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专题21.2.1 一元二次方程的解法：直接开平方法、配方法
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．方程x2＝4的解是（ ）
A．x1＝x2＝2 B．x1＝x2＝﹣2 C．x1＝2，x2＝﹣2 D．x1＝4，x2＝﹣4
2．方程（9x﹣1）2＝1的解是（ ）
A．x1＝x2 B．x1＝x2
C．x1＝0，x2 D．x1＝0，x2
3．将方程x2+4x+1＝0配方后，原方程变形为（ ）
A．（x+4）2＝3 B．（x+2）2＝﹣3 C．（x+2）2＝3 D．（x+2）2＝﹣5
4．若一元二次方程（x﹣2）2＝9可转化为两个一元一次方程，一个一元一次方程是x﹣2＝3，则另一个一元一次方程是（ ）
A．x﹣2＝3 B．x﹣2＝﹣3 C．x+2＝3 D．x+2＝﹣3
5．方程（x+6）2﹣9＝0的两个根是（ ）
A．x1＝3，x2＝9 B．x1＝﹣3，x2＝9
C．x1＝3，x2＝﹣9 D．x1＝﹣3，x2＝﹣9
6．将方程2x2﹣12x+1＝0配方成（x﹣m）2＝n的形式，下列配方结果正确的是（ ）
A．（x+3）2＝17 B．
C．（x﹣3）2＝17 D．
7．若一元二次方程（x+6）2＝64可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是x+6＝8，则另一个一元一次方程是（ ）
A．x﹣6＝﹣8 B．x﹣6＝8 C．x+6＝8 D．x+6＝﹣8
8．小明解方程的过程如图所示，他在解答过程中开始出错的步骤是（ ）
解：……①
……②
……③
，…④
A．① B．② C．③ D．④
9．若关于x的方程（x﹣a）2﹣4＝b有实数根，则b的取值范围是（ ）
A．b＞4 B．b＞﹣4 C．b≥4 D．b≥﹣4
10．若关于x的一元二次方程x2﹣8x+c＝0配方后得到方程（x﹣4）2＝3c，则c的值为（ ）
A．﹣4 B．0 C．4 D．6
11．若Pm﹣2，Q＝2m2m+1，则P，Q的大小关系是（ ）
A．P＞Q B．P＜Q C．P＝Q D．不能确定
12．若一元二次方程ax2＝b（ab＞0）的两根分别是m﹣1和2m+3，则的值为（ ）
A．16 B． C．25 D．或25
二、填空题
13．配方填空：4x2﹣12x+ ＝4（x﹣ ）2．
14．若实数x，y满足条件2x2﹣6x+y2＝0，则x2+y2+2x的最大值是 ．
15．若把代数式化为的形式，其中m、k为常数，则 ．
16．方程x2﹣4＝0的解是 ．
17．若关于x的方程（ax﹣1）2﹣16＝0的一个根为2，则a的值为 ．
18．已知一元二次方程（x﹣2）2＝3的两根为a、b，且a＞b，则2a+b的值为 ．
19．已知等腰三角形两边a，b，满足a2+b2﹣4a﹣10b+29＝0，则这个等腰三角形的周长为 ．
三、解答题
20．解方程：
（1）4x2＝49；
（2）（2x﹣1）2＝﹣8；
（3）64（x+1）2＝81；
（4）.
21．用配方法解方程：x2+10＝8x﹣1．
22．解关于的方程：．
23．用配方法解方程：．
24．用配方法说明： 代数式 x2+8x+17的值总大于0.
