北京师范大学附属中学2015届高三上学期期中考试数学（理）试卷（含解析）

2015届北师大附中高三上期中考试理数试卷
一、选择题（10小题，每小题5分，共50分．请将答案填入第Ⅱ卷选择题的答案表中．）
1、若集合，集合,则 （ ）
A． B． C. D．
2、下列有关命题的说法中错误的是 （ ）
A．对于命题：，使得，则均有
B．“”是“”的充分不必要条件
C．命题“若“”，则”的逆否命题为：“若，则”
D．若为假命题，则均为假命题
3、曲线在点处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
4、若，其中t∈（0，π），则t=( )
A. B. C. D.
5、已知，则向量在方向上的投影为（ ）
A． B． C． D．
6、设R，向量且，则( )
A. B. C. D.10
7、如图，在△OAB中，P为线段AB上的一点，＝x＋y，
且＝2，则(　　)
A、x＝，y＝ B、x＝，y＝ C、x＝，y＝ D、x＝，y＝
8、函数（其中）的图象如图
所示，为了得到的图像，则只要将的图像（ ）
A．向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度
9、如图，某海上缉私小分队驾驶缉私艇以40 km/h的速度由A处出发，
沿北偏东60°方向进行海面巡逻，当航行半小时到达B处时，发现北
偏西45°方向有一艘船C，若船C位于A的北偏东30°方向上，
则缉私艇所在的B处与船C的距离是(　　)
A、5(＋) B、5(－) C、10(－) D、10(＋)
10、若函数满足，当x∈[0，1]时，，若在区间(-1，1]上， 有两个零点，则实数m的取值范围是( )
A、0二、填空题（每小题5分，共25分）
11、若,则的值是 .
12、若扇形的周长是8cm，面积4cm2，则扇形的圆心角为 rad.
13、已知函数在上单调递增,在上单调递减，
则
14、已知函数满足，函数关于点对称，，则_________.
15、设函数的定义域为D，若函数满足下列两个条件，则称在定义域D上是闭函数．①在D上是单调函数；②存在区间，使在上值域为．如果函数为闭函数，则的取值范围是_______
三、解答题（共75分）
16、已知,
(1)求的值； （2）求的夹角； （3）求的值．
17、已知，，若，求：
（1）的最小正周期及对称轴方程. （2）的单调递增区间.
（3）当时，函数的值域.
18、在中，内角对边的边长分别是，已知，．
（1）若的面积等于，求；（2）若，求的面积．
19、某工厂有一批货物由海上从甲地运往乙地，已知轮船的最大航行速度为60海里/小时，甲地至乙地之间的海上航行距离为600海里，每小时的运输成本由燃料费和其它费用组成，轮船每小时的燃料费与轮船速度的平方成正比，比例系数为0．5，其它费用为每小时1250元．
（1）请把全程运输成本（元）表示为速度（海里/小时）的函数,并指明定义域；
（2）为使全程运输成本最小，轮船应以多大速度行驶？
20、已知函数（其中）．．
（1）命题，命题，若是的充分非必要条件，求的取值范围；
（2）设命题：，或；命题：，．
若是真命题，求的取值范围．
21、设函数定义在上，，导函数
（Ⅰ）求的单调区间和最小值；
（Ⅱ）讨论与的大小关系；
（Ⅲ）是否存在，使得对任意成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由．
2015届北师大附中高三年开学考试理数试卷
一、选择题
1、C 【解析】因为
所以，故选C.
2、D 【解析】对于命题：，使得，则均有故A为真命题；“”是“”的充分不必要条件故B为真命题；
命题“若“”，则”的逆否命题为：“若，则”故C为真命题；若为假命题，则存在至少一个假命题，但不一定均为假命题，故D为假命题；
3、B 【解析】，，曲线在点处的切线的斜率，切线方程为．
4、C 【解析】且t∈（0，π），
所以 .故选C.
5、A 【解析】向量在方向上的投影为，故选择A．
6、C 【解析】;.
则,所以.故C正确.
7、A 【解析】由题可知＝＋，又＝2，所以＝＋＝＋ (－)＝＋，所以x＝，y＝，故选A.
8、A 【解析】由图可知，，故，由于为五点作图的第三点，，解得，所以，将函数的图象向右平移个单位长度 得，故答案为A．
9、C【解析】由题意，知∠BAC＝60°－30°＝30°，∠ABC＝30°＋45°＝75°，
∠ACB＝180°－75°－30°＝75°，∴AC＝AB＝40×＝20(km)．由余弦定理，
得BC2＝AC2＋AB2－2AC·AB·cos∠BAC＝202＋202－2×20×20×cos30°
＝800－400＝400(2－)，
∴BC＝＝＝10 (－1)＝10(－)(km)．
10、A 【解析】有两个零点，
即曲线有两个交点.令，则，
所以. 在同一坐标系中，画出的图象（如图所示）：直线过定点，
所以，满足即选.
二、填空题（每小题5分，共25分）
11、 【解析】
由，得：
12、2【解析】设扇形的圆心角为，半径为,则
13、【解析】 解析：因为函数在上单调递增,在上单调递减，所以，所以，经检验时，在上单调递增,在上单调递减.所以.
14、 【解析】由于，，
故函数的周期为12，把函数的图象向右平移1个单位，得，因此的图象关于对称，为奇函数，，
15、


三、解答题（共75分）
16、 【解析】（1）由得：= -6 。
（2） 由= -6且得 所以=。
（3）=
17、【解析】（1）
，，
所以函数的最小正周期为，令，
解得，所以函数对称轴方程为
（2）因为，所以函数的单调增区间为函数的单调减区间，令，即得，所以函数的单调增区间为
（3）令，所以原式化为，
当，所以，即得，
所以函数在区间的值域为.
18、【解析】（Ⅰ）由余弦定理得，，
又因为的面积等于，所以，得．
联立方程组解得，．
（Ⅱ）由正弦定理，已知条件化为，
联立方程组解得，．
所以的面积．
考点：正弦定理，余弦定理，三角形面积公式.
19、【解析】（1）由题意得：，即：

（2）由（1）知，令，解得,或（舍去）．
当时，，当时，， 因此，函数，在处取得极小值，也是最小值．故为使全程运输成本最小，轮船应以海里/小时的速度行驶．
20、【解析】（1）略
（2）因为是真命题，则和都为真命题． 法一：因为是真命题，则的解集的补集是解集的子集；是真命题，则的解集与的交集非空．
①若，则．又∵， 或，
∴是的解集的子集．又由（其中）,
解得得或, 因此．②∵当时，，∴问题转化为，使得，即的解集与 的交集非空．即，则， 综合①②可知满足条件的的取值范围是
法二：当时，，因为是真命题，则，
，即 ，当时，，因为是真命题，则,使，，即
综上所述，．
21、【解析】（Ⅰ）由题知，，，令得，
当时，，故（0,1）是的单调减区间，
当时，，故是的单调增区间，
因此，是的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点，所以最小值为．
（Ⅱ），设，则，
当时，，即，当时，，
因此，在内单调递减，当时，，即，
当时，，即．
（Ⅲ）满足条件的不存在．证明如下：
证法一 假设存在 ，使 对任意 成立，即对任意，
有 （*） 但对上述，取时，有 ，这与（*）左边不等式矛盾，因此，不存在 ，使 对任意成立。
证法二 假设存在，使 对任意的成立。
由（Ⅰ）知， 的最小值为。 又，而时，的值域为，
∴ 时， 的值域为，从而可取一个，使 ，
即 ，故 ，与假设矛盾。
∴ 不存在 ，使 对任意成立。