2023-2024学年苏科版数学九年级下册5.2 二次函数的图像与性质 同步练习
一、选择题
1．（2023·大连）已知抛物线，则当时，函数的最大值为（ ）
A． B． C．0 D．2
2．（2023·兰州）已知二次函数，下列说法正确的是（ ）
A．对称轴为 B．顶点坐标为
C．函数的最大值是－3 D．函数的最小值是－3
3．（2023·徐州）在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得拋物线对应的函数表达式为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·浙江模拟）已知点（x1，y1），（x2，y2）为二次函数y=-x2图象上的两点（不为顶点），则以下判断正确的是（ ）
A．若x1>x2，则y1>y2 B．若x1C．若：，则y1>y2 D．若，则y15．（2023·温州模拟）将二次函数的图象向左平移m个单位后过点，则m的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
6．（2023·广东模拟）已知抛物线y=ax2+bx+c(a，b，c是常数，a≠0)经过点(-1，-1)，(0，1)，当x=-2时，与其相对应的函数值y>1．有下列结论：
①abc>0；
②关于x的方程ax2+bx+c-3= 0有两个不相等的实数根；
③a+b+c>7；
其中，正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
7．（2023·东莞模拟）把抛物线向左平移1个单位，然后向下平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
8．（2023·郫都模拟）二次函数的图象如图所示，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．函数的最小值为
C．当时， D．
9．（2023·瑶海模拟）二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像如图所示，则一次函数y＝bx＋a与反比例函数y＝在同一坐标内的图像大致为（ ）
A． B．
C． D．
10．（2023·金寨模拟）二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，下列结论：（1）；（2）；（3）；（4）若点，点、点在该函数图象上，则；（5）若方程的两根为和，且，则．其中正确的结论有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
11．（2023·金乡县模拟）如图，抛物线与x轴正半轴交于A，B两点，与y轴负半轴交于点C．若点，则下列结论中，正确的个数是（ ）
①；
②；
③与是抛物线上两点，若，则；
④若抛物线的对称轴是直线，m为任意实数，则；
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
12．（2023·泰安）二次函数的最大值是 ．
13．（2023·郴州）抛物线与轴只有一个交点，则 ．
14．（2023·张家口模拟）如图，水池中心点O处竖直安装一水管，水管喷头喷出抛物线形水柱，喷头上下移动时，抛物线形水柱随之竖直上下平移，水柱落点与点O在同一水平面．安装师傅调试发现，喷头高时，水柱落点距O点；喷头高时，水柱落点距O点．那么喷头高 m时，水柱落点距O点．
15．（2023·安徽模拟）已知二次函数（a是常数，且）．
（1）该二次函数图象的对称轴是 ；
（2）该二次函数图象与y轴交点的纵坐标的最大值为 ．
16．（2023八下·景德镇期中）已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3在t≤x≤t+3时的最小值是t，则t的值为 .
17．（2023九上·温岭期末） 关于的二次函数，在时有最大值6，则 ．
三、作图题
18．（2021九上·下城期末）已知二次函数 的图象经过点 .
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）画出这个函数的图象，并利用图象解决下列问题：
①直接写出方程 的解；
②当x满足什么条件时， .
四、解答题
19．（2022九上·济南期末）已知二次函数有最小值为0，求m的值．
20．（2023九上·陈仓期末）已知关于x的一元二次方程的两个实数根分别为，，求的值.
五、综合题
21．（2023·长沙）我们约定：若关于x的二次函数与同时满足，则称函数与函数互为“美美与共”函数．根据该约定，解答下列问题：
（1）若关于x的二次函数与互为“美美与共”函数，求k，m，n的值；
（2）对于任意非零实数r，s，点与点始终在关于x的函数的图像上运动，函数与互为“美美与共”函数．
①求函数的图像的对称轴；
②函数的图像是否经过某两个定点？若经过某两个定点，求出这两个定点的坐标；否则，请说明理由；
（3）在同一平面直角坐标系中，若关于x的二次函数与它的“美美与共”函数的图像顶点分别为点A，点B，函数的图像与x轴交于不同两点C，D，函数的图像与x轴交于不同两点E，F．当时，以A，B，C，D为顶点的四边形能否为正方形？若能，求出该正方形面积的取值范围；若不请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】二次函数的最值
【解析】【解答】解：∵y=x2-2x-1=(x-1)2-2，
∴抛物线开口向上，当x<1时，y随x的增大而减小；当x>1时，y随x的增大而增大.
