2023-2024学年初中数学七年级上册4.3.3 余角和补角 同步分层训练培优卷 (人教版吉林地区)
一、选择题
1．（2023七上·临湘期末）已知是的余角，且，则的补角等于（ ）
A． B． C． D．
2．（2023七上·龙华期末）如图，一张地图上有A、B、C三地，C地在A地的东南方向，若，则B地在A地的（ ）
A．南偏西57°方向 B．南偏西67°方向
C．南偏西33°方向 D．西南方向
3．（2023七上·苍南期末）已知的余角为35°，则的补角度数是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023七上·宁海期末）已知一个角的余角等于40°，则这个角的补角等于（ ）
A．130° B．140° C．150° D．160°
5．（2023七上·澄城期末）若一个角的补角比这个角的余角3倍还多，则这个角的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．（2022七上·大冶期末）如图，C，D在线段上，下列四个说法：
①直线上以B，C，D，E为端点的线段共有6条；
②图中有3对互为补角的角；
③若，，则以A为顶点的所有小于平角的角的度数和为370°；
④若，，，点F是线段上任意一点（包含端点），则点F到点B，C，D，E的距离之和的最小值为15，最大值为25
其中正确说法的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．（2022七上·绵阳期末）在同一平面内，点在直线上，与互补，，分别为，的平分线，若，则（ ）
A． B． C． D．
8．（2021七上·青山期末）如图，按照上北下南，左西右东的规定画出方向十字线，∠AOE＝m°，∠EOF＝90°，OM、ON分别平分∠AOE和∠BOF，下面说法：
①点E位于点O的北偏西m°；②图中互余的角有4对；③若∠BOF＝4∠AOE，则∠DON＝54°；④若 ，则n的倒数是 ，其中正确有（ ）
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
二、填空题
9．（2023七上·余姚期末）已知，则的补角为 .
10．（2023七上·慈溪期末）已知与互余，且，则的补角是 度.
11．（2022七上·双阳期末）大自然中存在着许多奇妙的现象，科学家通过观察惊奇地发现，植物的茎叶和果实几乎都是按照，的模式排列的．这样，植物的茎叶和果实就可以占有最大的空间，以获取最多的阳光，承接最多的雨水．那么的补角是 度．
12．（2022七上·宣州期末）如图，O为直线上一点，、分别是、的平分线，则的余角是 ．
13．（2022七上·丰台期末）如图，射线表示的方向是北偏东，射线表示的方向是 ．
三、计算题
14．（2020七上·罗湖期末）如图，一渔在海上点E开始绕点O航行，开始时E点在O点的东偏北46°20′，然后绕O点航行到C，测得∠COE=2∠AOE继续绕行，最后到达D点且OD=3海里，∠COD= ∠COB．
（1）求∠BOC的度数；
（2）说明渔船最后到达的D点在什么位置.
四、解答题
15．（2022七上·江城期末）如图，点是直线上一点，平分，，若，求的度数．
五、作图题
16．（2020七上·重庆月考）如图，已知同一平面内的四个点A、B、C、D，根据要求用直尺画图.
（ 1）画线段AB，∠ADC；
（ 2）找一点P，使P点既在直线AD上，又在直线BC上；
（ 3）找一点Q，使Q到A、B、C、D四个点的距离和最短.
六、综合题
17．（2022七上·宛城期末）如图1，点O为直线AB上一点，过O点作射线OC，使∠BOC=120°，将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方.
（1）如图2，将图1中的三角板绕点O逆时针旋转，使边OM在∠BOC的内部，且OM恰好平分∠BOC，此时∠AOM= 度；∠BON= 度.
（2）如图3，继续将图2中的三角板绕点O按逆时针方向旋转，使得ON在∠AOC的内部.试探究∠AOM与∠NOC之间满足什么等量关系，并说明理由.
（3）将图1中的三角板绕点O以每秒10°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，若直线ON恰好平分∠AOC，则此时三角板绕点O旋转的时间是 秒.
18．（2022七上·和平期末）已知：是直线上的一点，是直角，平分钝角．
（1）如图1，若，求的度数；
（2）如图2，平分，求的度数；
（3）当时，绕点以每秒沿逆时针方向旋转秒，请探究和之间的数量关系．（直接写出结果）
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】余角、补角及其性质
【解析】【解答】解：∵是的余角，且，
，
∴的补角=.
故答案为：B.
【分析】由和为90°的两个角互为余角、和为180°的两个角互为补角，列式计算可求出答案.
