2023-2024学年苏科版数学九年级上册1.4用一元二次方程解决问题 同步练习
一、选择题
1．（2017九上·江津期中）某校进行体操队列训练，原有8行10列，后增加40人，使得队伍增加的行数、列数相同，你知道增加了多少行或多少列吗？设增加了 行或列，则列方程得（ ）
A．(8﹣ ) (10﹣ )=8×10﹣40
B．(8﹣ )(10﹣ )=8×10+40
C．(8+ )(10+ )=8×10﹣40
D．(8+ )(10+ )=8×10+40
【答案】D
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】增加了 行或列，现在是 行， 列，所以(8+ )(10+ )=8×10+40.
故答案为：D
【分析】由题意可得相等关系：增加后的行列=原有的人数+增加的人数，根据相等关系列方程即可。
2．（2017·兰州）王叔叔从市场上买了一块长80cm，宽70cm的矩形铁皮，准备制作一个工具箱．如图，他将矩形铁皮的四个角各剪掉一个边长xcm的正方形后，剩余的部分刚好能围成一个底面积为3000cm2的无盖长方形工具箱，根据题意列方程为（ ）
A．（80﹣x）（70﹣x）=3000 B．80×70﹣4x2=3000
C．（80﹣2x）（70﹣2x）=3000 D．80×70﹣4x2﹣（70+80）x=3000
【答案】C
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】解：由题意可得，
（80﹣2x）（70﹣2x）=3000，
故选C．
【分析】根据题意可知裁剪后的底面的长为（80﹣2x）cm，宽为（70﹣2x）cm，从而可以列出相应的方程，本题得以解决．
3．（2023八下·北京市期中）如图，《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去高六尺，折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈＝十尺），一阵风将竹子折断，竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，求折断处离地面的高度．设竹子折断处离地面x尺，根据题意，可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】解：设竹子折断处离地面x尺，根据题意得，
故答案为：D
【分析】设竹子折断处离地面x尺，根据图片结合“竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远”即可列出方程，进而即可求解。
4．（2023八下·宁波期中）小明同学是一位古诗文的爱好者，在学习了一元二次方程这一章后，改编了苏轼诗词念奴娇赤壁怀古：“大江东去浪淘尽，千古风流人物．而立之年督东吴，早逝英年两位数．十位恰小个位三，个位平方与寿同．哪位学子算得快，多少年华数周瑜？”假设周瑜去世时年龄的十位数字是，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】解：设周瑜去世时年龄的十位数字是x，根据题意得
.
故答案为：C
【分析】此题的等量关系为：个位数字=十位数字+3；个位数字的平方=这个两位数；列方程即可.
5．（2023七下·兴化期中）在数学中，为了书写简便，18世纪数学家欧拉就引进了求和符号“”．如记，；
已知，则m的值是（ ）
A．40 B．-70 C．-40 D．-20
【答案】C
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】解：由题意可得：
，
由等式右边二次项系数为4可得，共有四项累加，
所以
，由此可得：m=-40，
故答案为：C.
【分析】根据题意找到规律，得出题目所给的求和等式的左边的具体式子，在通过化简，观察确定求和的式子有几项，确定后就可以得出等式，从而直接观察得出m的值.
6．（2022八下·余杭月考）某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1035张照片，如果全班有 名同学，根据题意，列出方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】解： 全班有x名同学，
每名同学要送出(x-1) 张；
又 是互送照片，
总共送的张数应该是 x(x-1)，
故可列方程x（x-1）=1035.
故答案为：C.
【分析】由题意可得每名同学要送(x-1)张，然后根据每名同学送的张数×学生的人数=总张数即可列出方程.
