2023-2024学年初中数学七年级上册4.3.2 角的比较与运算 同步分层训练培优卷 (人教版吉林地区)
一、选择题
1．（2023七上·宝塔期末）如图是由一副三角尺拼成的图案，它们有公共顶点O，且有一部分重叠，已知∠BOD＝30°，则∠AOC的度数是（ ）
A．40° B．120° C．140° D．150°
2．（2023七上·顺庆期末）OB是∠AOC内部一条射线，OM是∠AOB平分线，ON是∠AOC平分线，OP是∠NOA平分线，OQ是∠MOA平分线，则∠POQ∶∠BOC＝（ ）
A．1∶2 B．1∶3 C．2∶5 D．1∶4
3．（2023七上·泗洪期末）如图，已知，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
4．（2023七上·同心期末）如图，点O在直线AB上，若∠AOD=159.5°，∠BOC=51°30′，则∠COD的度数为（ ）
A．30° B．31° C．30°30′ D．31°30′
5．（2022七上·紫金期末）如图，一副三角板（直角顶点重合）摆放在桌面上，若，则（ ）
A．30° B．45° C．50° D．60°
6．（2022七上·临汾期末）把一副三角板与按如图所示方式摆放在一起，已知，，其中A，D，B三点在同一条直线上．若和分别是和的平分线，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
7．（2022七上·山西期末）如图，在同一平面内，，若，则的度数不可能为（ ）
A． B． C． D．
8．（2022七上·广阳期末）如图，已知，分别平分和．若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．（2023七上·通川期末）如图，两块直角三角板的直角顶点O重合在一起，若，则∠BOC的度数为 .
10．（2022七上·丰台期末）计算： ．
11．（2022七上·平谷期末）如图所示的网格是正方形网格，点 A，B，C，D，O 是网格线交点，那么
12．（2022七上·平谷期末）若，，则 ．
13．（2022七上·延庆期末）计算： ．
三、解答题
14．（2023七上·西安期末）如图，点O在直线上，已知，且射线平分，，求的度数.
15．（2023七上·咸阳期末）如图，∠AOC：∠BOC=1﹕4，OD平分∠AOB，且∠COD=40.5°，求∠AOB度数.
四、综合题
16．（2023七上·益阳期末）如图，OC在∠BOD内.
（1）如果∠AOC和∠BOD都是直角.
①若∠BOC=60°，则∠AOD的度数是 ▲ ；
②猜想∠BOC与∠AOD的数量关系，并说明理由；
（2）如果∠AOC=∠BOD=x°，∠AOD=y°，求∠BOC的度数.
17．（2023七上·鄞州期末）如图1，OC平分∠AOB，OD是∠BOC内部从点O出发的一条射线，OE平分∠AOD．
（1）[基础尝试]
如图2，若∠AOB=120°，∠COD=10°，求∠DOE的度数；
（2）[画图探究]
设∠COE=x°，用x的代数式表示∠BOD的度数；
（3）[拓展运用]
若∠COE与∠BOD互余，∠AOB与∠COD互补，求∠AOB的度数．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】角的运算
【解析】【解答】解：∵∠AOB=∠DOC=90°，
∴∠AOC=∠AOB+∠DOC-∠DOB=90°+90°-30°=150°.
故答案为：D
【分析】观察图形可知∠AOC=∠AOB+∠DOC-∠DOB，然后代入计算，可求出∠AOC的度数.
2．【答案】D
【知识点】角的运算；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵OM是∠AOB平分线，OQ是∠MOA平分线，
∴∠AOQ= ∠AOM= ∠AOB，
∵ON是∠AOC平分线，OP是∠NOA平分线，
∴∠AOP= ∠AON= ∠AOC= （∠AOB+∠BOC），
∴∠POQ=∠AOP-∠AOQ
= （∠AOB+∠BOC）- ∠AOB，
= ∠BOC，
∴∠POQ：∠BOC=1：4.
故答案为：D.
【分析】根据角平分线的概念可得∠AOQ=∠AOM=∠AOB，∠AOP=∠AON=∠AOC= (∠AOB+∠BOC)，则∠POQ=∠AOP-∠AOQ=∠BOC，据此求解.
3．【答案】C
【知识点】角的运算
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵，
∴.
故答案为：C.
【分析】由角的和差关系可得∠COD=∠AOD-∠AOC=60°，然后根据∠BOC=∠BOD-∠COD进行计算.
4．【答案】B
【知识点】角的运算
【解析】【解答】解：∵∠AOD=159.5°=159°30′，
∴∠COD=∠AOD+∠BOC﹣∠AOB=159°30′+51°30′﹣180°=31°.