2．【答案】A
【知识点】钟面角、方位角
【解析】【解答】解：
∵，，
∴，
∴B地在A地的南偏西方向.
故答案为：A.
【分析】画出示意图，由题意可得∠CAD=45°，∠BAC=102°，然后根据∠BAD=∠BAC-∠CAD进行计算.
3．【答案】B
【知识点】余角、补角及其性质
【解析】【解答】解：∵的余角为35°，
∴
∴的补角.
故答案为：B.
【分析】根据和为90°的两个角互为余角，和为180°的两个角互为补角，列式计算即可.
4．【答案】A
【知识点】余角、补角及其性质
【解析】【解答】解：设这个角的度数为x，则x+40°=90°，
∴x=50°，
∴这个角的补角为180°-50°=130°.
故答案为：A.
【分析】根据和为90°的两个角互为余角，和为180°的两个角互为补角，即可计算得出答案.
5．【答案】B
【知识点】余角、补角及其性质
【解析】【解答】解：设这个角的度数为x，根据题意得
180°-x=3（90°-x）+10°，
解之：x=50°.
∴这个角的度数为50°.
故答案为：B
【分析】此题的等量关系为：一个角的补角=这个角的余角×3+10°，设未知数，列方程，然后求出方程的解.
6．【答案】C
【知识点】直线、射线、线段；角的概念；余角、补角及其性质；线段的长短比较
【解析】【解答】解：①以B、C、D、E为端点的线段共6条，故①正确；
②图中互补的角就是分别以C、D为顶点的两对邻补角，即和互补，和互补，故②错误；
③由，根据图形可以求出
，故③正确；
④当F在线段上，则点F到点B，C，D，E的距离之和最小为，当F和E重合，则点F到点B、C、D、E的距离之和最大为，④正确.
故答案为：C.
【分析】①按照一定的顺序数出线段的条数即可；②图中互补的角就是分别以C、D为顶点的两对邻补角，由此即可确定选择项；③根据角的和与差计算即可；④当F在线段CD上最小，当F和E重合时最大，计算得出答案即可．
7．【答案】D
【知识点】余角、补角及其性质；角的大小比较；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵ 与 互补，
∴ ，
∵ ， 分别为 ， 的平分线，
①当点B、O、C三点共线时，
则 ；
∵ ，
∴点B、O、C三点共线时，不符合题意；
②当点B、O、C三点不共线时， ，如下图：
则 ，
∵ ，
∴ ；
③当点B、O、C三点不共线时， ，如下如：
则 ，
∵ ，
∴ ；
综上可得： .
故答案为：D.
【分析】此题分三种情况讨论：①当点B、O、C三点共线时，②当点B、O、C三点不共线时， 且∠AOC＜∠AOB，③当点B、O、C三点不共线时，且∠AOC＞∠AOB，分别结合补角的定义及角平分线的定义，由角的和差即可得出答案.
8．【答案】B
【知识点】钟面角、方位角；角的运算；余角、补角及其性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵∠AOE＝m°，
∴∠EOD=90° m°，
∴点E位于点O的北偏西90° m°，故①错误；
∵∠EOF＝90°，
∴∠EOD+∠DOF＝90°，∠AOE+∠BOF=90°，
∵∠AOD=∠BOD=90°，
∴∠AOE+∠EOD=90°，∠DOF+∠FOB=90°，
∠AOM+∠MOD=90°，∠BON+∠DON=90°，
∵OM、ON分别平分∠AOE和∠BOF，
∴∠AOM=∠EOM，∠BON=∠FON，
∴∠EOM+∠MOD=90°，∠FON+∠DON=90°，
∴图中互余的角共有8对，故②错误；
∵∠BOF＝4∠AOE，∠AOE+∠BOF=90°，
∴∠BOF=72°，
∴∠BON=36°，
∴∠DON=90° 36°=54°；故③正确；
∵∠AOE+∠BOF=90°，
∴∠MOE+∠NOF= ，
∴ ，
∴ ，
∴n的倒数是 ，故④正确；
∴正确的选项有③④，共2个；
故答案为：B.
【分析】 易得∠EOD=90°-m°，而方向角指的是采用某坐标轴方向作为标准方向所确定的方位角 ，据此判断①；根据角平分线的概念得∠AOM=∠EOM，∠BON=∠FON，然后根据互余两个角之和为90°可判断②；易得∠BOF=72°，∠BON=36°，据此可判断③；根据∠AOE+∠BOF=90°以及角平分线的概念可得∠MOE+∠NOF=45° ，则∠MON=135°，据此判断④.