当x=0时，y=-1；当x=3时，y=2，
∴函数的最大值为2.
故答案为：D.
【分析】根据二次函数的性质可得：当x<1时，y随x的增大而减小；当x>1时，y随x的增大而增大，然后求出x=0、3对应的y的值，再进行比较即可.
2．【答案】C
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的图象；二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】解：
A、对称轴为，A不符合题意；
B、顶点坐标为，B不符合题意；
CD、函数的最大值是－3，C符合题意，D不符合题意；
故答案为：C
【分析】根据二次函数的图象和性质结合题意即可求解。
3．【答案】B
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：将二次函数y=(x+1)2+3的图象向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得拋物线对应的函数表达式为y=(x+1-2)2+3-1，即y=(x-1)2+2.
故答案为：B.
【分析】根据“左加右减，上加下减”的平移规则进行解答.
4．【答案】D
【知识点】二次函数y=ax^2的性质
【解析】【解答】解：∵抛物线y=-x2，
∴抛物线的开口向下，
∴当x＜0时，y随x的增大而增大，当x＜0时，y随x的增大而减小，
A、 若x1>x2，y1>y2或y1＜y2，故A不符合题意；
B、 若x1＜x2，y1>y2或y1＜y2，故B不符合题意；
C、当x1=-3时y1=-9；当x2=3时y2=-9；
∴x1x2=-9，（x2）2=9，
∴x1x2＜（x2）2，此时y1＜y2，故C不符合题意；
D、若x1x2＞（x2）2即x1x2＞x2x2＞0，
当x1＞x2＞0时y1当x1＜x2＜0时y1故答案为：D
【分析】利用函数解析式可知抛物线的开口向下，当x＜0时，y随x的增大而增大，当x＜0时，y随x的增大而减小，由x1>x2，不能确定y1和y2的大小关系，可对A作出判断；由x1＞x2，不能确定y1和y2的大小关系，可对B作出判断；当x1=-3时y1=-9；当x2=3时y2=-9，可得到y1＜y2，可对C作出判断；由已知可得到x1x2＞x2x2＞0，分情况讨论：当x1＞x2＞0时y15．【答案】B
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数y=ax^2+bx+c与二次函数y=a（x-h）^2+k的转化
【解析】【解答】解：y=ax2-8ax+2=a（x-4）2+2-16a，
∵将其图象向左平移m个单位后过点（5，2），
∴平移后的函数解析式为y=a（x-4+m）2+2-16a，
∴a（5-4+m）2+2-16a=2，
解之：m1=3，m2=-5（舍去）.
∴m的值为3.
故答案为：B
【分析】先将函数解析式转化为顶点式，利用二次函数图象平移规律可得到平移后的函数解析式为y=a（x-4+m）2+2-16a，然后将点（5，2）代入可求出符合题意的m的值.
6．【答案】D
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：①、根据题意，绘制出抛物线的大致图象如图，由图象可知：a＞0，c＞0，由对称轴公式以及图象可知，b＞0，∴abc＞0，故①正确；
②∵由图象知，y=ax2+bx+c与直线y=3有两个不同的交点
∴关于x的方程ax2+bx+c-3=0有两个不相等的实数根，故②正确；
③∵x=-2时，y＞1，c=1
∴4a-2b+1＞1，
∵y=ax2+bx+c经过点（-1，-1）
∴a-b+1=-1
∴b=a+2
∴4a-2（a+2）+1＞1
∴a＞2
∴a+b+c=a+a+2+1=2a+3＞7，故③正确。
故答案为：D
【分析】（1）根据题意，建立坐标系画出抛物线的大致图象；
（2）利用二次函数的图象性质，判断a、b、c的符号；
（3）把方程ax2+bx+c-3=0有两个不相等的实数根，转化成图象交点问题。
（4）把点（-1，-1）代入，以及当x=-2时，y＞1，这些条件合理利用，解决③是关键。
7．【答案】C
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：把抛物线y=-x2向左平移1个单位，然后向下平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为y=-(x+1)2-3.
故答案为：C.
【分析】根据“左加右减，上加下减”的平移规则进行解答.