7．（2021九上·北辰期末）某校九年级组织一次篮球赛，各班均组队参赛，每两班之间都进行两场比赛，共需比赛12场，则九年级班级的个数为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】C
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】解：设九年级共有x个班，
依题意得：x（x-1）=12，
整理得：，
解得：（不合题意，舍去），．
故答案为：C．
【分析】设九年级共有x个班，根据题意列出方程x（x-1）=12， 再求出x的值即可。
8．（2021九上·科尔沁期末）对于两个关于x的一元二次方程：F1：ax2+bx+c＝0，F2：cx2+bx+a＝0，其中a≠c．给出下列判断：
①若方程F1有两个相等的实数根，则方程F2也必有两个相等的实数根；
②若方程F1有两个异号实根，则方程F2也必有两个异号实根；
③若3是方程F1的一个根，则必是方程F2的一个根；
④若这两个方程有一个相同的根，则这个根必是1．
其中，正确的有（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【答案】A
【知识点】一元二次方程的其他应用；真命题与假命题
【解析】【解答】解：由题可知：，，
，
若方程F1有两个相等的实数根，则方程F2也必有两个相等的实数根，
故①符合题意；
若方程F1有两个异号实根，
，
，
方程F2也必有两个相等的实数根
故②符合题意；
若3是方程F1的一个根，
，
，即是方程F2的一个根，
故③符合题意；
设和的相同根为，
，，
相减得：，
解得：，
故④不符合题意．
故答案为：A．
【分析】根据一元二次方程根的判别式，命题的定义一一判断即可。
9．已知关于x的一元四次方程x4+px2+qx+r=0有三个相等的实根和另一个与之不同的实根，则下列三个命题中真命题有（ ）个
①p+q=r可能成立；②p+r=q可能成立；③q+r=p可能成立．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】解：设三个相等的根为m，另一个与之不同的根为n，则有（x﹣m）3（x﹣n）=0，
展开得：x4﹣（3m+n）x3+（3m2+3mn）x2﹣（m3+3m2n）x+m3n=0，
∴根据对应项系数相等：3m+n=0()，3m2+3mn=p，﹣（m3+3m2n）=q，m3n=r，
把n=﹣3m代入得：p=-6m2，q=8m3，r=﹣3m4，
若p+q=r，即，整理化简得，此时由有解，故p+q=r可能成立，①符合题意；
若p+r=q，即，整理化简得，此时由无实数解，故p+r=q不可能成立，②不符合题意；
若q+r=p，即，整理化简得，此时由有解，故q+r=p可能成立，③符合题意；
故答案为：B．
【分析】设三个相等的根为m，另一个与之不同的根为n，则（x﹣m）3（x﹣n）=0，展开得：x4﹣（3m+n）x3+（3m2+2m+mn）x2﹣（m3+3m2n）x+m3n=0，用m表示p、q、r，假设命题成立，式子化简后判断方程是否有解即可判断．
10．如图，若正方形OABC的顶点B和正方形ADEF的顶点E都在函数y=（x>0）的图像上，则点E的坐标为（ ）
A．(，) B．（1，）
C．（2，） D．（，)
【答案】A
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【分析】易得点B的坐标，设点E的纵坐标为y，可表示出点E的横纵坐标，代入所给反比例函数即可求得点E的纵坐标，也就求得了点E的横坐标．
【解答】∵四边形OABC是正方形，点B在反比例函数y=（x>0)的图象上，
∴点B的坐标为（1，1)．
设点E的纵坐标为y，
∴点E的横坐标为（1+y)，
∴y×（1+y)=1，
即y2+y-1=0，
即y==，
∵y＞0，
∴y=，
∴点E的横坐标为．
故选A．
【点评】考查反比例函数的比例系数的意义；突破点是得到点B的坐标；用到的知识点为：在反比例函数图象上的点的横纵坐标的积等于反比例函数的比例系数．
二、填空题
11．（2023八下·包河期中）在学校劳动实践基地里有一块长20米、宽10米的长方形菜地，为了管理方便，准备沿平行于两边的方向纵、横开辟三条等宽的小道（如图中阴影部分所示），剩下部分种植蔬菜，已知种植蔬菜的面积为171平方米，则小道的宽为 米．
【答案】1
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】解：设小道的宽为am，由题意得（20-a）（10-a）=171，
解得a=1或a=29（舍去）
∴小道的宽为1米，
故答案为：1
【分析】设小道的宽为am，进而即可将剩下部分可合成长为（20-a）米，宽为（10-a）米的长方形，进而即可列出方程，解方程即可求解。
12．（2023九上·通川期末）方程x2-6x+8＝0的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个等腰三角形周长是 ．
【答案】10
【知识点】一元二次方程的其他应用；三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：解方程x2-6x+8＝0，
得x1＝2，x2＝4，
当2为腰，4为底时，不能构成等腰三角形；
当4为腰，2为底时，能构成等腰三角形，
∴等腰三角形周长=4+4+2＝10．
故答案为：10．
【分析】首先求出一元二次方程的根，再根据三角形三边关系判断符合题意的三边，再把三边相加即可求解.
13．（2021八下·宁波期中）某校准备组织一次篮球比赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，那么共有 个队参加.
【答案】8
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】解：∵赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，
∴共7×4=28场比赛，
设共有x个队参赛，
则由题意可列方程为： =28，
解得：x1=8，x2=-7（舍去），
答：共有8个队参赛.