9．【答案】
【知识点】常用角的单位及换算；余角、补角及其性质
【解析】【解答】解：根据题意可得，
的补角为.
故答案为：.
【分析】根据互为补角的两角之和为180°进行计算.
10．【答案】127
【知识点】余角、补角及其性质
【解析】【解答】解：∵与互余，且，
∴，
∴的补角是；
故答案为：127.
【分析】互余两角之和为90°，互补两角之和为180°，据此计算.
11．【答案】
【知识点】常用角的单位及换算；余角、补角及其性质
【解析】【解答】解：的补角是，
故答案为：42.5．
【分析】利用补角的计算方法求解即可。
12．【答案】、
【知识点】余角、补角及其性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵、分别是、的平分线，
∴，，
∵，
∴，，
∴的余角是、．
故答案为：、．
【分析】根据角平分线的定义及余角的定义求解即可。
13．【答案】南偏东
【知识点】钟面角、方位角
【解析】【解答】解：射线表示的方向是南偏东．
故答案为：南偏东．
【分析】利用方向角的计算方法求解即可。
14．【答案】（1）解：∵开始时E点在O点的东偏北46°20′、
∴ ,
∴ ,
∴ .
（2）解： ,
∴ ,
∴D点在O点的北偏西73°30′且距离3海里的位置.
【知识点】钟面角、方位角；常用角的单位及换算；角的运算
【解析】【分析】（1）根据角的和差解答即可；（2）先根据角的和差求出∠BOD的度数，则点D的位置即可判断.
15．【答案】解：是直线上一点，，
.
平分，
.
，
.
【知识点】角的运算；余角、补角及其性质；角平分线的定义
【解析】【分析】利用邻补角可求∠BOC=140°，由角平分线的定义可得 ，再利用角的和差关系即可求解.
16．【答案】解：如图所示，线段AB、∠ADC、点Q即为所求；直线AD与直线BC交点P即为所求；
【知识点】线段的性质：两点之间线段最短；作图-直线、射线、线段；作图-角
【解析】【分析】（1）利用线段的画法画出线段AB，作射线DA，DC，可画出∠ADC；
（2）要使P点既在直线AD上，又在直线BC上，只需作直线AD，BC，两直线的交点就是点P；
（3）使Q到A、B、C、D四个点的距离和最短，AC，BD的交点就是点Q的位置.
17．【答案】（1）120；30
（2）解：如图3，
，
∠AOM-∠NOC=30°，
∵∠BOC=120°，
∴∠A0C=60°，
∵∠AON=90°-∠AOM=60°-∠NOC，
∴∠AOM-∠NOC=30°.
（3）6或24
【知识点】角的运算；余角、补角及其性质；角平分线的定义
【解析】【解答】（1）∵OM恰好平分∠BOC，
∴∠BOM=120°÷2=60°，
∴∠AOM=180°-60°=120°.
∠BON=90°-60°=30°.
故答案为：120；30；
（3）设三角板绕点O旋转的时间是x秒，
∵∠BOC=120°，
∴∠AOC=60°，
∴∠BON=30°，
∴旋转60°或240°时，ON平分∠AOC，
∵10x=60或10x=240，
∴x=6或x=24，
即此时三角板绕点O旋转的时间是6或24秒.
故答案为：6或24.
【分析】（1）由角平分线的定义可得∠BOM=∠BOC=60°，利用邻补角的定义可得∠AOM=120°，根据∠BON=∠MON-∠BOM即可求解；
（2） 由∠AON=90°-∠AOM=60°-∠NOC即可求解；
（3）由ON平分∠AOC，所以分两种情况：一是ON在OB的下方，二是ON在∠AOC的内部，根据ON的初始位置和旋转后的位置计算出旋转的度数，再除以10即可求解.
18．【答案】（1）解：∵，
∴，
∵是直角，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴；
（2）解：∵平分平分，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）解：①时，由题意得，
∴
，
∴；
②时，
由题意得，
∴
，
∴．
综上，时，时，．
【知识点】角的运算；余角、补角及其性质；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）利用邻补角的定义可得∠BOC=180°-∠AOC=140°，由垂直的定义可得∠COD=90°，从而求出∠BOD=∠BOC-∠COD=50°，利用角平分线的定义可得，根据∠DOE=∠BOE-∠BOD即可求解；
（2）由角平分线的定义可得，从而得出
，继而得解；
（3） 分两种情况：①时， ②时， 据此分别画出图形并求解即可.