故答案为：B.
【分析】根据∠COD=∠AOD+∠BOC-∠AOB进行计算.
5．【答案】A
【知识点】角的运算
【解析】【解答】根据题干信息，∠AOB=∠COD=90°，因为∠AOD=150°，所以∠AOC=∠AOD-∠COD=150°-90°=60°，则∠BOC=∠AOB-∠AOC=90°-60°=30°；
故答案为：A。
【分析】由图可知，O为直角顶点，所以∠AOB=∠COD=90°。
6．【答案】C
【知识点】角的运算；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵为的平分线，为的平分线，
∴，，
∴，
故答案为：C．
【分析】根据角平分线的定义可得，，再利用角的运算求出即可。
7．【答案】C
【知识点】角的运算
【解析】【解答】解：当都在的内部，画出图如图所示，
此时，故A不符合题意；
当都在的外部，画出图如图所示，
此时，故D不符合题意；
当任其一个在内部，另一个在的外部，画出图如图所示，
或
此时或，故B不符合题意，
故答案为：C．
【分析】分三种情况，再分别画出图象并利用角的运算求解即可。
8．【答案】D
【知识点】角的运算；角平分线的定义
【解析】【解答】解：平分，平分
，
故答案为：D．
【分析】根据角平分线的定义可得，再利用角的运算和等量代换可得。
9．【答案】22.5°
【知识点】角的运算
【解析】【解答】解：由两块直角三角板的直顶角重合在一起可知：，
，，
，
设，则，
，
，
，
解得：.
故答案为：22.5°.
【分析】由题意可得∠DOC=∠BOA=90°，根据同角的余角相等可得∠DOB=∠AOC，设∠BOC=x°，则∠AOD=7x°，根据角的和差关系可得∠DOB+∠AOC=∠AOD-∠BOC=6x°，则∠DOB=∠AOC=3x°，∠DOB+∠BOC=4x°=90°，求解可得x的值.
10．【答案】
【知识点】常用角的单位及换算；角的运算
【解析】【解答】解：
故答案为：．
【分析】利用角的运算和常用角的单位换算的计算方法求解即可。
11．【答案】＞或大于
【知识点】角的大小比较
【解析】【解答】解：如图所示，取格点E，作射线OE，则，
由图可得，，
∴，
故答案为：＞．
【分析】利用角的大小比较方法求解即可。
12．【答案】或26度
【知识点】角的运算
【解析】【解答】∵，，
∴．
故答案为：．
【分析】利用角的运算和常用角的单位换算的计算方法求解即可。
13．【答案】
【知识点】常用角的单位及换算；角的运算
【解析】【解答】．
故答案为：．
【分析】利用角的单位换算化简，再计算即可。
14．【答案】解：∵，
∴，即，
∵射线平分，
∴，则，
∵，
∴，
∴.
【知识点】角的运算；角平分线的定义
【解析】【分析】由已知条件可知∠AOE=∠COD，结合角的和差关系可得∠AOD=∠COE，根据角平分线的概念可得∠BOC=∠COE=∠AOD，结合平角的概念可得3∠AOD+30°=180°，据此计算.
15．【答案】解：∵∠AOC：∠BOC=1：4，OD平分∠AOB，且∠COD=40.5°
∴∠AOC=∠AOB，∠AOD=∠AOB
∴∠COD=∠AOD ∠AOC=∠AOB ∠AOB=∠AOB
∴∠AOB=40.5°
解得∠AOB=135°即∠AOB的度数是135°.
【知识点】角的运算；角平分线的定义
【解析】【分析】 由已知条件可得∠AOC=∠AOB，根据角平分线的概念可得∠AOD=∠AOB，则∠COD=∠AOD ∠AOC=∠AOB ∠AOB=∠AOB，然后结合∠COD的度数就可求出∠AOB的度数.
16．【答案】（1）解：①120°；
②猜想∠BOC+∠AOD=180°.
证明：∵∠BOC=90°，
∴∠AOD=∠BOD+∠AOB=90°+∠AOB，
∵∠AOC=90°，
∴∠AOD+∠BOC=∠BOD+∠AOC=90°+90°=180°；
（2）解：类比②可得：∠AOD+∠BOC=∠BOD+∠AOC，
∵∠BOD=∠AOC=x°，∠AOD=y°，
∴∠BOC=（2x﹣y）°.
故答案为120°.
