】角的大小比较；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵ ，OC平分∠AOD，
∴，
∴，
∵∠BOD=3∠BOE，
∴，
∴.
故答案为：D.
【分析】根据角平分线的定义得∠AOD的度数，根据平角的定义表示出∠BOD的度数，进而根据∠BOD=3∠BOE，表示出∠BOE的度数，最后根据∠COE=180°-∠AOC-∠BOE即可算出答案.
8．（2023七上·慈溪期末）若，，则与的大小关系是（ ）
A． B． C． D．无法判断
【答案】A
【知识点】常用角的单位及换算；角的大小比较
【解析】【解答】解：∵，而，
∴.
故答案为：A.
【分析】根据1°=60′可得∠A=99.6°=99°36′，据此进行比较.
二、填空题
9．（2023七上·苍南期末）如图，，射线在内部，，则 度.
【答案】150
【知识点】角的运算
【解析】【解答】解：∵，
，
∴，
∵
∴，
∴，
∴，
故答案为：150.
【分析】根据周角定义可得∠AOB=∠BOC=∠AOC=120°，根据垂直定义得∠AOD=90°，进而根据角的和差，由∠DOC=∠AOC-∠AOD，∠BOD=∠BOC+∠DOC，代入计算即可.
10．（2023七上·长兴期末）如图，将一副三角板摆成如图形状，如果，那么的度数是 .
【答案】152°
【知识点】角的运算
【解析】【解答】解：由图可知：，
∴
；
故答案为：152°.
【分析】由图可得∠AOC=∠BOD=90°，然后根据∠AOB=∠AOC+∠COB=∠AOC+∠BOD-∠DOC进行计算.
11．（2023七上·嘉兴期末）如图，OA⊥OB， OB平分∠COD，若∠BOC=31°30'，则∠AOD的度数为 ．(结果用度表示)
【答案】58.5°
【知识点】角的运算；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵ OB平分∠COD，若∠BOC=31°30'， ∴∠BOD=∠BOC=31°30'，
∵OA⊥OB，
∴∠AOB=90°，
∴∠AOD=∠AOB-∠BOD=90°-31°30′=58°30′=58.5°.
故答案为：58.5°.
【分析】首先根据角平分线的定义得∠BOD的度数，根据垂直的定义得∠AOB的度数，进而根据∠AOD=∠AOB-∠BOD算出答案.
12．（2023七上·澄城期末）数学课上，老师要求同学们用一副三角板画一个钝角，并且画出它的角平分线．小丹的画法如下：
①先按照图1的方式摆放一副三角板，画出；
②再按照图2的方式摆放一副三角板，画出射线；
③图3是去掉三角板后得到的图形．
（1）小丹画的的度数是 ．
（2）射线是的角平分线的依据是 ．
【答案】75°（）射线是的角平分线的依据是_______．【答案】角平分线定义
（1）75°
（2）角平分线定义
【知识点】角的运算；角平分线的定义
【解析】【解答】解：（1）∵图1∠AOB=90°+60°=150°，
∠AOC=∠AOB-∠BOC=150°-30°-45°=75°.
故答案为：75°
（2）∵∠BOC=30°+45°=75°，
∴∠BOC=∠AOC，
∴OC平分∠AOB，
∴射线OC平分∠AOB的依据是角平分线的定义.
故答案为：角平分线的定义
【分析】（1）观察图1，可求出∠AOB的度数，再根据图2，根据∠AOC=∠AOB-∠BOC，代入计算求出∠AOC的度数.
（2）利用（1）中的计算可得到∠BOC=∠AOC，利用角平分线的定义可证得OC平分∠AOB.
13．（2023七上·大竹期末）如图，将一副直角三角板叠在一起，使直角顶点重合于点O，∠AOB=155°，则∠COD＝ ，∠BOC＝ ．
【答案】25°；65°
【知识点】角的运算
【解析】【解答】解：∵∠AOC=∠BOD=90°，
∴∠AOC+∠DOB=∠AOB+∠COD=180°.
∵∠AOB=155°，
∴∠COD=180°-155°=25°，
∴∠BOC=∠DOB-∠COD=90°-25°=65°.
故答案为：25°，65°.
【分析】根据角的和差关系可得∠AOC+∠DOB=∠AOB+∠COD=180°，结合∠AOB的度数可得∠COD的度数，然后根据∠BOC=∠DOB-∠COD进行计算.
三、解答题
14．（2023七上·西安期末）如图，О是直线上一点，，，平分.求的度数.
【答案】解：∵，
∴
∵平分
∴
∴.
【知识点】角的大小比较；角平分线的定义
【解析】【分析】由角的构成∠BOC=∠AOB-∠AOC求得∠BOC的值；由角平分线定义得∠COD=2∠BOC求出∠COD的度数，再根据平角定义可求解.
15．（2023七上·东方期末）如图，，平分，求度数.
解：∵，，
∴ （填角的名称）= ，
∵平分，
∴ ，
∴ （填角的名称）= .
【答案】解：∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∴.
故答案为：；；；；.
【知识点】角的运算；角平分线的定义
【解析】【分析】根据角的和差关系可得∠AOC=∠AOB+∠BOC=90°，由角平分线的概念可得∠AOD=∠AOC=45°，然后根据∠BOD=∠AOD-∠AOB进行计算.
四、综合题
16．（2023七上·韩城期末）如图，是内部的一条射线，是内部的一条射线，是内部的一条射线.
（1）如图1，、分别是、的角平分线，已知，，求的度数；
（2）如图2，若，，且，求的度数.
【答案】（1）解：∵OM是∠AOB的角平分线，∠AOB=30°，
∴，
∵∠MON=70°，
∴∠BON=∠MON-∠BOM=55°，
∵ON是∠BOC的角平分线，
∴∠BOC=2∠BON=110°；
（2）解：设∠AOM=∠NOC=x，则∠AOB=4x，
∴∠BOM=∠AOB-∠AOM=3x，
∵∠BOM：∠BON=3：2，
∴∠BON=2x，
∴∠AOC=∠AOB+∠BON+∠NOC=7x=140°，
∴x=20°，
∴∠MON=∠BOM+∠BON=5x=100°.
【知识点】角的运算；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）根据角平分线的概念得∠BOC=2∠BON，∠BOM=∠AOB=15°，则∠BON=∠MON-∠BOM=55°，据此求解；
（2）设∠AOM=∠NOC=x，则∠AOB=4x，∠BOM=∠AOB-∠AOM=3x，∠BON=2x，则∠AOC=∠AOB+∠BON+∠NOC=7x=140°，求出x的度数，然后根据∠MON=∠BOM+∠BON进行计算.
17．（2023七上·兰溪期末）如图1，已知，平分，平分.
（1）若，则是多少度？
（2）如图2，若角平分线的位置在射线和射线之间（包括重合），请说明的度数应控制在什么范围.
【答案】（1）解：∵，，
∴，
∵平分，平分，
∴，
∴
（2）解：如图1，当与重合时，最小，.
如图2，当与重合时，最大，
所以，
【知识点】角的运算；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）根据垂直的概念可得∠AOB=90°，则∠AOC=∠AOB+∠BOC=130°，根据角平分线的概念可得∠EOC=∠AOC，∠COF=∠BOC，然后根据∠EOF=∠EOC-∠FOC进行计算；
（2）画出∠AOC最大、最小时对应的图形，进而得到∠AOC的范围.
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