1 / 12023-2024学年初中数学七年级上册4.3.3 余角和补角 同步分层训练培优卷 (人教版吉林地区)
一、选择题
1．（2023七上·临湘期末）已知是的余角，且，则的补角等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】余角、补角及其性质
【解析】【解答】解：∵是的余角，且，
，
∴的补角=.
故答案为：B.
【分析】由和为90°的两个角互为余角、和为180°的两个角互为补角，列式计算可求出答案.
2．（2023七上·龙华期末）如图，一张地图上有A、B、C三地，C地在A地的东南方向，若，则B地在A地的（ ）
A．南偏西57°方向 B．南偏西67°方向
C．南偏西33°方向 D．西南方向
【答案】A
【知识点】钟面角、方位角
【解析】【解答】解：
∵，，
∴，
∴B地在A地的南偏西方向.
故答案为：A.
【分析】画出示意图，由题意可得∠CAD=45°，∠BAC=102°，然后根据∠BAD=∠BAC-∠CAD进行计算.
3．（2023七上·苍南期末）已知的余角为35°，则的补角度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】余角、补角及其性质
【解析】【解答】解：∵的余角为35°，
∴
∴的补角.
故答案为：B.
【分析】根据和为90°的两个角互为余角，和为180°的两个角互为补角，列式计算即可.
4．（2023七上·宁海期末）已知一个角的余角等于40°，则这个角的补角等于（ ）
A．130° B．140° C．150° D．160°
【答案】A
【知识点】余角、补角及其性质
【解析】【解答】解：设这个角的度数为x，则x+40°=90°，
∴x=50°，
∴这个角的补角为180°-50°=130°.
故答案为：A.
【分析】根据和为90°的两个角互为余角，和为180°的两个角互为补角，即可计算得出答案.
5．（2023七上·澄城期末）若一个角的补角比这个角的余角3倍还多，则这个角的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】余角、补角及其性质
【解析】【解答】解：设这个角的度数为x，根据题意得
180°-x=3（90°-x）+10°，
解之：x=50°.
∴这个角的度数为50°.
故答案为：B
【分析】此题的等量关系为：一个角的补角=这个角的余角×3+10°，设未知数，列方程，然后求出方程的解.
6．（2022七上·大冶期末）如图，C，D在线段上，下列四个说法：
①直线上以B，C，D，E为端点的线段共有6条；
②图中有3对互为补角的角；
③若，，则以A为顶点的所有小于平角的角的度数和为370°；
④若，，，点F是线段上任意一点（包含端点），则点F到点B，C，D，E的距离之和的最小值为15，最大值为25
其中正确说法的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】直线、射线、线段；角的概念；余角、补角及其性质；线段的长短比较
【解析】【解答】解：①以B、C、D、E为端点的线段共6条，故①正确；
②图中互补的角就是分别以C、D为顶点的两对邻补角，即和互补，和互补，故②错误；
③由，根据图形可以求出
，故③正确；
④当F在线段上，则点F到点B，C，D，E的距离之和最小为，当F和E重合，则点F到点B、C、D、E的距离之和最大为，④正确.
故答案为：C.
【分析】①按照一定的顺序数出线段的条数即可；②图中互补的角就是分别以C、D为顶点的两对邻补角，由此即可确定选择项；③根据角的和与差计算即可；④当F在线段CD上最小，当F和E重合时最大，计算得出答案即可．
7．（2022七上·绵阳期末）在同一平面内，点在直线上，与互补，，分别为，的平分线，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】余角、补角及其性质；角的大小比较；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵ 与 互补，
∴ ，
∵ ， 分别为 ， 的平分线，
①当点B、O、C三点共线时，
则 ；
∵ ，
∴点B、O、C三点共线时，不符合题意；
②当点B、O、C三点不共线时， ，如下图：
则 ，
∵ ，
∴ ；
③当点B、O、C三点不共线时， ，如下如：
则 ，
∵ ，
∴ ；
综上可得： .
故答案为：D.
【分析】此题分三种情况讨论：①当点B、O、C三点共线时，②当点B、O、C三点不共线时， 且∠AOC＜∠AOB，③当点B、O、C三点不共线时，且∠AOC＞∠AOB，分别结合补角的定义及角平分线的定义，由角的和差即可得出答案.