25．老师在黑板上写出了一道思考题：已知a+b＝2，求a2+b2的最小值．
（1）爱思考的小明同学想到了一种方法：先用b表示a，a＝2﹣b；
再把a＝2﹣b代入a2+b2；a2+b2＝ （2﹣b）2 +b2；
再进行配方得到：a2+b2＝2（b﹣ 1 ）2+ 2 ；
根据完全平方式的非负性，就得到了a2+b2的最小值是 ．
（2）请你根据小明的方法，当x+y＝10时，求x2+y2的最小值．
26．用配方法求解下列问题．
(1)求代数式的最小值．
(2)求代数式的最大值．
27．阅读理解：
在教材中，我们有学习到（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，又因为任何实数的平方都是非负数，所以（a﹣b）2≥0，即a2+b2≥2ab．例如，比较整式x2+4和4x的大小关系，因为x2+4﹣4x＝（x﹣2）2≥0，所以x2+4≥4x．请类比以上的解题过程，解决下列问题：
【初步尝试】比较大小：x2+1 2x；9 6x﹣x2．
【知识应用】比较整式5x2+2xy+10y2和（2x﹣y）2的大小关系，并请说明理由．
【拓展提升】比较整式2a2﹣4ab+4b2和2a﹣1的大小关系，并请说明理由．
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专题21.2.1 一元二次方程的解法：直接开平方法、配方法
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．方程x2＝4的解是（ ）
A．x1＝x2＝2 B．x1＝x2＝﹣2 C．x1＝2，x2＝﹣2 D．x1＝4，x2＝﹣4
【答案】C
【解析】直接开平方得：x＝±2，
∴方程的解为：x1＝2，x2＝﹣2，
故选C．
2．方程（9x﹣1）2＝1的解是（ ）
A．x1＝x2 B．x1＝x2
C．x1＝0，x2 D．x1＝0，x2
【答案】C
【解析】∵（9x﹣1）2＝1，
∴9x﹣1＝1或9x﹣1＝﹣1，
解得x1＝0，x2，
故选C．
3．将方程x2+4x+1＝0配方后，原方程变形为（ ）
A．（x+4）2＝3 B．（x+2）2＝﹣3 C．（x+2）2＝3 D．（x+2）2＝﹣5
【答案】C
【解析】∵x2+4x+1＝0，
∴x2+4x＝﹣1，
∴x2+4x+4＝﹣1+4，
∴（x+2）2＝3．
故选C．
4．若一元二次方程（x﹣2）2＝9可转化为两个一元一次方程，一个一元一次方程是x﹣2＝3，则另一个一元一次方程是（ ）
A．x﹣2＝3 B．x﹣2＝﹣3 C．x+2＝3 D．x+2＝﹣3
【答案】B
【解析】原方程两边开方可得：x﹣2＝±3，
即x﹣2＝3或x﹣2＝﹣3，
故选B．
5．方程（x+6）2﹣9＝0的两个根是（ ）
A．x1＝3，x2＝9 B．x1＝﹣3，x2＝9
C．x1＝3，x2＝﹣9 D．x1＝﹣3，x2＝﹣9
【答案】D
【解析】∵（x+6）2﹣9＝0，
∴（x+6）2＝9，
则x+6＝±3，
∴x1＝﹣3，x2＝﹣9，
故选D．
6．将方程2x2﹣12x+1＝0配方成（x﹣m）2＝n的形式，下列配方结果正确的是（ ）
A．（x+3）2＝17 B．
C．（x﹣3）2＝17 D．
【答案】D
【解析】2x2﹣12x+1＝0，
x2﹣6x，
x2﹣6x+99，
（x﹣3）2．
故选D．
7．若一元二次方程（x+6）2＝64可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是x+6＝8，则另一个一元一次方程是（ ）
A．x﹣6＝﹣8 B．x﹣6＝8 C．x+6＝8 D．x+6＝﹣8
【答案】D
【解析】∵（x+6）2＝64，
∴x+6＝8或x+6＝﹣8，
故选D．
8．小明解方程的过程如图所示，他在解答过程中开始出错的步骤是（ ）