故答案为：8.
【分析】由题意可得共7×4=28场比赛，设共有x个队参赛，根据队数×(对数-1)÷2=比赛的总场数列出方程，求解即可.
14．（2023七下·顺义期中）有一个正方形的花园，如果它的边长增加，那么花园面积将增加，则原花园的面积为 ．
【答案】
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：设原正方形的边长是x米，则增加后的边长是（x+2）米
由题意得
解得x=3
则原花园的面积为.
故填：9
【分析】设原正方形的边长是 x米，根据正方形的面积公式即可求出。
15．（2011九上·四川竞赛）一次棋赛，有n个女选手和9n个男选手，每位参赛者与其 个选手各对局一次，计分方式为：胜者的2分，负者得0分，平局各自得1分。比赛结束后统计发现所有参赛男选手的分数和是所有女选手的分数和的4倍，则n的所有可能值是 .
【答案】1
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】解：每场对局都有2分，10n个棋手对局共下： 局，总分为100n×n-10n， 假设男选手与女选手的所有比赛中都不得分，则9n个男选手最低总得分为81n×n-9n，女选手最高得分总和为19n×n-n， 依题意，男选手最低得分总和比女选手最高得分总和应不大于4，列不等式（81n×n-9n）：（19n×n-n）≤4， 因女选手得分为正数，变形得：（81n×n-9n）≤4（19n×n-n）， 移项：5n（n-1）≤0， 解得：0≤n≤1，因n为正整数，所以n的所有可能值是1． 故答案为：1．
【分析】根据题意可得每场对局都有2分产生，所以可以分别计算出女选手的最高得分，及男选手的最低得分，再由男选手的分数和是所有女选手的分数和的4倍，可得出不等式，继而可解的n的范围．解答本题的关键计算出女选手的最高得分，及男选手的最低得分，得出不等式，难度较大．
三、解答题
16．（2023八下·宜春期中）如图1，荡秋千是中国古代北方少数民族创造的一种运动．有一天，小明在公园里游玩，如图2，他发现秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推送（水平距离）时，秋千的踏板离地的垂直高度，秋千的绳索始终拉得很直，求绳索的长度？
【答案】解：设秋千的绳索长为 ，则 ，
在 中， ，
∴ ，
解得： ，
答：绳索 的长度是 ．
【知识点】一元二次方程的其他应用；勾股定理的应用
【解析】【分析】设秋千的绳索长为 ，进而即可得到AC的表达式，再根据勾股定理列出方程即可求解。
17．（2020八上·杨浦期中）某中学读书社对全校600名学生图书阅读量（单位：本）进行了调查，第一季度全校学生人均阅读量是6本，读书社人均阅读量是15本．读书社人均阅读量在第二季度、第三季度保持一个相同的增长率x，全校学生人均阅读量第三季度和第一季度相比，增长率也是x，已知第三季度读书社全部40名成员的阅读总量将达到第三季度全校学生阅读总量的25%，求增长率x的值．
【答案】解：由题意可得40×15（1＋x）2=600×6（1＋x）×25%
整理，得（x＋1）（x－ ）=0
解得： =50%， （不符合实际，舍去）
答：增长率x的值为50%．
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【分析】根据题中的等量关系，计算得到一元二次方程得到答案即可。
18．（2020九上·陆丰月考）若两个连续整数的积是56，求这两个连续整数的和．
【答案】解：设这两个连续整数中较小的数为x，则较大的数为x＋1
由题意可得x（x＋1）=56
解得：x1=7，x2=-8
∴这两个整数为7、8或-8，-7
∴两个连续整数的和为7＋8=15或-8＋（-7）=-15
答：这两个连续整数的和为15或-15．
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【分析】设这两个连续整数中较小的数为x，则较大的数为x＋1，根据题意，列出方程即可求出x，从而求出结论．
19．如图，某农场有一块长40m，宽32m的矩形种植地，为方便管理，准备沿平行于两边的方向纵、横各修建一条等宽的小路，要使种植面积为1140m2，求小路的宽．
【答案】解：设小路的宽为xm，依题意有
（40﹣x）（32﹣x）=1140，
整理，得x2﹣72x+140=0．
解得x1=2，x2=70（不合题意，舍去）．
答：小路的宽应是2m．
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【分析】本题可设小路的宽为xm，将4块种植地平移为一个长方形，长为（40﹣x）m，宽为（32﹣x）m．根据长方形面积公式即可求出小路的宽．
四、综合题
20．（2023八下·东城期中）我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何．（1丈＝10尺）
大意是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？
将这个实际问题转化为数学问题，根据题意画出图形（如图所示），其中水面宽AB＝10尺，线段CD，CB表示芦苇，CD⊥AB于点E．
（1）图中DE＝ 尺，EB＝ 尺；
（2）求水的深度与这根芦苇的长度．
【答案】（1）1；5
（2）解：设芦苇长x尺，则水的深度为（x-1）尺，
根据题意得：，解得：x=13，
13-1=12（尺），
答：芦苇长13尺，则水的深度为12尺．
【知识点】一元二次方程的其他应用；勾股定理
【解析】【解答】解：（1）由题意得DE＝1尺，EB=5尺；
故答案为：1；5；
【分析】（1）直接根据题意即可求解；
（2）设芦苇长x尺，则水的深度为（x-1）尺，根据勾股定理即可列出方程，进而即可求解。
21．（2022九上·惠水期中）如图，中，，，，，，是方程的两根.