【知识点】角的大小比较
【解析】【解答】解：（1）①∵∠AOC和∠BOD都是直角，∠BOC=60°，
∴∠AOB=30°，
∴∠AOD=120°；
【分析】（1）①由∠AOB=∠AOC-∠BOC及∠AOD=∠BOD+∠AOB，代入计算即可得出答案；
② ∠BOC+∠AOD=180°，理由如下：由 ∠AOD=∠BOD+∠AOB ， 则∠AOD+∠BOC=∠BOD+∠AOC 并结合∠AOC=90°=∠BOD，即可得出答案；
（2）由②的结论得∠BOC=∠BOD+∠AOC-∠AOD，进而代入计算即可得出答案.
17．【答案】（1）解：∵∠AOB=120°，OC平分∠AOB，
∴∠AOC=∠COB=60°，
∵∠COD=10°，
∴∠AOD=60°+10°=70°，
∵OE平分∠AOD，
∴∠DOE=35°；
（2）解：设∠COD=a，
∵∠COE=x°，
∴∠EOD=x°+a，
∵OE平分∠AOD，
∴∠AOD=2∠COD=2(x°+a) =2x°+2a，
∴∠AOC=2x°+a，
∵OC平分∠AOB，
∴∠BOC=∠AOC=2x°+a，
∴∠BOD=∠BOC-∠COD=2x° ；
（3）解：由上题得∠BOD=2x°
∵∠COE与∠BOD互余，
∴x+2x=90° ，解得x=30 ．
∵∠AOB与∠COD互补，
∴4x+2a+a=180°
4×30°+3a=180°
a= 20°
∴∠AOB=160°
【知识点】角的大小比较；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）根据角平分线的定义得∠AOC=∠COB=60°，进而根据∠AOD=∠AOC+∠COD算出∠AOD的度数，最后再根据角平分线的定义即可求出∠DOE的度数；
（2）设∠COD=a，则∠EOD=∠COE+∠COD=x°+a，由角平分线的定义得∠AOD=2∠COD=2(x°+a) =2x°+2a，∠AOC=2x°+a，再由角平分线的定义得∠BOC=∠AOC=2x°+a，最后根据∠BOD=∠BOC-∠COD代入即可得出答案；
（3）根据和为90°的两个角互为余角建立方程可求出x，根据和为180°的两个角互为补角建立方程，求出a，从而即可求出∠AOB的度数.
1 / 12023-2024学年初中数学七年级上册4.3.2 角的比较与运算 同步分层训练培优卷 (人教版吉林地区)
一、选择题
1．（2023七上·宝塔期末）如图是由一副三角尺拼成的图案，它们有公共顶点O，且有一部分重叠，已知∠BOD＝30°，则∠AOC的度数是（ ）
A．40° B．120° C．140° D．150°
【答案】D
【知识点】角的运算
【解析】【解答】解：∵∠AOB=∠DOC=90°，
∴∠AOC=∠AOB+∠DOC-∠DOB=90°+90°-30°=150°.
故答案为：D
【分析】观察图形可知∠AOC=∠AOB+∠DOC-∠DOB，然后代入计算，可求出∠AOC的度数.
2．（2023七上·顺庆期末）OB是∠AOC内部一条射线，OM是∠AOB平分线，ON是∠AOC平分线，OP是∠NOA平分线，OQ是∠MOA平分线，则∠POQ∶∠BOC＝（ ）
A．1∶2 B．1∶3 C．2∶5 D．1∶4
【答案】D
【知识点】角的运算；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵OM是∠AOB平分线，OQ是∠MOA平分线，
∴∠AOQ= ∠AOM= ∠AOB，
∵ON是∠AOC平分线，OP是∠NOA平分线，
∴∠AOP= ∠AON= ∠AOC= （∠AOB+∠BOC），
∴∠POQ=∠AOP-∠AOQ
= （∠AOB+∠BOC）- ∠AOB，
= ∠BOC，
∴∠POQ：∠BOC=1：4.
故答案为：D.
【分析】根据角平分线的概念可得∠AOQ=∠AOM=∠AOB，∠AOP=∠AON=∠AOC= (∠AOB+∠BOC)，则∠POQ=∠AOP-∠AOQ=∠BOC，据此求解.
3．（2023七上·泗洪期末）如图，已知，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】角的运算
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵，
∴.
故答案为：C.
【分析】由角的和差关系可得∠COD=∠AOD-∠AOC=60°，然后根据∠BOC=∠BOD-∠COD进行计算.