8．【答案】B
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：函数开口朝上，a>0；对称轴，则b<0；当x=-1时，a-b+c=0，则c=b-a<0
A：abc>0，A错误
B：最小值在对称轴上取，则最小值为a+b+c，A正确
C：有图像可知，图像与x轴的另一个交点为x=3，当-1D：当x=2时，图像在x轴的下方，则y=4a+2b+c<0，D错误
故答案为B
【分析】结合函数图象以及二次函数的性质，判断各项系数的正负。
9．【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax^2+bx+c的图象
【解析】【解答】解：由图像可知，，即b<0，由一次函数图象性质可排除A，C选项
当x=1时，二次函数y=a+b+c<0，由反比例函数图象性质可排除B选项
故答案为D
【分析】二次函数图象开口朝上，则a>0，对称轴在0和1之间，则，可判断出一次函数图象的位置关系；当x=1时，二次函数的图象在x轴下方，则对应的函数值y=a+b+c<0，可判断出反比例函数的位置关系。
10．【答案】B
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：①∵，
∴4a+b=0，
∴①正确；
②∵当x=-3时，y＜0，
∴9a-3b+c＜0，
∴9a+c＜3b，
∴②错误；
③∵二次函数图象过点，对称轴为直线，
∴二次函数图象经过点（5，0），
∴由题意可得：，
解得：，
∴8a+7b+2c=8a-28a-10a=-30a，
∵a＜0，
∴8a+7b+2c＞0，
∴③正确，
④∵点，点、点在该函数图象上，
又∵，，，
∴点C离对称轴的距离近，
∴y3＞y2，
∵a＜0，-3＜＜2，
∴y1＜y2，
∴y1＜y2＜y3，
∴④错误；
⑤∵a＜0，
∴（x+1)(x-5)=＞0，
∴（x+1)(x-5)＞0，
∴x＜-1或x＞5，
∴⑤正确；
综上所述：正确的结论有3个，
故答案为：B.
【分析】利用二次函数的图象与性质对每个结论一一判断即可。
11．【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：抛物线开口向下，与y轴交于负半轴，对称轴在y轴右侧，
∴a＜0，c＜0，，
∴b＞0，
∴abc＞0，故①符合题意；
∵抛物线过点B（4，0），点A在x轴正半轴，
∴对称轴在直线x=2右侧，即，
∴，
又∵a＜0，
∴4a+b＞0，故②符合题意；
∵与是抛物线上两点，，
可得：抛物线在时，y随x的增大而增大，
在时，y随x的增大而减小，
∴不一定成立，故③不符合题意；
若抛物线对称轴为直线x=3，则，即，
则
=
=
=≤0，
∴，故④符合题意；
综上分析可知，正确的个数为3个，故C符合题意．
故答案为：C．
【分析】利用二次函数的图象与系数的关系可得a、b、c的正负，再利用二次函数的性质逐项判断即可。
12．【答案】
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax^2+bx+c与二次函数y=a（x-h）^2+k的转化
【解析】【解答】解：y=-x2-3x+4=-（x2+3x）+4=，
∵-1＜0，∴函数有最大值为：.
故第1空答案为：.
【分析】用配方法把二次函数的一般形式，转化为：，可得函数的最大值为：。
13．【答案】9
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：∵抛物线与轴只有一个交点，
∴，
∴c=9，
故答案为：9
【分析】根据二次函数与x轴的交点问题结合题意即可求解。
14．【答案】8
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】
∵抛物线的上下平移时，其系数a、b都不变，只有c是“上加下减”，
∴设题中抛物线的解析式为，
由题中条件，易知：当x=2.5、c=2.5时，y=0；当x=3、c=4时，y=0，
∴可得方程组为：
解得：
∴题中抛物线的解析式为，
令x=0，解得：y=8，
∴ 喷头高8m时，水柱落点距O点．
故结果为：8 。
【分析】此题考察抛物线上下平移时，其系数相应的变化关系，难度一般。
15．【答案】（1）直线x=1
（2）-7
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax^2+bx+c与二次函数y=a（x-h）^2+k的转化
【解析】【解答】解：（1）该二次函数图象的对称轴是直线；
故答案为：直线x=1；
（2）当时，，
∵，
∴抛物线开口向下，
∴当时，y有最大值-7，即该二次函数图象与y轴交点的纵坐标的最大值为-7．
故答案为：-7．
【分析】（1）结合二次函数的解析式，利用对称轴公式计算求解即可；
（2）先求出，再求出抛物线开口向下，最后判断求解即可。
16．【答案】或﹣3
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=a（x-h）^2+k的性质；二次函数y=ax^2+bx+c与二次函数y=a（x-h）^2+k的转化
【解析】【解答】解： y＝x2﹣2x﹣3 =（x-1）2-4，可得抛物线的对称轴为x=1。
分类讨论：
（1）若对称轴在范围 t≤x≤t+ 3右侧时，有t+ 3＜1，即t＜-2，此时，在对称轴左侧，y虽x的增大而减小，∴当x=t+3时，y的值最小，∴y最小值=t=（t+3）2-2（t+3）-3，∴t=-3。
（2）若对称轴在范围 t≤x≤t+ 3内时，此时对称轴与抛物线的交点纵坐标就是最小值，所以y最小值=-4，∴t=-4，不合题意。
（3）若对称轴在范围t≤x≤t+ 3的左侧时，有t＞1，此时在对称轴右侧，y随x的增大而增大，当x=t时，y的值最小，∴y最小值=t2-2t-3=t，∴
故第1空答案为：或-3.