（1）求，；
（2），两点分别从，出发，分别以每秒2个单位，1个单位的速度沿边，向终点，运动，（有一个点达到终点则停止运动），求经过多长时间后？
【答案】（1）解：、是方程的两个根，
，.
又，
，舍去，
原方程为，
解得：，，
，
（2）解：设经过秒后，则，，由题意得
解得：，，
答：设经过秒或2秒后.
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系；一元二次方程的其他应用；勾股定理
【解析】【分析】（1）由根与系数的关系可得 ，，由勾股定理知=25， 据此建立关于m方程，求出m值即得方程，再解方程即得a、b值；
（2）设经过秒后，则， ，在Rt△CPQ中，利用勾股定理建立关于t方程并解之即可.
22．（2021九上·南昌期中）
（1）【课本再现】要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场．根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排场比赛．
①共有 场比赛；
②设比赛组织者应邀请个队参赛，每个队要与其他 个队各赛一场，因为甲队对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛是同一场比赛，所以全部比赛 场，列方程： ．
（2）【小试牛刀】
参加一次聚会的每两人都要握手一次，所有人共握手了10次，有多少人参加聚会？
（3）【综合运用】
将，，，……，，共个点每两个点连一条线段共得到条线段，将，，，……，．共个点每两个点连一条线段共得到条线段，问能否为整数？写出你的结论，并说明理由．
【答案】（1）28；x-1；；
（2）解：设有人参加聚会，
根据题意，得：，
解得，（舍去）
答：一共有人参加聚会；
（3）解：依题意得，，
，
∵n为正整数，
∴当时，；
当时，；
∴当或时，为整数．
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】解：（1）①共有场比赛；
②可设比赛组织者应邀请x队参赛，那么每个队要与其他（x-1）个队各赛一场，又由于甲队对乙队的比赛和乙队对甲对的比赛是同一场比赛，所以全部的比赛一共有x（x-1）场比赛，
根据题意，列出相应方程：x（x-1）=28，
故答案为：28；②（x-1），，；
【分析】（1）①共有场比赛；②可设比赛组织者应邀请x队参赛，那么每个队要与其他（x-1）个队各赛一场，可得共有x（x-1）场比赛，从而列出方程；
（2）设有人参加聚会，可得每人握手x（x-1）次，可得共握手x（x-1）次，根据握手总次数列出方程并解之即可；
（3）根据题意分别表示出y1和y2，然后求出为整数时的n值即可.