8．（2021七上·青山期末）如图，按照上北下南，左西右东的规定画出方向十字线，∠AOE＝m°，∠EOF＝90°，OM、ON分别平分∠AOE和∠BOF，下面说法：
①点E位于点O的北偏西m°；②图中互余的角有4对；③若∠BOF＝4∠AOE，则∠DON＝54°；④若 ，则n的倒数是 ，其中正确有（ ）
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
【答案】B
【知识点】钟面角、方位角；角的运算；余角、补角及其性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵∠AOE＝m°，
∴∠EOD=90° m°，
∴点E位于点O的北偏西90° m°，故①错误；
∵∠EOF＝90°，
∴∠EOD+∠DOF＝90°，∠AOE+∠BOF=90°，
∵∠AOD=∠BOD=90°，
∴∠AOE+∠EOD=90°，∠DOF+∠FOB=90°，
∠AOM+∠MOD=90°，∠BON+∠DON=90°，
∵OM、ON分别平分∠AOE和∠BOF，
∴∠AOM=∠EOM，∠BON=∠FON，
∴∠EOM+∠MOD=90°，∠FON+∠DON=90°，
∴图中互余的角共有8对，故②错误；
∵∠BOF＝4∠AOE，∠AOE+∠BOF=90°，
∴∠BOF=72°，
∴∠BON=36°，
∴∠DON=90° 36°=54°；故③正确；
∵∠AOE+∠BOF=90°，
∴∠MOE+∠NOF= ，
∴ ，
∴ ，
∴n的倒数是 ，故④正确；
∴正确的选项有③④，共2个；
故答案为：B.
【分析】 易得∠EOD=90°-m°，而方向角指的是采用某坐标轴方向作为标准方向所确定的方位角 ，据此判断①；根据角平分线的概念得∠AOM=∠EOM，∠BON=∠FON，然后根据互余两个角之和为90°可判断②；易得∠BOF=72°，∠BON=36°，据此可判断③；根据∠AOE+∠BOF=90°以及角平分线的概念可得∠MOE+∠NOF=45° ，则∠MON=135°，据此判断④.
二、填空题
9．（2023七上·余姚期末）已知，则的补角为 .
【答案】
【知识点】常用角的单位及换算；余角、补角及其性质
【解析】【解答】解：根据题意可得，
的补角为.
故答案为：.
【分析】根据互为补角的两角之和为180°进行计算.
10．（2023七上·慈溪期末）已知与互余，且，则的补角是 度.
【答案】127
【知识点】余角、补角及其性质
【解析】【解答】解：∵与互余，且，
∴，
∴的补角是；
故答案为：127.
【分析】互余两角之和为90°，互补两角之和为180°，据此计算.
11．（2022七上·双阳期末）大自然中存在着许多奇妙的现象，科学家通过观察惊奇地发现，植物的茎叶和果实几乎都是按照，的模式排列的．这样，植物的茎叶和果实就可以占有最大的空间，以获取最多的阳光，承接最多的雨水．那么的补角是 度．
【答案】
【知识点】常用角的单位及换算；余角、补角及其性质
【解析】【解答】解：的补角是，
故答案为：42.5．
【分析】利用补角的计算方法求解即可。
12．（2022七上·宣州期末）如图，O为直线上一点，、分别是、的平分线，则的余角是 ．
【答案】、
【知识点】余角、补角及其性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵、分别是、的平分线，
∴，，
∵，
∴，，
∴的余角是、．
故答案为：、．
【分析】根据角平分线的定义及余角的定义求解即可。
13．（2022七上·丰台期末）如图，射线表示的方向是北偏东，射线表示的方向是 ．
【答案】南偏东
【知识点】钟面角、方位角
【解析】【解答】解：射线表示的方向是南偏东．
故答案为：南偏东．
【分析】利用方向角的计算方法求解即可。
三、计算题
14．（2020七上·罗湖期末）如图，一渔在海上点E开始绕点O航行，开始时E点在O点的东偏北46°20′，然后绕O点航行到C，测得∠COE=2∠AOE继续绕行，最后到达D点且OD=3海里，∠COD= ∠COB．
（1）求∠BOC的度数；
（2）说明渔船最后到达的D点在什么位置.
【答案】（1）解：∵开始时E点在O点的东偏北46°20′、
∴ ,
∴ ,
∴ .
（2）解： ,
∴ ,
∴D点在O点的北偏西73°30′且距离3海里的位置.