【分析】先把二次函数的一般形式转化为顶点式，从而求得抛物线的对称轴为x=1，然后根据对称轴的不同位置，利用二次函数的性质，分别根据最小值为t，求得t的值即可。
17．【答案】2或
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：y=ax2+a2，
①当a＞0时，二次函数的对称轴为x=0，
∴x=-1时，ymax=a+a2=6，
解得：a=2或a=-3（舍去）；
②当a＜0时，二次函数的对称轴为x=0，
∴x=0时，ymax=a2=6，
解得：a=或a=（舍去），
综上所述，a=2或.
故答案为：2或.
【分析】分两种情况：当a＞0时，二次函数的对称轴为x=0，因此x=-1时，ymax=a+a2=6；②当a＜0时，二次函数的对称轴为x=0，因此x=0时，ymax=a2=6，分别解之即可.
18．【答案】（1）解：∵二次函数 的图象经过点 ，
∴将点 代入的解析式为 ，
得 ，
解得： .
∴抛物线的解析式为： 即： .
（2）解：函数的图象如下图所示：
①方程 ，即：在函数 中y=-3时， ， .
所以方程 的解是 ， ；
②当 时，即函数图象在x轴上面的图象，此时对应自变量的范围： 或
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax^2+bx+c的图象
【解析】【分析】（1）把点（2，-3）代入二次函数式进行求解即可；
（2） ① 由（1）及图象直接求解即可； ②根据图象，找出图象 时的部分，读出此时x的范围即可.
19．【答案】解：∵有最小值0，
∴且，
解得或（舍去）．
经检验：是该方程的解．
即m的值为1．
【知识点】二次函数的最值
【解析】【分析】由二次函数存在最小值，可知开口向上，即得m＞0，根据最小值为0，即得=0，据此解答即可.
20．【答案】解：（方法一）
∵关于 的一元二次方程 的两个实数根分别为 ， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ；
（方法二）把 ， 分别代入原方程，
可得： ，
解得： ，
∴ .
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】方法一：根据根与系数的关系可得x1+x2=-m，x1x2=n，结合x1、x2的值可得m、n的值，然后根据有理数的加法法则进行计算；
方法二：将x1=-2、x2=4代入方程中可得关于m、n的方程组，求出m、n的值，然后根据有理数的加法法则进行计算.
21．【答案】（1）解：由题意可知：，
∴．
答：k的值为，m的值为3，n的值为2．
（2）解：①∵点与点始终在关于x的函数的图像上运动，
∴对称轴为，
∴，
∴，
∴对称轴为．
答：函数的图像的对称轴为．
②，令，解得，
∴过定点，．
答：函数y2的图像过定点，．
（3）解：由题意可知，，
∴，
∴， ，
∵且，
∴；
①若，则，
要使以A，B，C，D为顶点的四边形能构成正方形，
则为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
②若，则A、B关于y轴对称，以A，B，C，D为顶点的四边形不能构成正方形，
综上，以A，B，C，D为顶点的四边形能构成正方形，此时．
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；正方形的性质；偶次幂的非负性；算数平方根的非负性；绝对值的非负性；二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）先根据非负性即可得到，进而结合题意即可求解；
（2）①先根据点与点始终在关于x的函数的图像上运动结合题意即可得到对称轴为，进而结合题意进行化简即可求解；
②先根据题意得到，进而令即可求解；
（3）先根据题意得到，进而得到， ，再二次函数与坐标轴的交点即可得到；然后分类讨论：①若，则，要使以A，B，C，D为顶点的四边形能构成正方形，则为等腰直角三角形，在根据正方形的性质和等腰直角三角形的性质结合题意即可得到；②若，则A、B关于y轴对称，以A，B，C，D为顶点的四边形不能构成正方形，最后总结即可求解。
1 / 12023-2024学年苏科版数学九年级下册5.2 二次函数的图像与性质 同步练习
一、选择题
1．（2023·大连）已知抛物线，则当时，函数的最大值为（ ）
A． B． C．0 D．2
【答案】D
【知识点】二次函数的最值
【解析】【解答】解：∵y=x2-2x-1=(x-1)2-2，
∴抛物线开口向上，当x<1时，y随x的增大而减小；当x>1时，y随x的增大而增大.