23．（2020九上·怀集期中）已知 、 是关于x的一元二次方程 的两实数根．
（1）若 ，求n的值；
（2）已知等腰三角形 的一边长为7，若 、 恰好是△ 另外两边的长，求这个三角形的周长．
【答案】（1）解：由题意得： ，
∴
解得：
∵ 、 是关于x的一元二次方程 的两实数根，
∴ 得：
∴
（2）解：①当7为底，即 时，则 ，
即
解得
把n=2代入方程得
∴
∵3+3＜7（舍去）
②当7为腰，即 时，将x = 7 代入方程得49-14(n+1)+n2+5=0，
解得
当 时， =22，
解得 ，
∴三角形的周长为3+7+7=17；
当 时， =10，
解得
∵7+7＜15（舍去）
综上，三角形的周长为17．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系；一元二次方程的其他应用
【解析】【分析】（1）根据一元二次方程根与系数的关系求解即可；（2）分情况讨论，①当7为底，②当7为腰，再结合根的判别式及解方程求解即可。
1 / 12023-2024学年苏科版数学九年级上册1.4用一元二次方程解决问题 同步练习
一、选择题
1．（2017九上·江津期中）某校进行体操队列训练，原有8行10列，后增加40人，使得队伍增加的行数、列数相同，你知道增加了多少行或多少列吗？设增加了 行或列，则列方程得（ ）
A．(8﹣ ) (10﹣ )=8×10﹣40
B．(8﹣ )(10﹣ )=8×10+40
C．(8+ )(10+ )=8×10﹣40
D．(8+ )(10+ )=8×10+40
2．（2017·兰州）王叔叔从市场上买了一块长80cm，宽70cm的矩形铁皮，准备制作一个工具箱．如图，他将矩形铁皮的四个角各剪掉一个边长xcm的正方形后，剩余的部分刚好能围成一个底面积为3000cm2的无盖长方形工具箱，根据题意列方程为（ ）
A．（80﹣x）（70﹣x）=3000 B．80×70﹣4x2=3000
C．（80﹣2x）（70﹣2x）=3000 D．80×70﹣4x2﹣（70+80）x=3000
3．（2023八下·北京市期中）如图，《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去高六尺，折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈＝十尺），一阵风将竹子折断，竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，求折断处离地面的高度．设竹子折断处离地面x尺，根据题意，可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
4．（2023八下·宁波期中）小明同学是一位古诗文的爱好者，在学习了一元二次方程这一章后，改编了苏轼诗词念奴娇赤壁怀古：“大江东去浪淘尽，千古风流人物．而立之年督东吴，早逝英年两位数．十位恰小个位三，个位平方与寿同．哪位学子算得快，多少年华数周瑜？”假设周瑜去世时年龄的十位数字是，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
5．（2023七下·兴化期中）在数学中，为了书写简便，18世纪数学家欧拉就引进了求和符号“”．如记，；
已知，则m的值是（ ）
A．40 B．-70 C．-40 D．-20
6．（2022八下·余杭月考）某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1035张照片，如果全班有 名同学，根据题意，列出方程为（ ）
A． B．
C． D．
7．（2021九上·北辰期末）某校九年级组织一次篮球赛，各班均组队参赛，每两班之间都进行两场比赛，共需比赛12场，则九年级班级的个数为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
8．（2021九上·科尔沁期末）对于两个关于x的一元二次方程：F1：ax2+bx+c＝0，F2：cx2+bx+a＝0，其中a≠c．给出下列判断：
①若方程F1有两个相等的实数根，则方程F2也必有两个相等的实数根；
②若方程F1有两个异号实根，则方程F2也必有两个异号实根；
③若3是方程F1的一个根，则必是方程F2的一个根；
④若这两个方程有一个相同的根，则这个根必是1．
其中，正确的有（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
9．已知关于x的一元四次方程x4+px2+qx+r=0有三个相等的实根和另一个与之不同的实根，则下列三个命题中真命题有（ ）个
①p+q=r可能成立；②p+r=q可能成立；③q+r=p可能成立．
A．1 B．2 C．3 D．4
10．如图，若正方形OABC的顶点B和正方形ADEF的顶点E都在函数y=（x>0）的图像上，则点E的坐标为（ ）
A．(，) B．（1，）
C．（2，） D．（，)
二、填空题
11．（2023八下·包河期中）在学校劳动实践基地里有一块长20米、宽10米的长方形菜地，为了管理方便，准备沿平行于两边的方向纵、横开辟三条等宽的小道（如图中阴影部分所示），剩下部分种植蔬菜，已知种植蔬菜的面积为171平方米，则小道的宽为 米．
12．（2023九上·通川期末）方程x2-6x+8＝0的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个等腰三角形周长是 ．
13．（2021八下·宁波期中）某校准备组织一次篮球比赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，那么共有 个队参加.
14．（2023七下·顺义期中）有一个正方形的花园，如果它的边长增加，那么花园面积将增加，则原花园的面积为 ．
15．（2011九上·四川竞赛）一次棋赛，有n个女选手和9n个男选手，每位参赛者与其 个选手各对局一次，计分方式为：胜者的2分，负者得0分，平局各自得1分。比赛结束后统计发现所有参赛男选手的分数和是所有女选手的分数和的4倍，则n的所有可能值是 .