解：……①
……②
……③
，…④
A．① B．② C．③ D．④
【答案】C
【解析】出错的步骤是③，
应该是在②步的基础上，两边同时加上4，
得，
故选C．
9．若关于x的方程（x﹣a）2﹣4＝b有实数根，则b的取值范围是（ ）
A．b＞4 B．b＞﹣4 C．b≥4 D．b≥﹣4
【答案】D
【解析】解：∵（x﹣a）2﹣4＝b，
∴（x﹣a）2＝b+4，
∵方程（x﹣a）2＝b+4有实数根，
∴b+4≥0，
∴b≥﹣4，
故选D．
10．若关于x的一元二次方程x2﹣8x+c＝0配方后得到方程（x﹣4）2＝3c，则c的值为（ ）
A．﹣4 B．0 C．4 D．6
【答案】C
【解析】∵x2﹣8x+c＝0配方可得到（x﹣4）2﹣16+c＝0，
∴（x﹣4）2﹣16+c＝0变形可得（x﹣4）2＝﹣c+16，
∴﹣c+16＝3c，
∴c＝4．
故选C．
11．若Pm﹣2，Q＝2m2m+1，则P，Q的大小关系是（ ）
A．P＞Q B．P＜Q C．P＝Q D．不能确定
【答案】B
【解析】：Q﹣P＝2m2m+1﹣（m﹣2）
＝2m2﹣m+3
＝2（m2）+3
＝2（m）2，
∵2（m）2≥0，
∴2（m）20，
∴Q﹣P＞0，
即Q＞P．
故选B．
12．若一元二次方程ax2＝b（ab＞0）的两根分别是m﹣1和2m+3，则的值为（ ）
A．16 B． C．25 D．或25
【答案】B
【解析】∵一元二次方程ax2＝b的两个根分别是m+1与2m﹣13，
且，
∴m﹣1+2m+3＝0，
解得：，
即方程的根是：，，
∴，
故选B．
二、填空题
13．配方填空：4x2﹣12x+ ＝4（x﹣ ）2．
【答案】9，
【解析】4x2﹣12x+9
＝4[x2﹣3x2]
＝4（x）2．
故答案为：9，．
14．若实数x，y满足条件2x2﹣6x+y2＝0，则x2+y2+2x的最大值是 ．
【答案】15
【解析】∵2x2﹣6x+y2＝0，
∴y2＝﹣2x2+6x，
∴x2+y2+2x＝x2﹣2x2+6x+2x＝﹣x2+8x＝﹣（x2﹣8x+16）+16＝﹣（x﹣4）2+16，
∵（x﹣4）2≥0，
∴x2+y2+2x≤16，
∵y2＝﹣2x2+6x≥0，
解得0≤x≤3，
当x＝3时，x2+y2+2x取得最大值为15，
故答案为：15．
15．若把代数式化为的形式，其中m、k为常数，则 ．
【答案】5
【解析】因为，所以，所以．
16．方程x2﹣4＝0的解是 ．
【答案】±2
【解析】x2﹣4＝0，
移项得：x2＝4，
两边直接开平方得：x＝±2，
故答案为：±2．
17．若关于x的方程（ax﹣1）2﹣16＝0的一个根为2，则a的值为 ．
【答案】或
【解析】将x＝2代入（ax﹣1）2﹣16＝0，
∴（2a﹣1）2﹣16＝0，
∴2a﹣1＝±4，
∴a1或a2，
故答案为：或．
18．已知一元二次方程（x﹣2）2＝3的两根为a、b，且a＞b，则2a+b的值为 ．
【答案】6
【解析】（x﹣2）2＝3，
x﹣2＝±，
解得x1＝2．x2＝2，
∵方程（x﹣2）2＝3的两根为a、b，且a＞b，
∴a＝2，b＝2，
∴2a+b＝2（2）+26．
故答案为：6．
19．已知等腰三角形两边a，b，满足a2+b2﹣4a﹣10b+29＝0，则这个等腰三角形的周长为 ．
【答案】12
【解析】a2+b2﹣4a﹣10b+29＝0，
∴（a2﹣4a+4）+（b2﹣10b+25）＝0，
∴（a﹣2）2+（b﹣5）2＝0，
∵a﹣2≥0，b﹣5≥0，
∴a﹣2＝0，b﹣5＝0，
解得，a＝2，b＝5，
∵2、2、5不能组成三角形，
∴这个等腰三角形的三边长分别为5、5、2，
∴这个等腰三角形的周长为：5+5+2＝12．
故答案为：12．
三、解答题
20．解方程：
（1）4x2＝49；
（2）（2x﹣1）2＝﹣8；
（3）64（x+1）2＝81；
（4）.