当x=0时，y=-1；当x=3时，y=2，
∴函数的最大值为2.
故答案为：D.
【分析】根据二次函数的性质可得：当x<1时，y随x的增大而减小；当x>1时，y随x的增大而增大，然后求出x=0、3对应的y的值，再进行比较即可.
2．（2023·兰州）已知二次函数，下列说法正确的是（ ）
A．对称轴为 B．顶点坐标为
C．函数的最大值是－3 D．函数的最小值是－3
【答案】C
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的图象；二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】解：
A、对称轴为，A不符合题意；
B、顶点坐标为，B不符合题意；
CD、函数的最大值是－3，C符合题意，D不符合题意；
故答案为：C
【分析】根据二次函数的图象和性质结合题意即可求解。
3．（2023·徐州）在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得拋物线对应的函数表达式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：将二次函数y=(x+1)2+3的图象向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得拋物线对应的函数表达式为y=(x+1-2)2+3-1，即y=(x-1)2+2.
故答案为：B.
【分析】根据“左加右减，上加下减”的平移规则进行解答.
4．（2023·浙江模拟）已知点（x1，y1），（x2，y2）为二次函数y=-x2图象上的两点（不为顶点），则以下判断正确的是（ ）
A．若x1>x2，则y1>y2 B．若x1C．若：，则y1>y2 D．若，则y1【答案】D
【知识点】二次函数y=ax^2的性质
【解析】【解答】解：∵抛物线y=-x2，
∴抛物线的开口向下，
∴当x＜0时，y随x的增大而增大，当x＜0时，y随x的增大而减小，
A、 若x1>x2，y1>y2或y1＜y2，故A不符合题意；
B、 若x1＜x2，y1>y2或y1＜y2，故B不符合题意；
C、当x1=-3时y1=-9；当x2=3时y2=-9；
∴x1x2=-9，（x2）2=9，
∴x1x2＜（x2）2，此时y1＜y2，故C不符合题意；
D、若x1x2＞（x2）2即x1x2＞x2x2＞0，
当x1＞x2＞0时y1当x1＜x2＜0时y1故答案为：D
【分析】利用函数解析式可知抛物线的开口向下，当x＜0时，y随x的增大而增大，当x＜0时，y随x的增大而减小，由x1>x2，不能确定y1和y2的大小关系，可对A作出判断；由x1＞x2，不能确定y1和y2的大小关系，可对B作出判断；当x1=-3时y1=-9；当x2=3时y2=-9，可得到y1＜y2，可对C作出判断；由已知可得到x1x2＞x2x2＞0，分情况讨论：当x1＞x2＞0时y15．（2023·温州模拟）将二次函数的图象向左平移m个单位后过点，则m的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数y=ax^2+bx+c与二次函数y=a（x-h）^2+k的转化
【解析】【解答】解：y=ax2-8ax+2=a（x-4）2+2-16a，
∵将其图象向左平移m个单位后过点（5，2），
∴平移后的函数解析式为y=a（x-4+m）2+2-16a，
∴a（5-4+m）2+2-16a=2，
解之：m1=3，m2=-5（舍去）.
∴m的值为3.
故答案为：B
【分析】先将函数解析式转化为顶点式，利用二次函数图象平移规律可得到平移后的函数解析式为y=a（x-4+m）2+2-16a，然后将点（5，2）代入可求出符合题意的m的值.