三、解答题
16．（2023八下·宜春期中）如图1，荡秋千是中国古代北方少数民族创造的一种运动．有一天，小明在公园里游玩，如图2，他发现秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推送（水平距离）时，秋千的踏板离地的垂直高度，秋千的绳索始终拉得很直，求绳索的长度？
17．（2020八上·杨浦期中）某中学读书社对全校600名学生图书阅读量（单位：本）进行了调查，第一季度全校学生人均阅读量是6本，读书社人均阅读量是15本．读书社人均阅读量在第二季度、第三季度保持一个相同的增长率x，全校学生人均阅读量第三季度和第一季度相比，增长率也是x，已知第三季度读书社全部40名成员的阅读总量将达到第三季度全校学生阅读总量的25%，求增长率x的值．
18．（2020九上·陆丰月考）若两个连续整数的积是56，求这两个连续整数的和．
19．如图，某农场有一块长40m，宽32m的矩形种植地，为方便管理，准备沿平行于两边的方向纵、横各修建一条等宽的小路，要使种植面积为1140m2，求小路的宽．
四、综合题
20．（2023八下·东城期中）我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何．（1丈＝10尺）
大意是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？
将这个实际问题转化为数学问题，根据题意画出图形（如图所示），其中水面宽AB＝10尺，线段CD，CB表示芦苇，CD⊥AB于点E．
（1）图中DE＝ 尺，EB＝ 尺；
（2）求水的深度与这根芦苇的长度．
21．（2022九上·惠水期中）如图，中，，，，，，是方程的两根.
（1）求，；
（2），两点分别从，出发，分别以每秒2个单位，1个单位的速度沿边，向终点，运动，（有一个点达到终点则停止运动），求经过多长时间后？
22．（2021九上·南昌期中）
（1）【课本再现】要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场．根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排场比赛．
①共有 场比赛；
②设比赛组织者应邀请个队参赛，每个队要与其他 个队各赛一场，因为甲队对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛是同一场比赛，所以全部比赛 场，列方程： ．
（2）【小试牛刀】
参加一次聚会的每两人都要握手一次，所有人共握手了10次，有多少人参加聚会？
（3）【综合运用】
将，，，……，，共个点每两个点连一条线段共得到条线段，将，，，……，．共个点每两个点连一条线段共得到条线段，问能否为整数？写出你的结论，并说明理由．
23．（2020九上·怀集期中）已知 、 是关于x的一元二次方程 的两实数根．
（1）若 ，求n的值；
（2）已知等腰三角形 的一边长为7，若 、 恰好是△ 另外两边的长，求这个三角形的周长．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】增加了 行或列，现在是 行， 列，所以(8+ )(10+ )=8×10+40.
故答案为：D
【分析】由题意可得相等关系：增加后的行列=原有的人数+增加的人数，根据相等关系列方程即可。
2．【答案】C
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】解：由题意可得，
（80﹣2x）（70﹣2x）=3000，
故选C．
【分析】根据题意可知裁剪后的底面的长为（80﹣2x）cm，宽为（70﹣2x）cm，从而可以列出相应的方程，本题得以解决．
3．【答案】D
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】解：设竹子折断处离地面x尺，根据题意得，
故答案为：D
【分析】设竹子折断处离地面x尺，根据图片结合“竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远”即可列出方程，进而即可求解。
4．【答案】C
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】解：设周瑜去世时年龄的十位数字是x，根据题意得
.
故答案为：C
【分析】此题的等量关系为：个位数字=十位数字+3；个位数字的平方=这个两位数；列方程即可.
5．【答案】C
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】解：由题意可得：
，
由等式右边二次项系数为4可得，共有四项累加，
所以
，由此可得：m=-40，
故答案为：C.
【分析】根据题意找到规律，得出题目所给的求和等式的左边的具体式子，在通过化简，观察确定求和的式子有几项，确定后就可以得出等式，从而直接观察得出m的值.
6．【答案】C
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】解： 全班有x名同学，
每名同学要送出(x-1) 张；
又 是互送照片，
总共送的张数应该是 x(x-1)，
故可列方程x（x-1）=1035.
故答案为：C.
【分析】由题意可得每名同学要送(x-1)张，然后根据每名同学送的张数×学生的人数=总张数即可列出方程.