【知识点】钟面角、方位角；常用角的单位及换算；角的运算
【解析】【分析】（1）根据角的和差解答即可；（2）先根据角的和差求出∠BOD的度数，则点D的位置即可判断.
四、解答题
15．（2022七上·江城期末）如图，点是直线上一点，平分，，若，求的度数．
【答案】解：是直线上一点，，
.
平分，
.
，
.
【知识点】角的运算；余角、补角及其性质；角平分线的定义
【解析】【分析】利用邻补角可求∠BOC=140°，由角平分线的定义可得 ，再利用角的和差关系即可求解.
五、作图题
16．（2020七上·重庆月考）如图，已知同一平面内的四个点A、B、C、D，根据要求用直尺画图.
（ 1）画线段AB，∠ADC；
（ 2）找一点P，使P点既在直线AD上，又在直线BC上；
（ 3）找一点Q，使Q到A、B、C、D四个点的距离和最短.
【答案】解：如图所示，线段AB、∠ADC、点Q即为所求；直线AD与直线BC交点P即为所求；
【知识点】线段的性质：两点之间线段最短；作图-直线、射线、线段；作图-角
【解析】【分析】（1）利用线段的画法画出线段AB，作射线DA，DC，可画出∠ADC；
（2）要使P点既在直线AD上，又在直线BC上，只需作直线AD，BC，两直线的交点就是点P；
（3）使Q到A、B、C、D四个点的距离和最短，AC，BD的交点就是点Q的位置.
六、综合题
17．（2022七上·宛城期末）如图1，点O为直线AB上一点，过O点作射线OC，使∠BOC=120°，将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方.
（1）如图2，将图1中的三角板绕点O逆时针旋转，使边OM在∠BOC的内部，且OM恰好平分∠BOC，此时∠AOM= 度；∠BON= 度.
（2）如图3，继续将图2中的三角板绕点O按逆时针方向旋转，使得ON在∠AOC的内部.试探究∠AOM与∠NOC之间满足什么等量关系，并说明理由.
（3）将图1中的三角板绕点O以每秒10°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，若直线ON恰好平分∠AOC，则此时三角板绕点O旋转的时间是 秒.
【答案】（1）120；30
（2）解：如图3，
，
∠AOM-∠NOC=30°，
∵∠BOC=120°，
∴∠A0C=60°，
∵∠AON=90°-∠AOM=60°-∠NOC，
∴∠AOM-∠NOC=30°.
（3）6或24
【知识点】角的运算；余角、补角及其性质；角平分线的定义
【解析】【解答】（1）∵OM恰好平分∠BOC，
∴∠BOM=120°÷2=60°，
∴∠AOM=180°-60°=120°.
∠BON=90°-60°=30°.
故答案为：120；30；
（3）设三角板绕点O旋转的时间是x秒，
∵∠BOC=120°，
∴∠AOC=60°，
∴∠BON=30°，
∴旋转60°或240°时，ON平分∠AOC，
∵10x=60或10x=240，
∴x=6或x=24，
即此时三角板绕点O旋转的时间是6或24秒.
故答案为：6或24.
【分析】（1）由角平分线的定义可得∠BOM=∠BOC=60°，利用邻补角的定义可得∠AOM=120°，根据∠BON=∠MON-∠BOM即可求解；
（2） 由∠AON=90°-∠AOM=60°-∠NOC即可求解；
（3）由ON平分∠AOC，所以分两种情况：一是ON在OB的下方，二是ON在∠AOC的内部，根据ON的初始位置和旋转后的位置计算出旋转的度数，再除以10即可求解.
18．（2022七上·和平期末）已知：是直线上的一点，是直角，平分钝角．
（1）如图1，若，求的度数；
（2）如图2，平分，求的度数；
（3）当时，绕点以每秒沿逆时针方向旋转秒，请探究和之间的数量关系．（直接写出结果）
【答案】（1）解：∵，
∴，
∵是直角，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴；
（2）解：∵平分平分，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）解：①时，由题意得，
∴
，
∴；
②时，
由题意得，
∴
，
∴．
综上，时，时，．
【知识点】角的运算；余角、补角及其性质；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）利用邻补角的定义可得∠BOC=180°-∠AOC=140°，由垂直的定义可得∠COD=90°，从而求出∠BOD=∠BOC-∠COD=50°，利用角平分线的定义可得，根据∠DOE=∠BOE-∠BOD即可求解；
（2）由角平分线的定义可得，从而得出
，继而得解；
（3） 分两种情况：①时， ②时， 据此分别画出图形并求解即可.
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