6．（2023·广东模拟）已知抛物线y=ax2+bx+c(a，b，c是常数，a≠0)经过点(-1，-1)，(0，1)，当x=-2时，与其相对应的函数值y>1．有下列结论：
①abc>0；
②关于x的方程ax2+bx+c-3= 0有两个不相等的实数根；
③a+b+c>7；
其中，正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：①、根据题意，绘制出抛物线的大致图象如图，由图象可知：a＞0，c＞0，由对称轴公式以及图象可知，b＞0，∴abc＞0，故①正确；
②∵由图象知，y=ax2+bx+c与直线y=3有两个不同的交点
∴关于x的方程ax2+bx+c-3=0有两个不相等的实数根，故②正确；
③∵x=-2时，y＞1，c=1
∴4a-2b+1＞1，
∵y=ax2+bx+c经过点（-1，-1）
∴a-b+1=-1
∴b=a+2
∴4a-2（a+2）+1＞1
∴a＞2
∴a+b+c=a+a+2+1=2a+3＞7，故③正确。
故答案为：D
【分析】（1）根据题意，建立坐标系画出抛物线的大致图象；
（2）利用二次函数的图象性质，判断a、b、c的符号；
（3）把方程ax2+bx+c-3=0有两个不相等的实数根，转化成图象交点问题。
（4）把点（-1，-1）代入，以及当x=-2时，y＞1，这些条件合理利用，解决③是关键。
7．（2023·东莞模拟）把抛物线向左平移1个单位，然后向下平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：把抛物线y=-x2向左平移1个单位，然后向下平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为y=-(x+1)2-3.
故答案为：C.
【分析】根据“左加右减，上加下减”的平移规则进行解答.
8．（2023·郫都模拟）二次函数的图象如图所示，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．函数的最小值为
C．当时， D．
【答案】B
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：函数开口朝上，a>0；对称轴，则b<0；当x=-1时，a-b+c=0，则c=b-a<0
A：abc>0，A错误
B：最小值在对称轴上取，则最小值为a+b+c，A正确
C：有图像可知，图像与x轴的另一个交点为x=3，当-1D：当x=2时，图像在x轴的下方，则y=4a+2b+c<0，D错误
故答案为B
【分析】结合函数图象以及二次函数的性质，判断各项系数的正负。
9．（2023·瑶海模拟）二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像如图所示，则一次函数y＝bx＋a与反比例函数y＝在同一坐标内的图像大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax^2+bx+c的图象
【解析】【解答】解：由图像可知，，即b<0，由一次函数图象性质可排除A，C选项
当x=1时，二次函数y=a+b+c<0，由反比例函数图象性质可排除B选项
故答案为D
【分析】二次函数图象开口朝上，则a>0，对称轴在0和1之间，则，可判断出一次函数图象的位置关系；当x=1时，二次函数的图象在x轴下方，则对应的函数值y=a+b+c<0，可判断出反比例函数的位置关系。
10．（2023·金寨模拟）二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，下列结论：（1）；（2）；（3）；（4）若点，点、点在该函数图象上，则；（5）若方程的两根为和，且，则．其中正确的结论有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：①∵，
∴4a+b=0，
∴①正确；
②∵当x=-3时，y＜0，
∴9a-3b+c＜0，
∴9a+c＜3b，
∴②错误；
③∵二次函数图象过点，对称轴为直线，
∴二次函数图象经过点（5，0），
∴由题意可得：，
解得：，
∴8a+7b+2c=8a-28a-10a=-30a，
∵a＜0，
∴8a+7b+2c＞0，
∴③正确，
④∵点，点、点在该函数图象上，
又∵，，，
∴点C离对称轴的距离近，
∴y3＞y2，
∵a＜0，-3＜＜2，
∴y1＜y2，
∴y1＜y2＜y3，
∴④错误；
⑤∵a＜0，
∴（x+1)(x-5)=＞0，
∴（x+1)(x-5)＞0，
∴x＜-1或x＞5，
∴⑤正确；
综上所述：正确的结论有3个，
故答案为：B.
【分析】利用二次函数的图象与性质对每个结论一一判断即可。
11．（2023·金乡县模拟）如图，抛物线与x轴正半轴交于A，B两点，与y轴负半轴交于点C．若点，则下列结论中，正确的个数是（ ）
①；
②；
③与是抛物线上两点，若，则；
④若抛物线的对称轴是直线，m为任意实数，则；
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：抛物线开口向下，与y轴交于负半轴，对称轴在y轴右侧，
∴a＜0，c＜0，，
∴b＞0，
∴abc＞0，故①符合题意；
∵抛物线过点B（4，0），点A在x轴正半轴，
∴对称轴在直线x=2右侧，即，
∴，
又∵a＜0，
∴4a+b＞0，故②符合题意；
∵与是抛物线上两点，，
可得：抛物线在时，y随x的增大而增大，
在时，y随x的增大而减小，
∴不一定成立，故③不符合题意；
若抛物线对称轴为直线x=3，则，即，
则
=
=
=≤0，
∴，故④符合题意；
综上分析可知，正确的个数为3个，故C符合题意．
故答案为：C．
【分析】利用二次函数的图象与系数的关系可得a、b、c的正负，再利用二次函数的性质逐项判断即可。
二、填空题
12．（2023·泰安）二次函数的最大值是 ．
【答案】
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax^2+bx+c与二次函数y=a（x-h）^2+k的转化
【解析】【解答】解：y=-x2-3x+4=-（x2+3x）+4=，
∵-1＜0，∴函数有最大值为：.