7．【答案】C
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】解：设九年级共有x个班，
依题意得：x（x-1）=12，
整理得：，
解得：（不合题意，舍去），．
故答案为：C．
【分析】设九年级共有x个班，根据题意列出方程x（x-1）=12， 再求出x的值即可。
8．【答案】A
【知识点】一元二次方程的其他应用；真命题与假命题
【解析】【解答】解：由题可知：，，
，
若方程F1有两个相等的实数根，则方程F2也必有两个相等的实数根，
故①符合题意；
若方程F1有两个异号实根，
，
，
方程F2也必有两个相等的实数根
故②符合题意；
若3是方程F1的一个根，
，
，即是方程F2的一个根，
故③符合题意；
设和的相同根为，
，，
相减得：，
解得：，
故④不符合题意．
故答案为：A．
【分析】根据一元二次方程根的判别式，命题的定义一一判断即可。
9．【答案】B
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】解：设三个相等的根为m，另一个与之不同的根为n，则有（x﹣m）3（x﹣n）=0，
展开得：x4﹣（3m+n）x3+（3m2+3mn）x2﹣（m3+3m2n）x+m3n=0，
∴根据对应项系数相等：3m+n=0()，3m2+3mn=p，﹣（m3+3m2n）=q，m3n=r，
把n=﹣3m代入得：p=-6m2，q=8m3，r=﹣3m4，
若p+q=r，即，整理化简得，此时由有解，故p+q=r可能成立，①符合题意；
若p+r=q，即，整理化简得，此时由无实数解，故p+r=q不可能成立，②不符合题意；
若q+r=p，即，整理化简得，此时由有解，故q+r=p可能成立，③符合题意；
故答案为：B．
【分析】设三个相等的根为m，另一个与之不同的根为n，则（x﹣m）3（x﹣n）=0，展开得：x4﹣（3m+n）x3+（3m2+2m+mn）x2﹣（m3+3m2n）x+m3n=0，用m表示p、q、r，假设命题成立，式子化简后判断方程是否有解即可判断．
10．【答案】A
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【分析】易得点B的坐标，设点E的纵坐标为y，可表示出点E的横纵坐标，代入所给反比例函数即可求得点E的纵坐标，也就求得了点E的横坐标．
【解答】∵四边形OABC是正方形，点B在反比例函数y=（x>0)的图象上，
∴点B的坐标为（1，1)．
设点E的纵坐标为y，
∴点E的横坐标为（1+y)，
∴y×（1+y)=1，
即y2+y-1=0，
即y==，
∵y＞0，
∴y=，
∴点E的横坐标为．
故选A．
【点评】考查反比例函数的比例系数的意义；突破点是得到点B的坐标；用到的知识点为：在反比例函数图象上的点的横纵坐标的积等于反比例函数的比例系数．
11．【答案】1
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】解：设小道的宽为am，由题意得（20-a）（10-a）=171，
解得a=1或a=29（舍去）
∴小道的宽为1米，
故答案为：1
【分析】设小道的宽为am，进而即可将剩下部分可合成长为（20-a）米，宽为（10-a）米的长方形，进而即可列出方程，解方程即可求解。
12．【答案】10
【知识点】一元二次方程的其他应用；三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：解方程x2-6x+8＝0，
得x1＝2，x2＝4，
当2为腰，4为底时，不能构成等腰三角形；
当4为腰，2为底时，能构成等腰三角形，
∴等腰三角形周长=4+4+2＝10．
故答案为：10．
【分析】首先求出一元二次方程的根，再根据三角形三边关系判断符合题意的三边，再把三边相加即可求解.
13．【答案】8
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】解：∵赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，
∴共7×4=28场比赛，
设共有x个队参赛，
则由题意可列方程为： =28，
解得：x1=8，x2=-7（舍去），
答：共有8个队参赛.
故答案为：8.
【分析】由题意可得共7×4=28场比赛，设共有x个队参赛，根据队数×(对数-1)÷2=比赛的总场数列出方程，求解即可.
14．【答案】
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：设原正方形的边长是x米，则增加后的边长是（x+2）米
由题意得
解得x=3
则原花园的面积为.