【解析】（1）（1）4x2＝49，
x2＝，
∴，
∴x1＝，x2＝﹣；
（2）∵（2x﹣1）2＝﹣8＜0，
∴方程无实数根；
（3）∵64（x+1）2＝81，
∴（x+1）2，
∴x+1＝±，
∴x1，x2．
（4） 移常数项
两边配上一次项系数一半的平方
转化为的形式
转化为的形式
解得 求解
所以原方程的根是．
21．用配方法解方程：x2+10＝8x﹣1．
【解析】∵x2+10＝8x﹣1，
∴x2﹣8x+11＝0，
∴x2﹣8x+16﹣16+11＝0，
∴（x﹣4）2＝5，
∴x﹣4，
∴，．
22．解关于的方程：．
【解析】直接开平方法解方程，即得，
得或，
即得方程两根为，．
23．用配方法解方程：．
【解析】∵，
∴x2﹣2x+5＝4+5，即（x）2＝9，
∴x3或x3，
∴x1＝3，x2＝﹣3．
24．用配方法说明： 代数式 x2+8x+17的值总大于0.
【解析】x2+8x+17＝ x2+8x+42-42+17＝（x+4）2+1
∵（x+4）2≥0，
∴（x+4）2+1＞0，
故无论x取何实数，代数式 x2+8x+17的值总大于0.
25．老师在黑板上写出了一道思考题：已知a+b＝2，求a2+b2的最小值．
（1）爱思考的小明同学想到了一种方法：先用b表示a，a＝2﹣b；
再把a＝2﹣b代入a2+b2；a2+b2＝ （2﹣b）2 +b2；
再进行配方得到：a2+b2＝2（b﹣ 1 ）2+ 2 ；
根据完全平方式的非负性，就得到了a2+b2的最小值是 2 ．
（2）请你根据小明的方法，当x+y＝10时，求x2+y2的最小值．
【解析】（1）∵a+b＝2，
∴a＝2﹣b；
代入a2+b2得到：
a2+b2
＝（2﹣b）2+b2
＝4﹣4b+b2+b2
＝2b2﹣4b+4
＝2（b﹣1）2+2；
根据完全平方式的非负性，就得到了a2+b2的最小值是2；
故答案为：（2﹣b）2，1，2，2；
（2）∵x+y＝10，
∴y＝10﹣x；
∴x2+y2
＝x2+（10﹣x）2
＝2x2﹣20x+100
＝2（x﹣5）2+50；
根据完全平方式的非负性，就得到了x2+y2的最小值是50．
根据小明的方法，当x+y＝10时，x2+y2的最小值是50．
26．用配方法求解下列问题．
(1)求代数式的最小值．
(2)求代数式的最大值．
【解析】（1）解：原式
；
∵，
∴，
∴代数式的最小值为；
（2）解：原式
；
∵，
∴
∴，
∴代数式的最大值为．
27．阅读理解：
在教材中，我们有学习到（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，又因为任何实数的平方都是非负数，所以（a﹣b）2≥0，即a2+b2≥2ab．例如，比较整式x2+4和4x的大小关系，因为x2+4﹣4x＝（x﹣2）2≥0，所以x2+4≥4x．请类比以上的解题过程，解决下列问题：
【初步尝试】比较大小：x2+1 2x；9 6x﹣x2．
【知识应用】比较整式5x2+2xy+10y2和（2x﹣y）2的大小关系，并请说明理由．
【拓展提升】比较整式2a2﹣4ab+4b2和2a﹣1的大小关系，并请说明理由．
【解析】
【初步尝试】∵x2+1﹣2x＝（x﹣1）2≥0，
∴x2+1≥2x，
∵9﹣（﹣x2+6x）
＝x2﹣6x+9
＝（x﹣3）2≥0，
∴9≥6x﹣x2，
故答案为：≥，≥；
【知识应用】5x2+2xy+10y2≥（2x﹣y）2；理由如下：
∵5x2+2xy+10y2﹣（2x﹣y）2
＝5x2+2xy+10y2﹣4x2+4xy﹣y2
＝x2+6xy+9y2
＝（x+3y）2≥0，
∴5x2+2xy+10y2≥（2x﹣y）2；
【拓展提升】2a2﹣4ab+4b2≥2a﹣1理由如下：
∵2a2﹣4ab+4b2﹣（2a﹣1）
＝a2﹣4ab+4b2+a2﹣2a+1
＝（a﹣2b）2+（a﹣1）2≥0，
∴2a2﹣4ab+4b2≥2a﹣1．
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