故第1空答案为：.
【分析】用配方法把二次函数的一般形式，转化为：，可得函数的最大值为：。
13．（2023·郴州）抛物线与轴只有一个交点，则 ．
【答案】9
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：∵抛物线与轴只有一个交点，
∴，
∴c=9，
故答案为：9
【分析】根据二次函数与x轴的交点问题结合题意即可求解。
14．（2023·张家口模拟）如图，水池中心点O处竖直安装一水管，水管喷头喷出抛物线形水柱，喷头上下移动时，抛物线形水柱随之竖直上下平移，水柱落点与点O在同一水平面．安装师傅调试发现，喷头高时，水柱落点距O点；喷头高时，水柱落点距O点．那么喷头高 m时，水柱落点距O点．
【答案】8
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】
∵抛物线的上下平移时，其系数a、b都不变，只有c是“上加下减”，
∴设题中抛物线的解析式为，
由题中条件，易知：当x=2.5、c=2.5时，y=0；当x=3、c=4时，y=0，
∴可得方程组为：
解得：
∴题中抛物线的解析式为，
令x=0，解得：y=8，
∴ 喷头高8m时，水柱落点距O点．
故结果为：8 。
【分析】此题考察抛物线上下平移时，其系数相应的变化关系，难度一般。
15．（2023·安徽模拟）已知二次函数（a是常数，且）．
（1）该二次函数图象的对称轴是 ；
（2）该二次函数图象与y轴交点的纵坐标的最大值为 ．
【答案】（1）直线x=1
（2）-7
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax^2+bx+c与二次函数y=a（x-h）^2+k的转化
【解析】【解答】解：（1）该二次函数图象的对称轴是直线；
故答案为：直线x=1；
（2）当时，，
∵，
∴抛物线开口向下，
∴当时，y有最大值-7，即该二次函数图象与y轴交点的纵坐标的最大值为-7．
故答案为：-7．
【分析】（1）结合二次函数的解析式，利用对称轴公式计算求解即可；
（2）先求出，再求出抛物线开口向下，最后判断求解即可。
16．（2023八下·景德镇期中）已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3在t≤x≤t+3时的最小值是t，则t的值为 .
【答案】或﹣3
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=a（x-h）^2+k的性质；二次函数y=ax^2+bx+c与二次函数y=a（x-h）^2+k的转化
【解析】【解答】解： y＝x2﹣2x﹣3 =（x-1）2-4，可得抛物线的对称轴为x=1。
分类讨论：
（1）若对称轴在范围 t≤x≤t+ 3右侧时，有t+ 3＜1，即t＜-2，此时，在对称轴左侧，y虽x的增大而减小，∴当x=t+3时，y的值最小，∴y最小值=t=（t+3）2-2（t+3）-3，∴t=-3。
（2）若对称轴在范围 t≤x≤t+ 3内时，此时对称轴与抛物线的交点纵坐标就是最小值，所以y最小值=-4，∴t=-4，不合题意。
（3）若对称轴在范围t≤x≤t+ 3的左侧时，有t＞1，此时在对称轴右侧，y随x的增大而增大，当x=t时，y的值最小，∴y最小值=t2-2t-3=t，∴
故第1空答案为：或-3.
【分析】先把二次函数的一般形式转化为顶点式，从而求得抛物线的对称轴为x=1，然后根据对称轴的不同位置，利用二次函数的性质，分别根据最小值为t，求得t的值即可。
17．（2023九上·温岭期末） 关于的二次函数，在时有最大值6，则 ．
【答案】2或
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：y=ax2+a2，
①当a＞0时，二次函数的对称轴为x=0，
∴x=-1时，ymax=a+a2=6，
解得：a=2或a=-3（舍去）；
②当a＜0时，二次函数的对称轴为x=0，
∴x=0时，ymax=a2=6，
解得：a=或a=（舍去），
综上所述，a=2或.
故答案为：2或.