故填：9
【分析】设原正方形的边长是 x米，根据正方形的面积公式即可求出。
15．【答案】1
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】解：每场对局都有2分，10n个棋手对局共下： 局，总分为100n×n-10n， 假设男选手与女选手的所有比赛中都不得分，则9n个男选手最低总得分为81n×n-9n，女选手最高得分总和为19n×n-n， 依题意，男选手最低得分总和比女选手最高得分总和应不大于4，列不等式（81n×n-9n）：（19n×n-n）≤4， 因女选手得分为正数，变形得：（81n×n-9n）≤4（19n×n-n）， 移项：5n（n-1）≤0， 解得：0≤n≤1，因n为正整数，所以n的所有可能值是1． 故答案为：1．
【分析】根据题意可得每场对局都有2分产生，所以可以分别计算出女选手的最高得分，及男选手的最低得分，再由男选手的分数和是所有女选手的分数和的4倍，可得出不等式，继而可解的n的范围．解答本题的关键计算出女选手的最高得分，及男选手的最低得分，得出不等式，难度较大．
16．【答案】解：设秋千的绳索长为 ，则 ，
在 中， ，
∴ ，
解得： ，
答：绳索 的长度是 ．
【知识点】一元二次方程的其他应用；勾股定理的应用
【解析】【分析】设秋千的绳索长为 ，进而即可得到AC的表达式，再根据勾股定理列出方程即可求解。
17．【答案】解：由题意可得40×15（1＋x）2=600×6（1＋x）×25%
整理，得（x＋1）（x－ ）=0
解得： =50%， （不符合实际，舍去）
答：增长率x的值为50%．
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【分析】根据题中的等量关系，计算得到一元二次方程得到答案即可。
18．【答案】解：设这两个连续整数中较小的数为x，则较大的数为x＋1
由题意可得x（x＋1）=56
解得：x1=7，x2=-8
∴这两个整数为7、8或-8，-7
∴两个连续整数的和为7＋8=15或-8＋（-7）=-15
答：这两个连续整数的和为15或-15．
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【分析】设这两个连续整数中较小的数为x，则较大的数为x＋1，根据题意，列出方程即可求出x，从而求出结论．
19．【答案】解：设小路的宽为xm，依题意有
（40﹣x）（32﹣x）=1140，
整理，得x2﹣72x+140=0．
解得x1=2，x2=70（不合题意，舍去）．
答：小路的宽应是2m．
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【分析】本题可设小路的宽为xm，将4块种植地平移为一个长方形，长为（40﹣x）m，宽为（32﹣x）m．根据长方形面积公式即可求出小路的宽．
20．【答案】（1）1；5
（2）解：设芦苇长x尺，则水的深度为（x-1）尺，
根据题意得：，解得：x=13，
13-1=12（尺），
答：芦苇长13尺，则水的深度为12尺．
【知识点】一元二次方程的其他应用；勾股定理
【解析】【解答】解：（1）由题意得DE＝1尺，EB=5尺；
故答案为：1；5；
【分析】（1）直接根据题意即可求解；
（2）设芦苇长x尺，则水的深度为（x-1）尺，根据勾股定理即可列出方程，进而即可求解。
21．【答案】（1）解：、是方程的两个根，
，.
又，
，舍去，
原方程为，
解得：，，
，
（2）解：设经过秒后，则，，由题意得
解得：，，
答：设经过秒或2秒后.
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系；一元二次方程的其他应用；勾股定理
【解析】【分析】（1）由根与系数的关系可得 ，，由勾股定理知=25， 据此建立关于m方程，求出m值即得方程，再解方程即得a、b值；
（2）设经过秒后，则， ，在Rt△CPQ中，利用勾股定理建立关于t方程并解之即可.
22．【答案】（1）28；x-1；；
（2）解：设有人参加聚会，
根据题意，得：，
解得，（舍去）
答：一共有人参加聚会；
（3）解：依题意得，，
，
∵n为正整数，
∴当时，；
当时，；
∴当或时，为整数．
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】解：（1）①共有场比赛；
②可设比赛组织者应邀请x队参赛，那么每个队要与其他（x-1）个队各赛一场，又由于甲队对乙队的比赛和乙队对甲对的比赛是同一场比赛，所以全部的比赛一共有x（x-1）场比赛，
根据题意，列出相应方程：x（x-1）=28，
故答案为：28；②（x-1），，；
【分析】（1）①共有场比赛；②可设比赛组织者应邀请x队参赛，那么每个队要与其他（x-1）个队各赛一场，可得共有x（x-1）场比赛，从而列出方程；
（2）设有人参加聚会，可得每人握手x（x-1）次，可得共握手x（x-1）次，根据握手总次数列出方程并解之即可；
（3）根据题意分别表示出y1和y2，然后求出为整数时的n值即可.
23．【答案】（1）解：由题意得： ，
∴
解得：
∵ 、 是关于x的一元二次方程 的两实数根，
∴ 得：
∴
（2）解：①当7为底，即 时，则 ，
即
解得
把n=2代入方程得
∴
∵3+3＜7（舍去）
②当7为腰，即 时，将x = 7 代入方程得49-14(n+1)+n2+5=0，
解得
当 时， =22，
解得 ，
∴三角形的周长为3+7+7=17；
当 时， =10，
解得
∵7+7＜15（舍去）
综上，三角形的周长为17．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系；一元二次方程的其他应用
【解析】【分析】（1）根据一元二次方程根与系数的关系求解即可；（2）分情况讨论，①当7为底，②当7为腰，再结合根的判别式及解方程求解即可。
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