4．（2023七上·同心期末）如图，点O在直线AB上，若∠AOD=159.5°，∠BOC=51°30′，则∠COD的度数为（ ）
A．30° B．31° C．30°30′ D．31°30′
【答案】B
【知识点】角的运算
【解析】【解答】解：∵∠AOD=159.5°=159°30′，
∴∠COD=∠AOD+∠BOC﹣∠AOB=159°30′+51°30′﹣180°=31°.
故答案为：B.
【分析】根据∠COD=∠AOD+∠BOC-∠AOB进行计算.
5．（2022七上·紫金期末）如图，一副三角板（直角顶点重合）摆放在桌面上，若，则（ ）
A．30° B．45° C．50° D．60°
【答案】A
【知识点】角的运算
【解析】【解答】根据题干信息，∠AOB=∠COD=90°，因为∠AOD=150°，所以∠AOC=∠AOD-∠COD=150°-90°=60°，则∠BOC=∠AOB-∠AOC=90°-60°=30°；
故答案为：A。
【分析】由图可知，O为直角顶点，所以∠AOB=∠COD=90°。
6．（2022七上·临汾期末）把一副三角板与按如图所示方式摆放在一起，已知，，其中A，D，B三点在同一条直线上．若和分别是和的平分线，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】角的运算；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵为的平分线，为的平分线，
∴，，
∴，
故答案为：C．
【分析】根据角平分线的定义可得，，再利用角的运算求出即可。
7．（2022七上·山西期末）如图，在同一平面内，，若，则的度数不可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】角的运算
【解析】【解答】解：当都在的内部，画出图如图所示，
此时，故A不符合题意；
当都在的外部，画出图如图所示，
此时，故D不符合题意；
当任其一个在内部，另一个在的外部，画出图如图所示，
或
此时或，故B不符合题意，
故答案为：C．
【分析】分三种情况，再分别画出图象并利用角的运算求解即可。
8．（2022七上·广阳期末）如图，已知，分别平分和．若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】角的运算；角平分线的定义
【解析】【解答】解：平分，平分
，
故答案为：D．
【分析】根据角平分线的定义可得，再利用角的运算和等量代换可得。
二、填空题
9．（2023七上·通川期末）如图，两块直角三角板的直角顶点O重合在一起，若，则∠BOC的度数为 .
【答案】22.5°
【知识点】角的运算
【解析】【解答】解：由两块直角三角板的直顶角重合在一起可知：，
，，
，
设，则，
，
，
，
解得：.
故答案为：22.5°.
【分析】由题意可得∠DOC=∠BOA=90°，根据同角的余角相等可得∠DOB=∠AOC，设∠BOC=x°，则∠AOD=7x°，根据角的和差关系可得∠DOB+∠AOC=∠AOD-∠BOC=6x°，则∠DOB=∠AOC=3x°，∠DOB+∠BOC=4x°=90°，求解可得x的值.
10．（2022七上·丰台期末）计算： ．
【答案】
【知识点】常用角的单位及换算；角的运算
【解析】【解答】解：
故答案为：．
【分析】利用角的运算和常用角的单位换算的计算方法求解即可。
11．（2022七上·平谷期末）如图所示的网格是正方形网格，点 A，B，C，D，O 是网格线交点，那么
【答案】＞或大于
【知识点】角的大小比较
【解析】【解答】解：如图所示，取格点E，作射线OE，则，
由图可得，，
∴，
故答案为：＞．
【分析】利用角的大小比较方法求解即可。
12．（2022七上·平谷期末）若，，则 ．
【答案】或26度
【知识点】角的运算
【解析】【解答】∵，，
∴．
故答案为：．
【分析】利用角的运算和常用角的单位换算的计算方法求解即可。
13．（2022七上·延庆期末）计算： ．
【答案】
【知识点】常用角的单位及换算；角的运算
【解析】【解答】．
故答案为：．
【分析】利用角的单位换算化简，再计算即可。
三、解答题
14．（2023七上·西安期末）如图，点O在直线上，已知，且射线平分，，求的度数.
【答案】解：∵，
∴，即，
∵射线平分，
∴，则，
∵，
∴，
∴.
【知识点】角的运算；角平分线的定义
【解析】【分析】由已知条件可知∠AOE=∠COD，结合角的和差关系可得∠AOD=∠COE，根据角平分线的概念可得∠BOC=∠COE=∠AOD，结合平角的概念可得3∠AOD+30°=180°，据此计算.
15．（2023七上·咸阳期末）如图，∠AOC：∠BOC=1﹕4，OD平分∠AOB，且∠COD=40.5°，求∠AOB度数.