【分析】分两种情况：当a＞0时，二次函数的对称轴为x=0，因此x=-1时，ymax=a+a2=6；②当a＜0时，二次函数的对称轴为x=0，因此x=0时，ymax=a2=6，分别解之即可.
三、作图题
18．（2021九上·下城期末）已知二次函数 的图象经过点 .
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）画出这个函数的图象，并利用图象解决下列问题：
①直接写出方程 的解；
②当x满足什么条件时， .
【答案】（1）解：∵二次函数 的图象经过点 ，
∴将点 代入的解析式为 ，
得 ，
解得： .
∴抛物线的解析式为： 即： .
（2）解：函数的图象如下图所示：
①方程 ，即：在函数 中y=-3时， ， .
所以方程 的解是 ， ；
②当 时，即函数图象在x轴上面的图象，此时对应自变量的范围： 或
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax^2+bx+c的图象
【解析】【分析】（1）把点（2，-3）代入二次函数式进行求解即可；
（2） ① 由（1）及图象直接求解即可； ②根据图象，找出图象 时的部分，读出此时x的范围即可.
四、解答题
19．（2022九上·济南期末）已知二次函数有最小值为0，求m的值．
【答案】解：∵有最小值0，
∴且，
解得或（舍去）．
经检验：是该方程的解．
即m的值为1．
【知识点】二次函数的最值
【解析】【分析】由二次函数存在最小值，可知开口向上，即得m＞0，根据最小值为0，即得=0，据此解答即可.
20．（2023九上·陈仓期末）已知关于x的一元二次方程的两个实数根分别为，，求的值.
【答案】解：（方法一）
∵关于 的一元二次方程 的两个实数根分别为 ， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ；
（方法二）把 ， 分别代入原方程，
可得： ，
解得： ，
∴ .
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】方法一：根据根与系数的关系可得x1+x2=-m，x1x2=n，结合x1、x2的值可得m、n的值，然后根据有理数的加法法则进行计算；
方法二：将x1=-2、x2=4代入方程中可得关于m、n的方程组，求出m、n的值，然后根据有理数的加法法则进行计算.
五、综合题
21．（2023·长沙）我们约定：若关于x的二次函数与同时满足，则称函数与函数互为“美美与共”函数．根据该约定，解答下列问题：
（1）若关于x的二次函数与互为“美美与共”函数，求k，m，n的值；
（2）对于任意非零实数r，s，点与点始终在关于x的函数的图像上运动，函数与互为“美美与共”函数．
①求函数的图像的对称轴；
②函数的图像是否经过某两个定点？若经过某两个定点，求出这两个定点的坐标；否则，请说明理由；
（3）在同一平面直角坐标系中，若关于x的二次函数与它的“美美与共”函数的图像顶点分别为点A，点B，函数的图像与x轴交于不同两点C，D，函数的图像与x轴交于不同两点E，F．当时，以A，B，C，D为顶点的四边形能否为正方形？若能，求出该正方形面积的取值范围；若不请说明理由．
【答案】（1）解：由题意可知：，
∴．
答：k的值为，m的值为3，n的值为2．
（2）解：①∵点与点始终在关于x的函数的图像上运动，
∴对称轴为，
∴，
∴，
∴对称轴为．
答：函数的图像的对称轴为．
②，令，解得，
∴过定点，．
答：函数y2的图像过定点，．
（3）解：由题意可知，，
∴，
∴， ，
∵且，
∴；
①若，则，
要使以A，B，C，D为顶点的四边形能构成正方形，
则为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
②若，则A、B关于y轴对称，以A，B，C，D为顶点的四边形不能构成正方形，
综上，以A，B，C，D为顶点的四边形能构成正方形，此时．
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；正方形的性质；偶次幂的非负性；算数平方根的非负性；绝对值的非负性；二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）先根据非负性即可得到，进而结合题意即可求解；
（2）①先根据点与点始终在关于x的函数的图像上运动结合题意即可得到对称轴为，进而结合题意进行化简即可求解；
②先根据题意得到，进而令即可求解；
（3）先根据题意得到，进而得到， ，再二次函数与坐标轴的交点即可得到；然后分类讨论：①若，则，要使以A，B，C，D为顶点的四边形能构成正方形，则为等腰直角三角形，在根据正方形的性质和等腰直角三角形的性质结合题意即可得到；②若，则A、B关于y轴对称，以A，B，C，D为顶点的四边形不能构成正方形，最后总结即可求解。
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