【答案】解：∵∠AOC：∠BOC=1：4，OD平分∠AOB，且∠COD=40.5°
∴∠AOC=∠AOB，∠AOD=∠AOB
∴∠COD=∠AOD ∠AOC=∠AOB ∠AOB=∠AOB
∴∠AOB=40.5°
解得∠AOB=135°即∠AOB的度数是135°.
【知识点】角的运算；角平分线的定义
【解析】【分析】 由已知条件可得∠AOC=∠AOB，根据角平分线的概念可得∠AOD=∠AOB，则∠COD=∠AOD ∠AOC=∠AOB ∠AOB=∠AOB，然后结合∠COD的度数就可求出∠AOB的度数.
四、综合题
16．（2023七上·益阳期末）如图，OC在∠BOD内.
（1）如果∠AOC和∠BOD都是直角.
①若∠BOC=60°，则∠AOD的度数是 ▲ ；
②猜想∠BOC与∠AOD的数量关系，并说明理由；
（2）如果∠AOC=∠BOD=x°，∠AOD=y°，求∠BOC的度数.
【答案】（1）解：①120°；
②猜想∠BOC+∠AOD=180°.
证明：∵∠BOC=90°，
∴∠AOD=∠BOD+∠AOB=90°+∠AOB，
∵∠AOC=90°，
∴∠AOD+∠BOC=∠BOD+∠AOC=90°+90°=180°；
（2）解：类比②可得：∠AOD+∠BOC=∠BOD+∠AOC，
∵∠BOD=∠AOC=x°，∠AOD=y°，
∴∠BOC=（2x﹣y）°.
故答案为120°.
【知识点】角的大小比较
【解析】【解答】解：（1）①∵∠AOC和∠BOD都是直角，∠BOC=60°，
∴∠AOB=30°，
∴∠AOD=120°；
【分析】（1）①由∠AOB=∠AOC-∠BOC及∠AOD=∠BOD+∠AOB，代入计算即可得出答案；
② ∠BOC+∠AOD=180°，理由如下：由 ∠AOD=∠BOD+∠AOB ， 则∠AOD+∠BOC=∠BOD+∠AOC 并结合∠AOC=90°=∠BOD，即可得出答案；
（2）由②的结论得∠BOC=∠BOD+∠AOC-∠AOD，进而代入计算即可得出答案.
17．（2023七上·鄞州期末）如图1，OC平分∠AOB，OD是∠BOC内部从点O出发的一条射线，OE平分∠AOD．
（1）[基础尝试]
如图2，若∠AOB=120°，∠COD=10°，求∠DOE的度数；
（2）[画图探究]
设∠COE=x°，用x的代数式表示∠BOD的度数；
（3）[拓展运用]
若∠COE与∠BOD互余，∠AOB与∠COD互补，求∠AOB的度数．
【答案】（1）解：∵∠AOB=120°，OC平分∠AOB，
∴∠AOC=∠COB=60°，
∵∠COD=10°，
∴∠AOD=60°+10°=70°，
∵OE平分∠AOD，
∴∠DOE=35°；
（2）解：设∠COD=a，
∵∠COE=x°，
∴∠EOD=x°+a，
∵OE平分∠AOD，
∴∠AOD=2∠COD=2(x°+a) =2x°+2a，
∴∠AOC=2x°+a，
∵OC平分∠AOB，
∴∠BOC=∠AOC=2x°+a，
∴∠BOD=∠BOC-∠COD=2x° ；
（3）解：由上题得∠BOD=2x°
∵∠COE与∠BOD互余，
∴x+2x=90° ，解得x=30 ．
∵∠AOB与∠COD互补，
∴4x+2a+a=180°
4×30°+3a=180°
a= 20°
∴∠AOB=160°
【知识点】角的大小比较；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）根据角平分线的定义得∠AOC=∠COB=60°，进而根据∠AOD=∠AOC+∠COD算出∠AOD的度数，最后再根据角平分线的定义即可求出∠DOE的度数；
（2）设∠COD=a，则∠EOD=∠COE+∠COD=x°+a，由角平分线的定义得∠AOD=2∠COD=2(x°+a) =2x°+2a，∠AOC=2x°+a，再由角平分线的定义得∠BOC=∠AOC=2x°+a，最后根据∠BOD=∠BOC-∠COD代入即可得出答案；
（3）根据和为90°的两个角互为余角建立方程可求出x，根据和为180°的两个角互为补角建立方程，求出a，从而即可求出∠AOB的度数.
1 / 1
